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分课时教学设计
第八课时《19.4 阅读与思考——海伦-秦九韶公式》教学设计
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教学内容分析 本节课选自人教版八年级下册第19章二次根式的章末“阅读与思考”，是对二次根式应用的拓展延伸．它以三角形三边求面积为载体，将古希腊海伦公式与我国南宋秦九韶公式进行对比与推导，不仅能让学生感受二次根式在几何计算中的价值，还能渗透数学文化，增强民族自豪感．从知识体系看，它承接了三角形面积公式，又为后续学习三角形相关计算、数学史拓展奠定基础；从能力培养看，通过公式变形与推导，能有效提升学生的代数运算、逻辑推理和数学建模能力，同时让学生体会不同文明在数学发展中的贡献，实现知识传授与文化育人的统一．
学习者分析 学生已经掌握了二次根式的运算、三角形面积公式等基础知识，具备一定的代数运算和几何推理能力，但对公式的深层推导和数学文化的理解仍显不足．他们对“用三边直接求面积”的问题充满好奇，容易被历史故事和公式推导过程吸引，但在处理复杂的代数变形（如秦九韶公式到海伦公式的化简）时，可能会出现运算不熟练、逻辑不清晰的问题．同时，学生对数学史的了解较少，需要通过情境化教学激发其学习兴趣，引导他们在探究中感受数学的严谨性与人文性．
教学目标 1．了解海伦公式和秦九韶公式的具体形式，明确公式中各字母的含义． 2．掌握将秦九韶公式变形转化为海伦公式的推导思路，理解两个公式的等价关系． 3．能运用海伦-秦九韶公式，根据三角形三边长度计算三角形面积．
教学重点 理解海伦-秦九韶公式的推导过程，掌握利用三边求三角形面积的方法．
教学难点 完成秦九韶公式到海伦公式的代数变形，体会两个公式的内在联系．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．了解海伦公式和秦九韶公式的具体形式，明确公式中各字母的含义． 2．掌握将秦九韶公式变形转化为海伦公式的推导思路，理解两个公式的等价关系． 3．能运用海伦-秦九韶公式，根据三角形三边长度计算三角形面积．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 讲解：我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，则该沙田的面积为多少 上面的问题转化成几何图形为： 设问：我们之前学过三角形面积公式 S=ah，但如果不知道高，只知道三条边的长度，能不能直接算出面积？ 导言：古希腊的海伦与南宋的秦九韶，在不同的时空里，都找到了用三角形三边直接计算面积的方法。今天，我们就来学习这个连接了东西方数学智慧的公式 ——海伦 - 秦九韶公式．学生活动2： 学生认真听老师的讲解活动意图说明： 以秦九韶《数书九章》的“三斜求积”问题为情境，结合旧知S=ah引发认知冲突，激发探究兴趣，引出新课环节三：新知讲解教师活动3： 介绍：古希腊的几何学家海伦(Heron，约1世纪)，在他的著作《度量论》中，给出了利用三角形的三边求面积的公式． ① 其中 ． 我们把公式①称为海伦公式． 我国南宋时期数学家秦九韶(约1202一约1261) ，在他的著《数书九章》中，也曾提出利用三角形的三边求面积的公式． ② 我们把公式②称为秦九韶公式！ 想一想：两个公式都是利用三角形的三边求面积，它们之间有什么联系？能否由秦九韶的公式推导出海伦公式？ ① ② 预设： ② = = = = = 这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一个公式，因此我们也称公式①为海伦-秦九韶公式．学生活动3： 学生小组合作探索并推导这两个公式之间的关系，然后认真听老师的讲解和点评活动意图说明： 通过分别介绍海伦公式与秦九韶公式，再引导推导二者的等价关系，既渗透数学文化，又培养学生代数变形与逻辑推理能力，深化对公式本质的理解环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：19.4阅读与思考——海伦-秦九韶公式一、海伦公式 二、秦九韶公式教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．请阅读材料，并解决实际问题：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，利用三角形的三边求面积：有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记p＝，那么这个三角形的面积S＝．这个公式称海伦公式．秦九韶（约1202﹣1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S＝．通过公式变形，可以发现它们实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦﹣秦九韶公式． 问题：在△ABC中，AC＝5，AB＝6，BC＝7，用海伦﹣秦九韶公式求△ABC的面积为 ． 答案： 2．我国南宋时期数学家秦九韶（1208年～1268年）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式（为三角形的三边长）．若一个三角形的三边长分别为，则其面积是（ ） A． B． C． D． 答案：B 3．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式（其中a，b，c表示三角形的三边长），此公式与古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）提出的海伦公式（其中a，b，c表示三角形的三边长，）如出一辙，所以秦九韶公式与海伦公式实质上是同一个公式，所以我们也称为海伦-秦九韶公式． (1)已知在中，，，，且a，b，c满足． ①______，______，______． ②请你从两个公式中选择一个合适的公式，求出的面积． (2)如图，在中，，，，请你用海伦-秦九韶公式求的面积． 解：（1）①， ， 故答案为：，，3； ②； （2） ； 选做题： 4．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（ ） A． B． C．3 D． 答案：B 【综合拓展类练习】 5．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角形的面积；（利用公式①求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，求该三角形的面积．（利用公式②求解） 解：（1）∵；；；， ∴根据勾股定理的逆定理可知：三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形， ∴当假设在这个三角形中，，时， 则， ∴根据公式①，得该三角形的面积 ； （2）∵三角形的三边长分别为，，， ∴当假设，，时， 根据公式②，得该三角形的面积 ；
