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第7章《相交线与平行线》单元测试B卷
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A A D B B C D B
一．选择题（共10小题）
1．（2025秋 海淀区校级期末）如图所示，直线l与直线AB、CD相交，AB∥CD，若∠2是∠1的2倍，则∠2大小为（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：如图所示，
因为AB∥CD，
所以∠1＝∠3．
因为∠2＝2∠1，∠2+∠3＝180°，
所以∠2＝120°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
2．（2025秋 五华区期末）如图，将一个含45°角的三角尺摆放在一张对边平行的纸条上，其中直角顶点落在纸条的一边上．若测得∠1为60°，则∠2的度数为（　　）
A．75° B．105° C．120° D．135°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质得出∠3＝∠1，进而利用三角形外角性质解答即可．
【解答】解：如图：
由题意可知：a∥b，
∴∠3＝∠1＝60°，
∴∠2＝45°+60°＝105°，
故选：B．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
3．（2025秋 通州区校级期末）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F在同一条直线上．如果∠ADE＝126°，那么∠DBC的度数为（　　）
A．54° B．74° C．126° D．36°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】根据点E，D，B，F在同一条直线上，∠ADE＝126°得∠ADB＝54°，再根据AD∥BC即可得出∠DBC的度数．
【解答】解：∵点E，D，B，F在同一条直线上，∠ADE＝126°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝54°，
依题意得：AD∥BC，
∴∠DBC＝∠ADB＝54°，
∠DBC的度数为54°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
4．（2025秋 鼓楼区校级月考）如图，AB⊥BC，DE平分∠ADC交BC于点E，AE⊥DE，AB∥CD，M、N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①∠1+∠2＝90°；②∠AEB+∠ADC＝180°；③∠DAE＝∠1；④∠F＝135°．其中结论正确的有（　　）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【考点】平行线的性质；角平分线的定义；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】A
【分析】利用直角三角形的两个锐角互余，用到平角等于180°推导角相等，根据角平分线的定义得出角相等．
【解答】解：∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∴∠1+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠B＝180°，
∴∠C＝90°，
∴∠2+∠DEC＝90°，
∴∠AEB＝∠2，
∴∠1+∠2＝90°，
故①正确；
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠2，
∴∠ADE＝∠2＝∠AEB，
∵AB∥CD，
∵∠BAD+∠ADC＝180°，
∠BAD与AEB推不出相等，
故②错误；
∵∠AED＝90°，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，
∵∠ADE＝∠2，
∴∠DAE+∠2＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠DAE＝∠1，
故③正确；
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠MAF＝∠EAF＝∠1+∠FAD，∠NDF＝∠EDF＝∠2+∠FDA，
∵∠1+∠MAE+∠2+∠NDE＝360°，
∴∠1+2（∠1+∠FAD）+∠2+2（∠2+∠FDA）＝360°，
∴3（∠1+∠2）+2（∠FAD+∠FDA）＝360°，
∴∠FAD+∠FDA＝45°，
∴∠F＝180°﹣45°＝135°，
故④正确；
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，角平分线线的定义，三角形的内角定理，能够将灵活运用以上知识点是解题的关键．
5．（2025秋 兴庆区校级期末）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝43°，∠2＝103°，则∠A的度数是（　　）
