资源简介

(共10张PPT)
单元核心考点归纳
定义与命题、定理与证明
1.下列语句中不是命题的是 （　D　）
A.两直线平行，同位角相等
B.面积相等的两个三角形全等
C.同旁内角互补
D.作线段AB=CD
D
2.下列命题：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；②内错角相等；③在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；④相等的角是对顶角.其中真命题有 （　B　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
3.通过下面几个图形说明“锐角α与锐角β的和是锐角”，其中错误的例证图是 （　C　）
A　 B　 C　 D
C
4.（2024·清远期末）写出命题“两直线平行，同位角相等”的结论部分：　同位角相等 　.
同位角相等
平行线的判定和性质
5.如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b，垂足为点C.若∠1=52°，则∠2的度数是 （　C　）
第5题图
A.52° B.45° C.38° D.26°
C
6.如图，从①∠1=∠2；②∠C=∠D；③∠A=∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为 （　D　）
第6题图
A.0 B.1 C.2 D.3
D
7.如图，AB∥DE，AC平分∠BAD.若∠BAC=23°，则∠ADE=　134°　.
第7题图
134°
8.如图，点B，C，F，E在同一条直线上，∠A=∠D.
（1）若∠A=42°，∠E=32°，求∠BFD的度数.
（2）若AC∥DF，求证：AB∥DE.
第8题图
解：（1）∵∠A=42°，∠A=∠D，∴∠D=42°.
∵∠BFD是△DEF的外角，∠E=32°，
∴∠BFD=∠D+∠E=42°+32°=74°.
（2）证明：∵AC∥DF，∴∠ACE=∠BFD.
∵∠ACE，∠BFD分别是△ABC，△DEF的外角，
∴∠ACE=∠A+∠B，∠BFD=∠D+∠E.
∵∠A=∠D，∴∠B=∠E，∴AB∥DE.(共26张PPT)
阶段小测（六）
（时间：45分钟　满分：100分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1.下列语句中是命题的是 （　A　）
①若在△ABC中∠A=40°，∠B=50°，则△ABC是直角三角形；②合肥市明天下雨吗？③作∠1=100°；④如果a>b，那么a+c>b+c；⑤平角都相等.
A.①④⑤ B.①②④
C.①②⑤ D.②③④⑤
A
2.判断命题“如果n<1，那么n2-1<0”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以为 （　A　）
A.-2 B.- C.0 D.
A
3.如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，DE交AB于点E.若AB=BC，则下列结论中错误的是 （　C　）
A.BD⊥AC B.∠A=∠EDA
C.2AD=BC D.∠EDB=∠EBD
第3题图　　　　
C
4.如图，直线AB，CD相交于点E，DF∥AB.若∠AEC=110°，则∠D的度数为 （　A　）
A.70° B.80° C.90° D.100°
第4题图
A
5.如图，直线a∥b，直角三角尺ABC的直角顶点C在直线b上.若∠1=54°，则∠2的度数是 （　A　）
A.36° B.44° C.46° D.54°
第5题图　　
A
6.如图，在下列条件中，能判定AB∥CD的是 （　C　）
A.∠1=∠3 B.∠2=∠3
C.∠1=∠4 D.∠3=∠4
第6题图
C
7.已知直线m∥n，将一把含45°角的直角三角尺ABC按如图所示方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°，则∠2的度数为 （　C　）
A.60° B.65° C.70° D.75°
第7题图　　　　
C
8.如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM=35°时，∠DCN的度数为（　A　）
A.55° B.70° C.60° D.35°
第8题图
A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9.如图，将一把直尺放在含30°角的直角三角尺上，量得∠1=56°，则∠2的度数为　116°　.
第9题图　　
116°
10.如图，∠ABC+∠C+∠CDE=360°，直线FG分别交AB，DE于点F，G.若∠1=120°，则∠2=　60°　.
第10题图
60°
11.如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C'，D'处，C'E交AF于点G.若∠CEF=64°，则∠GFD'=　52°　.
