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微专题5　圆周运动　天体运动
圆周运动的动力学问题
考向1　水平面内圆周运动的动力学问题
1.(多选)(2025·广东卷·8)将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为0.4 m，小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°，小球质量为0.1 kg，重力加速度g取10 m/s2。关于该小球，下列说法正确的有(　　)
A.角速度为5 rad/s
B.线速度大小为4 m/s
C.向心加速度大小为10 m/s2
D.所受支持力大小为1 N
答案　AC
解析　对小球受力分析可知F向=mgtan 45°=mω2R，解得ω=5 rad/s，故A正确；线速度大小为v=ωR=2 m/s，故B错误；向心加速度大小为a向=ω2R=10 m/s2，故C正确；所受支持力大小为FN== N，故D错误。
2.(2025·安徽宿州市期末)如图为竖直转轴过圆心O的水平圆盘，水平轻质弹簧一端固定在O点，另一端连接一质量为m的小物块。圆盘静止时物块恰好在P点静止，此时弹簧的伸长量为L。已知弹簧的劲度系数为k，原长为L，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，圆盘的角速度ω由0缓慢增大至小物块相对圆盘滑动的过程中(　　)
A.弹簧的弹力一直增大
B.圆盘对小物块的摩擦力逐渐减小
C.当ω=时，小物块恰好不受摩擦力
D.当ω=时，小物块相对圆盘恰好开始滑动
答案　D
解析　角速度较小时，根据牛顿第二定律可得kL-Ff=mω2·2L，当圆盘的角速度ω由0缓慢增大至小物块相对圆盘滑动的过程中，弹簧伸长量不变，弹力不变，摩擦力先减小后反向增大，故A、B错误；小物块恰好不受摩擦力时，有kL=mω2·2L，所以ω=，故C错误；小物块相对圆盘恰好开始滑动时，有kL+Ff=mω2·2L，由题意知kL=Ff，联立可得ω=，故D正确。
1.水平面内圆周运动的分析思路
2.水平面内的圆周运动的“临界”分析
(1)绳的临界：张力FT=0。
(2)接触面滑动临界：F=。
(3)接触面分离临界：FN=0。
3.(2024·江西卷·14)雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图(a)、(b)所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅(视为质点)。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
(1)在图(a)中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值。
(2)将圆盘升高，如图(b)所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。
答案　(1)　(2)
解析　(1)设转椅做匀速圆周运动时轻绳拉力为FT，转椅质量为m，受力分析可知轻绳拉力沿切线方向的分量与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡，沿径向方向的分量提供转椅做圆周运动的向心力，故可得
FTcos α=mr1，μmg=FTsin α
联立解得tan α=
(2)设此时轻绳拉力为FT'，沿A1B方向和垂直A1B方向竖直向上的分力分别为FT1=FT'sin θ，FT2=FT'cos θ
对转椅根据牛顿第二定律得FT1cos β=mr2
沿切线方向根据平衡条件有FT1sin β=Ff=μFN
竖直方向根据平衡条件有FN+FT2=mg
联立解得ω2=。
圆锥摆模型
1.如图所示，向心力F向=mgtan θ=m=mω2r，且r=Lsin θ，联立解得
v=，
ω=。
2.稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F=和运动所需的向心力也越大。
考向2　竖直面内圆周运动的动力学问题
4.(2025·山东卷·4)某同学用不可伸长的细线系一个质量为0.1 kg的发光小球，让小球在竖直面内绕一固定点做半径为0.6 m的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为 s。由于小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径的圆弧形径迹，重力加速度g取10 m/s2。根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小为(　　)
A.11 N B.9 N C.7 N D.5 N