A．72° B．50° C．70° D．60°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质得出∠2＝∠4，再根据对顶角的性质得出∠1＝∠3，然后根据三角形外角的性质求出∠A．
【解答】解：如图所示：
∵a∥b，
∴∠2＝∠4，
∵∠4＝∠3+∠A，
∴∠A＝∠4﹣∠3，
∵∠1＝∠3，∠1＝43°，∠2＝103°，
∴∠A＝103°﹣43°＝60°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，关键是掌握平行线的性质．
6．（2025秋 任丘市校级期末）如图，已知∠F+∠FGD＝80°（其中∠F＞∠FGD），添加一个以下条件：①∠FEB+2∠FGD＝80°；②∠F+∠FGC＝180°；③∠F+∠FEA＝180°；④∠FGC﹣∠F＝100°．能证明AB∥CD的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】过点F作CD的平行线FH，结合条件①可证AB∥CD；条件②得到EF∥CD；条件③得到AB∥FG；条件④的结果得到恒等式．
【解答】解：①过点F作FH∥CD，则：∠HFG＝∠FGD，
∵∠EFG＝∠EFH+∠HFG，∠EFG+∠FGD＝80°，
∴∠EFH+2∠FGD＝80°，
∵∠FEB+2∠FGD＝80°，
∴∠EFH＝∠FEB，
∴AB∥FH，
∴AB∥CD，故①符合题意；
②∵∠F+∠FGC＝180°，
∴CD∥FE，故②不符合题意；
③∵∠EFG+∠FEA＝180°，
∴AB∥FG，故③不符合题意；
④∵∠FGC﹣∠EFG＝100°，∠EFG+∠FGD＝80°，
∴∠FGC﹣∠EFG+∠EFG+∠FGD＝100°+80°，
∴∠FGC+∠FGD＝180°，故④不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定定理，“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”，以及邻补角的定义．本题的关键是通过作辅助线得到角相等，将已知条件进行转化．
7．（2025秋 辽中区期末）下列命题为假命题的是（　　）
A．内错角相等，两直线平行
B．相等的角是对顶角
C．直角三角形两个锐角互余
D．等角的补角相等
【考点】命题与定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】B
【分析】逐一分析即可．
【解答】解：∵内错角相等，两直线平行是真命题，故A选项错误；
∵对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，∴相等的角是对顶角是假命题，故B选项正确；
∵根据三角形的内角和是180°，∴直角三角形两个锐角的和是90°，直角三角形两个锐角互余互余是真命题，故C选项错误；
∵等角的补角相等是真命题，故D选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两个锐角互余，等角的补角相等，对顶角相等，记住一些性质是关键．
8．（2025秋 和平区期末）如图，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，∠AON＝∠EON，则∠AOE的度数为（　　）
A．22° B．32° C．64° D．122°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：∵CB∥OA，∠CBO＝122°，
∴∠AOB＝∠CBO＝122°．
∵∠BON＝90°，
∴∠AON＝122°﹣90°＝32°．
∵∠AON＝∠EON，
∴∠AOE＝2∠AON＝64°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
9．（2025秋 浑南区期末）如图，在三角形ABC中，点D，E，F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，还需要添加条件（　　）
A．∠B＝∠1 B．∠1＝∠3 C．∠B＝∠3 D．∠B＝∠2
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，得出∠1＝∠B，再根据平行线的判定定理，找出符合要求的答案．
【解答】解：A、∵∠B＝∠1，可由EF∥AB得出，不用添加，不能得出EF∥AB，故此选项不符合题意；
B、∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，若添加∠1＝∠3，则∠B＝∠3，还是不能得出EF∥AB，故此选项不符合题意；
C、∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，若添加∠B＝∠3，则∠1＝∠3，还是不能得出EF∥AB，故此选项不符合题意；
D、∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，若添加∠B＝∠2，则∠1＝∠2，∴DF∥BC，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
10．（2025秋 山西期末）如图，下列推理过程及括号中所注明的推理依据正确的是（　　）