第11题图　　
52°
12.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（-4，0），点P在y轴左侧且是直线l：x+y=4上的一个动点.若∠PAB=∠ABO，则点P的坐标是　（-4，8）　.
第12题图
（-4，8）
三、解答题（本大题共4小题，共48分）
13.（10分）如图，已知点A，E，B在同一条直线上，设∠CED=x，∠C+∠BED=y.
（1）若AB∥CD，试用含x的代数式表示y.
（2）若x=90°，且∠AEC与∠D互余，求证：AB∥CD.
第13题图
解：（1）∵AB∥CD，
∴∠AEC=∠C（两直线平行，内错角相等）.
∵∠C+∠BED=y，
∴∠AEC+∠BED=y.
∴x+y=180°，
∴y=180°-x.（5分）
（2）证明：∵x=90°，即∠CED=90°，
∴∠AEC+∠BED=90°.
∵∠AEC与∠D互余，
∴∠AEC+∠D=90°，
∴∠BED=∠D，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）.（10分）
14.（12分）如图，点D，F分别是BC，AB上的点，DF∥AC，∠FDE=∠A.
（1）求证：DE∥AB.
（2）若∠AED比∠BFD大40°，求∠BFD的度数.
第14题图
解：（1）证明：∵DF∥AC，
∴∠A+∠AFD=180°.
∵∠FDE=∠A，
∴∠FDE+∠AFD=180°，
∴DE∥AB.（5分）
（2）∵DF∥AC，∴∠A=∠BFD.
∵DE∥AB，∴∠A+∠AED=180°，
∴∠BFD+∠AED=180°.
∵∠AED=∠BFD+40°，
∴∠BFD+（∠BFD+40°）=180°，
∴∠BFD=70°.（12分）
15.（12分）如图，已知直线l1∥l2∥l3，Rt△ABC的直角顶点C在直线l1上，点B在直线l2上，点A在直线l3上，l2与AC交于点D，且∠BAC=25°，∠BAE=25°.
（1）求证：∠ABD=∠BAC.
第15题图
解：（1）证明：∵l2∥l3，
∴∠ABD=∠BAE=25°.
∵∠BAC=25°，∴∠ABD=∠BAC.（6分）
（2）求∠BCF的度数.
（2）∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，∠BAC=25°，∠ACB=90°，∴∠ABC=65°，∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=65°-25°=40°.
∵l1∥l2，∴∠BCF=∠CBD=40°.（12分）
16.（14分）如图1，直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1与∠2互补.
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由.
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG.求证：PF∥GH.
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，点K是GH上一点，使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由.
第16题图
解：（1）AB∥CD.理由如下：
∵∠1+∠FEB=180°，∠1+∠2=180°，
∴∠2=∠FEB，∴AB∥CD.（4分）
（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°.
∵∠BEF与∠EFD的平分线交于点P，
∴2∠PEF+2∠PFE=180°，∴∠PEF+∠PFE=90°，
∴∠EPF=90°，∴EG⊥PF.
∵GH⊥EG，∴PF∥GH.（8分）
（3）不会发生变化.理由如下：
∵∠PHK=∠HPK，∴∠PKG=2∠HPK.
∵PF∥GH，∴∠FPK=∠PKG=2∠HPK.
∵∠HGE=90°，∴∠KPG=90°-∠PKG=90°-2∠HPK，
∴∠EPK=180°-∠KPG=180°-（90°-2∠HPK）=90°+2∠HPK.
