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引导式基础预习自编学案
第十九章 二次根式
19.1 二次根式及其性质
知识点1: 二次根式
一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式。其中叫做 ，叫做 。被开方数可以是数，也可以是式子。但必须是非负数。
考点1 二次根式的识别
【讲练】 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【自练1】下面是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【自练2】下列各式，，，中是二次根式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点2 求二次根式的值
【讲练】二次根式的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【自练1】 当时，二次根式的值是_____．
【自练2】当时，二次根式的值是__________．
知识点2: 二次根式的性质
二次根式具有双重非负性，二次根式本身 0，被开方数 0。即 0， 0。
性质1：=（），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
性质2：==，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
考点3 利用二次根式的性质化简
【讲练】计算的结果是（ ）
A．2026 B． C． D．
【自练1】
________． ________． ________．
【自练2】下列计算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
19.2 二次根式的乘法与除法
知识点1: 二次根式的乘法
几个二次根式相乘，根指数不变，把被开方数相乘。即 。
考点1 二次根式的乘法
【讲练】计算：_____．
【自练1】计算：_____．
【自练2】计算：（ ）
A．14 B． C． D．
知识点2: 二次根式的除法
两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数 。即
考点2 二次根式的除法
【讲练】计算：（ ）.
A． B． C． D．
【自练1】计算： ______．
【自练2】计算：的结果是______．
知识点3: 最简二次根式
化简二次根式的办法
（1）工具：短除法
（2）优先考虑4和9；如果4和9不行，再其次考虑2、3和5
最简二次根式满足的三个条件：
①被开方数不含开方开的尽的数。 ②被开方数不含分母。 ③分母里面不含根号。
1～20的平方数：
考点3 化简最简二次根式
【讲练】化简的结果是_____．
【自练1】将化为最简二次根式为———
【自练2】 （1）化简：＝______． （2）已知，化简______．
知识点2: 分母有理化与有理化因式
分母有理化是指把分母中的根号去掉；通常有两种方法：
（1）分母是单项式的，有理化常常是乘二次根式本身
（2）分母是多项式的，分子分母同乘一个式子，使得新增的式子与原分母组成平方差公式
2. 有理化因式：两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式有无数多个．
考点2 分母有理化
【讲练】 无理数的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【自练1】化简：_____．
【自练2】化简：______．
考点3 有理化因式
【讲练】 下列各式中，的有理化因式是（ ）．
A． B． C． D．
【自练1】下列各选项中，的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【自练2】写出一个的有理化因式______．
考点4 最简二次根式的判断
【讲练】下列二次根式中，是最简二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
【自练1】 下列属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
【自练2】下列是最简二次根式的是（ ）
．
考点5 已知最简二次根式求参数
【讲练】二次根式是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：______．
【自练1】若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是______．
【自练2】 已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值______．
知识点4: 二次根式的乘除混合运算
二次根式的混合运算步骤：
①将算式中的除法转化成乘法。
②将根号前面的系数和被开方数分别相乘。
③化成最简二次根式。
考点6 二次根式的乘除混合运算
【讲练】计算：． 计算：
【自练1】计算：． 计算：
【自练2】计算： 计算：
19.3 二次根式的加法与减法
知识点1: 同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为 最简二次根式 后，如果它们的被开方数 相同 ，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
合并同类二次根式的方法：
只合并 根号外 的因式，即 系数 相加减， 被开方数 和 根指数 不变。即 。
考点1 同类二次根式
【讲练】已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是______
【自练1】下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【自练2】若最简二次根式与可以合并，则a的值为______．
知识点2: 二次根式加减运算
二次根式的加减运算法则：
二次根式相加减，先把各个二次根式化成 最简二次根式 ，再把 被开方数相同的二次根式进行合并。
具体步骤：
①若式子有括号，按照去括号的方法去括号。
②对二次根式进行化简。
③合并同类二次根式。
考点2 二次根式的加减运算
【讲练】 的结果是（ ）
A．2 B． C． D．
【自练1】计算：______．
【自练2】 计算的结果为______．
知识点3: 二次根式混合运算
二次根式的混合运算法则：
同有理数的混合运算法则相同，先算 乘除 ，将二次根式化为最简 ，最后算 加减 。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。
若能用乘法公式计算的用乘法公式（完全平方和、平方差公式）计算。
考点3 二次根式的混合运算
【讲练】．
【自练1】计算：．
【自练2】计算：
；
【自练3】计算：
．
*考点4 已知字母的值，化简求值
【讲练】已知，，则的值为（ ）
A．4 B．12 C．10 D．6
【自练1】 已知，则代数式的值为_______
【自练2】已知，，则的值为________．
*考点5 已知条件式，化简求值
【讲练】已知．求下列各式的值：
(1)； (2)．
【自练1】 若，则______．
【自练2】已知，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
*考点6 信息阅读：比较二次根式大小
【讲练】阅读：
；
；
(1)归纳：_______，_______（n为正整数）．
(2)探索：根据上面的规律，计算下列式子的值：
(3)提升：利用上面的规律，比较与的大小，并说明理由．
【自练】阅读下面计算过程：
试求：
(1)的值为___________． (2)试比较：___________．
（3）求的值．
*考点7 信息阅读：复合二次根式的化简
【讲练】阅读：
为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简．
例如，，
所以．
请仿照上例化简下列根式。
(1)______；
(2)_______；
(3)计算：．
【自练】7 . 观察下列等式：
根据上述材料，解决下列问题：
(1)化简：=
(2)猜想： （，且为整数），并验证你的猜想．
(3)计算：
*考点8 二次根式的应用
【讲练】据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【自练】10 . 如图，长方形空地的长为，宽为，现准备在空地中划出长为，宽为的小长方形（图中阴影部分）作为花卉实验田．
(1)求长方形空地的周长（结果化为最简）；
(2)求长方形花卉实验田的面积（结果化为最简）．
单元复习与检测
题量：14题 满分：60分 建议用时：45分钟
选择题（8小题，共24分）
计算的结果是（ ）
A．2026 B． C． D．
若代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4.下列各式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
6.下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
将分母有理化的结果为（ ）
A． B． C． D．
8.二次根式的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（4小题，12分）
9.请任意写出一个能使有意义的m值：_____．
10.______________．
11.若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则__________．
12.现定义一种新运算：对于任意正有理数，都有．
例如：，则_____．
三、解答题（2小题，24分）
13.计算：
(1) (2)
(3) (4)
计算：
（1）(1)； (2)；
（2）先化简，再求值：，其中．

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