A．∵∠2＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）
C．∵AB∥BC，∴∠BAD+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AB∥BC（同位角相等，两直线平行）
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平行线的判定，对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：由题知，
因为∠2＝∠4，
则根据“内错角相等，两直线平行”可得AD∥BC，
故A选项不符合题意．
因为AB∥CD，
则根据“两直线平行，内错角相等”可得∠1＝∠3，
故B选项符合题意．
因为AB与BC不平行，
故C选项不符合题意．
因为∠DAM＝∠CBM，
所以根据“同位角相等，两直线平行”可得AD∥BC，
故D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025秋 金凤区校级期末）如图，在四边形AOBC中，CB∥AO，D为线段BO上的一个动点，连接AD，并作∠ADM＝120°，交CB于点M，∠BMD，∠DAO的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，∠N的大小不会发生变化，则∠N＝　60°　 ．
【考点】平行线的判定与性质；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】60°．
【分析】先过点D作TE∥AO，过点N作SG∥AO，运用平行线的性质得∠1＝∠DMB，∠2＝∠DAO，即∠DMB+∠DAO＝120°，又因为∠BMD，∠DAO的平分线相交于点N，得，同理得∠SNM＝∠BMN，∠OAN＝∠ANS，所以∠MNA＝∠SNM+∠ANS＝60°，即可作答．
【解答】解：过点D作TE∥AO，过点N作SG∥AO，
依题意，∠1+∠2＝∠ADM＝120°，
∵CB∥AO，TE∥AO，
∴TE∥AO∥CB（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠1＝∠DMB，∠2＝∠DAO（两直线平行，内错角相等），
∴∠DMB+∠DAO＝∠1+∠2＝120°，
∵∠BMD，∠DAO的平分线相交于点N，
∴（角平分线的定义），
∴，
即∠BMN+∠OAN＝60°，
∵CB∥AO，SG∥AO，
∴SG∥AO∥CB，
∴∠SNM＝∠BMN，∠OAN＝∠ANS，
∴∠MNA＝∠SNM+∠ANS＝∠BMN+∠OAN＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
12．（2025秋 固原校级期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于G点，若∠EFG＝56°，则∠AEG＝　68°　 ．
【考点】平行线的性质．
【答案】68°
【分析】先根据平行线的性质求得∠DEF的度数，再根据折叠求得∠DEG的度数，最后计算∠AEG的大小．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠GFE＝56°，
由折叠可得，∠GEF＝∠DEF＝56°，
∴∠DEG＝112°，
∴∠AEG＝180°﹣112°＝68°．
故答案为：68°
【点评】本题以折叠问题为背景，主要考查了平行线的性质，解题时注意：矩形的对边平行，且折叠时对应角相等．
13．（2025秋 海口期末）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，∠1＝38°，则∠2的度数为 　104°　 ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】104°．
【分析】根据AB∥CD可得∠AEG＝∠1＝38°，由EG平分∠AEF可得∠AEF＝2∠AEG＝76°，最后根据“邻补角的定义即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠AEC＝38°，
又∵EG平分∠AEF，
∴∠AEF＝2∠AEG＝2×38°＝76°，
∴∠2＝180°﹣∠AEF＝180°﹣76°＝104°，
故答案为：104°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是掌握邻补角的定义和角平分线的定义．
14．（2025秋 南京期末）如图，把一张长方形纸片沿AB折叠，若∠1＝60°，则∠2的度数为　60　 °．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】60．
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：如图所示，
∵长方形的对边平行，
∴∠1+∠3＝180°．
∵∠1＝60°，
∴∠3＝180°﹣60°＝120°，
∴∠4＝180°﹣∠3＝60°．
由折叠可知，
∠2+∠4＝∠3＝120°，
∴∠2＝120°﹣60°＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