答案　C
解析　根据题意可知在曝光时间内小球运动的弧长为Δl=r=×0.6 m=0.12 m，可得线速度v== m/s=6 m/s，在最低点根据牛顿第二定律有FT-mg=m，代入数据解得FT=7 N。
5.(2025·湖南长沙市一模)如图，在竖直平面内，轻杆一端通过转轴连接在O点，另一端固定一质量为m的小球。小球从A点由静止开始摆下，先后经过B、C两点，A、C点分别位于O点的正上方和正下方，B点与O点等高，不考虑摩擦及空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A.小球在B点受到的合力大小为2mg
B.小球在C点受到的合力大小为2mg
C.从A到C的过程，杆对小球的弹力最大值为5mg
D.从A到C的过程，杆对小球的弹力最小值为4mg
答案　C
解析　从A到B根据动能定理，有mgR=m，小球运动到位置B时，竖直方向有Fy=mg，水平方向有Fx=m，所以小球在B点受到的合力大小为F合==mg，故A错误；从A到C根据动能定理，有mg×2R=m，在C点根据牛顿第二定律，有F=m，解得F=4mg，此时杆的弹力最大，则有F弹-mg=m，解得F弹=5mg，故B错误，C正确；从A运动到C的过程中，在A点杆对球的力沿杆向外，B点杆对球的力沿杆向内，AB某处，杆对球的弹力最小为零，故D错误。
6.(多选)(2024·广东湛江市二模)某马戏团上演的飞车节目如图所示，在竖直平面内有半径为R的固定圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，重力加速度大小为g，摩托车以的速度通过圆轨道的最高点B。关闭摩托车的动力，不计摩擦，忽略空气阻力，人和摩托车整体可视为质点，下列说法正确的是(　　)
A.摩托车经过B点时对轨道的压力大小为2mg
B.摩托车经过A点时的速度大小为
C.摩托车从B点到A点的过程中，重力的功率先增大后减小
D.摩托车从B点到A点的过程中，先超重后失重
答案　BC
解析　由题意可知，摩托车在B点时，有FB+mg=m，解得FB=mg，由牛顿第三定律可知，摩托车经过B点时对轨道的压力大小为mg，选项A错误；摩托车从B点到A点的过程中，由机械能守恒定律有2mgR+m=m，其中vB=，解得vA=，选项B正确；摩托车从B点到A点的过程中，竖直速度vy先增大后减小，重力的功率P=mgvy，重力的功率先增大后减小，选项C正确；摩托车从B点到A点的过程中，加速度竖直分量先向下后向上，即先失重后超重，选项D错误。
带电粒子在等效重力场中的圆周运动
7.(2024·河北卷·13)如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q(q>0)、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
(1)电场强度E的大小。
(2)小球在A、B两点的速度大小。
答案　(1)　(2)　
解析　(1)由匀强电场中电势差与电场强度的关系，电场强度E=
(2)在A点细线对小球的拉力为0，
根据牛顿第二定律得Eq-mg=m
A到B过程根据动能定理得
qU-mgL=m-m
联立解得vA=，
vB=。
8.(多选)(2025·广东广州市期末)风洞实验通过产生人工控制的气流模拟飞行器在气流中的运动过程。如图所示为某次实验示意图，固定在竖直面内的光滑圆弧轨道ACD与粗糙水平面平滑相切于A点，O为圆弧轨道的圆心。将质量为m的滑块(可视为质点)从水平地面上的E点由静止释放，整个装置处在水平向右的风场中，滑块始终受到恒定风力作用。已知圆弧轨道的半径为R，滑块与水平地面间的动摩擦因数μ=0.25，且滑块恰好能在圆弧轨道上的B点处保持静止，OB与竖直方向的夹角θ=37°，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，重力加速度g取10 m/s2。设A、E两点间的距离为l，下列说法正确的是(　　)
A.滑块受到的风力大小为mg
B.若滑块能通过圆弧轨道的最高点C，则l≥5R
C.当l≥R时，滑块运动到D点之前一定不会脱离圆弧轨道
D.当l<5R时，滑块运动到D点之前一定会脱离圆弧轨道
答案　BC
解析　对静止在B处的滑块进行受力分析，滑块受到的风力大小F风=mgtan θ=mg，故A错误；若滑块恰能通过圆弧轨道最高点C，满足F风l-μmgl=2mgR+mv2，又mg=m，解得l=5R，则滑块能通过C点条件为l≥5R，故B正确；风力与重力的等效合力F==mg，方向与竖直方向成θ角斜向右下方，滑块到D点之前恰好不脱离圆弧轨道时，满足F风l-0.25mgl-F(R+Rcos θ)=mv'2，又F=m，解得l=R，当l≥R时，滑块运动到D点之前一定不会脱离圆弧轨道，故C正确；当l较小时，滑块可能会返回，不一定脱离圆弧轨道，故D错误。
