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第7章《相交线与平行线》单元测试A卷
一．选择题（共10小题）
1．（2025秋 龙华区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠BOE＝70°，则∠AOD的度数为（　　）
A．50° B．45° C．40° D．35°
2．（2025秋 沙坪坝区校级期末）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝57°，则∠2的度数是（　　）
A．33° B．57° C．123° D．147°
3．（2025秋 龙岗区校级期末）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线变成FH，点G在射线EF上，∠FED＝45°，∠HFB＝20°，则∠GFH的度数是（　　）
A．30° B．28° C．25° D．20°
4．（2025秋 闻喜县期末）如图，AB∥CD，∠1＝50°，则∠2的度数是（　　）
A．140° B．130° C．120° D．110°
5．（2025秋 固原校级期末）如图，一束光线从点C发出，经过平面镜AB反射后，其反射光线DE与AF平行，且∠1与∠2相等．若测得∠DCF＝100°，则∠A的度数为（　　）
A．30° B．35° C．45° D．50°
6．（2025秋 石景山区期末）如图，可以表示点A到直线BE的距离的是（　　）
A．线段AB的长度 B．线段AC的长度
C．线段AD的长度 D．线段AE的长度
7．（2025秋 金凤区校级期末）如图，点E在CD的延长线上，下列条件中能判定AC∥BD的是（　　）
A．∠CAB+∠C＝180° B．∠2+∠B＝180°
C．∠5＝∠C D．∠3＝∠4
8．（2025秋 朝阳期末）如图，AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF＝134°，则∠A的度数是（　　）
A．44° B．46° C．56° D．134°
9．（2025秋 龙华区校级期末）如图，将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　）
A．100° B．105° C．75° D．120°
10．（2025秋 本溪期末）下列命题为真命题的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．三角形的外角等于两个内角的和
C．同旁内角互补
D．两直线平行，同位角相等
二．填空题（共5小题）
11．（2025秋 历下区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5．将△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，若平移的距离是4，则图中阴影部分图形的面积为　 　 ．
12．（2025秋 金凤区校级期末）如图，图1是一个花盆支架，图2为其正面结构示意图，底座为FG，支撑杆AG⊥FG于点G，平台边框AB和CE均与支架AG垂直，若∠BDE＝110°，∠DEF＝120°，则∠ABD+∠EFG＝　 　 ．
13．（2025秋 龙华区校级期末）如图，小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：已知AB∥CD，∠BAE＝88°，∠DCE＝122°，则∠E的度数是　 　 ．
14．（2025秋 鼓楼区校级月考）如图，直线AB和CD交于点O，射线OE平分∠AOD，∠BOD＝46°．作射线OF⊥AB于点O，∠EOF的度数为　 　 ．
15．（2025秋 白银期末）在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD⊥DE）按如图所示的方式摆放，若AB∥CD，则∠1＝　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025秋 海淀区校级期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：
如图，已知∠D＝∠1，∠2+∠ABC＝180°，BD平分∠ABC，证明：EF∥AB．
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠　 　 ，
∵∠D＝∠1，
∴∠D＝∠DBC，
∴　 　 ∥　 　 （　 　 ），
∴∠A+∠ABC＝180°（　 　 ），
∵∠2+∠ABC＝180°，
∴∠A＝∠2，
∴EF∥AB（　 　 ）．
17．（2025秋 闻喜县期末）如图，已知∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：DF∥AC；
（2）若∠ABC＝43°，求∠ADE的度数．
18．（2025秋 鼓楼区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD．
（1）若∠COE＝50°，求∠AOF的度数；
（2）若∠COE：∠AOF＝2：3，求∠BOD的度数．
19．（2025秋 宝安区校级期末）小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动．
（1）【问题初探】如图1，∠CDF+∠DFE＝180°，∠C＝∠DAE，求证：AD∥BC．
（2）【拓展探究】在（1）的条件下，试问∠ADF，∠AEB与∠DFE之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
（3）【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角度数为α，顶部支架EF与灯杆CD所成锐角度数为β，∠EFG的度数为　 　 ．（用含α，β的式子表示）
20．（2025秋 永兴县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥AB．
（1）若∠COF＝50°，求∠COE的度数；
（2）若∠BOD：∠EOD＝1：2，求∠COF的度数．中小学教育资源及组卷应用平台
第7章《相交线与平行线》单元测试A卷
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C B D C C B C D
一．选择题（共10小题）