15．（2025秋 于洪区期末）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为该凸透镜的焦点．若∠2＝25°，∠3＝45°，则∠1的度数为　160°　 ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】160°．
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：如图所示，
∵∠2＝25°，
∴∠POF＝∠2＝25°．
又∵∠3＝45°，
∴∠PFO＝45°﹣25°＝20°．
∵a∥b，
∴∠1+∠PFO＝180°．
∴∠1＝180°﹣20°＝160°．
故答案为：160°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键
三．解答题（共5小题）
16．（2025秋 沙坪坝区校级期末）如图，已知：∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，试说明：EM∥FN请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明条件或理由．
证明：∵∠1+∠2＝180°，
∠1＝∠AMN，
∴∠2+∠AMN＝180°，（　等量代换　 ）
∴AB∥CD，（　同旁内角互补，两直线平行　 ）
∴∠AMN＝∠MND，
∵∠3＝∠4，（　已知　 ）
∴∠AMN+∠3＝∠MND+∠4，
∴∠EMN＝∠MNF，
∴EM∥FN．（　内错角相等，两直线平行　 ）
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】等量代换；同旁内角互补，两直线平行；已知；内错角相等，两直线平行．
【分析】利用平行线的判定与性质即可解答．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°，
∠1＝∠AMN，
∴∠2+∠AMN＝180°（等量代换），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠AMN＝∠MND，
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠AMN+∠3＝∠MND+∠4，
∴∠EMN＝∠MNF，
∴EM∥FN（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：等量代换；同旁内角互补，两直线平行；已知；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
17．（2025秋 宁波期末）如图，直线AB和CD相交于点O，射线OE，OF在∠COD内部，∠COE与∠DOF互余，OA平分∠COF．
（1）当∠BOD＝50°时，求∠COE的度数；
（2）当∠BOF＝4∠COE时，求∠AOE的度数．
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】（1）10°；
（2）30°．
【分析】（1）根据角平分线的定义，互为余角的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可；
（2）根据对顶角相等，角的倍比关系以及角佛像的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）∵∠COE与∠DOF互余，
∴∠COE+∠DOF＝90°，
∴∠EOF＝180°﹣90°＝90°，
∵OA平分∠COF，
∴∠AOC＝∠AOF，
又∵∠AOC＝∠BOD＝50°，
∴∠AOC＝∠AOF＝50°，
∴∠COF＝2∠AOC＝100°，
∴∠COE＝100°﹣90°＝10°；
（2）设∠COE＝α，
∵∠COE与∠DOF互余，
∴∠DOF＝90°﹣α，
∵∠BOF＝4∠COE，
∴∠BOF＝4α，
∴∠BOD＝∠BOF﹣∠DOF＝4α﹣（90°﹣α）＝5α﹣90°，
∵∠BOD＝∠AOC＝∠AOF＝5α﹣90°，
∵∠AOF+∠BOF＝180°，
∴5α﹣90°+4α＝180°，
解得α＝30°，
即∠COE＝30°，∠AOC＝5α﹣90°＝60°，
∴∠AOE＝60°﹣30°＝30°．
【点评】本题考查对顶角、邻补角，角平分线的定义以及余角与补角，掌握对顶角相等，邻补角、角平分线的定义是正确解答的关键．
18．（2025秋 稷山县校级期末）综合实践
【实践操作】在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板GEF的顶点G放置在直线AB上，旋转三角板．
【操作发现】
（1）如图1，在GE边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作CD∥AB，若∠1＝27°，求∠2的度数；
【实践应用】
（2）如图2，过点E作CD∥AB，若HE平分∠CEF，HG平分∠AGF，求∠EHG的度数；
【拓展延伸】
（3）将三角板绕顶点G转动，过点E作CD∥AB，并保持点E在直线AB的上方．在旋转过程中，探索∠AGF与∠CEF之间的数量关系．（分别从点F在直线CD上方和AB下方讨论）
