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微专题4　带电粒子在电场中的类抛体运动
1.解决带电粒子(或带电体)在电场(或复合场)中的抛体运动
(1)将速度或力分解在相互垂直的方向，分别利用牛顿第二定律和运动学公式求解。
(2)涉及动能问题时常用动能定理解决，带电粒子偏转时静电力做功，W=qEy(y为偏转量)。
2.对于带电粒子在交变电场中的运动，需要进行分段研究，分析粒子在每段运动过程中的受力特点和运动性质。
带电粒子在电场中的类平抛运动
1.(2025·黑龙江哈尔滨市模拟)利用电场可以使带电粒子实现类似光学中的“折射”(即改变运动的方向)。如图所示，粒子从平行板电容器的上极板P点以v0的速率斜射入板间，速度方向与“法线”成α角，经电场“折射”后，从下极板Q点离开电场，离开时速度方向与“法线”成β角(β<α)。已知粒子质量为m，电荷量的大小为q，两板间电压U=，不计重力影响，忽略极板厚度，板间可视为匀强电场，则电场对粒子的“折射率”()为(　　)
A. B. C. D.
2.(2025·重庆卷·5)某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b(　　)
A.具有不同比荷
B.电势能均随时间逐渐增大
C.到达M、N的速度大小相等
D.到达K所用时间之比为1∶2
3.(2025·山西省部分学校联考)如图所示，平行板电容器两极板与电源、开关构成回路，先闭合开关，稳定后断开，一带电粒子从上极板左边缘射入后恰好从下极板右边缘射出，粒子重力不计，下列措施能使粒子打在下极板正中间的是(　　)
A.仅将下极板上移，使板间距离变成原来的一半
B.仅使粒子的电荷量加倍
C.仅将带电粒子的初速度大小减半
D.仅改变带电粒子入射点的位置，使其从两极板正中间平行于两极板射入
4.(2025·江苏连云港市模拟)如图所示，在真空中，极板P、Q和收集板K竖直正对放置且它们的下边缘与极板N在同一水平面上，极板M在N的正上方，极板P、Q、M、N和收集板K均为边长为L的正方形金属板，P、Q间距为L，K板与N板右侧间距为。在P与Q、M与N两端各加上不同的恒定电压，分别在板间形成匀强电场，极板外无电场。大量质量为m、电荷量为+q的粒子从极板P无初速度均匀(单位面积内粒子数相等)的进入P、Q间，Q板中间有一条竖直狭缝C，从狭缝通过的粒子刚进入M、N间时速度为v0。已知从狭缝的几何中心飞出的粒子恰好经过N板右侧边缘，不计带电粒子受到的重力及粒子间的相互作用。求：
(1)P、Q间的电场强度E的大小；
(2)M、N间的电压U；
(3)打到收集板K上的粒子数量占从狭缝飞出的粒子总数的百分比。
带电粒子在电场中的类斜抛运动
5.(多选)(2023·湖北卷·10)一带正电微粒从静止开始经电压U1加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为U2。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为45°，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为2L和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是(　　)
A.L∶d=2∶1
B.U1∶U2=1∶1
C.微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D.仅改变微粒的质量或者电荷量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
6.(2025·江苏卷·13)如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度v0射出，速度方向与水平方向夹角均为θ。已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求：
(1)a运动到最高点的时间t；
(2)a到达最高点时，a、b间的距离H。
带电粒子在交变电场中的运动
7.(2025·甘肃卷·7)离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如图甲所示。从离子源S释放的正离子(初速度视为零)经电压为U1的电场加速后，沿OO'方向射入电压为U2的电场(OO'为平行于两极板的中轴线)。极板长度为l、间距为d，U2-t关系如图乙所示。长度为a的样品垂直放置在距U2极板L处，样品中心位于O'点。假设单个离子在通过U2区域的极短时间内，电压U2可视为不变，当U2=±Um时。离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.U2的最大值Um=U1
