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微专题6　带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
一、有界匀强磁场中临界问题解题方法
1.动态放缩法
(1)适用条件：速度方向一定、大小不同
(2)特点：
①粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度大小的变化而变化。
②轨迹圆圆心共线
如图甲所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，轨迹半径也越大，可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线CO上。
(3)界定方法
以入射点O为定点，圆心位于直线CO上，将半径放缩并作出轨迹，从而探索出临界条件。
2.定圆旋转法
(1)适用条件：速度大小一定、方向不同
(2)特点：
①粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若粒子入射初速度为v0，由qv0B=得做圆周运动的半径R=。
②轨迹圆圆心共圆
如图乙所示(图中只画出粒子带正电的情景)，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O为圆心、半径R=的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”)上。
(3)界定方法：
将半径为R=的圆的圆心沿着“轨迹圆心圆”移动，从而探索出临界条件，这种方法称为“定圆旋转法”。
二、磁聚焦与磁发散
1.带电粒子的会聚
如图丙所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，不计粒子的重力，如果粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等(R=r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。
2.带电粒子的发散
如图丁所示，有界圆形匀强磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等(R=r)，则所有粒子射出磁场的方向平行。
三、带电粒子在磁场中运动的多解问题成因
1.磁场方向不确定；
2.带电粒子电性不确定；
3.速度不确定；
4.运动的周期性。
带电粒子在匀强磁场中的运动
1.(2025·云南卷·14)磁屏蔽技术可以降低外界磁场对屏蔽区域的干扰。如图所示，x≥0区域存在垂直Oxy平面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为B1(未知)。第一象限内存在边长为2L的正方形磁屏蔽区ONPQ，经磁屏蔽后，该区域内的匀强磁场方向仍垂直Oxy平面向里，其磁感应强度大小为B2(未知)，但满足00)的带电粒子通过速度选择器后，在Oxy平面内垂直y轴射入x≥0区域，经磁场偏转后刚好从ON中点垂直ON射入磁屏蔽区域。速度选择器两极板间电压U、间距d、内部磁感应强度大小B0均已知，不考虑该粒子的重力。
(1)求该粒子通过速度选择器的速率；
(2)求B1以及y轴上可能检测到该粒子的范围；
(3)定义磁屏蔽效率η=×100%，若在Q处检测到该粒子，则η是多少？
答案　(1)　(2)　L解析　(1)由于该粒子在速度选择器中做匀速直线运动，故qE=qv0B0，其中E=，则该粒子通过速度选择器的速率为v0=
(2)粒子垂直y轴射入x≥0区域，做匀速圆周运动，从ON的中点垂直ON射入磁屏蔽区域，由几何关系可知r1=L
由洛伦兹力提供向心力，知qv0B1=m
联立解得B1=
在磁屏蔽区，粒子所受洛伦兹力提供向心力qv0B2=m
由于B2L
当B2=0时粒子进入磁屏蔽区向上做匀速直线运动，离开磁屏蔽区后根据左手定则，粒子向左偏转，如图甲所示
根据洛伦兹力提供向心力qv0B1=m
解得r3=r1=L，此时粒子打在y轴3L处，因0(3)若在Q处检测到该粒子，粒子轨迹如图乙所示，半径为r
由几何关系可知
r2=(2L)2+(r-L)2
解得r=L
洛伦兹力提供向心力
qv0B2=m
联立解得B2=
因B1=，知若在Q处检测到该粒子，
磁屏蔽效率η=×100%=60%。
带电粒子在有界匀强磁场中的运动
2.(2025·新课标卷·18)如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点a以速度v0射入磁场，速度方向垂直于ab。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从ab边的中点、b点和c点射出，在磁场中运动的时间分别为t1、t2和t3，则(　　)
A.t1C.t1=t2>t3 D.t1>t2>t3
答案　A
解析　由于带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，则电子在磁场中运动的时间为t=，设正方形abcd的边长为l，则s1=π·，s2=π·，s3=·l，则有t13.(2025·江西南昌市期末)如图所示，一个α粒子(不计重力)从x轴上的P点以速度v1沿与x轴成θ=60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于y轴从A点射出第一象限。一个质子(不计重力)从坐标原点O以速度v2沿与x轴成θ=60°的方向射入第一象限，也恰好从A点射出第一象限。则v1∶v2等于(　　)
A.3∶1 B.1∶3 C.4∶1 D.1∶4
答案　B
解析　粒子和质子运动轨迹如图所示，根据几何关系可知α粒子He)运动的半径为r1+r1sin 30°=OA
质子H)运动的半径为r2=OA
根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m
解得=，故选B。
4.(2025·云南省模拟)如图所示，圆形磁场区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，O为磁场区域圆心，完全相同的两个带正电的粒子a、b先后从A点沿AO方向射入磁场，粒子a从M点射出磁场，粒子b从N点射出磁场，∠AOM=90°，∠AON=120°，不计粒子重力和两粒子之间的相互作用，则两粒子在磁场中运动的过程中，洛伦兹力对a、b的冲量大小之比为(　　)
A.1 B. C. D.