【考点】平行线的判定与性质；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】（1）108°；
（2）45°；
（3）∠AGF﹣∠CEF＝90°或∠CEF﹣∠AGF＝90°．
【分析】（1）根据AB∥CD得∠1＝∠EGB＝27°，再根据∠2+∠FGE+∠EGB＝180°，∠FGE＝45°得∠2＝108°；
（2）过点H作HP∥AB（点P在点H的右侧），根据AB∥CD得∠CEG+∠AGE＝180°，再根据∠FEG+∠FGE＝90°得∠CEF+∠AGF＝90°，根据角平分线定义得∠CEH+∠AGH（∠CEF+∠AGF）＝45°，证明CD∥HP∥AB得∠PHE＝∠CEH，∠PHG＝∠AGH，由此得∠PHE+∠PHG＝45°，据此即可得出∠EHG的度数；
（3）设∠AGF＝α，∠CEF＝β，依题意得∠GFD＝90°，再分两种情况讨论如下：①当点F在直线CD上方时，过点F作MN∥AB，证明MN∥CD∥AB得∠NFE＝∠CEF＝β，∠MFG+∠AGF＝180°，进而得∠MFG＝180°﹣α，根据∠MFG+∠GFD+∠NFE＝180°得180°﹣α+90°+β＝180°，则α﹣β＝90°，据此即可得出∠AGF与∠CEF之间的数量关系；②当点F在直线AB下方时，过点F作MN∥AB，证明CD∥AB∥MN得∠NFD＝∠AGF＝α，∠MFE+∠CEF＝180°，进而得∠MFE＝180°﹣β，再根据∠MFE+∠GFD+∠NFD＝180°得180°﹣β+90°+α＝180°，则β﹣α＝90°，据此即可得出∠AGF与∠CEF之间的数量关系；综上所述即可得出答案．
【解答】解：（1）如图1所示：
∵AB∥CD，∠1＝27°，
∴∠1＝∠EGB＝27°，
∵点G在直线AB上，
∴∠2+∠FGE+∠EGB＝180°，
依题意得：∠FGE＝45°，
∴∠2+45°+27°＝180°，
解得：∠2＝108°；
（2）过点H作HP∥AB（点P在点H的右侧），如图2所示：
∵AB∥CD，
∴∠CEG+∠AGE＝180°，
即∠CEF+∠FEG+∠FGE+∠AGF＝180°，
依题意得∠FEG+∠FGE＝90°，
∴∠CEF+90°+∠AGF＝180°，
∴∠CEF+∠AGF＝90°，
∵HE平分∠CEF，HG平分∠AGF，
∴∠CEH∠CEF，∠AGH∠AGF，
∴∠CEH+∠AGH（∠CEF+∠AGF）90°＝45°，
∵CD∥AB，HP∥AB，
∴CD∥HP∥AB，
∴∠PHE＝∠CEH，∠PHG＝∠AGH，
∴∠PHE+∠PHG＝∠CEH+∠AGH＝45°，
即∠EHG＝45°；
（3）设∠AGF＝α，∠CEF＝β，
依题意得：∠GFD＝90°，
依题意有以下两种情况：
①当点F在直线CD上方时，过点F作MN∥AB，如图3①所示：
∵CD∥AB，
∵MN∥CD∥AB，
∴∠NFE＝∠CEF＝β，∠MFG+∠AGF＝180°，
∴∠MFG＝180°﹣∠AGF＝180°﹣α，
∵∠MFG+∠GFD+∠NFE＝180°，
∴180°﹣α+90°+β＝180°，
∴α﹣β＝90°，
此时∠AGF与∠CEF之间的数量关系是：∠AGF﹣∠CEF＝90°；
②当点F在直线AB下方时，过点F作MN∥AB，如图3②所示：
∵CD∥AB，
∴CD∥AB∥MN，
∴∠NFD＝∠AGF＝α，∠MFE+∠CEF＝180°，
∴∠MFE＝180°﹣∠CEF＝180°﹣β，
∵∠MFE+∠GFD+∠NFD＝180°，
∴180°﹣β+90°+α＝180°，
∴β﹣α＝90°，
此时∠AGF与∠CEF之间的数量关系是：∠CEF﹣∠AGF＝90°，
综上所述：∠AGF与∠CEF之间的数量关系是：∠AGF﹣∠CEF＝90°或∠CEF﹣∠AGF＝90°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
19．（2025秋 无锡期末）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2．
（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）若BC平分∠ABD，∠D＝112°，求∠C的度数．
【考点】平行线的判定与性质；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）AB∥CD，理由见解析；
（2）34°．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可进行证明；
（2）根据BC平分∠ABD，∠D＝112°，即可求∠C的度数．
【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下：
∵FG∥AE，
∴∠FGC＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠FGC，
∴AB∥CD；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D＝180°，
∵∠D＝112°，
∴∠ABD＝180°﹣112°＝68°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC∠ABD＝34°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠ABC＝34°．
所以∠C的度数为34°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．
20．（2025秋 太平区期末）已知AB∥CD．
（1）如图1，若∠ABE＝120°，∠BED＝135°，则∠EDK＝　75°　 ．
（2）如图2，EF⊥BE于点E，∠HBE、∠KDE的角平分线交于点P，GE平分∠DEF，若∠P比∠GEF的5倍还多5°，求∠GEF的度数．
（3）如图3，在（1）的条件下，在同一平面内的点M、N满足：∠MBH∠MBE，∠NDK∠NDE，直线MB与直线ND交于点Q，直接写出∠BQD的大小 　35°或45°或55°或135°　 ．
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）75°；
（2）10°；
（3）35°或45°或55°或135°．
【分析】（1）过E作EF∥AB，利用同旁内角互补和内错角相等可得答案；
（2）设∠GEF＝x，则∠BPD＝5x+5，根据题意可得10x+10＝90+2x，再解方程可得答案；
（3）分四种情况解答，分别利用三角形外角的性质和内错角相等解答即可．
【解答】解：（1）过E作EF∥AB，如图，
∵EF∥AB，AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠1＝180°﹣∠ABE＝180°﹣120°＝60°，
∴∠2＝∠BED﹣∠1＝135°﹣60°＝75°，
∴∠EDK＝∠2＝75°，
故答案为：75°；
（2）设∠GEF＝x，则∠BPD＝5x+5，
分别过点E和点P作EM∥AB，PN∥AB，
则BH∥PN∥DK，
∴∠PBH＝∠NPB，∠PDK＝∠NPD，
∵∠HBE、∠KDE的角平分线交于点P，
∴∠BPD（∠HBE+∠KDE），即∠HBE+∠KDE＝2（5x+5）＝10x+10，
∵AB∥EM∥CD，
∴∠HBE＝∠MEB，∠KDE＝∠MED，
∴∠BED＝∠MEB+∠MED＝∠HBE+∠KDE，
∵∠BEF＝90°，∠DEF＝2∠GEF＝2x，
∴∠BED＝90+2x，
∴10x+10＝90+2x，解得x＝10．
所以∠GEF＝10°；
（3）分四种情况：
①如图，
此时，∠BQD＝∠MBH+∠NDK，
∵∠MBH∠MBE∠HBE＝20°，∠NDK∠NDEEDK＝25°，
∴∠BQD＝20°+25°＝45°；
②如图，
此时，∠BQD＝∠ABQ+∠CDQ＝∠MBH+∠NDK，
∵∠MBH∠MBE，∠NDK∠NDE，
∴∠BQD＝∠MBH+∠NDK＝∠HBE+∠KDE＝∠BED＝135°；
③如图，
此时，∠BQD＝∠BCD﹣∠CDQ＝∠MBH﹣∠NDK，
∵∠MBH∠MBE＝∠HBE＝60°，∠NDK∠NDEEDK＝25°，
∴∠BQD＝65°﹣25°＝35°；
④如图，
此时，∠BQD＝∠BFD﹣∠FBQ＝∠NDK﹣∠MBH，
∵∠MBH∠MBE∠HBE＝20°，∠NDK∠NDE＝∠EDK＝75°，
∴∠BQD＝75°﹣20°＝55°；
综上，∠BQD的度数是35°或45°或55°或135°．
【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理并分情况讨论是解题关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第7章《相交线与平行线》单元测试B卷
一．选择题（共10小题）
1．（2025秋 海淀区校级期末）如图所示，直线l与直线AB、CD相交，AB∥CD，若∠2是∠1的2倍，则∠2大小为（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
2．（2025秋 五华区期末）如图，将一个含45°角的三角尺摆放在一张对边平行的纸条上，其中直角顶点落在纸条的一边上．若测得∠1为60°，则∠2的度数为（　　）
A．75° B．105° C．120° D．135°
3．（2025秋 通州区校级期末）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F在同一条直线上．如果∠ADE＝126°，那么∠DBC的度数为（　　）
A．54° B．74° C．126° D．36°
4．（2025秋 鼓楼区校级月考）如图，AB⊥BC，DE平分∠ADC交BC于点E，AE⊥DE，AB∥CD，M、N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①∠1+∠2＝90°；②∠AEB+∠ADC＝180°；③∠DAE＝∠1；④∠F＝135°．其中结论正确的有（　　）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
5．（2025秋 兴庆区校级期末）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝43°，∠2＝103°，则∠A的度数是（　　）
A．72° B．50° C．70° D．60°
6．（2025秋 任丘市校级期末）如图，已知∠F+∠FGD＝80°（其中∠F＞∠FGD），添加一个以下条件：①∠FEB+2∠FGD＝80°；②∠F+∠FGC＝180°；③∠F+∠FEA＝180°；④∠FGC﹣∠F＝100°．能证明AB∥CD的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2025秋 辽中区期末）下列命题为假命题的是（　　）