B.当U2=±Um且L=时，离子恰好能打到样品边缘
C.若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大U1
D.在t1和t2时刻射入U2的离子，有可能分别打在A和B点
8.(2025·江苏泰州市模拟)如图甲所示，在坐标系xOy中，α射线管由平行于x轴的金属板A、B和平行于金属板的细管C组成。细管C到两金属板距离相等，右侧的开口在y轴上。放射源P在A板左端，可以沿特定方向发射某一初速度的α粒子。若金属板长为L、间距为d，当A、B板间加上某一电压时，α粒子恰好以速度v0从细管C水平射出，进入位于第Ⅰ象限的静电分析器中。静电分析器中存在如图甲所示的辐向电场，电场线沿半径方向，指向与坐标系原点重合的圆心O。α粒子在该电场中恰好做半径为r的匀速圆周运动，轨迹上的电场强度大小处处相等为E0(E0未知)。t=0时刻α粒子垂直x轴进入第Ⅳ象限的交变电场中，交变电场的电场强度大小也为E0，方向随时间的变化关系如图乙所示(T已知)，规定沿x轴正方向为电场的正方向。已知α粒子的电荷量为2e(e为元电荷)、质量为m，重力不计。求：
(1)α粒子在静电分析器中运动轨迹上电场强度大小E0；
(2)α粒子从放射源P发射时的初速度vP大小；
(3)在t=2T时刻，α粒子的位置坐标。微专题4　带电粒子在电场中的类抛体运动
1.解决带电粒子(或带电体)在电场(或复合场)中的抛体运动
(1)将速度或力分解在相互垂直的方向，分别利用牛顿第二定律和运动学公式求解。
(2)涉及动能问题时常用动能定理解决，带电粒子偏转时静电力做功，W=qEy(y为偏转量)。
2.对于带电粒子在交变电场中的运动，需要进行分段研究，分析粒子在每段运动过程中的受力特点和运动性质。
带电粒子在电场中的类平抛运动
1.(2025·黑龙江哈尔滨市模拟)利用电场可以使带电粒子实现类似光学中的“折射”(即改变运动的方向)。如图所示，粒子从平行板电容器的上极板P点以v0的速率斜射入板间，速度方向与“法线”成α角，经电场“折射”后，从下极板Q点离开电场，离开时速度方向与“法线”成β角(β<α)。已知粒子质量为m，电荷量的大小为q，两板间电压U=，不计重力影响，忽略极板厚度，板间可视为匀强电场，则电场对粒子的“折射率”()为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设粒子离开电场的速率为v，电场沿竖直方向，则粒子在水平方向的速度不变，有v0sin α=vsin β，竖直方向根据动能定理有qU=mv2-m，解得=，故选D。
2.(2025·重庆卷·5)某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b(　　)
A.具有不同比荷
B.电势能均随时间逐渐增大
C.到达M、N的速度大小相等
D.到达K所用时间之比为1∶2
答案　D
解析　根据题意可知，带电粒子在电场中做类平抛运动，带电粒子a、b分别从Q点和O点同时进入电场，沿题图中所示轨迹同时到达M、N点，可知，运动时间相等，由题图可知，沿初速度方向位移之比为2∶1，则初速度之比为2∶1，带电粒子a、b到达K的水平位移相等，由于带电粒子a、b初速度之比为2∶1，则所用时间之比为1∶2，故D正确；沿电场方向的位移大小相等，由y=at2可知，粒子运动的加速度大小相等，由牛顿第二定律有qE=ma，可得=，可知带电粒子具有相同比荷，故A错误；带电粒子运动过程中，静电力均做正功，电势能均随时间逐渐减小，故B错误；沿电场方向，由公式vy=at可知，到达M、N的竖直分速度大小相等，由于初速度之比为2∶1，则a、b到达M、N的速度大小不相等，故C错误。
3.(2025·山西省部分学校联考)如图所示，平行板电容器两极板与电源、开关构成回路，先闭合开关，稳定后断开，一带电粒子从上极板左边缘射入后恰好从下极板右边缘射出，粒子重力不计，下列措施能使粒子打在下极板正中间的是(　　)
A.仅将下极板上移，使板间距离变成原来的一半
B.仅使粒子的电荷量加倍
C.仅将带电粒子的初速度大小减半
D.仅改变带电粒子入射点的位置，使其从两极板正中间平行于两极板射入
答案　C