∵PQ平分∠EPK，∴2∠QPK= 90°+2∠HPK，
∴∠QPK-∠HPK=45°，即∠QPH=45°，
∴∠HPQ的大小不会发生变化且∠QPH=45°.（14分）(共25张PPT)
第2课时　平行线的性质
平行线的性质
1.如图，AB∥CD，点E是AB上一点，且BC平分∠ECD.若∠ABC=20°，则∠AEC的度数为 （　D　）
A.55° B.45° C.60° D.40°
第1题图　　
D
2.如图，AB∥CD，若∠CDE=140°，则∠A的度数是　　 （　D　）
A.140° B.60° C.50° D.40°
第2题图
D
3.如图，已知AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠C=30°，则∠EAC的度数是 （　B　）
A.30° B.60° C.80° D.120°
第3题图　　
B
4.将一把直尺和一块含30°角的直角三角尺ABC按如图所示的位置放置.如果∠CED=50°，那么∠BAF的度数为　10°　.
第4题图
10°
5.如图，直线AB，CD相交于点O，OT⊥AB于点O，CE∥AB交CD于点C.若∠ECO=40°，求∠DOT的度数.
第5题图
解：∵CE∥AB，
∴∠BOD=∠ECO.
∵∠ECO=40°，∴∠BOD=40°.
∵OT⊥AB，
∴∠AOT=∠BOT=90°，
∴∠DOT=90°-∠BOD=90°-40°=50°.
6.（2024·绍兴期中）将一条两边互相平行的纸带按如图所示的方式折叠.若∠1=50°，求∠α的度数.
第6题图
解：延长DB至点E，如图所示.
∵BD∥AC，
∴∠1=∠3=50°（两直线平行，同位角相等），
∵两边互相平行的纸带按如图所示的方式折叠，
∴∠2=∠α.
∵∠2+∠α+∠3=180°，
∴2∠α+50°=180°，
∴∠α==65°.
平行线的判定与性质的综合应用
7.（2024·河南模拟）将含有30°角的直角三角尺和直尺如图放置.若∠1=25°，则∠2的度数为 （　D　）
A.50° B.45° C.40° D.35°
第7题图　　
D
8.如图，已知∠1=∠2，∠D=78°，则∠BCD=　102°　.
第8题图
102°
9.如图，已知CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为点D，F，∠B+∠BDG=180°，试说明∠BEF=∠CDG.将下面的解答过程补充完整.
第9题图
证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB（已知），
∴EF∥CD（　垂直同一条直线的两条直线平行　），
∴∠BEF=　∠BCD　（　两直线平行，同位角相等　）.
又∵∠B+∠BDG=180°（已知），
∴BC∥DG（　同旁内角互补，两直线平行　），
∴∠CDG=　∠BCD　（　两直线平行，内错角相等　），
∴∠BEF=∠CDG（　等量代换　）.
垂直同一条直线的两条直线平行
∠BCD
两直线平行，同位角相等
同旁内角互补，两直线平行
∠BCD
两直线平行，内错角相等
等量代换
10.如图，AD∥BC，∠C=30°，∠ADB∶∠BDC=1∶2，则∠DBC的度数是 （　D　）
A.30° B.36° C.45° D.50°
第10题图　　
D
11.如图，AB∥EF，∠C=90°，则α，β，γ的关系为 （　B　）
A.β=α+γ B.α+β-γ=90°
C.α+β+γ=180° D.β+γ-α=90°
第11题图
B
12.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=80°.
（1）求∠BAD的度数.
（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD=50°.求证：AE∥DC.
第12题图
解：（1）∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD=180°.
∵∠B=80°，∴∠BAD=100°.
（2）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=50°.
∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE=50°.
∵∠BCD=50°，∴∠BCD=∠AEB，
∴AE∥DC.
13.核心素养·推理能力如图1，AB∥CD，在AB，CD内有一条折线EPF.
（1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF.
（2）在图2中，画∠BEP的平分线与∠DFP的平分线，两条角平分线交于点Q，请你补全图形，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系，并证明你的结论.
（3）在（2）的条件下，已知∠BEP和∠DFP均为钝角，点G在直线AB，CD之间，且满足∠BEG=∠BEP，∠DFG=∠DFP，其中n为常数且n>1，直接写出∠EGF与∠EPF的数量关系.
　　第13题图
证明：（1）如图1，过点P作PG∥AB.
