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第7章《相交线与平行线》单元测试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。）
1．下列现象中，属于平移的是（　　）
A．足球在草坪上滚动 B．货物在传送带上移动
C．小朋友在荡秋千 D．汽车雨刮器的摆动
2．下列命题中，真命题是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．相等的角是对顶角
C．等角的补角相等
D．平行于同一条直线的两条直线垂直
3．如图，在所标识的角中，下列说法不正确的是（　　）
A．∠1与∠5是内错角 B．∠3与∠5是对顶角
C．∠1与∠4是同位角 D．∠1与∠2是同旁内角
4．宇树科技UnitreeB2﹣W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线AB到达岸边．其中蕴含的数学原理是（　　）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5．如图，下列条件不能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠1+∠4＝180° B．∠4＝∠3
C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠4
6．如图，过点A画直线l的平行线，能画（　　）
A．两条以上 B．2条 C．1条 D．0条
7．三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是（　　）
A．a与c相交 B．a与c平行 C．a与c重合 D．无法确定
8．如图，将△ABC沿BC方向平移xcm得到△DEF，若△ABC的周长为18cm，则四边形ABFD的周长为（　　）
A．（18+2x）cm B．（18+x）cm C．2（18﹣x）cm D．2（18+x）cm
9．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，OF平分∠AOE，∠1＝15°，则下列结论中不正确的是（　　）
A．∠2＝45° B．∠1＝∠3
C．∠EOD与∠3互为余角 D．∠FOD＝110°
10．如图，将三角板与两边平行的直尺（EF∥HG）贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠2＝57°，则∠1的度数是（　　）
A．57° B．23° C．33° D．13°
11．当光线从空气中进入水中，由于两种介质不同，光线会发生偏离，这种现象我们把它叫做折射现象．如图，一束光线OA照射在水面MN上，折射光线为AB，若入射角为40°，折射角为25°，则∠OAB的度数为（　　）
A．150° B．155° C．165° D．170°
12．如图，将正方形EBGF、正方形KLMN、正方形HIJD放入长方形ABCD中，其中HP＝JC，IQ＝QM，已知长方形ABCD的周长和中间正方形的边长LM，将图中四块阴影部分记为甲、乙、丙、丁，则下列可以求出的是（　　）
①乙的周长；
②甲、乙的周长和；
③丙、丁的周长差；
④甲、乙、丙、丁的周长和．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：　 　 ．
14．若∠1＝36°，∠2的两边分别与∠1的两边平行，则∠2的度数为 　 　 ．
15．如图，直角△ABC和直角△DEF重叠在一起，将△DEF沿点B到点C的方向平移到如图位置．若AB＝14，图中阴影部分的面积为84，DH＝4，则CF的长为 　 　 ．
16.已知直线AB∥CD，P是平面内一点，若∠BPD＝30°，∠CDP＝20°，则∠ABP的度数为 　 度．
17．如图，直线AB，CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE平分∠AOC，将射线OE绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜360°）到OF．当∠AOF＝120°时，α是　 　 ．
18．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于G点，若∠EFG＝56°，则∠AEG＝　 　 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分．）
19．（8分）如图，AB与CD交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，若∠EOD＝2∠BOD，求∠EOF的度数．
解：∵OE⊥AB，
∴∠EOB＝90°，
∴∠EOD+　 　 ＝　 　 ，
又∵∠EOD＝2∠BOD，
∴∠BOD＝　 　 ，∠EOD＝　 　 ，
∵OF⊥CD，
∴∠FOD＝　 　 ，