物体在重力和其他恒力叠加下的圆周运动：
(1)先求出等效重力加速度：作出重力与其他恒力的合力F合，将这个合力视为一个等效重力，则等效重力加速度g'=。
(2)找等效最高点和等效最低点：在“等效重力场”中做圆周运动的带电体，过圆心作合力的平行线，交于圆周上的两点即为等效最高点和等效最低点。
万有引力与航天
考向1　开普勒行星运动定律与万有引力定律
9.(2025·湖北卷·2)甲、乙两行星绕某恒星做匀速圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是(　　)
A.甲运动的周期比乙的小
B.甲运动的线速度比乙的小
C.甲运动的角速度比乙的小
D.甲运动的向心加速度比乙的小
答案　A
解析　恒星对行星的万有引力提供行星做匀速圆周运动所需的向心力，可知G=m
=mω2r=mr=ma，解得T=2π，v=，ω=，a=，因r甲v乙，ω甲>ω乙，a甲>a乙，故选A。
10.(2025·云南卷·5)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳公转的轨道半径如下表所示。忽略其它行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于(　　)
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A.金星与地球的公转轨道之间
B.地球与火星的公转轨道之间
C.火星与木星的公转轨道之间
D.天王星与海王星的公转轨道之间
答案　C
解析　根据开普勒第三定律可知=，其中r地=1 AU，T地=1年，T行=5.8年，≈=，27<36<64，则3 AU11.(2025·山东卷·6)轨道舱与返回舱的组合体，绕质量为M的行星做半径为r的圆周运动，轨道舱与返回舱的质量比为5∶1。如图所示，轨道舱在P点沿运动方向向前弹射返回舱，分开瞬间返回舱相对行星的速度大小为2，G为引力常量，此时轨道舱相对行星的速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　轨道舱与返回舱的质量比为5∶1，设返回舱的质量为m，则轨道舱的质量为5m，总质量为6m；根据题意组合体绕行星做圆周运动，根据万有引力定律有G=6m，可得做圆周运动的线速度为v=。设轨道舱与返回舱分离后的速度分别为v1、v2，弹射返回舱的过程中组合体动量守恒，由动量守恒定律得6mv=5mv1+mv2，代入v2=2解得v1=，故选C。
12.(2025·河北卷·7)随着我国航天事业飞速发展，人们畅想研制一种核聚变能源星际飞行器。从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均匀的球体，半径为R0，表面重力加速度为g0。质量为m的飞行器与星球中心距离为r时，引力势能为mg0-)(r≥R0)。要使飞行器在距星球表面高度为R0的轨道上做匀速圆周运动，则发射初速度为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　飞行器在轨道半径r=2R0处的机械能包括动能和势能。引力势能为Ep=mg0-)=mg0R0。根据万有引力提供向心力=m，在星球表面有=mg0，解得轨道速度满足v2=，对应动能Ek=mv2=mg0R0，机械能E总=mg0R0，根据机械能守恒有m=E总，解得v0=。故选B。
考向2　天体的“追及”问题
13.(2025·四川卷·6)某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，引力常量为G。则该卫星轨道半径为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　设卫星转动的周期为T'，根据题意可得，每隔卫星转过的圈数比地球自转多1圈，即-=1，其中t=，可得T'=，根据万有引力提供向心力G=mr，可得r=，代入T'=，可得r=，故选A。
在不同圆周轨道上绕同一天体运动的两个行星(或卫星)，某一时刻会出现三者排成一条直线的“行星冲日”现象。即天体(或卫星)的“追及”现象。此类问题的两种情形(ωA>ωB，以同向转动为例)：
(1)相距最近
两同心转动的卫星同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，相距最近。从相距最近到下一次相距最近，两卫星的运动关系满足：
(ωA-ωB)t=2π或-=1。
(2)相距最远
两同心转动的卫星同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，相距最远。从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA-ωB)t'=π或-=。