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠AEP=∠1，∠CFP=∠2.
又∵∠1+∠2=∠EPF，
∴∠AEP+∠CFP=∠EPF.
（2）补全图形如图2所示.
由（1）可得∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ.
∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，
∴∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=（∠BEP+∠DFP）=［360°-（∠AEP+∠CFP）］=（360°-∠EPF），
∴∠EPF+2∠EQF=360°.
（3）如图3，由（1）可得∠EGF=∠BEG+∠DFG，∠EPF=∠AEP+∠CFP.
∵∠BEG=∠BEP，∠DFG=∠DFP，
∴∠EGF=∠BEG+∠DFG=（∠BEP+∠DFP）=［360°-（∠AEP+∠CFP）］=×（360°-∠EPF），
∴n∠EGF+∠EPF=360°.(共22张PPT)
3　平行线的证明
第1课时　平行线的判定
平行线的判定
1.如图，若∠1=∠2，则AB∥CD，其依据可以简单说成 （　D　）
A.两直线平行，内错角相等 B.内错角相等，两直线平行
C.两直线平行，同位角相等 D.同位角相等，两直线平行
第1题图
D
2.如图，能判定EB∥AC的条件是 （　D　）
A.∠C=∠ABE B.∠A=∠EBD
C.∠C=∠ABC D.∠A=∠ABE
第2题图
D
3.如图，对于图中标记的各角，下列条件中能够推理得到a∥b的是 （　D　）
A.∠1=∠2 B.∠2=∠4
C.∠3=∠4 D.∠1+∠4=180°
第3题图　　
D
第4题图
4.（1）如图，若∠CBE=∠A，则　AD　∥　BC　，理由是　同位角相等，两直线平行 　.
（2）如图，若∠CBE=∠C，则　CD　∥　AE　，理由是　内错角相等，两直线平行 　.
（3）如图，若∠CDB+∠DBE=180°，则　CD　∥　AE　，理由是　同旁内角互补，两直线平行 　.
AD
BC
同位角相等，两直线平行
CD
AE
内错角相等，两直线平行
CD
AE
同旁内角互补，两直线平行
5.木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，就可以再找出两条平行线，如图所示，a∥b，这是依据　同位角相等，两直线平行　的道理.由此得出推论：在同一平面内，　垂直于同一直线的两条直线互相平行　.几何语言表述为∵a⊥l，b⊥l，∴　a∥b　.
第5题图　　
同位角相等，两直线平行
垂直于同一直线的两条直线互相平行
a∥b
6.如图，若∠1=∠2，则　c　∥　d　；若∠2+∠3=180°，则　a　∥　b　.
第6题图
c
d
a
b
7.如图，已知AB⊥AD，CD⊥AD，∠1=∠2，完成下列推理过程：
第7题图　　　
证明：∵AB⊥AD，CD⊥AD（已知），
∴　∠DAB　=　∠ADC　=90°（垂直定义）.
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠DAB-∠1=∠ADC-　∠2　（等式的性质），
即∠DAE=∠ADF，
∴DF∥　AE　（内错角相等，两直线平行）.
∠DAB
∠ADC
∠2
AE
8.如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由.
第8题图
解：∵∠BAG+∠AGD=180°，
∠AGC+∠AGD=180°，
∴∠BAG=∠AGC（　同角的补角相等　）.
∵EA平分∠BAG，
∴∠1=　∠BAG　.
∵FG平分∠AGC，
∴∠2=　∠AGC　，
得∠1=∠2，
∴AE∥GF（　内错角相等，两直线平行　）.
同角的补角相等
∠BAG
∠AGC
内错角相等，两直线平行
9.如图，点B在AC上，BD⊥BE，∠1+∠C=90°，问射线CF与BD平行吗？试说明理由.
第9题图
解：CF∥BD.
理由一：∵BD⊥BE，
∴∠DBE=90°，
∴∠1+∠2=90°.