1．（2025秋 龙华区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠BOE＝70°，则∠AOD的度数为（　　）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义求出∠BOD，再由∠AOD与∠BOD互补即可解答．
【解答】解：∵OE平分∠BOD，∠BOE＝70°，
∴∠BOD＝2∠BOE＝2×70°＝140°（角平分线的定义），
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣140°＝40°（邻补角的性质），
则∠AOD的度数为40°，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的定义，对顶角、邻补角，关键是相关定义的熟练掌握．
2．（2025秋 沙坪坝区校级期末）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝57°，则∠2的度数是（　　）
A．33° B．57° C．123° D．147°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质即可解答．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠2+∠3＝180°，
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣57°＝123°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
3．（2025秋 龙岗区校级期末）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线变成FH，点G在射线EF上，∠FED＝45°，∠HFB＝20°，则∠GFH的度数是（　　）
A．30° B．28° C．25° D．20°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质知∠GFB＝∠FED＝45°，结合图形求得∠GFH的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠FED＝45°，
∴∠GFB＝∠FED＝45°（两直线平行，同位角相等）．
∵∠HFB＝20°，
∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝45°﹣20°＝25°，
则∠GFH的度数是25°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本类题的关键．
4．（2025秋 闻喜县期末）如图，AB∥CD，∠1＝50°，则∠2的度数是（　　）
A．140° B．130° C．120° D．110°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】首先根据∠3与∠1是邻补角从而求得∠3的度数，然后根据平行线的性质求得∠2的度数．
【解答】解：如图，
∵∠1＝50°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣50°＝130°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝130°（两直线平行，同位角相等）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，正确理解图形中的角的位置之间的关系是解题的关键．
5．（2025秋 固原校级期末）如图，一束光线从点C发出，经过平面镜AB反射后，其反射光线DE与AF平行，且∠1与∠2相等．若测得∠DCF＝100°，则∠A的度数为（　　）
A．30° B．35° C．45° D．50°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】由平行线的性质可得∠1＝∠2＝∠A，再由外角的性质即可求解．
【解答】解：∵DE∥AF，
∴∠2＝∠A（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠A，
∵∠DCF＝∠A+∠1＝2∠A＝100°，
∴∠A＝50°，
则∠A的度数为50°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．
6．（2025秋 石景山区期末）如图，可以表示点A到直线BE的距离的是（　　）
A．线段AB的长度 B．线段AC的长度
C．线段AD的长度 D．线段AE的长度
【考点】点到直线的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】C
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可得到答案．
【解答】解：∵AD⊥BE，
∴表示点A到直线BE的距离的是线段AD的长度．
故选：C．
【点评】本题考查点到直线的距离，关键是掌握点到直线的距离的定义．
7．（2025秋 金凤区校级期末）如图，点E在CD的延长线上，下列条件中能判定AC∥BD的是（　　）
A．∠CAB+∠C＝180° B．∠2+∠B＝180°
C．∠5＝∠C D．∠3＝∠4
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】C
【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
【解答】解：A、当∠CAB+∠C＝180°时，可得：AB∥CD，不合题意；
B、当∠2+∠B＝180°时，可得：AB∥AD，不合题意；
C、当∠5＝∠C时，可得：AC∥BD，符合题意；
D、当∠3＝∠4时，可得：AB∥CD，不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
8．（2025秋 朝阳期末）如图，AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF＝134°，则∠A的度数是（　　）
A．44° B．46° C．56° D．134°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由邻补角的关系可求出∠AEC的度数，运用两直线平行，内错角相等即可求出∠A的度数．