考向3　卫星的变轨问题
14.(多选)(2025·四川达州市检测)“嫦娥七号”计划2026年发射，将前往月球南极寻找水冰存在的证据。若“嫦娥七号”探测器由地面发射后，经地月转移轨道，在A点变轨后进入绕月圆形轨道Ⅰ，在B点变轨后进入环月椭圆轨道Ⅱ，轨道Ⅱ可视为与月面相切于C点。轨道Ⅰ的半径是月球半径的k倍，仅考虑月球的引力，下列说法正确的是(　　)
A.“嫦娥七号”在A点变轨时加速，在B点变轨时减速
B.“嫦娥七号”在A点变轨时减速，在B点变轨时加速
C.“嫦娥七号”从B点向C点运动过程中，速度和加速度均越来越大
D.“嫦娥七号”在轨道Ⅰ上的向心加速度是月球两极处重力加速度的
答案　CD
解析　“嫦娥七号”在A、B两点变轨时均由高轨道变轨到低轨道，可知在A、B两点均需要减速，故A、B错误；“嫦娥七号”从B点向C点运动过程中，离月球中心越来越近，引力越来越大，加速度越来越大，引力做正功，速度越来越大，故C正确；在月球两极处有G=mg月，解得g月=，由于轨道Ⅰ的半径是月球半径的k倍，根据万有引力提供向心力有=ma，解得a=，故“嫦娥七号”在轨道Ⅰ上的向心加速度是月球两极处重力加速度的，故D正确。
考向4　双星模型
15.(2025·浙江温州市三模)“食双星”是特殊的双星系统，由两颗亮度不同的恒星组成，它们在相互引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动，且轨道平面与观测者视线方向几乎平行。由于两颗恒星相互遮挡，造成观测者观察到双星的亮度L发生周期性变化，如图所示。若较亮的恒星和较暗的恒星轨道半径分别为r1和r2(r1和r2远小于该双星系统到观测者的距离)。下列说法正确的是(　　)
A.t2时刻，较亮的恒星遮挡住较暗的恒星
B.较亮的恒星与较暗的恒星的质量之比为
C.两颗恒星做匀速圆周运动的周期均为(t2-t1)
D.较亮的恒星与较暗的恒星的线速度大小之比为
答案　B
解析　由题意可知，t1时刻，较亮的恒星遮挡住较暗的恒星，t2时刻较暗的恒星遮挡住较亮的恒星，即t1~t2时间里，转了半圈，故周期为T=2(t2-t1)，故A、C错误；设较亮的恒星和较暗的恒星的质量分别为m1和m2，两恒星均由彼此间的万有引力提供向心力，故两颗恒星的向心力大小相等，有G=m1ω2r1=m2ω2r2，解得=，故B正确；设较亮的恒星和较暗的恒星的线速度大小分别为v1和v2，根据v=ωr，因为角速度相等，解得=，故D错误。
双星模型
双星模型中每颗星所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即=m1r1，=m2r2。
(1)两颗星的周期及角速度都相同，
即T1=T2，ω1=ω2。
(2)两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1+r2=L。
(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即=。
(4)双星的运动周期T=2π。
(5)双星的总质量m1+m2=。微专题5　圆周运动　天体运动
圆周运动的动力学问题
考向1　水平面内圆周运动的动力学问题
1.(多选)(2025·广东卷·8)将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为0.4 m，小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°，小球质量为0.1 kg，重力加速度g取10 m/s2。关于该小球，下列说法正确的有(　　)
A.角速度为5 rad/s
B.线速度大小为4 m/s
C.向心加速度大小为10 m/s2
D.所受支持力大小为1 N
2.(2025·安徽宿州市期末)如图为竖直转轴过圆心O的水平圆盘，水平轻质弹簧一端固定在O点，另一端连接一质量为m的小物块。圆盘静止时物块恰好在P点静止，此时弹簧的伸长量为L。已知弹簧的劲度系数为k，原长为L，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，圆盘的角速度ω由0缓慢增大至小物块相对圆盘滑动的过程中(　　)
A.弹簧的弹力一直增大
B.圆盘对小物块的摩擦力逐渐减小
C.当ω=时，小物块恰好不受摩擦力
D.当ω=时，小物块相对圆盘恰好开始滑动
1.水平面内圆周运动的分析思路
2.水平面内的圆周运动的“临界”分析
(1)绳的临界：张力FT=0。
(2)接触面滑动临界：F=。
(3)接触面分离临界：FN=0。
3.(2024·江西卷·14)雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图(a)、(b)所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅(视为质点)。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