又∵∠1+∠C=90°，
∴∠2=∠C，∴CF∥BD.
理由二：∵BD⊥BE，∴∠DBE=90°.又∵∠1+∠C=90°，∴∠C+∠DBC=180°，∴CF∥BD.
10.如图，已知∠1=∠2=∠3=∠4，则图中所有平行的直线是 （　D　）
A.AB∥CD∥EF
B.CD∥EF
C.AB∥EF
D.AB∥CD∥EF，BC∥DE
第10题图　　
D
11.如图，下列条件能判定直线l1∥l2的是 （　C　）
A.∠1=∠2 B.∠1=∠5
C.∠1+∠3=180° D.∠3=∠5
第11题图
C
12.如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，∠1+∠2=180°，证明：CD∥EF.
第12题图
证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∠B+∠D=180°，
∴AB∥CD.
又∵∠1+∠2=180°，
∴AB∥EF，
∴CD∥EF.
13.如图，将一副三角尺中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°.
（1）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由.
（2）若按住三角尺ABC不动，绕顶点C转动三角尺DCE，试探究∠BCD为多少度时，CD∥AB，并简要说明理由.
第13题图
解：（1）∠BCD+∠ACE=180°.理由如下：
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，
∠ACE=∠DCE-∠ACD=90°-∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE=180°.
（2）当∠BCD=120°或60°时，CD∥AB.理由如下：
如图1，根据同旁内角互补，两直线平行，
当∠B+∠BCD=180°时，CD∥AB，此时∠BCD=180°-∠B=180°-60°=120°；
如图2，根据内错角相等，两直线平行，
当∠B=∠BCD=60°时，CD∥AB.
14.（1）如图1，点B，C，D在同一直线上，∠A=∠1=∠3=55°，∠E=∠2=35°，试说明AB∥DE.
（2）如图2，点B，C，D在同一直线上，AC⊥EC，∠A=∠1，∠E=∠2，试说明AB∥DE.
第14题图
解：（1）先证AB∥CK，再求出∠KCE=35°=∠E，∴CK∥DE，∴AB∥DE.
（2）如图2，过点C作∠ACK=∠A，∴AB∥CK，
∴∠A=∠ACK=∠1（设为x°），
又∵∠ACE=90°，
∴∠KCE=90°-x°.
又∵∠2=90°-∠1=90°-x°=∠E，
∴∠E=∠KCE，∴CK∥DE，∴AB∥DE.(共10张PPT)
2　认识证明
第1课时　定义与命题
定义与命题
1.下列语句中，属于定义的是 （　C　）
A.直线AB和CD垂直
B.过线段AB的中点C画AB的垂线
C.两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离
D.同位角相等，两直线平行
C
2.下列语句中：①若∠1=60°，∠2=60°，则∠1=∠2；②同位角相等吗？③画线段AB=CD；④若a>b，b>c，则a>c；⑤直角都相等，其中是命题的是　①④⑤　（填序号）.
3.将命题“同角的补角相等”，改写成“如果……那么……”的形式是　如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等　.
①④⑤
如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等
真命题、假命题与反例
4.下列命题中是真命题的是 （　D　）
A.若|a|=|b|，则a=b
B.若a2=b2，则a=b
C.面积相等的两个三角形全等
D.同角的补角相等
D
5.下列命题中是假命题的是 （　C　）
A.所有的实数都可用数轴上的点表示
B.等角的补角相等
C.无理数包括正无理数、0、负无理数
D.两点之间线段最短
6.下列选项中，可以用来证明命题“若a2>1，则a>1”是假命题的反例是 （　A　）
A.a=-2 B.a=-1
C.a=1 D.a=2
C
A
7.下列命题中，是真命题的是 （　B　）
A.必然事件发生的概率等于0.5
B.5位同学二模的数学成绩是92，95，95，98，110，则他们成绩的平均数是98，众数是95
C.射击运动员甲、乙分别射击10次且击中环数的方差分别是5和18，则乙较甲稳定
D.要了解金牌获得者的兴奋剂使用情况，可采用抽样调查的方法
B
8.能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是 （　C　）
A.x=-1 B.x=+1
C.x=3 D.x=-
9.用一组a，b，c的值说明命题“若aC
1
2
-1

10.下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例.
