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分课时教学设计
第六课时《19.3 二次根式的加法与减法（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是人教版八年级下册第19章第3节“二次根式的加法与减法”第1课时，是在学生已掌握二次根式的乘除运算、最简二次根式概念及整式加减中“合并同类项”思想的基础上展开的．它不仅是二次根式运算体系的重要组成部分，也是后续学习一元二次方程、勾股定理等内容的运算基础．通过类比整式加减，将二次根式加减转化为“合并被开方数相同的二次根式”，既深化了对“同类”概念的理解，又体现了数学中的化归思想，对提升学生运算能力和逻辑思维具有承上启下的关键作用．
学习者分析 学生已具备一定的二次根式化简能力和整式加减运算经验，对“同类项合并”的思想有初步认知．但他们容易混淆二次根式加减与乘除的运算规则，常出现“直接将被开方数相加减”的错误．同时，学生对“化归思想”的理解仍较浅显，需要通过具体实例引导，才能将整式加减的方法迁移到二次根式运算中．此外，部分学生在化简二次根式时仍存在疏漏，这会直接影响加减运算的准确性．
教学目标 1．掌握合并被开方数相同的二次根式的方法． 2．经历探索二次根式加减运算的过程，体会类比的方法，掌握二次根式加减运算的方法和步骤，理解算理，提高数学运算能力．
教学重点 掌握二次根式加减运算的步骤，能正确将二次根式化为最简二次根式并合并被开方数相同的二次根式．
教学难点 理解二次根式加减运算的本质是“合并被开方数相同的二次根式”，避免与二次根式乘除运算混淆．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．掌握合并被开方数相同的二次根式的方法． 2．经历探索二次根式加减运算的过程，体会类比的方法，掌握二次根式加减运算的方法和步骤，理解算理，提高数学运算能力．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．二次根式的乘法法则是什么？除法法则呢？ 答案： (a≥0，b≥0) (a≥0，b>0) 2．请回忆一下，判断一个二次根式是不是最简二次根式，我们需要看哪两个关键条件？ 答案：（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式． 导言：前面我们学习了二次根式的乘法与除法运算，接下来研究怎样进行二次根式的加法与减法运算．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习二次根式的乘除法法则、最简二次根式满足的条件，为学习二次根式的加减法做好铺垫环节三：新知讲解教师活动3： 思考：如何计算 问题1：这两个二次根式能直接相加吗？为什么？ 预设：不能直接相加，因为它们的被开方数不一样，一个是27，一个是12 问题2：那我们能不能想个办法，把它们变成“同类”的二次根式，再像合并同类项那样计算呢？ 预设：可以先把它们化成最简二次根式！ 解：=（化成最简二次根式） =（利用分配律合并） = 归纳：一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并． 例1：计算. （1）；（2）；（3）． 解：（1）== （2）== 归纳：合并被开方数相同的二次根式的方法 （1）根号外的因数（或式）相加减； （2）根指数和被开方数不变．如． 解：（3）== 追问：比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？ 预设：二次根式加减运算的实质就是合并被开方数相同的最简二次根式，整式加减运算的实质是合并同类项，都是把系数合并，根式部分或同类项不变． 例2：计算. （1）；（2）． 解:（1） = = （2） = = 例3：有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm 和18dm 的正方形木板？ 分析：由图可以看出，只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板． 解：大正方形木板的边长为dm． 因为<5，所以这块木板够宽． 两个正方形木板的边长的和为dm，而 由<1.5可知<7.5，即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长． 因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8dm 和18dm 的正方形木板．学生活动3： 学生小组合作探究后，班内交流并认真听老师的讲解与点评活动意图说明： 通过类比合并同类项引出二次根式的加减并探索二次根式加减运算的步骤和方法，体会类比思想，通过例题提高学生的运算能力和解决实际问题的能力环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：19.3二次根式的加法与减法（第1课时）一、合并被开方数相同的二次根式 二、二次根式加减的方法和步骤教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列二次根式，能与合并的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 3．计算： (1) (2) 解：（1） ； （2） ． 选做题： 4．现定义一种新运算：对于任意正有理数，都有． 例如：，则 ． 答案： 【综合拓展类练习】 5．已知三角形的三边的长分别为，，，求三角形的周长．（结果化为最简） 解：三角形的周长为．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．若最简二次根式与能合并，则的值可以是（ ） A． B．1 C．2 D．3 答案：C 3．计算： (1) (2) 解：（1） ． （2） . 选做题： 4．对于任意两个实数，，定义运算“”：若，则；若，则，其他运算符号的意义不变．按照上述定义，计算的值为 ． 答案： 【综合拓展类作业】 5．嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放有四个大小相同且标有不同数字的小球.游戏规则：将从容器中摸取到的小球上所表示的数相加． (1)若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球，请计算出结果． (2)如图2，若嘉嘉摸出全部的四个小球，计算结果为，淇淇说的值能与合并．你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由． 解：（1） ； （2）淇淇的说法正确，理由如下： ， ∴， ∵， ∴的值能与合并， ∴淇淇的说法正确．
教学反思 本节课通过类比整式加减引入二次根式加减，多数学生能掌握“先化简，再合并”的步骤，但仍有部分学生在化简环节出现错误，或直接对被开方数进行加减．后续教学中，应增加针对性的辨析练习，强化运算规则的本质理解；同时，通过更多生活实例，让学生体会二次根式运算的实用价值，提升学习主动性．
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第十九章 二次根式
19.3 二次根式的加法与减法
（第1课时）
1．掌握合并被开方数相同的二次根式的方法．
2．经历探索二次根式加减运算的过程，体会类比的方法，掌握二次根式加减运算的方法和步骤，理解算理，提高数学运算能力．
1．二次根式的乘法法则是什么？除法法则呢？
(a≥0，b≥0)
(a≥0，b>0)
2．请回忆一下，判断一个二次根式是不是最简二次根式，我们需要看哪两个关键条件？
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式．
前面我们学习了二次根式的乘法与除法运算，接下来研究怎样进行二次根式的加法与减法运算．
思考：如何计算
这两个二次根式能直接相加吗？为什么？
不能直接相加，因为它们的被开方数不一样，一个是 27，一个是 12
思考：如何计算
那我们能不能想个办法，把它们变成 “同类” 的二次根式，再像合并同类项那样计算呢？
可以先把它们化成最简二次根式！
思考：如何计算
解：=
=
=
（化成最简二次根式）
（利用分配律合并）
一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并．
例1：计算.