(1)在图(a)中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值。
(2)将圆盘升高，如图(b)所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。
圆锥摆模型
1.如图所示，向心力F向=mgtan θ=m=mω2r，且r=Lsin θ，联立解得
v=，
ω=。
2.稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F=和运动所需的向心力也越大。
考向2　竖直面内圆周运动的动力学问题
4.(2025·山东卷·4)某同学用不可伸长的细线系一个质量为0.1 kg的发光小球，让小球在竖直面内绕一固定点做半径为0.6 m的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为 s。由于小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径的圆弧形径迹，重力加速度g取10 m/s2。根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小为(　　)
A.11 N B.9 N C.7 N D.5 N
5.(2025·湖南长沙市一模)如图，在竖直平面内，轻杆一端通过转轴连接在O点，另一端固定一质量为m的小球。小球从A点由静止开始摆下，先后经过B、C两点，A、C点分别位于O点的正上方和正下方，B点与O点等高，不考虑摩擦及空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A.小球在B点受到的合力大小为2mg
B.小球在C点受到的合力大小为2mg
C.从A到C的过程，杆对小球的弹力最大值为5mg
D.从A到C的过程，杆对小球的弹力最小值为4mg
6.(多选)(2024·广东湛江市二模)某马戏团上演的飞车节目如图所示，在竖直平面内有半径为R的固定圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，重力加速度大小为g，摩托车以的速度通过圆轨道的最高点B。关闭摩托车的动力，不计摩擦，忽略空气阻力，人和摩托车整体可视为质点，下列说法正确的是(　　)
A.摩托车经过B点时对轨道的压力大小为2mg
B.摩托车经过A点时的速度大小为
C.摩托车从B点到A点的过程中，重力的功率先增大后减小
D.摩托车从B点到A点的过程中，先超重后失重
带电粒子在等效重力场中的圆周运动
7.(2024·河北卷·13)如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q(q>0)、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
(1)电场强度E的大小。
(2)小球在A、B两点的速度大小。
8.(多选)(2025·广东广州市期末)风洞实验通过产生人工控制的气流模拟飞行器在气流中的运动过程。如图所示为某次实验示意图，固定在竖直面内的光滑圆弧轨道ACD与粗糙水平面平滑相切于A点，O为圆弧轨道的圆心。将质量为m的滑块(可视为质点)从水平地面上的E点由静止释放，整个装置处在水平向右的风场中，滑块始终受到恒定风力作用。已知圆弧轨道的半径为R，滑块与水平地面间的动摩擦因数μ=0.25，且滑块恰好能在圆弧轨道上的B点处保持静止，OB与竖直方向的夹角θ=37°，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，重力加速度g取10 m/s2。设A、E两点间的距离为l，下列说法正确的是(　　)
A.滑块受到的风力大小为mg
B.若滑块能通过圆弧轨道的最高点C，则l≥5R
C.当l≥R时，滑块运动到D点之前一定不会脱离圆弧轨道
D.当l<5R时，滑块运动到D点之前一定会脱离圆弧轨道
物体在重力和其他恒力叠加下的圆周运动：
(1)先求出等效重力加速度：作出重力与其他恒力的合力F合，将这个合力视为一个等效重力，则等效重力加速度g'=。
(2)找等效最高点和等效最低点：在“等效重力场”中做圆周运动的带电体，过圆心作合力的平行线，交于圆周上的两点即为等效最高点和等效最低点。
万有引力与航天
考向1　开普勒行星运动定律与万有引力定律
9.(2025·湖北卷·2)甲、乙两行星绕某恒星做匀速圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是(　　)
A.甲运动的周期比乙的小
B.甲运动的线速度比乙的小
C.甲运动的角速度比乙的小