答案　D
解析　设圆形磁场区域半径为R，根据几何关系可得，粒子a在磁场中运动的半径为R，
根据qvaB=m
可得mva=qBR
根据几何关系可得，粒子b在磁场中运动的半径为R，根据qvbB=m
可得mvb=qBR
作出矢量图如图所示
可得Δpa=qBR，Δpb=qBR
所以=，故选D。
5.(多选)(2025·福建龙岩市一模)如图所示，一个半径为R的圆形区域内分布磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一粒子源从圆上的A点向各个方向不停地发射出相同速率的带负电粒子，粒子的质量均为m、所带电荷量均为q、运动的半径均为r，粒子重力及粒子间的相互作用忽略不计。下列说法正确的是(　　)
A.若r=2R，则粒子在磁场中运动的最长时间为
B.若r=2R，则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是半个圆周
C.若r=R，则粒子在磁场中运动的最长时间为
D.若r=R，则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一个圆周
答案　AD
解析　若r=2R，根据几何关系可知，粒子沿不同方向射入磁场，会从磁场圆的不同位置出射，范围是整个圆周；其中粒子在磁场中运动的时间最长时，运动轨迹的弦是磁场区域的直径，作出轨迹如图甲所示，则圆心角α=60°，粒子在磁场中运动的最长时间为tmax=T=×=，故A正确，B错误；
若r=R，粒子在磁场圆的出射点都在AP之间，如图乙所示，由几何关系可知，AP弧长对应的圆心角为60°，所以粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一个圆周，在磁场中运动时间最长的粒子正好转过了一周，时间为tmax=T=，故C错误，D正确。
圆形磁场内“旋转圆”模型出现的极值情况：
此类问题的几何模型为两个圆(轨迹圆、磁场圆)的相对关系，两圆相交有公共弦，当公共弦为小圆的直径时出现极值。
若磁场圆为小圆：公共弦为磁场圆的直径时出现极值；若磁场圆为大圆：公共弦为轨迹圆的直径时出现极值。
6.(多选)(2025·四川卷·10)如图所示，Ⅰ区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与Ⅰ区边界重合；正方形与圆形中心同为O点。Ⅰ区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4∶1。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场，一段时间后从a点离开。不计粒子重力，取sin 37°=0.6。则带电粒子(　　)
A.在Ⅰ区的轨迹圆心不在O点
B.在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1∶2
C.在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127∶37
D.在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比为127∶148
答案　AD
解析　根据题意，画出粒子运动轨迹，如图所示，由图可知，在Ⅰ区的轨迹圆心不在O点，故A正确；由洛伦兹力提供向心力qvB=m，可得r=，故在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之比为==，故B错误；设粒子在磁场Ⅱ区第一次偏转的圆心角为α，由几何关系有cos α==，可得α=37°，设粒子在磁场Ⅰ区转过圆心角为β，由几何关系知β=254°，故粒子在Ⅰ区运动的时间为t1=TⅠ=×，粒子在Ⅱ区运动的时间为t2=TⅡ=×，联立可得在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比为=，故D正确；粒子在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度分别为l1=×2πr1，l2=×2πr2，故在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度之比为=，故C错误。
分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动：
在找几何关系时要尤其注意带电粒子在匀强磁场中的“四点、六线、三角”。
(1)四点：入射点B、出射点C、轨迹圆心点A、入射速度直线与出射速度直线的交点O。
(2)六线：圆弧两端点所在的两条轨迹半径、入射速度直线OB、出射速度直线OC、入射点与出射点的连线BC、圆心与两条速度直线交点的连线OA。
(3)三角：速度偏转角∠COD、圆心角∠BAC、弦切角∠OBC，其中速度偏转角等于圆心角，也等于弦切角的两倍。
7.(多选)(2025·辽宁省多校联考)如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一束由相同带电粒子组成的粒子流，以相同的速度从左侧射入圆形区域内，所有粒子恰能全部会聚于圆周上的C点，C点在圆心O的正下方。已知磁场的磁感应强度大小为B，带电粒子的比荷为k，粒子流宽度为，该粒子流可整体上下移动，且入射方向及其宽度都不改变，并全部会聚于C点，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.带电粒子带正电