（1）；（2）；（3）．
解：（1）==
（2）==
合并被开方数相同的二次根式的方法
（1）根号外的因数（或式）相加减；
（2）根指数和被开方数不变．如．
例1：计算.
（1）；（2）；（3）．
解：（3）==
比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？
二次根式加减运算的实质就是合并被开方数相同的最简二次根式，整式加减运算的实质是合并同类项，都是把系数合并，根式部分或同类项不变．
例2：计算.
（1）；（2）．
解:（1）
=
=
（2）
=
=
分析：由图可以看出，只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板．
例3：有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm 和18dm 的正方形木板？
例3：有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm 和18dm 的正方形木板？
解：大正方形木板的边长为dm．
因为<5，所以这块木板够宽．
两个正方形木板的边长的和为dm，而
由<1.5可知<7.5，即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长．
因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8dm 和18dm 的正方形木板．
【知识技能类练习】必做题：
1．下列二次根式，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
C
【知识技能类练习】必做题：
2．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
C
【知识技能类练习】必做题：
3．计算：
(1); (2)
解：（1）
；
（2）
．
【知识技能类练习】选做题：
4．现定义一种新运算：对于任意正有理数，都有．
例如：，
则 ．
【综合拓展类练习】
5．已知三角形的三边的长分别为，，，求三角形的周长．（结果化为最简）
解：三角形的周长为：
．
二次根式的加减
二次根式加减的方法和步骤
合并被开方数相同的二次根式
【知识技能类作业】必做题：
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
D
【知识技能类作业】必做题：
2．若最简二次根式与能合并，则的值可以是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
C
解:(1)
．
【知识技能类作业】必做题：
3．计算：
(1)； (2)
（2）
.
【知识技能类作业】选做题：
4．对于任意两个实数，，定义运算“”：若，则；若，则，其他运算符号的意义不变．按照上述定义，计算的值为 ．
【综合拓展类作业】
5．嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放有四个大小相同且标有不同数字的小球.游戏规则：将从容器中摸取到的小球上所表示的数相加．
(1)若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球，请计算出结果．
(2)如图2，若嘉嘉摸出全部的四个小球，计算结果为，淇淇说的值能与合并．你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由．
【综合拓展类作业】
解：（1） ；
（2）淇淇的说法正确，理由如下：
，
∴，
∵，
∴的值能与合并，
∴淇淇的说法正确．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 19.3 二次根式的加法与减法（第1课时） 单元 第十九章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．掌握合并被开方数相同的二次根式的方法． 2．经历探索二次根式加减运算的过程，体会类比的方法，掌握二次根式加减运算的方法和步骤，理解算理，提高数学运算能力．
重点 掌握二次根式加减运算的步骤，能正确将二次根式化为最简二次根式并合并被开方数相同的二次根式．
难点 理解二次根式加减运算的本质是“合并被开方数相同的二次根式”，避免与二次根式乘除运算混淆．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．二次根式的乘法法则是什么？除法法则呢？ 2．请回忆一下，判断一个二次根式是不是最简二次根式，我们需要看哪两个关键条件？
新知探究 本节课来研究： 本节我们类比合并同类项及整式的加减步骤，研究二次根式的加法与减法。 思考：如何计算 问题1：这两个二次根式能直接相加吗？为什么？ 问题2：那我们能不能想个办法，把它们变成“同类”的二次根式，再像合并同类项那样计算呢？ 解：=（化成最简二次根式） =（利用分配律合并） = 归纳：一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成________二次根式，再将被开方数____________的二次根式合并． 例1：计算. （1）；（2）；（3）． 归纳：合并被开方数相同的二次根式的方法 （1）根号外的因数（或式）相加减； （2）根指数和被开方数不变．如． 问题：比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？ 例2：计算. （1）；（2）． 例3：有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm 和18dm 的正方形木板？ 分析：由图可以看出，只要木板的宽大于大正方形木板的_______，木板的长大于两个正方形木板的边长的______，就能截出所要求的两个正方形木板．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列二次根式，能与合并的是（ ） A． B． C． D． 2．下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 3．计算： (1) (2) 选做题： 4．现定义一种新运算：对于任意正有理数，都有． 例如：，则 ． 【综合拓展类练习】 5．已知三角形的三边的长分别为，，，求三角形的周长．（结果化为最简）
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．若最简二次根式与能合并，则的值可以是（ ） A． B．1 C．2 D．3 3．计算： (1) (2) 选做题： 4．对于任意两个实数，，定义运算“”：若，则；若，则，其他运算符号的意义不变．按照上述定义，计算的值为 ． 【综合拓展类作业】 5．嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放有四个大小相同且标有不同数字的小球.游戏规则：将从容器中摸取到的小球上所表示的数相加． (1)若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球，请计算出结果． (2)如图2，若嘉嘉摸出全部的四个小球，计算结果为，淇淇说的值能与合并．你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由．
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