A．内错角相等，两直线平行
B．相等的角是对顶角
C．直角三角形两个锐角互余
D．等角的补角相等
8．（2025秋 和平区期末）如图，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，∠AON＝∠EON，则∠AOE的度数为（　　）
A．22° B．32° C．64° D．122°
9．（2025秋 浑南区期末）如图，在三角形ABC中，点D，E，F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，还需要添加条件（　　）
A．∠B＝∠1 B．∠1＝∠3 C．∠B＝∠3 D．∠B＝∠2
10．（2025秋 山西期末）如图，下列推理过程及括号中所注明的推理依据正确的是（　　）
A．∵∠2＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）
C．∵AB∥BC，∴∠BAD+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AB∥BC（同位角相等，两直线平行）
二．填空题（共5小题）
11．（2025秋 金凤区校级期末）如图，在四边形AOBC中，CB∥AO，D为线段BO上的一个动点，连接AD，并作∠ADM＝120°，交CB于点M，∠BMD，∠DAO的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，∠N的大小不会发生变化，则∠N＝　 　 ．
12．（2025秋 固原校级期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于G点，若∠EFG＝56°，则∠AEG＝　 　 ．
13．（2025秋 海口期末）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，∠1＝38°，则∠2的度数为 　 　 ．
14．（2025秋 南京期末）如图，把一张长方形纸片沿AB折叠，若∠1＝60°，则∠2的度数为　 　 °．
15．（2025秋 于洪区期末）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为该凸透镜的焦点．若∠2＝25°，∠3＝45°，则∠1的度数为　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025秋 沙坪坝区校级期末）如图，已知：∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，试说明：EM∥FN请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明条件或理由．
证明：∵∠1+∠2＝180°，
∠1＝∠AMN，
∴∠2+∠AMN＝180°，（　 　 ）
∴AB∥CD，（　 　 ）
∴∠AMN＝∠MND，
∵∠3＝∠4，（　 　 ）
∴∠AMN+∠3＝∠MND+∠4，
∴∠EMN＝∠MNF，
∴EM∥FN．（　 　 ）
17．（2025秋 宁波期末）如图，直线AB和CD相交于点O，射线OE，OF在∠COD内部，∠COE与∠DOF互余，OA平分∠COF．
（1）当∠BOD＝50°时，求∠COE的度数；
（2）当∠BOF＝4∠COE时，求∠AOE的度数．
18．（2025秋 稷山县校级期末）综合实践
【实践操作】在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板GEF的顶点G放置在直线AB上，旋转三角板．
【操作发现】
（1）如图1，在GE边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作CD∥AB，若∠1＝27°，求∠2的度数；
【实践应用】
（2）如图2，过点E作CD∥AB，若HE平分∠CEF，HG平分∠AGF，求∠EHG的度数；
【拓展延伸】
（3）将三角板绕顶点G转动，过点E作CD∥AB，并保持点E在直线AB的上方．在旋转过程中，探索∠AGF与∠CEF之间的数量关系．（分别从点F在直线CD上方和AB下方讨论）
19．（2025秋 无锡期末）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2．
（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）若BC平分∠ABD，∠D＝112°，求∠C的度数．
20．（2025秋 太平区期末）已知AB∥CD．
（1）如图1，若∠ABE＝120°，∠BED＝135°，则∠EDK＝　 　 ．
（2）如图2，EF⊥BE于点E，∠HBE、∠KDE的角平分线交于点P，GE平分∠DEF，若∠P比∠GEF的5倍还多5°，求∠GEF的度数．
（3）如图3，在（1）的条件下，在同一平面内的点M、N满足：∠MBH∠MBE，∠NDK∠NDE，直线MB与直线ND交于点Q，直接写出∠BQD的大小 　 　 ．

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