∴∠EOF＝　 　 ﹣　 　 ＝　 　 ．
20．（8分）如图，在方格纸中，三角形ABC的三个顶点和点P，Q都在格点上，平移三角形ABC，使它的顶点平移后都落在格点上．
（1）平移三角形ABC，使点C移动到点Q，请在图1中画出平移后的三角形A1B1Q；
（2）平移三角形ABC，使点P，Q中的一点在平移后的三角形的内部，另一点在平移后的三角形的外部，请在图2中画出一种平移后的三角形A2B2C2．
21．（8分）如图，∠1＝52°，∠2＝128°，∠C＝∠D．
（1）BD与CE平行吗？为什么？
（2）探索∠A与∠F的数量关系，并说明理由．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，若AE＝8cm，DB＝2cm．
（1）求△ABC向右平移的距离AD的长；
（2）求四边形AEFC的周长．
23．（8分）如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③AB∥CD．
（1）请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题．
（2）在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性．
24．（10分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥AB．
（1）若∠COF＝50°，求∠COE的度数；
（2）若∠BOD：∠EOD＝1：2，求∠COF的度数．
25．（10分）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知∠MAC＝120°，∠NBE＝60°．
（1）已知驱逐舰在AC方向上航行，巡洋舰在BE方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由；
（2）已知驱逐舰到达点C后沿C﹣D继续航行，巡洋舰到达点E后沿E﹣F继续航行，且MN∥EF，∠ACD＝140°．若驱逐舰在原航向上向左转动α（0°＜α＜180°）后，才能与巡洋舰航向相同，求α的值．
26．（12分）【感知】直线AB∥CD，点P在直线AB和CD之间，作∠EPF＝90°，该角的两边分别交直线AB、CD于点E、F．如图①，当点P在过点E和点F的直线的左侧时，求∠AEP与∠CFP的和．
老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）．
解：如图②，过点P作PG∥CD，
∴∠CFP＝∠FPG（　 　 ）．
∵AB∥CD（　 　 ），
∴PG∥AB（　 　 ）．
∴∠AEP＝∠EPG．
∴∠AEP+∠CFP＝∠EPG+∠FPG．
∵∠EPF＝90°，
∴∠AEP+∠CFP＝　 　 ．
【探究】如图③，当点P在过点E和点F的直线的右侧时，其它条件不变，求∠AEP与∠CFP的和．
【拓展】直线AB∥CD，点P在直线AB和CD之间，作∠EPF＝90°，该角的两边分别交直线AB、CD于点E、F．若∠EPF的角平分线所在的直线交直线CD于点Q，且点Q在点F左边，请借助图①和图③，直接写出∠AEP﹣∠PQF的度数．
参考答案
一、选择题
1．B
【解答】解：A、足球在草坪上滚动，属于旋转，故不符合题意；
B、货物在传送带上移动，属于平移，故符合题意；
C、小朋友在荡秋千，属于旋转，故不符合题意；
D、汽车雨刮器的摆动，属于旋转，故不符合题意；
故选：B．
2．C
【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、等角的补角相等，是真命题，符合题意；
D、平行于同一条直线的两条直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
3．C
【解答】解：A．∠1与∠5是直线b，直线c被直线a所截得的内错角，因此选项A不符合题意，
B．∠3与∠5是对顶角，因此选项B不符合题意，
C．∠1与∠4不是同位角，因此选项C符合题意，
D．∠1与∠2是直线b，直线c被直线a所截得的同旁内角，因此选项D不符合题意，
故选：C．
4．C
【解答】解：其中蕴含的数学原理是垂线段最短．
故选：C．
5．D
【解答】解：A、∵∠4+∠5＝180°，∠1+∠4＝180°，
∴∠1＝∠5，由同位角相等，两直线平行，能判定AB∥CD，不合题意；
B、∠4＝∠3，由内错角相等，两直线平行，能判定AB∥CD，不合题意；
C、∠3+∠5＝180°，由同旁内角互补，两直线平行，能判定AB∥CD，不合题意；
D、∠2＝∠4，由对顶角相等，不能判定AB∥CD，符合题意；
故选：D．
6．C
【解答】解：因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
所以如图，过点A画直线l的平行线，能画1条．
故选：C．
7．B
【解答】解：∵a∥b，b∥c，
∴a∥c，
∴a与c平行，
故选：B．
8．A
【解答】解：∵平移，
