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第十九章 二次根式
19.2 二次根式的乘法与除法
（第3课时）
1．理解最简二次根式的概念，会判断一个根式是否为最简二次根式．
2．会利用二次根式的乘、除运算法则进行乘除混合运算，并能熟练对运算结果进行化简，提高学生的数学运算能力．
1．说一说二次根式的乘、除法的运算法则．
(a≥0，b≥0)
(a≥0，b>0)
2．怎样逆用二次根式的乘、除法法则对二次根式进行化简？
(a≥0，b≥0)
(a≥0，b>0)
在之前的学习中，我们已经掌握了二次根式的乘法和除法运算．今天，我们就来学习如何把二次根式化到最简形式，让运算结果既规范又美观．
观察上节课例题中各小题的最后结果，，，，，这些二次根式有什么特点呢？
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式．
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式
例1：计算.
（1） ； （2） ； （3） ．
解：（1）解法1： = = = = =
解法2： = = =
在解法2中， = 这样变形是为了使分母中不含二次根式．
解：（2） = = = = =
（3） = = =
例1：计算.
（1） ； （2） ； （3） ．
现在来看本章引言中的问题：如果两个广播电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径之比是 ．你能把这个式子化简吗？
可以看到，这个比与地球半径无关．这样，只要知道h1，h2，就可以求出比值．
由此你能回答本章章引言中开始提出的问题吗？
本章引言中的问题：广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广．那么，广播电视塔高h(单位：km)增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会增加到相应的倍数呢？
当塔高 h 增加到一定倍数时，传播半径 r 并不会按相同的倍数增加．
解：（1） = == = =
（2） 原式= =
= = =
例2：计算.
（1） ； （2） ．
二次根式的乘除混合运算中的四点注意
（1）带分数要化成假分数；
（2）要注意确定最后结果的符号；
（3）最后结果一般要化为最简二次根式或整式；
（4）在二次根式的乘除混合运算中，有理数的运算法则同样适用．
牛刀小试
【知识技能类练习】必做题：
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
D
【知识技能类练习】必做题：
2．化简： ．
【知识技能类练习】必做题：
3．计算：
(1)． (2)．
解：（1）原式
．
（2）由题意得：，
原式
．
【知识技能类练习】选做题：
4．把下列各式化成最简二次根式：
(1)； (2)； (3)
解：（1）；
（2）；
（3）．
【综合拓展类练习】
5．超速驾驶是造成交通事故的重要原因之一．交警部门一般会根据刹车后滑行的距离判断车辆的行驶速度，公式为，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后滑行的距离（单位：m），f表示摩擦因数．若交警在处理某次交通事故时，测得，，已知该路段限速，那么该汽车超速了吗？请说明理由．（已知∶，，结果保留一位小数）
解：该汽车超速了；理由：
∵，，，
∴
．
故该汽车超速了．
二次根式的乘除法
二次根式的乘除法混合运算
最简二次根式
【知识技能类作业】必做题：
1．下列四个选项中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
B
【知识技能类作业】必做题：
2．化简： ．
【知识技能类作业】必做题：
3．计算：
(1)； (2)．
解：（1）
（2）
【知识技能类作业】选做题：
4．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值．
解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式
，解得：
∴ 符合题意
【综合拓展类作业】
5．如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位）
(1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间．
(2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？
【综合拓展类作业】
解：（1）已知，，，代入公式：
．
（2）已知，对公式变形得：
代入、、：
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同步探究学案
课题 19.2 二次根式的乘法与除法（第3课时） 单元 第十九章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解最简二次根式的概念，会判断一个根式是否为最简二次根式． 2．会利用二次根式的乘、除运算法则进行乘除混合运算，并能熟练对运算结果进行化简，提高学生的数学运算能力．
重点 掌握最简二次根式的定义，并能将二次根式化为最简二次根式．
难点 理解并掌握分母有理化的方法，能正确进行分母中含有二次根式的化简运算．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．说一说二次根式的乘、除法的运算法则． 2．怎样逆用二次根式的乘、除法法则对二次根式进行化简？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助二次根式乘法和除法的运算，研究最简二次根式及二次根式乘除法混合运算。 问题：观察上节课例题中各小题的最后结果，，，，，这些二次根式有什么特点呢？ 归纳：（1）被开方数不含________； （2）被开方数中不含________________的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式． 注意：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式 例1：计算. （1）； （2）； （3）． 现在来看本章引言中的问题：如果两个广播电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径之比是 ．你能把这个式子化简吗？ 可以看到，这个比与地球半径无关．这样，只要知道h1，h2，就可以求出比值． 由此你能回答本章章引言中开始提出的问题吗？ 本章引言中的问题：广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广．那么，广播电视塔高h(单位：km)增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会增加到相应的倍数呢？ 例2：计算. （1）； （2）． 归纳：二次根式的乘除混合运算中的四点注意 （1）带分数要化成假分数； （2）要注意确定最后结果的符号； （3）最后结果一般要化为最简二次根式或整式； （4）在二次根式的乘除混合运算中，有理数的运算法则同样适用．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．化简： ． 3．计算： (1)． (2)． 选做题： 4．把下列各式化成最简二次根式： (1) (2) (3) 【综合拓展类练习】 5．超速驾驶是造成交通事故的重要原因之一．交警部门一般会根据刹车后滑行的距离判断车辆的行驶速度，公式为，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后滑行的距离（单位：m），f表示摩擦因数．若交警在处理某次交通事故时，测得，，已知该路段限速，那么该汽车超速了吗？请说明理由．（已知∶，，结果保留一位小数）