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．海伦—秦九韶公式古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么三角形的面积为：，在中，，，所对的边分别是、、，若、、，则的面积为（ ） A． B．30 C． D．45 答案：A 2．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式海伦公式①，其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，并给出了证明．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②，经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦-秦九韶公式．在中，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 答案：C 3．阅读教材P13的海伦—秦九韶公式，设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式：①海伦公式：，；②秦九韶公式：（其中）．请根据上述公式，解答下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积；（利用海伦公式求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．（利用秦九韶公式求解） 解：（1）∵三角形的三边长分别为5，6，7，即，，． ∴． 根据海伦公式，得该三角形的面积． （2）∵三角形的三边长分别为，，，即，，， ∴，，． 根据秦九韶公式，得该三角形的面积． 选做题： 4．已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）著作《度量》一书中，给出海伦公式S（其中p）：我国南宋时期数学家秦九韶（约1202一约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S．海伦公式与秦九韶公式只是形式不同，实质上是同一个公式若一个三角形的三边长分别为，2，，在以上两种形式的公式中，选择恰当的公式进行代入计算，可得这个三角形的面积为 ． 答案： 【综合拓展类作业】 5．在《九章算术》中有求三角形面积的公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，准确测量高并不容易，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（约1202—约1261）提出了“三斜求积术”，简称秦九韶公式．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了利用三角形三边长求面积的方法和证明，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前287年—公元前212年）得出的．在我国称这个公式为海伦—秦九韶公式．它的表述为：如果一个三角形三边长分别为a、b、c，那么三角形的面积为．（公式里的p为半周长，即） 请利用海伦——秦九韶公式解决以下问题： (1)三边长分别为3、6、7的三角形面积为___________． (2)四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=7，AD=6，∠B=90°，求该四边形的面积． 解：（1）由海伦—秦九韶公式可得三边长分别为3、6、7的三角形面积为： ， ； （2）连接AC，如图， ∵四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=90°， ∴AC=5， ∴△ABC的面积=×3×4＝6， ∵， ∴△ACD的面积=， ∴四边形ABCD的面积为：.
教学反思 本节课通过数学史引入，有效激发了学生的探究兴趣，但在公式变形环节，部分学生对复杂的代数运算仍感吃力，说明需要在课前加强二次根式运算的铺垫．同时，对数学文化的渗透可以更深入，比如增加秦九韶《数书九章》的背景介绍，让学生更好地理解我国古代数学成就．后续教学中，应设计分层任务，让不同层次的学生都能参与推导，提升课堂的实效性．
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第十九章 二次根式
19.4 阅读与思考
——海伦-秦九韶公式
1．了解海伦公式和秦九韶公式的具体形式，明确公式中各字母的含义．
2．掌握将秦九韶公式变形转化为海伦公式的推导思路，理解两个公式的等价关系．
3．能运用海伦-秦九韶公式，根据三角形三边长度计算三角形面积．
我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，则该沙田的面积为多少
我们之前学过三角形面积公式 S=ah，但如果不知道高，只知道三条边的长度，能不能直接算出面积？
古希腊的海伦与南宋的秦九韶，在不同的时空里，都找到了用三角形三边直接计算面积的方法。今天，我们就来学习这个连接了东西方数学智慧的公式 ——海伦 - 秦九韶公式．
古希腊的几何学家海伦(Heron，约1世纪)，在他的著作《度量论》中，给出了利用三角形的三边求面积的公式．
①
其中
．
我们把公式①称为海伦公式．
我国南宋时期数学家秦九韶(约1202一约1261) ，在他的著《数书九章》中，也曾提出利用三角形的三边求面积的公式．
②
我们把公式②称为秦九韶公式！
①
②
想一想：两个公式都是利用三角形的三边求面积，它们之间有什么联系？能否由秦九韶的公式推导出海伦公式？
②
=
=
=
=
=
这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一个公式，因此我们也称公式①为海伦-秦九韶公式．
【知识技能类练习】必做题：
1．请阅读材料，并解决实际问题：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，利用三角形的三边求面积：有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记p＝，那么这个三角形的面积S＝．
这个公式称海伦公式．秦九韶（约1202﹣1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S＝．通过公式变形，可以发现它们实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦﹣秦九韶公式．
问题：在△ABC中，AC＝5，AB＝6，BC＝7，用海伦﹣秦九韶公式求△ABC的面积为 ．
【知识技能类练习】必做题：
2．我国南宋时期数学家秦九韶（1208年～1268年）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式（为三角形的三边长）．若一个三角形的三边长分别为，则其面积是（ ）