解析　由C=，C=，E=，可得E=，若仅将下极板上移，使板间距离变成原来的一半，由于电容器电荷量不变，则电场强度不变，加速度不变，由y=at2可知，偏转量变成一半，则时间变成原来的，由x=v0t，可知水平位移为原来的，不能使粒子打在下极板正中间，故A错误；若粒子的电荷量加倍，则加速度为a=，变为原来的两倍，由y=at2可知，时间变成原来的，则水平位移为原来的，不能使粒子打在下极板正中间，故B错误；仅将带电粒子的初速度大小减半，由y=at2，可知时间不变，则水平位移为原来的一半，故C正确；仅改变带电粒子入射点的位置，使其从两极板正中间平行于两极板射入，由y=at2可知，偏转量变成原来的一半，则时间变成原来的，水平位移为原来的，不能使粒子打在下极板正中间，故D错误。
4.(2025·江苏连云港市模拟)如图所示，在真空中，极板P、Q和收集板K竖直正对放置且它们的下边缘与极板N在同一水平面上，极板M在N的正上方，极板P、Q、M、N和收集板K均为边长为L的正方形金属板，P、Q间距为L，K板与N板右侧间距为。在P与Q、M与N两端各加上不同的恒定电压，分别在板间形成匀强电场，极板外无电场。大量质量为m、电荷量为+q的粒子从极板P无初速度均匀(单位面积内粒子数相等)的进入P、Q间，Q板中间有一条竖直狭缝C，从狭缝通过的粒子刚进入M、N间时速度为v0。已知从狭缝的几何中心飞出的粒子恰好经过N板右侧边缘，不计带电粒子受到的重力及粒子间的相互作用。求：
(1)P、Q间的电场强度E的大小；
(2)M、N间的电压U；
(3)打到收集板K上的粒子数量占从狭缝飞出的粒子总数的百分比。
答案　(1)　(2)　(3)25%
解析　(1)粒子从P到Q根据动能定理有EqL=m
解得E=
(2)从狭缝的几何中心飞出的粒子进入M、N板间做类平抛运动，在水平方向，有L=v0t
在竖直方向做匀变速直线运动，有=at2
根据牛顿第二定律，有qE'=q=ma
联立解得U=
(3)由(2)知，粒子在M、N板间电场中的偏移量y始终为，则粒子离开电场时速度偏向角的正切值为tan θ=2×=1，若某粒子恰好经过K板下边缘，如图所示
由几何关系可知粒子离开电场时距N板的距离为y1=
因粒子均匀进入电场，所以能打到极板K上的粒子数n与总粒子数的比值为==
所以能打到K极板上的粒子数占从狭缝飞出的总粒子数的25%。
带电粒子在电场中的类斜抛运动
5.(多选)(2023·湖北卷·10)一带正电微粒从静止开始经电压U1加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为U2。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为45°，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为2L和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是(　　)
A.L∶d=2∶1
B.U1∶U2=1∶1
C.微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D.仅改变微粒的质量或者电荷量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
答案　BD
解析　微粒在电容器中水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀变速直线运动，根据电场强度与电势差及静电力的关系可得E=，F=qE=ma，设微粒射入电容器时的速度为v0，水平方向和竖直方向的分速度vx=v0cos 45°=v0，vy=v0sin 45°=v0，从射入到运动到最高点由运动学公式得=2ad，微粒加速射入电容器前，由动能定理可得qU1=m，联立解得U1∶U2=1∶1，B正确；微粒从射入到运动到最高点有2L=vxt，d=·t，联立可得L∶d=1∶1，A错误；微粒从最高点到穿出电容器时由运动学知识可得L=vxt1，vy1=at1，微粒从射入电容器到最高点有vy=at，解得vy1=，设微粒穿出电容器时速度与水平方向的夹角为α，则tan α==，设微粒射入电容器时速度和水平方向的夹角为β，tan(α+β)=3，C错误；以竖直向上为正方向，微粒射入电容器中水平方向的位移为x=vxt，竖直方向的位移为y=vyt-at2，结合a=，vx=vy=可得y=x-，可知微粒运动轨迹的方程与电荷量和质量无关，即仅改变微粒的质量或者电荷量，微粒在电容器中的运动轨迹不会变化，D正确。
6.(2025·江苏卷·13)如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度v0射出，速度方向与水平方向夹角均为θ。已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求：