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列四个选项中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．化简： ． 3．计算： (1) (2)． 选做题： 4．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【综合拓展类作业】 5．如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位） (1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间． (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？
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分课时教学设计
第五课时《19.2 二次根式的乘法与除法（第3课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是人教版八年级下册第19章第2节“二次根式的乘法与除法”的第3课时，是二次根式乘除法运算的收尾与提升环节．是在学生已掌握二次根式乘除法则的基础上，进一步明确了最简二次根式的定义与化简要求，是二次根式乘除法运算从“会算”到“算对、算简”的关键过渡．通过本节课的学习，学生不仅能规范二次根式的运算结果，还能为后续学习一元二次方程、勾股定理等内容奠定坚实的运算基础，同时也能深化对“数与代数”领域中“等价变形”和“化归”数学思想的理解．
学习者分析 学生已经具备了二次根式的定义、乘除运算法则等知识基础，也有了一定的代数运算能力和逻辑思维能力．但他们在运算中往往只关注结果的正确性，而忽视结果的规范性，容易忽略被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式等化简要求．同时，在分母有理化的变形过程中，容易出现符号和运算顺序的错误，需要通过具体的例题和练习来强化对最简二次根式概念的理解与应用．
教学目标 1．理解最简二次根式的概念，会判断一个根式是否为最简二次根式． 2．会利用二次根式的乘、除运算法则进行乘除混合运算，并能熟练对运算结果进行化简，提高学生的数学运算能力．
教学重点 掌握最简二次根式的定义，并能将二次根式化为最简二次根式．
教学难点 理解并掌握分母有理化的方法，能正确进行分母中含有二次根式的化简运算．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解最简二次根式的概念，会判断一个根式是否为最简二次根式． 2．会利用二次根式的乘、除运算法则进行乘除混合运算，并能熟练对运算结果进行化简，提高学生的数学运算能力．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．说一说二次根式的乘、除法的运算法则． 答案： (a≥0，b≥0) (a≥0，b>0) 2．怎样逆用二次根式的乘、除法法则对二次根式进行化简？ 答案： (a≥0，b≥0) (a≥0，b>0) 导言：在之前的学习中，我们已经掌握了二次根式的乘法和除法运算．今天，我们就来学习如何把二次根式化到最简形式，让运算结果既规范又美观．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习二次根式乘、除法法则及逆用法则，为学习最简二次根式及二次根式乘除法混合运算做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 观察上节课例题中各小题的最后结果，，，，，这些二次根式有什么特点呢？ 归纳：（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式． 指出：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式 例1：计算. （1）； （2）； （3）． 解：（1）解法1：===== 解法2：=== （2）===== （3）=== 讲解：在解法2中，=这样变形是为了使分母中不含二次根式． 现在来看本章引言中的问题：如果两个广播电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径之比是 ．你能把这个式子化简吗？ 预设： 可以看到，这个比与地球半径无关．这样，只要知道h1，h2，就可以求出比值． 追问：由此你能回答本章章引言中开始提出的问题吗？ 本章引言中的问题：广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广．那么，广播电视塔高h(单位：km)增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会增加到相应的倍数呢？ 预设：当塔高 h 增加到一定倍数时，传播半径 r 并不会按相同的倍数增加． 例2：计算. （1）； （2）． 解：（1） ===== （2）原式== === 归纳：二次根式的乘除混合运算中的四点注意 （1）带分数要化成假分数； （2）要注意确定最后结果的符号； （3）最后结果一般要化为最简二次根式或整式； （4）在二次根式的乘除混合运算中，有理数的运算法则同样适用．学生活动3： 学生仔细观察，组内交流，班内汇报，然后认真听老师的点评和讲解活动意图说明： 通过观察、探索，理解最简二次根式的概念及判断标准，再通过解决本章前问题及二次根式乘除法混合运算，提高学生运用所学知识将结果化简为最简二次根式的能力．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：19.2二次根式的乘法与除法（第3课时）一、最简二次根式 二、二次根式乘除法混合运算教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．化简： ． 答案： 3．计算： (1)． (2)． 解：（1）原式 ． （2）由题意得：， 原式 ． 选做题： 4．把下列各式化成最简二次根式： (1) (2) (3) 解：（1）； （2）； （3）． 【综合拓展类练习】 5．超速驾驶是造成交通事故的重要原因之一．交警部门一般会根据刹车后滑行的距离判断车辆的行驶速度，公式为，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后滑行的距离（单位：m），f表示摩擦因数．若交警在处理某次交通事故时，测得，，已知该路段限速，那么该汽车超速了吗？请说明理由．（已知∶，，结果保留一位小数） 解：该汽车超速了；理由： ∵，，， ∴ ． 故该汽车超速了．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列四个选项中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．化简： ． 答案： 3．计算： (1) (2)． 解：（1） （2） 选做题： 4．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式 解得： ∴符合题意 【综合拓展类作业】 5．如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位） (1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间． (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？ 解：（1）已知，，，代入公式： ． （2）已知，对公式变形得： 代入、、： ．
教学反思 本节课通过例题引导学生进行二次根的乘除法混合运算并归纳最简二次根式的特征，再通过练习巩固化简方法，整体效果较好．但部分学生在分母有理化时仍存在步骤不清晰、符号错误的问题，说明对“等价变形”的本质理解还不够深入．后续教学中，应增加针对性的分层练习，强化对易错点的辨析，同时引导学生主动反思运算过程，提升运算的严谨性和规范性．
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