资源简介

(共42张PPT)
1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.
2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.
[学习目标]
[情境导入]
在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案，把要求的距离、高度、角度等问题转化成解三角形的问题，然后利用正弦定理或余弦定理解决实际问题.
知识点一　距离问题
[例1]　如图所示，为了测量湖中A，B两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100米的甲、乙两位测量人员，甲测量员在D处测量发现A亭子位于北偏西15°方向，B亭子位于东北方向，乙测量员在C处测量发现B亭子位于正北方向，A亭子位于北偏西60°方向，则A，B两亭子间的距离为(　　)
B
[反思感悟]
求解两点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法为：
1.认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形.
2.把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解.
1.如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东15°方向，后来船沿南偏东45°的方向航行30 km后，到达B处，看见灯塔P在船的西偏北15°方向，则这时船与灯塔的距离是(　　)
C
知识点二　高度问题
[例2]　如图，测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D.现测得∠BCD＝45°，∠BDC＝60°，CD＝100 m，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝___________ m.
[反思感悟]
求解物体的高度问题，一般是把问题转化为解直角三角形的边长问题，基本方法为：
1.分清仰角和俯角，根据已知和所求，正确作出图形.
2.厘清边角关系，利用正、余弦定理解直角三角形.
2.兰州黄河楼，位于黄河兰州段大拐弯处，是一座讲述黄河故事的人文地标.某同学为了估算该楼的高度，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距90米的C，D两观测点，且C，D与黄河楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得黄河楼顶部A的仰角分别为45°，30°，并测得∠BCD＝120°，则黄河楼AB的估计高度为________米.
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知识点三　角度问题
A.正西方向 B.南偏西75°方向
C.南偏西60°方向 D.南偏西45°方向
C
[反思感悟]
求解实际应用中的角度问题时，一般把求角的问题转化为解三角形的问题，基本方法为：
1.明确各个角的含义.
2.分析题意，分析已知与所求，画出正确的示意图.
3.将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正、余弦定理求解.
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
解实际应用问题时不仅要正确理解题意和相关术语，还要正确转化为解三角形问题.
1.某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得∠PAC＝15°，沿土坡向坡顶前进25 m后到达D处，测得∠PDC＝45°.已知旗杆CP＝10 m，PB⊥AB，土坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝(　　)
D
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3.已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都为100 km，灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为________ km.
[基础巩固]
1.如图，在高速公路建设中，要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的A，B两点到C点的距离分别为AC＝3 km，BC＝4 km，且∠ACB＝60°，则隧道AB的长度为(　　)
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2.如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的(　　)
A.北偏东10°方向上 B.北偏西10°方向上
C.南偏东80°方向上 D.南偏西80°方向上
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解析　由条件及题图可知，△ABC为等腰三角形，所以∠BAC＝∠ABC＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上.
3.如图所示，在B，C处分别测得建筑AD最高点的仰角为30°和20°，A，B，C在同一直线上且BC＝5 m，则该建筑的高度约为(参考数据cos 10°≈0.985)(　　)
A.4.925 m B.5.076 m
C.6.693 m D.7.177 m
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4.如图所示，为测量河对岸一点C与岸边一点A之间的距离，已经测得岸边的A，B两点间的距离为m，∠CAB＝α，∠CBA＝β，则C，A间的距离为(　　)
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5.(多选)某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有(　　)
A.在水平地面上任意寻找两点A，B，分别测量旗杆顶端的仰角α，β，再测量A，B两点间距离
B.在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆)，测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和β
C.在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角α，再测量A到旗杆底部的距离
D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5 m到达B处，再次测量旗杆顶端的仰角β
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解析　对于A：如果A，B两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确；对于B：如图1，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD＝h＋AD sin β，故B正确；
对于C：如图2，在直角三角形ADC中，直接利用锐角三角函数求出旗杆的高DC＝AC tan α，故C正确；
对于D：如图3，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD＝AD sin α，故D正确.
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6.如图，飞机飞行的航线AB和地面目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行10千米到达B处，测得目标C的俯角为75°，这时B处与地面目标C的距离为________千米.
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7.某同学为测量塔AB的高度，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝135°，CD＝20 m，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________ m.
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8.(11分)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，BC的距离比AC短40米.A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.
(1)求A，C两地的距离；
(2)求该仪器的垂直弹射高度CH.
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[综合应用]
9.(多选)如图所示，在坡地一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则下列说法正确的是(　　)
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AC
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10.(12分)如图所示，有两个兴趣小组同时测量一个小区内的假山高度，已知该小区每层楼高4 m.
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(1)兴趣小组1借助测角仪进行测量，在假山水平面C点测得B点的仰角为15°，在六楼A点测得B点的俯角为45°，求假山的高度(精确到0.1)；
(2)兴趣小组2借助测距仪进行测量，可测得AB＝22 m，BC＝16 m，求假山的高度(精确到0.1).
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[拓展提升]
11.小红是一位登山爱好者，某天她登上一座山尖(图中点A处)，刚好望到另一座远山，她眺望到远山上一座凉亭(位于点B处)，于是她想测算出凉亭到那座山顶(点C处)的距离，她在点A处利用测角仪器测得点B的俯角为5°，点C的仰角为40°，此后，她沿山坡下行100米至点D处(A，B，C，D四点在同一铅垂面上)，测得点A，B，C的仰角分别为80°，25°，55°，根据这些数据，小红同学计算得到了凉亭到山顶的距离BC＝(　　)
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