∴BE＝CF＝AD＝xcm，AB＝DE，AC＝DF，
∴AB+AC+BC＝18cm，
∴四边形ABFD的周长为AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+AD+CF＝（18+2x）cm；
故选：A．
9．D
【解答】解：A、∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠2∠AOE90°＝45°，故本选项错误；
B、∵∠1、∠3是对顶角，
∴∠1＝∠3，故本选项错误；
C、∵∠EOD+∠1＝∠BOE＝90°，
∴∠EOD+∠3＝90°，
∴∠EOD与∠3互为余角，故本选项错误；
D、∠FOD＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣15°﹣45°＝120°，故本选项正确．
故选：D．
10．C
【解答】解：∵EF∥HG，∠2＝57°，
∴∠2＝∠FCD＝57°，
∵∠1+∠FCD＝∠ACB＝90°，
∴∠1＝90°﹣∠FCD＝90°﹣57°＝33°，
所以∠1的度数是33°，
故选：C．
11．C
【解答】解：如图，由邻补角的定义可知，
因为∠OAD+∠OAC＝180°，
所以∠OAC＝180°﹣40°＝140°，
所以∠OAB＝∠OAC+∠BAC＝140°+25°＝165°，
故选：C．
12．C
【解答】解：设AB＝a，BC＝b，LM＝c，LT＝x，LS＝y，IQ＝QM＝z，依题意，
乙的周长为：2（NQ+IQ）＝2（NQ+QM）＝2MN＝2c，故①正确，符合题意；
根据题意得出各线段的长，根据平移的性质分别求四块阴影部分的周长：
HP＝JC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴丁的周长为：TG+TM+QM+QJ+JC+CG＝2（JC+CG）
2a+2c﹣2x﹣2z，
丙的周长为：，
∴丙、丁的周长差为2c+2a﹣2z﹣2x﹣（2a+2c﹣2x﹣2z）＝0，故③正确，符合题意；
②甲、乙的周长和为2x+2y+2c，不是定值，故②不正确，不符合题意；
④甲、乙、丙、丁的周长和为2（a+b）+4c，故④正确，符合题意；
故选：C．
二、填空题
13．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
14．144°或36°．
【解答】解：∵∠1＝36°，∠2的两边分别与∠1的两边平行，
∴∠1+∠2＝180°或∠1＝∠2，
∴∠2＝144°或∠2＝36°，
故答案为：144°或36°．
15．7．
【解答】解：由平移可知，
S△ABC＝S△DEF，DE＝AB＝14，
所以阴影部分的面积与梯形ABEH的面积相等，EH＝14﹣4＝10，
则，
所以BE＝7，
所以CF＝BE＝7．
故答案为：7．
16．10或50．
【解答】解：分两种情况：
当点P在AB、CD之间时，如图：
过点P作PE∥CD，
∴∠CDP＝∠EPD＝20°，
∵∠BPD＝30°，
∴∠BPE＝∠BPD﹣∠EPD＝10°，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE，
∴∠ABP＝∠BPE＝10°；
当点P在AB、CD之外时，如图：
过点P作PE∥CD，
∴∠CDP＝∠EPD＝20°，
∵∠BPD＝30°，
∴∠BPE＝∠BPD+∠EPD＝50°，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE，
∴∠ABP＝∠BPE＝50°；
综上所述：∠ABP的度数为10°或50°，
故答案为：10或50．
17．82.5°或202.5°．
【解答】解：①当OF在∠BOC的内部时，如图，
∵∠AOC＝∠BOD＝75°，∠AOE＝∠EOC，
∴∠EOC＝37.5°，
∵∠AOF＝120°，
∴∠COF＝∠AOF﹣∠AOC＝45°，
∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝82.5°，
即α＝82.5°；
②当OF在∠BOD的内部时，如图，
∵∠AOC＝∠BOD＝75°，∠AOE＝∠EOC，
∴∠AOE＝37.5°，
∵∠AOF＝120°，
∴∠EOF＝∠AOF+∠AOE＝157.5°，
∴α＝360°﹣∠EOF＝202.5°．
故答案为：82.5或202.5．
18．68°
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠GFE＝56°，
由折叠可得，∠GEF＝∠DEF＝56°，
∴∠DEG＝112°，
∴∠AEG＝180°﹣112°＝68°．
故答案为：68°
三、解答题
19．解：∵OE⊥AB，
∴∠EOB＝90°，
∴∠EOD+∠BOD＝90°，
又∵∠EOD＝2∠BOD，
∴∠BOD＝30°，∠EOD＝60°，
∵OF⊥CD，
∴∠FOD＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣60°＝30°．