【解答】解：∵∠CEF+∠AEC＝180°，∠CEF＝134°，
∴∠AEC＝180°﹣∠CEF＝180°﹣134°＝46°（三角形内角和定理），
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠AEC＝46°（两直线平行，内错角相等），
则∠A的度数为46°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
9．（2025秋 龙华区校级期末）如图，将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　）
A．100° B．105° C．75° D．120°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】由题意得，∠2＝45°，∠3＝60°，a∥b，那么∠1＝∠4＝180°﹣∠2﹣∠3，代入即可求解．
【解答】解：如图，
由题意得，∠2＝45°，∠3＝60°，a∥b，
∴∠1＝∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝75°（两直线平行，同位角相等），
则∠1的度数为75°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
10．（2025秋 本溪期末）下列命题为真命题的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．三角形的外角等于两个内角的和
C．同旁内角互补
D．两直线平行，同位角相等
【考点】命题与定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据对顶角相等、三角形外角性质、平行线性质逐项判断即可．
【解答】解：选项A，相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角相等但不是对顶角，A为假命题．
选项B，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，而非任意两个内角的和，B为假命题．
选项C，同旁内角互补需以两直线平行为前提，无前提则不成立，C为假命题．
选项D，两直线平行，同位角相等，是平行线的性质定理，D为真命题．
故选：D．
【点评】本题考查命题的真假判断，涉及对顶角、三角形外角、平行线性质等知识，熟练掌握相关性质定理是关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025秋 历下区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5．将△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，若平移的距离是4，则图中阴影部分图形的面积为　20　 ．
【考点】平移的性质．
【专题】推理能力．
【答案】20．
【分析】由平移的性质结合已知条件易得，四边形ACFD是平行四边形，且CF＝AD＝4，这样结合∠B＝90°，AB＝5即可求得阴影部分的面积了．
【解答】解：∵将△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，平移的距离是4，
∴AD∥CF，CF＝AD＝4，
∴四边形ACFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∵∠B＝90°，AB＝5，
∴图中阴影部分图形的面积为CF AB＝4×5＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
12．（2025秋 金凤区校级期末）如图，图1是一个花盆支架，图2为其正面结构示意图，底座为FG，支撑杆AG⊥FG于点G，平台边框AB和CE均与支架AG垂直，若∠BDE＝110°，∠DEF＝120°，则∠ABD+∠EFG＝　170°　 ．
【考点】平行线的判定与性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】170°．
【分析】先证明AB∥CE∥FG，可得∠ABD＝∠BDE，∠DEF+∠EFG＝180°，从而得到∠ABD＝110°，∠DEF＝180°﹣120°＝60°，即可求解．
【解答】解：∵AG⊥FG，平台边框AB和CE均与支架AG垂直，
∴AB∥CE∥FG（垂直于同一条直线的直线互相平行），
∴∠ABD＝∠BDE，∠DEF+∠EFG＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BDE＝110°，∠DEF＝120°，
∴∠ABD＝110°，∠DEF＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABD+∠EFG＝110°+60°＝170°．
故答案为：170°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
13．（2025秋 龙华区校级期末）如图，小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：已知AB∥CD，∠BAE＝88°，∠DCE＝122°，则∠E的度数是　34°　 ．
【考点】平行线的性质；平行公理及推论．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】34°．
【分析】首先过点C作FM∥AE，根据两直线平行内错角相等可得：∠ECF＝∠E，根据两直线平行同位角相等可得：∠BMC＝∠BAE＝88°，∠DCF＝∠BME＝88°，根据角之间的关系可得：∠ECF＝∠DCE﹣∠DCF＝34°，等量代换可得：∠E＝34°．
【解答】解：如图所示，过点C作FM∥AE，
∴∠ECF＝∠E（两直线平行，内错角相等），∠BMC＝∠BAE＝88°（两直线平行，同位角相等），
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠BMF＝88°（两直线平行，同位角相等），
又∵∠DCE＝122°，
∴∠ECF＝∠DCE﹣∠DCF＝122°﹣88°＝34°，
∴∠E＝34°．
故答案为：34°．
【点评】本题考查了平行线的性质，平行公理及推论，关键是平行线性质的熟练掌握．
14．（2025秋 鼓楼区校级月考）如图，直线AB和CD交于点O，射线OE平分∠AOD，∠BOD＝46°．作射线OF⊥AB于点O，∠EOF的度数为　23°或157°　 ．