(1)a运动到最高点的时间t；
(2)a到达最高点时，a、b间的距离H。
答案　(1)　(2)
解析　(1)对粒子a根据牛顿第二定律有qE=ma
a运动到最高点时，在竖直方向有v0sin θ=at
联立解得t=
(2)方法一　根据题意可知，两粒子均在水平方向上做匀速直线运动，且水平方向上的初速度均为v0cos θ，则两粒子一直在同一竖直线上，a到达最高点时，a粒子竖直方向上运动的位移为
x1==
b粒子竖直方向上运动位移为
x2=v0tsin θ+at2=
则粒子a到达最高点时与粒子b之间的距离
H=x1+x2=
方法二　两粒子均受到相同静电力，以粒子a为参考系，则粒子b以2v0sin θ的速度向下做匀速直线运动，a到达最高点时，a、b间的距离
H=2v0sin θ·t=。
带电粒子在交变电场中的运动
7.(2025·甘肃卷·7)离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如图甲所示。从离子源S释放的正离子(初速度视为零)经电压为U1的电场加速后，沿OO'方向射入电压为U2的电场(OO'为平行于两极板的中轴线)。极板长度为l、间距为d，U2-t关系如图乙所示。长度为a的样品垂直放置在距U2极板L处，样品中心位于O'点。假设单个离子在通过U2区域的极短时间内，电压U2可视为不变，当U2=±Um时。离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.U2的最大值Um=U1
B.当U2=±Um且L=时，离子恰好能打到样品边缘
C.若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大U1
D.在t1和t2时刻射入U2的离子，有可能分别打在A和B点
答案　B
解析　离子在加速电场中被加速时U1q=m，在偏转电场中做类平抛运动，则l=v0t，=·t2，解得Um=U1，选项A错误；当U2=±Um时离子从两极板的边缘射出，恰能打到样品边缘时，根据几何关系，则=，解得L=，选项B正确；根据y=·t2=，若其他条件不变，增大U1，则y变小，样品的辐照范围变小，选项C错误；由题图可知两极板间在t1时刻所加的电压小于在t2时刻所加的电压，则t1时刻射入的离子打到A点时的竖直位移应小于t2时刻射入的离子打到B点时的竖直位移，则选项D错误。
8.(2025·江苏泰州市模拟)如图甲所示，在坐标系xOy中，α射线管由平行于x轴的金属板A、B和平行于金属板的细管C组成。细管C到两金属板距离相等，右侧的开口在y轴上。放射源P在A板左端，可以沿特定方向发射某一初速度的α粒子。若金属板长为L、间距为d，当A、B板间加上某一电压时，α粒子恰好以速度v0从细管C水平射出，进入位于第Ⅰ象限的静电分析器中。静电分析器中存在如图甲所示的辐向电场，电场线沿半径方向，指向与坐标系原点重合的圆心O。α粒子在该电场中恰好做半径为r的匀速圆周运动，轨迹上的电场强度大小处处相等为E0(E0未知)。t=0时刻α粒子垂直x轴进入第Ⅳ象限的交变电场中，交变电场的电场强度大小也为E0，方向随时间的变化关系如图乙所示(T已知)，规定沿x轴正方向为电场的正方向。已知α粒子的电荷量为2e(e为元电荷)、质量为m，重力不计。求：
(1)α粒子在静电分析器中运动轨迹上电场强度大小E0；
(2)α粒子从放射源P发射时的初速度vP大小；
(3)在t=2T时刻，α粒子的位置坐标。
答案　(1)　(2)v0　(3)(r+，-2v0T)
解析　(1)α粒子在静电分析器中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有2eE0=m，解得E0=
(2)由题意可知，α粒子在平行金属板中的逆运动为类平抛运动，水平方向有L=v0t
竖直方向有=at2
在P点vP垂直于极板方向的分量大小为vPy=at，联立有=，则vPy=v0，因为vP=，解得vP=v0
(3)t=时，α粒子在x轴方向的速度
vx=a'·=·，t=T时，α粒子在x轴方向速度为0，
所以一个周期内，α粒子在x轴方向的平均速度==
每个周期内α粒子沿x轴正方向前进的距离
x0=T=
所以t=2T时，α粒子的横坐标为
x=r+2x0=r+=r+
α粒子的纵坐标为y=-v0·2T
综上所述，在t=2T时，α粒子的坐标为(r+，-2v0T)。

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