A． B． C． D．
B
【知识技能类练习】必做题：
3．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式（其中a，b，c表示三角形的三边长），此公式与古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）提出的海伦公式（其中a，b，c表示三角形的三边长，）如出一辙，所以秦九韶公式与海伦公式实质上是同一个公式，所以我们也称为海伦-秦九韶公式．
(1)已知在中，，，，且a，b，c满足．
①______，______，______．
②请你从两个公式中选择一个合适的公式，求出的面积．
【知识技能类练习】必做题：
3
解：（1）②；
(2)如图，在中，，，，请你用海伦-秦九韶公式求的面积．
【知识技能类练习】必做题：
解：（2）
【知识技能类练习】选做题：
4．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（ ）
A． B． C．3 D．
B
【综合拓展类练习】
5．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式．
请根据上述公式，解答下列问题：
【综合拓展类练习】
(1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角形的面积；（利用公式①求解）
解：（1）∵；；；，
∴根据勾股定理的逆定理可知：三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形，
∴当假设在这个三角形中，，时，
则，
∴根据公式①，得该三角形的面积 ；
【综合拓展类练习】
(2)若一个三角形的三边长分别为，求该三角形的面积．（利用公式②求解）
解：（2）∵三角形的三边长分别为，，，
∴当假设，，时，
根据公式②，得该三角形的面积
；
海伦－秦九韶公式
秦九韶公式：
海伦公式：
三角形三边直接计算面积
【知识技能类作业】必做题：
1．海伦—秦九韶公式古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么三角形的面积为：，在中，，，所对的边分别是、、，若、、，则的面积为（ ）
A． B．30 C． D．45
A
【知识技能类作业】必做题：
2．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式海伦公式①，其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，并给出了证明．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②，经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦-秦九韶公式．在中，若，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
C
【知识技能类作业】必做题：
3．阅读教材P13的海伦—秦九韶公式，设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式：①海伦公式：，；②秦九韶公式：（其中）．
请根据上述公式，解答下列问题：
【知识技能类作业】必做题：
(1)若一个三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积；（利用海伦公式求解）
解：（1）∵三角形的三边长分别为5，6，7，
即，，．
∴．
根据海伦公式，得该三角形的面积．
【知识技能类作业】必做题：
(2)若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．（利用秦九韶公式求解）
解：（2）∵三角形的三边长分别为，，，
即，，，
∴，，．
根据秦九韶公式，得该三角形的面积．
【知识技能类作业】选做题：
4．已知三角形的三边长分别为a，b，c，求
其面积，古希腊的几何学家海伦（Heron，
约公元50年）著作《度量》一书中，给出海
伦公式S（其中
p）：我国南宋时期数学家秦九韶
（约1202一约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S．海伦公式与秦九韶公式只是形式不同，实质上是同一个公式若一个三角形的三边长分别为，2，，在以上两种形式的公式中，选择恰当的公式进行代入计算，可得这个三角形的面积为 ．
【综合拓展类作业】
5．在《九章算术》中有求三角形面积的公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，准确测量高并不容易，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（约1202—约1261）提出了“三斜求积术”，简称秦九韶公式．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了利用三角形三边长求面积的方法和证明，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前287年—公元前212年）得出的．在我国称这个公式为海伦—秦九韶公式．它的表述为：如果一个三角形三边长分别为a、b、c，那么三角形的面积为．（公式里的p为半周长，即）
请利用海伦——秦九韶公式解决以下问题：
【综合拓展类作业】
(1)三边长分别为3、6、7的三角形面积为___________．
解：（1）由海伦—秦九韶公式可得三边长分别为3、6、7的三角形面积为：
，
；
【综合拓展类作业】
(2)四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=7，AD=6，∠B=90°，求该四边形的面积．
解：（2）连接AC，如图，
∵四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=90°，
∴AC=5，
∴△ABC的面积=×3×4＝6，
∵，
∴△ACD的面积=，
∴四边形ABCD的面积为：.中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 19.4 阅读与思考——海伦-秦九韶公式 单元 第十九章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．了解海伦公式和秦九韶公式的具体形式，明确公式中各字母的含义． 2．掌握将秦九韶公式变形转化为海伦公式的推导思路，理解两个公式的等价关系． 3．能运用海伦-秦九韶公式，根据三角形三边长度计算三角形面积．
重点 理解海伦-秦九韶公式的推导过程，掌握利用三边求三角形面积的方法．
难点 完成秦九韶公式到海伦公式的代数变形，体会两个公式的内在联系．
探究过程