【考点】垂线；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】23°或157°．
【分析】对线F的位置进行分类讨论，再结合垂直及角平分线的定义进行计算即可．
【解答】解：当点F在CD上方时，如图所示，
∵∠BOD＝46°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝134°．
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE∠AOD＝67°．
∵OF⊥AB，
∴∠AOF＝90°，
∴∠EOF＝∠AOF﹣∠AOE＝90°﹣67°＝23°；
当点F在CD下方时，
同理可得，
∠EOF＝∠AOF+∠AOE＝90°+67°＝157°，
综上所述，∠EOF的度数为23°或157°．
故答案为：23°或157°．
【点评】本题主要考查了垂直及角平分线的定义，熟知角平分线的定义及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键．
15．（2025秋 白银期末）在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD⊥DE）按如图所示的方式摆放，若AB∥CD，则∠1＝　30°　 ．
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】30°．
【分析】根据平行线性质得到∠CDB，再结合垂直定义得到∠CDE，最后利用平角定义进行计算求解，即可解题．
【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠ABF＝60°，
∵CD⊥DE，
∴∠CDE＝90°，
∴∠1＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了平行线性质，三角尺中的角度计算，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
三．解答题（共5小题）
16．（2025秋 海淀区校级期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：
如图，已知∠D＝∠1，∠2+∠ABC＝180°，BD平分∠ABC，证明：EF∥AB．
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠DBC ，
∵∠D＝∠1，
∴∠D＝∠DBC，
∴BC ∥AD （　内错角相等，两直线平行　 ），
∴∠A+∠ABC＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　 ），
∵∠2+∠ABC＝180°，
∴∠A＝∠2，
∴EF∥AB（　同位角相等，两直线平行　 ）．
【考点】平行线的判定与性质；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】DBC；BC；AD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同位角相等，两直线平行．
【分析】结合角平分线的定义，根据平行线的判定与性质求解即可．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠DBC，
∵∠D＝∠1，
∴∠D＝∠DBC，
∴BC∥AD（内错角相等，两直线平行），
∴∠A+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠2+∠ABC＝180°，
∴∠A＝∠2，
∴EF∥AB（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：DBC；BC；AD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同位角相等，两直线平行．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
17．（2025秋 闻喜县期末）如图，已知∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：DF∥AC；
（2）若∠ABC＝43°，求∠ADE的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）∵∠AEB+∠3＝180°，∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝∠AEB，
∴DF∥AC；
（2）43°．
【分析】（1）利用补角的性质求∠2＝∠AEB，即可由平行线的判定定理得出结论；
（2）先由DF∥AC得∠3＝∠DFE，再结合∠1＝∠C，得∠DEF＝∠CBE，则DE∥BC，由平行线的性质得出∠ADE＝∠ABC，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠AEB+∠3＝180°，∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝∠AEB，
∴DF∥AC；
（2）解：∵DF∥AC，
∴∠DFE＝∠3，
又∵∠1＝∠C，
∴∠CBE＝∠DEF，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，
∵∠ABC＝43°，
∴∠ADE＝43°．
【点评】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
18．（2025秋 鼓楼区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD．
（1）若∠COE＝50°，求∠AOF的度数；
（2）若∠COE：∠AOF＝2：3，求∠BOD的度数．
【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】（1）70°；（2）45°．
【分析】（1）根据∠DOE＝∠BOE+∠BOD，∠BOE＝90°，问题转化为求∠BOD的度数．OF平分∠AOD，则∠AOF＝∠DOF；