D.甲运动的向心加速度比乙的小
10.(2025·云南卷·5)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳公转的轨道半径如下表所示。忽略其它行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于(　　)
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A.金星与地球的公转轨道之间
B.地球与火星的公转轨道之间
C.火星与木星的公转轨道之间
D.天王星与海王星的公转轨道之间
11.(2025·山东卷·6)轨道舱与返回舱的组合体，绕质量为M的行星做半径为r的圆周运动，轨道舱与返回舱的质量比为5∶1。如图所示，轨道舱在P点沿运动方向向前弹射返回舱，分开瞬间返回舱相对行星的速度大小为2，G为引力常量，此时轨道舱相对行星的速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
12.(2025·河北卷·7)随着我国航天事业飞速发展，人们畅想研制一种核聚变能源星际飞行器。从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均匀的球体，半径为R0，表面重力加速度为g0。质量为m的飞行器与星球中心距离为r时，引力势能为mg0-)(r≥R0)。要使飞行器在距星球表面高度为R0的轨道上做匀速圆周运动，则发射初速度为(　　)
A. B.
C. D.
考向2　天体的“追及”问题
13.(2025·四川卷·6)某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，引力常量为G。则该卫星轨道半径为(　　)
A. B.
C. D.
在不同圆周轨道上绕同一天体运动的两个行星(或卫星)，某一时刻会出现三者排成一条直线的“行星冲日”现象。即天体(或卫星)的“追及”现象。此类问题的两种情形(ωA>ωB，以同向转动为例)：
(1)相距最近
两同心转动的卫星同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，相距最近。从相距最近到下一次相距最近，两卫星的运动关系满足：
(ωA-ωB)t=2π或-=1。
(2)相距最远
两同心转动的卫星同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，相距最远。从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA-ωB)t'=π或-=。
考向3　卫星的变轨问题
14.(多选)(2025·四川达州市检测)“嫦娥七号”计划2026年发射，将前往月球南极寻找水冰存在的证据。若“嫦娥七号”探测器由地面发射后，经地月转移轨道，在A点变轨后进入绕月圆形轨道Ⅰ，在B点变轨后进入环月椭圆轨道Ⅱ，轨道Ⅱ可视为与月面相切于C点。轨道Ⅰ的半径是月球半径的k倍，仅考虑月球的引力，下列说法正确的是(　　)
A.“嫦娥七号”在A点变轨时加速，在B点变轨时减速
B.“嫦娥七号”在A点变轨时减速，在B点变轨时加速
C.“嫦娥七号”从B点向C点运动过程中，速度和加速度均越来越大
D.“嫦娥七号”在轨道Ⅰ上的向心加速度是月球两极处重力加速度的
考向4　双星模型
15.(2025·浙江温州市三模)“食双星”是特殊的双星系统，由两颗亮度不同的恒星组成，它们在相互引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动，且轨道平面与观测者视线方向几乎平行。由于两颗恒星相互遮挡，造成观测者观察到双星的亮度L发生周期性变化，如图所示。若较亮的恒星和较暗的恒星轨道半径分别为r1和r2(r1和r2远小于该双星系统到观测者的距离)。下列说法正确的是(　　)
A.t2时刻，较亮的恒星遮挡住较暗的恒星
B.较亮的恒星与较暗的恒星的质量之比为
C.两颗恒星做匀速圆周运动的周期均为(t2-t1)
D.较亮的恒星与较暗的恒星的线速度大小之比为
双星模型
双星模型中每颗星所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即=m1r1，=m2r2。
(1)两颗星的周期及角速度都相同，
即T1=T2，ω1=ω2。
(2)两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1+r2=L。
(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即=。
(4)双星的运动周期T=2π。
(5)双星的总质量m1+m2=。

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