故答案为：90°，∠BOD，90°，30°，60°，90°，90°，60°，30°．
20．解：（1）△A1B1Q即为所求作，如图1；
（2）△A2B2C2即为所求作，如图2．
21．解：（1）BD∥CE，理由如下：
∵∠1＝52°，∠2＝128°，
∴∠1+∠2＝180°，
∴BD∥CE；
（2）∠A＝∠F，理由如下：
∵BD∥CE，
∴∠ABD＝∠C，
∵∠C＝∠D，
∴∠ABD＝∠D，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
22．解：（1）∵△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，
∴AD＝BE＝CF，BC＝EF＝3cm，
∵AE＝8cm，DB＝2cm，
∴AD＝BE＝CF3cm；
（2）四边形AEFC的周长＝AE+EF+CF+AC＝8+3+3+4＝18cm．
23.解：（1）命题1：若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则AB∥CD．
命题2：若∠1＝∠2，AB∥CD，则∠B＝∠C．
命题3：若∠B＝∠C，AB∥CD，则∠1＝∠2．
（2）选择第一种情况：
已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C，
求证：AB∥CD．
证明：如图，
∵∠1＝∠3，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠2，
∴EC∥BF，
∴∠AEC＝∠B，
又∵∠B＝∠C，
∴∠AEC＝∠C，
∴AB∥CD．
24．解（1）∵OF⊥AB，
∴∠AOF＝90°，
∵∠COF＝50°，
∴∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝40°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝140°，
∵OE平分∠AOD，
∴，
∴∠COE＝∠AOE+∠AOC＝110°；
（2）∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD＝∠AOE，
∵∠BOD：∠EOD＝1：2，
∴∠BOD：∠EOD：∠AOE＝1：2：2，
∴，
∵OF⊥AB，
∴∠BOF＝90°，
∴∠COF＝180°﹣90°﹣36°＝54°．
25．解：（1）不会，理由是：
∵∠MAC＝120°，
∴∠CAN＝60°，
∵∠NBE＝60°，
∴∠CAN＝∠NBE，
∴AC∥BE，
∴这两艘舰艇不会相撞；
（2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同，
则EF∥HG，
∵MN∥EF，
∴HG∥MN，
∴∠CHG+∠CAN+ACD＝360°，
∴∠CHG＝160°
∴α＝180°﹣∠CHG＝20°．
26．解：【感知】如图②，
过点P作PG∥CD，
∴∠CFP＝∠FPG（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥CD（已知），
∴PG∥AB（平行于同一直线的两直线互相平行）．
∴∠AEP＝∠EPG．
∴∠AEP+∠CFP＝∠EPG+∠FPG．
∵∠EPF＝90°，
∴∠AEP+∠CFP＝90°．
故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；平行于同一直线的两直线互相平行；90°．
【探究】如图③，当点P在过点E和点F的直线的右侧时，过点P作PG∥CD，
∴∠CFP+∠FPG＝180°，
∵AB∥CD（已知），
∴PG∥AB，
∴∠AEP+∠EPG＝180°，
∴∠AEP+∠CFP+∠EPG+∠FPG＝180°+180°＝360°．
∵∠EPF＝∠EPG+∠FPG＝90°，
∴∠AEP+∠CFP＝360°﹣90°＝270°．
【拓展】当点P在过点E和点F的直线的右侧时，设直线交AB于H，
∵∠EPF＝90°，PQ平分∠EPF，
∴∠EPQ＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠AHC＝∠PQF，
∵∠EPQ＝∠AHC+∠HEP＝45°，∠HEP＝180°﹣∠AEP，
∴∠PQF+180°﹣∠AEP＝45°，
∴∠AEP﹣∠PQF＝135°；
当点P在过点E和点F的直线的左侧时，设直线CP交AB于H，
∵∠EPF＝90°，直线PQ平分∠EPF，
∴∠EPH＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠AHQ＝∠PQF，
∵∠AEP＝∠AHQ+∠EPH＝∠PQF+45°，
∴∠AEP﹣∠PQF＝45°．
综上，∠AEP﹣∠PQF的度数为135°或45°．

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