导入新课 【引入思考】 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，则该沙田的面积为多少 上面的问题转化成几何图形为： 我们之前学过三角形面积公式 S=ah，但如果不知道高，只知道三条边的长度，能不能直接算出面积？
新知探究 本节课来研究： 古希腊的海伦与南宋的秦九韶，在不同的时空里，都找到了用三角形三边直接计算面积的方法。今天，我们就来学习这个连接了东西方数学智慧的公式 ——海伦 - 秦九韶公式。 阅读：古希腊的几何学家海伦(Heron，约1世纪)，在他的著作《度量论》中，给出了利用三角形的三边求面积的公式． ① 其中 ． 我们把公式①称为海伦公式． 我国南宋时期数学家秦九韶(约1202一约1261) ，在他的著《数书九章》中，也曾提出利用三角形的三边求面积的公式． ② 我们把公式②称为秦九韶公式！ 想一想：两个公式都是利用三角形的三边求面积，它们之间有什么联系？能否由秦九韶的公式推导出海伦公式？ ① ② 这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一个公式，因此我们也称公式①为海伦-秦九韶公式．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．请阅读材料，并解决实际问题：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，利用三角形的三边求面积：有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记p＝，那么这个三角形的面积S＝．这个公式称海伦公式．秦九韶（约1202﹣1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S＝．通过公式变形，可以发现它们实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦﹣秦九韶公式． 问题：在△ABC中，AC＝5，AB＝6，BC＝7，用海伦﹣秦九韶公式求△ABC的面积为 ． 2．我国南宋时期数学家秦九韶（1208年～1268年）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式（为三角形的三边长）．若一个三角形的三边长分别为，则其面积是（ ） A． B． C． D． 3．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式（其中a，b，c表示三角形的三边长），此公式与古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）提出的海伦公式（其中a，b，c表示三角形的三边长，）如出一辙，所以秦九韶公式与海伦公式实质上是同一个公式，所以我们也称为海伦-秦九韶公式． (1)已知在中，，，，且a，b，c满足． ①______，______，______． ②请你从两个公式中选择一个合适的公式，求出的面积． (2)如图，在中，，，，请你用海伦-秦九韶公式求的面积． 选做题： 4．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（ ） A． B． C．3 D． 【综合拓展类练习】 5．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角形的面积；（利用公式①求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，求该三角形的面积．（利用公式②求解）
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．海伦—秦九韶公式古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么三角形的面积为：，在中，，，所对的边分别是、、，若、、，则的面积为（ ） A． B．30 C． D．45 2．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式海伦公式①，其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，并给出了证明．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②，经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦-秦九韶公式．在中，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 3．阅读教材P13的海伦—秦九韶公式，设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式：①海伦公式：，；②秦九韶公式：（其中）．请根据上述公式，解答下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积；（利用海伦公式求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．（利用秦九韶公式求解） 选做题： 4．已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）著作《度量》一书中，给出海伦公式S（其中p）：我国南宋时期数学家秦九韶（约1202一约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S．海伦公式与秦九韶公式只是形式不同，实质上是同一个公式若一个三角形的三边长分别为，2，，在以上两种形式的公式中，选择恰当的公式进行代入计算，可得这个三角形的面积为 ． 【综合拓展类作业】 5．在《九章算术》中有求三角形面积的公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，准确测量高并不容易，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（约1202—约1261）提出了“三斜求积术”，简称秦九韶公式．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了利用三角形三边长求面积的方法和证明，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前287年—公元前212年）得出的．在我国称这个公式为海伦—秦九韶公式．它的表述为：如果一个三角形三边长分别为a、b、c，那么三角形的面积为．（公式里的p为半周长，即） 请利用海伦——秦九韶公式解决以下问题： (1)三边长分别为3、6、7的三角形面积为___________． (2)四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=7，AD=6，∠B=90°，求该四边形的面积．
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