B.带电粒子的入射速度大小为kBR
C.该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为R2
D.该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为R2
答案　BD
解析　带电粒子向下偏转，由左手定则可知带电粒子带负电，故A错误；所有粒子恰能全部会聚于圆周上的C点，应满足粒子在磁场中运动轨迹的半径等于区域圆的半径，则有qvB=m，得v==kBR，故B正确；当粒子流按如图所示的方式入射时，所经过区域面积最小，Smin=2×(-R×)=R2，故C错误，D正确。
带电粒子在匀强磁场中的临界和多解问题
8.(多选)(2025·山西临汾市二模)如图所示，匀强磁场垂直于xOy平面(纸面)向外，磁场的右边界与x轴垂直，交x轴于P(L，0)点。其中第Ⅰ象限内的磁感应强度为B1，第Ⅳ象限内的磁感应强度为B2，且B2=2B1(大小均未知)。一质量为m、电荷量为+q的粒子从原点O以速度v进入第Ⅰ象限的磁场，方向与x轴成30°角，粒子从P点离开磁场区域，不计粒子重力，则第Ⅰ象限的磁感应强度B1的大小可能是(　　)
A. B. C. D.
答案　CD
解析　根据洛伦兹力提供向心力qvB=，可得r=，则在第Ⅰ象限内运动的半径为r1=，在第Ⅳ象限内运动的半径为r2==，设粒子最后从P点离开时在第Ⅰ象限运动n次，在第Ⅳ象限运动n-1次，根据几何关系有2n×r1cos 60°-2(n-1)×r2cos 60°=L，解得B1=((n=1，2，3…)，当B1=时，n不为整数，故A错误；当B1=时，n=0，不符合取值范围，故B错误；当B1=时，n=1，故C正确；当B1=时，n=3，故D正确。
带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
1.多解根源是核心：周期性、方向不确定性(电性、磁场、速度)、几何多样性(相切、对称)，解题时时刻思考这三点是否在本题目中起作用。
2.画图是灵魂：不会画图或画图不全，是解不出或漏解的主要原因。务必勤练画图能力。
3.几何是桥梁：物理问题最终转化为几何问题求解。扎实的平面几何功底是必备的。
4.解题流程：审题→明确不确定因素→画轨迹→几何分析求r或θ →物理公式求解→整合所有解。
解决带电粒子在有界磁场中运动的多解问题，需牢记“原因明、图画全、几何清、公式准、答案全”十五字诀。
9.(多选)(2025·甘肃卷·10)2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置(BEST)在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为va=，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.外圆半径等于2R0
B.a粒子返回A点所用的最短时间为
C.b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为
D.c粒子的速度大小为va
答案　BD
解析　由题意，作出a粒子运动轨迹如图(a)所示，a粒子恰好到达磁场外边界后返回，a粒子运动的圆周正好与磁场外边界相切，然后沿内圆径向做匀速直线运动，再做匀速圆周运动恰好回到A点，根据a粒子的速度大小为va=，可得Ra=R0，设外圆半径等于R'，由几何关系得∠AO'B=90°，则R'=R0+R0，A错误；
a粒子做匀速圆周运动的周期T==，在磁场中运动的时间t1=T=，匀速直线运动的时间t2==，故a粒子返回A点所用的最短时间为tmin=t1+t2=，B正确；由题意，作出b、c粒子运动轨迹图，分别如图(b)、(c)所示
因为b、c粒子返回A点都是运动一个圆周，根据b、c带正电且比荷均为，所以两粒子做圆周运动周期相同，故所用的最短时间之比为1∶1，C错误；由几何关系得2Rc=R'-R0=R0，洛伦兹力提供向心力有qvcB=，联立解得vc=va，D正确。
10.(2025·陕晋青宁卷·14)电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图(a)所示，足够长圆柱形筒半径为R。在圆筒中央O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为v0的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图(b)所示，当磁感应强度大小调至B0时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求(R、v0、B0均为已知量)：
(1)电子的比荷；
(2)当磁感应强度大小调至B0时，筒壁上落有电子的区域面积S。
答案　(1)　(2)2π2R2
解析　(1)当磁场的磁感应强度为B0时，恰好没有电子落到筒壁上。
则以速度v0垂直轴线方向射出的电子，轨迹恰好与圆筒壁相切，轨迹半径R0=
根据洛伦兹力提供向心力可得eB0v0=
联立解得=