（1）一个角的补角大于这个角.
（2）已知三条线段a，b，c，如果a+b>c，那么这三条线段一定能组成三角形.
（3）如果两个角的两条边分别平行，那么这两个角相等.
（4）有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等.
解：（1）假命题，反例：150°的补角是30°，显然不大于150°.
（2）假命题，反例：a=10，b=20，c=1，显然a+b>c，但a，b，c三条线段不能组成三角形.
（3）假命题，反例：如图1，
∠1和∠2的两条边分别平行，这两个角互补.
（4）假命题，反例：如图2，
AB=A'B'，AC=A'C'，AD=A'D'，
△ABC与△A'B'C'不全等.(共9张PPT)
第七章　　证　明
1　为什么要证明
认识证明的必要性
1.下列结论中，能肯定的是 （　B　）
A.今天天晴，明天必然还是晴天
B.三个连续整数的积一定能被6整除
C.小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖
D.两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的
B
2.如图，明明在图中先画出两条直线AB，CD，并且使直线AB∥CD，芳芳观察直线AB与CD后，又在AB与CD之间取了一点O，并过点O画了许多条直线，你再来观察，发现直线AB与CD还平行吗？你的结论是：　平行　（选填“平行”或“相交”）.
第2题图
平行
推理论证
3.下列问题中，用到推理的是 （　A　）
A.已知x=3，y=3，则x=y
B.观察得到六边形有六个内角
C.老师告诉了我们关于“神舟十三号”的许多奥秘
D.小明和他兄弟看起来一样高
A
4.已知a，b，c是不完全相等的任意实数，若x=a-2b+c，y=a+b-2c，z=-2a+b+c，则关于x，y，z的值，下列说法中正确的是 （　B　）
A.都大于0 B.至少有一个大于0
C.都小于0 D.至多有一个大于0
B
5.下列说法中正确的是 （　D　）
A.实验、观察、归纳完全可以判断一个数学结论的正确与否
B.推理是数学家的事，与学生没有多大关系
C.对于所有自然数n，n2+n+37的值一定是质数
D.有6个人分在5个小组，则至少有2个人在同一组
D
6.核心素养·推理能力甲、乙、丙、丁四位同学在玩推理游戏，要找出谁在数学测评中获奖.甲说：“是乙获奖.”乙说：“是丙获奖.”丙说：“乙说的不是实话.”丁说：“反正我没有获奖.”如果这四个同学中只有一个人说了实话，那么获奖的是　丁　.
丁
7.新考法观察各式规律：
12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；
22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；
32+（3×4）2+42=（3×4+1）2；
……
（1）写出第2 025个的式子.
（2）写出第n个的式子，并验证你的结论.
解：（1）第2 025个的式子：2 0252+（2 025×2 026）2+2 0262=（2 025×2 026+1）2.
（2）第n个的式子：
n2+［n（n+1）］2+（n+1）2=［n（n+1）+1］2.证明如下：
左边=n2+n2（n2+2n+1）+n2+2n+1
=n4+2n3+3n2+2n+1，
右边=（n2+n+1）2=n4+2n2（n+1）+（n+1）2
=n4+2n3+3n2+2n+1，
左边=右边，
所以等式成立.(共23张PPT)
专题15　【解题技巧】平行线中的折线问题
【模型归纳】如图，AB∥CD，点P是平行点外一点，则下面四个图形中∠A与∠P，∠C之间的数量关系分别如下.