（2）设∠COE＝2x°，则∠AOF＝3x°，∠AOC＝（90﹣2x）°，∠AOD＝2∠AOF＝6x°，再根据∠AOC+∠AOD＝180°，则90﹣2x+6x＝180，求解得出x值，最后根据∠BOD＝∠AOC＝90﹣2x求解即可．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°．
∵∠COE＝50°，
∴∠AOC＝40°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝140°，
∵OF平分∠AOD，
∴；
（2）∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°．
∵∠COE：∠AOF＝2：3，
设∠COE＝2x°，则∠AOF＝3x°，
∴∠AOC＝（90﹣2x）°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠AOF＝6x°，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴90﹣2x+6x＝180，
解得：，
∴．
【点评】本题目考查垂直的定义，角平分线有关的角的计算，邻补角有关的角的计算，熟练掌握角的和差倍分的计算是解题的关键．
19．（2025秋 宝安区校级期末）小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动．
（1）【问题初探】如图1，∠CDF+∠DFE＝180°，∠C＝∠DAE，求证：AD∥BC．
（2）【拓展探究】在（1）的条件下，试问∠ADF，∠AEB与∠DFE之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
（3）【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角度数为α，顶部支架EF与灯杆CD所成锐角度数为β，∠EFG的度数为　α+β　 ．（用含α，β的式子表示）
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）∵∠CDF+∠DFE＝180°
∴AE∥DC（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠AEC+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠C＝∠DAE，
∴∠AEC+∠DAE＝180°，
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；
（2）∠DFE＝∠AEB+∠ADF；
（3）α+β．
【分析】（1）根据∠CDF+∠DFE＝180°得AE∥DC，继而得∠AEC+∠C＝180°，结合∠C＝∠DAE，得∠AEC+∠DAE＝180°即可证明AD∥BC；
（2）根据平行线的性质，等式性质解答即可；
（3）过E作EM∥AB，利用平行线的性质，等式的性质，平角的定义解答即可．
【解答】（1）证明：∵∠CDF+∠DFE＝180°
∴AE∥DC（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠AEC+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠C＝∠DAE，
∴∠AEC+∠DAE＝180°，
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；
（2）解：∠DFE＝∠AEB+∠ADF，理由如下：
∵AD∥BC，AE∥DC，
∴∠DFE+∠FDC＝180°，∠ADF+∠C+∠FDC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∠AEB＝∠C（两直线平行，同位角相等），
∴∠DFE+∠FDC＝180°，∠ADF+∠AEB+∠FDC＝180°，
∴∠DFE＝∠AEB+∠ADF．
（3）解：如图，过E作EM∥AB，
∵AB∥FG，
∴AB∥EM∥FG，
∴∠ABC＝∠MEC＝α（两直线平行，同位角相等），∠MEF+∠EFG＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠EFG＝180°﹣∠MEF．
∵∠MEC+∠DEF＝180°﹣∠MEF，
∴∠MEC+∠DEF＝∠EFG，
∴∠ABC+∠DEF＝∠EFG，
∴∠EFG＝α+β，
故答案为：α+β．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
20．（2025秋 永兴县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥AB．
（1）若∠COF＝50°，求∠COE的度数；
（2）若∠BOD：∠EOD＝1：2，求∠COF的度数．
【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）∠COE＝110°；（2）∠COF＝54°．
【分析】（1）根据OF⊥AB得到∠AOF＝90°，结合∠COF＝50°得到∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝40°，根据邻补角互补得到∠AOD，结合OE平分∠AOD，求出∠AOE，即可得到答案；
（2）根据OE平分∠AOD得到∠EOD＝∠AOE，结合∠BOD：∠EOD＝1：2，得到∠BOD：∠EOD：∠AOE＝1：2：2，结合平角定义得到∠BOD，根据OF⊥AB结合角度加减关系即可得到答案；
【解答】解（1）∵OF⊥AB，
∴∠AOF＝90°，
∵∠COF＝50°，
∴∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝40°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝140°，
∵OE平分∠AOD，
∴，
∴∠COE＝∠AOE+∠AOC＝110°；
（2）∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD＝∠AOE，
∵∠BOD：∠EOD＝1：2，
∴∠BOD：∠EOD：∠AOE＝1：2：2，
∴，
∵OF⊥AB，
∴∠BOF＝90°，
∴∠COF＝180°﹣90°﹣36°＝54°．
【点评】本题考查垂直的定义，平角的定义，邻补角互补，有关角平分线计算，解题的关键是熟练掌握几种角的关系．

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