(2)磁感应强度调整为后，当电子速度与磁场不垂直时，将电子速度沿垂直轴线和平行轴线方向进行分解，分别设vx、vy，电子将在垂直轴线方向上做匀速圆周运动，平行轴线方向上做匀速直线运动，电子击中筒壁距离电子源的最远点时，其垂直轴线方向的圆周运动轨迹与筒壁相切，则轨迹半径仍为R0=
根据洛伦兹力提供向心力可得evx=
联立解得vx=
由射出到相切，经过半个周期，用时
t==×=×==
根据速度的合成与分解可知
vy==v0
平行轴线方向运动距离y=vyt=R
结合对称性，被电子击中的面积
S=2×2πRy=2π2R2。微专题6　带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
一、有界匀强磁场中临界问题解题方法
1.动态放缩法
(1)适用条件：速度方向一定、大小不同
(2)特点：
①粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度大小的变化而变化。
②轨迹圆圆心共线
如图甲所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，轨迹半径也越大，可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线CO上。
(3)界定方法
以入射点O为定点，圆心位于直线CO上，将半径放缩并作出轨迹，从而探索出临界条件。
2.定圆旋转法
(1)适用条件：速度大小一定、方向不同
(2)特点：
①粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若粒子入射初速度为v0，由qv0B=得做圆周运动的半径R=。
②轨迹圆圆心共圆
如图乙所示(图中只画出粒子带正电的情景)，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O为圆心、半径R=的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”)上。
(3)界定方法：
将半径为R=的圆的圆心沿着“轨迹圆心圆”移动，从而探索出临界条件，这种方法称为“定圆旋转法”。
二、磁聚焦与磁发散
1.带电粒子的会聚
如图丙所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，不计粒子的重力，如果粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等(R=r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。
2.带电粒子的发散
如图丁所示，有界圆形匀强磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等(R=r)，则所有粒子射出磁场的方向平行。
三、带电粒子在磁场中运动的多解问题成因
1.磁场方向不确定；
2.带电粒子电性不确定；
3.速度不确定；
4.运动的周期性。
带电粒子在匀强磁场中的运动
1.(2025·云南卷·14)磁屏蔽技术可以降低外界磁场对屏蔽区域的干扰。如图所示，x≥0区域存在垂直Oxy平面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为B1(未知)。第一象限内存在边长为2L的正方形磁屏蔽区ONPQ，经磁屏蔽后，该区域内的匀强磁场方向仍垂直Oxy平面向里，其磁感应强度大小为B2(未知)，但满足00)的带电粒子通过速度选择器后，在Oxy平面内垂直y轴射入x≥0区域，经磁场偏转后刚好从ON中点垂直ON射入磁屏蔽区域。速度选择器两极板间电压U、间距d、内部磁感应强度大小B0均已知，不考虑该粒子的重力。
(1)求该粒子通过速度选择器的速率；
(2)求B1以及y轴上可能检测到该粒子的范围；
(3)定义磁屏蔽效率η=×100%，若在Q处检测到该粒子，则η是多少？
带电粒子在有界匀强磁场中的运动
2.(2025·新课标卷·18)如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点a以速度v0射入磁场，速度方向垂直于ab。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从ab边的中点、b点和c点射出，在磁场中运动的时间分别为t1、t2和t3，则(　　)
A.t1C.t1=t2>t3 D.t1>t2>t3
3.(2025·江西南昌市期末)如图所示，一个α粒子(不计重力)从x轴上的P点以速度v1沿与x轴成θ=60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于y轴从A点射出第一象限。一个质子(不计重力)从坐标原点O以速度v2沿与x轴成θ=60°的方向射入第一象限，也恰好从A点射出第一象限。则v1∶v2等于(　　)
A.3∶1 B.1∶3 C.4∶1 D.1∶4
4.(2025·云南省模拟)如图所示，圆形磁场区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，O为磁场区域圆心，完全相同的两个带正电的粒子a、b先后从A点沿AO方向射入磁场，粒子a从M点射出磁场，粒子b从N点射出磁场，∠AOM=90°，∠AON=120°，不计粒子重力和两粒子之间的相互作用，则两粒子在磁场中运动的过程中，洛伦兹力对a、b的冲量大小之比为(　　)
A.1 B. C. D.