1.如图，如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF的度数是 （　C　）
第1题图
A.180°
B.270°
C.360°
D.540°
C
2.如图，AB∥EF，∠ABC=75°，∠CDF=135°，则∠BCD的度数为 （　D　）
第2题图
A.20° B.45° C.35° D.30°
D
3.如图，GA∥FD，一副三角尺如图摆放，∠EDF=60°，∠BAC=45°.若BC∥DE，下列结论中错误的是 （　D　）
第3题图
A.EF∥AB B.∠GAB=30°
C.EC平分∠FED D.∠AED=120°
D
4.如图，已知AB∥CD，∠AMP=150°，∠PND=60°.求证：MP⊥PN.
第4题图
解：如图，过点P向左侧作PE∥AB，则∠AMP+∠MPE=180°，
∴∠MPE=30°.
∵AB∥CD，PE∥AB，
∴PE∥CD，
∴∠EPN=∠PND=60°，
∴∠MPN=∠MPE+∠EPN=30°+60°=90°，
∴MP⊥PN.
5.如图，AB∥DE，∠ABC=110°，∠CDE=30°，求∠BCD的度数.
第5题图
解：如图，过点C作CF∥AB∥DE，则∠BCF=70°，∠DCF=∠CDE=30°，
∴∠BCD=∠BCF+∠DCF=70°+
30°=100°.
6.如图，已知AB∥CD，在∠ACD的平分线上取两个点M，N，使得∠AMN=∠N.求证：∠CAM=∠BAN.
第6题图
证明：∵AB∥CD，
∴易证∠N=∠BAN+∠DCN.
∵∠AMN=∠N，
∴∠AMN=∠BAN+∠DCN.
∵∠AMN是△ACM的外角，
∴∠AMN=∠ACM+∠CAM，
∴∠BAN+∠DCN=∠ACM+∠CAM.
∵CN平分∠ACD，∴∠DCN=∠ACM，
∴∠CAM=∠BAN.
7.如图，直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，求∠1+∠2的度数.
第7题图
解：如图，过点A，B分别作
AC∥l1，BD∥l2.
∵l1∥l2，
∴l1∥AC∥BD∥l2，
∴∠MAC=∠1，∠2=∠DBN，∠CAB+∠ABD=180°.
∵∠MAB+∠ABN=∠MAC+∠CAB+∠ABD+∠DBN=∠1+180°+∠2=125°+85°，
∴∠1+∠2=30°.
8.如图1，已知∠BAG+∠AGD=180°，AF，EF，EG是三条折线段.
（1）若∠E=∠F，如图2所示，求证：∠1=∠2.
（2）根据图1，写出∠1+∠E与∠2+∠F之间的关系，并证明.
图1　　　　　　　　　图2
第8题图
解：（1）证明：∵∠BAG+∠AGD=180°，
∴AB∥CD，∴∠BAG=∠AGC.
∵∠E=∠F，∴AF∥EG，
∴∠FAG=∠AGE，
∴∠BAG-∠FAG=∠AGC-∠AGE，
∴∠1=∠2.
（2）由（1）可知，AB∥CD，
∴∠1+∠GAF=∠2+∠EGA.
∵∠E+∠EGA=∠F+∠GAF，
∴上述两式相加，得∠1+∠GAF+∠E+∠EGA=∠2+∠EGA+∠F+∠GAF，
∴∠1+∠E=∠2+∠F.
9.核心素养·图形直观如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC.求∠BAC+∠B+∠C的度数.
　　第9题图
解：过点A作ED∥BC，
∴∠B=　∠EAB　，∠C=　∠DAC　.
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°.
∴∠B+∠BAC+∠C=　180°　.
∠EAB
∠DAC
180°
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程.
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.
【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE，CE交于点E，∠BEC=80°，在图2的情况下求∠B-∠C的度数.
（3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系.
解：（1）∠EAB；∠DAC；180°.
（2）如图2，过点E作EF∥AB，
∴∠B+∠BEF=180°，∴∠BEF=180°-∠B.
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC=∠C.
∵∠BEC=80°，∴∠BEF+∠FEC=80°，
∴180°-∠B+∠C=80°，∴∠B-∠C=100°.