5.(多选)(2025·福建龙岩市一模)如图所示，一个半径为R的圆形区域内分布磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一粒子源从圆上的A点向各个方向不停地发射出相同速率的带负电粒子，粒子的质量均为m、所带电荷量均为q、运动的半径均为r，粒子重力及粒子间的相互作用忽略不计。下列说法正确的是(　　)
A.若r=2R，则粒子在磁场中运动的最长时间为
B.若r=2R，则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是半个圆周
C.若r=R，则粒子在磁场中运动的最长时间为
D.若r=R，则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一个圆周
圆形磁场内“旋转圆”模型出现的极值情况：
此类问题的几何模型为两个圆(轨迹圆、磁场圆)的相对关系，两圆相交有公共弦，当公共弦为小圆的直径时出现极值。
若磁场圆为小圆：公共弦为磁场圆的直径时出现极值；若磁场圆为大圆：公共弦为轨迹圆的直径时出现极值。
6.(多选)(2025·四川卷·10)如图所示，Ⅰ区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与Ⅰ区边界重合；正方形与圆形中心同为O点。Ⅰ区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4∶1。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场，一段时间后从a点离开。不计粒子重力，取sin 37°=0.6。则带电粒子(　　)
A.在Ⅰ区的轨迹圆心不在O点
B.在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1∶2
C.在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127∶37
D.在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比为127∶148
分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动：
在找几何关系时要尤其注意带电粒子在匀强磁场中的“四点、六线、三角”。
(1)四点：入射点B、出射点C、轨迹圆心点A、入射速度直线与出射速度直线的交点O。
(2)六线：圆弧两端点所在的两条轨迹半径、入射速度直线OB、出射速度直线OC、入射点与出射点的连线BC、圆心与两条速度直线交点的连线OA。
(3)三角：速度偏转角∠COD、圆心角∠BAC、弦切角∠OBC，其中速度偏转角等于圆心角，也等于弦切角的两倍。
7.(多选)(2025·辽宁省多校联考)如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一束由相同带电粒子组成的粒子流，以相同的速度从左侧射入圆形区域内，所有粒子恰能全部会聚于圆周上的C点，C点在圆心O的正下方。已知磁场的磁感应强度大小为B，带电粒子的比荷为k，粒子流宽度为，该粒子流可整体上下移动，且入射方向及其宽度都不改变，并全部会聚于C点，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.带电粒子带正电
B.带电粒子的入射速度大小为kBR
C.该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为R2
D.该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为R2
带电粒子在匀强磁场中的临界和多解问题
8.(多选)(2025·山西临汾市二模)如图所示，匀强磁场垂直于xOy平面(纸面)向外，磁场的右边界与x轴垂直，交x轴于P(L，0)点。其中第Ⅰ象限内的磁感应强度为B1，第Ⅳ象限内的磁感应强度为B2，且B2=2B1(大小均未知)。一质量为m、电荷量为+q的粒子从原点O以速度v进入第Ⅰ象限的磁场，方向与x轴成30°角，粒子从P点离开磁场区域，不计粒子重力，则第Ⅰ象限的磁感应强度B1的大小可能是(　　)
A. B. C. D.
带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
1.多解根源是核心：周期性、方向不确定性(电性、磁场、速度)、几何多样性(相切、对称)，解题时时刻思考这三点是否在本题目中起作用。
2.画图是灵魂：不会画图或画图不全，是解不出或漏解的主要原因。务必勤练画图能力。
3.几何是桥梁：物理问题最终转化为几何问题求解。扎实的平面几何功底是必备的。
4.解题流程：审题→明确不确定因素→画轨迹→几何分析求r或θ →物理公式求解→整合所有解。
解决带电粒子在有界磁场中运动的多解问题，需牢记“原因明、图画全、几何清、公式准、答案全”十五字诀。
9.(多选)(2025·甘肃卷·10)2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置(BEST)在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为va=，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.外圆半径等于2R0
B.a粒子返回A点所用的最短时间为
C.b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为
D.c粒子的速度大小为va
10.(2025·陕晋青宁卷·14)电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图(a)所示，足够长圆柱形筒半径为R。在圆筒中央O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为v0的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图(b)所示，当磁感应强度大小调至B0时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求(R、v0、B0均为已知量)：
(1)电子的比荷；
(2)当磁感应强度大小调至B0时，筒壁上落有电子的区域面积S。

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