（3）∠BPD=∠B-∠D，
理由如下：如图3，过点P作PE∥CD，∴∠D=∠DPE.
∵AB∥CD，∴AB∥PE，
∴∠B=∠BPE.
∵∠BPD=∠BPE-∠DPE，
∴∠BPD=∠B-∠D.(共17张PPT)
第2课时　定理与证明
公理与定理的概念
1.下列命题中不是公理的是 （　C　）
A.两点之间线段最短
B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C.全等三角形的面积相等
D.同位角相等，两直线平行
C
2.下列句子中，是定理的是　②③⑤　，是公理的是　①　，是定义的是　④　.
①若a=b，b=c，则a=c；
②对顶角相等；
③全等三角形的对应边相等，对应角相等；
④三边相等的三角形叫作等边三角形；
⑤两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
②③⑤
①
④
证明
3.在证明过程中，可以用来作为推理依据的是 （　B　）
A.公理、定义 B.定理、定义、公理
C.公理 D.定理、公理
4.定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是（　A　）
A.两点之间线段最短
B.边边边公理　　
C.同位角相等，两直线平行
D.垂线段最短
B
A
5.下列说法中错误的是 （　A　）
A.若∠1=∠2，则∠1，∠2是对顶角
B.若∠1，∠2都是直角，则∠1=∠2
C.若∠1=∠2，则∠1+∠3=∠2+∠3
D.若∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，则∠1=∠2
A
6.如图，已知直线EF分别交直线AB，CD于点M，N，AB∥CD，MG平分∠EMB，NH平分∠END.求证：MG∥NH.
第6题图
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠EMB=∠END（两直线平行，同位角相等）.
∵MG平分∠EMB，NH平分∠END（已知），
∴∠EMG=∠EMB，∠ENH=∠END（角平分线的定义），
∴∠EMG=∠ENH（等量代换），
∴MG∥NH（同位角相等，两直线平行）.
∴∠EMG=
∠EMB，∠ENH=
∠END（角平分线的定义），
7.下列命题：①能被3整除的数也能被6整除；②等式两边除以同一个数，结果仍是等式；③x=2是一元一次方程x-2=0的解；④对顶角相等.其中可以作为定理的有 （　A　）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
A
8.把下列推理的依据写出来，并指出是公理还是定理.
第8题图
（1）如图，若∠1=∠2，则a∥b.推理依据：　同位角相等，两直线平行　，是　公　理.
（2）在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B'，∠A=∠A'，∠C=∠C'，则△ABC≌△A'B'C'.推理依据：　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等　，是　定　理.
同位角相等，两直线平行
公
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
定
9.求证：全等三角形对应边上的中线相等.
我们在证明文字命题时，通常应遵循这样的步骤：（按要求填空，写出证明过程）
（1）要弄清命题的条件和结论，那么这个命题的
条件是：　两条线段是全等三角形的对应边的中线　，
结论是：　这两条线段相等 　.
两条线段是全等三角形的对应边的中线
这两条线段相等
（2）结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形，如图所示.
第9题图
（3）结合所画图形和这个命题的条件和结论写出已知和求证，并进行证明.
已知：如图，①　△ABC≌△A'B'C'　，线段AD，A'D'分别是边BC，B'C'上的中线.
求证：②　AD=A'D'　.
△ABC≌△A'B'C'
AD=A'D'
证明：
解：（1）两条线段是全等三角形的对应边的中线，这两条线段相等.
（3）①△ABC≌△A'B'C'　②AD=A'D'
证明：∵△ABC≌△A'B'C'（已知），
∴AB=A'B'，BC=B'C'（全等三角形的对应边相等），
∠B=∠B'（全等三角形的对应角相等）.
∵AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'中线（已知），
∴BD=BC，B'D'=B'C''（中线的定义），
∴BD=B'D'.
在△BAD和△B'A'D'中，
∴△BAD≌△B'A'D'（SAS），∴AD=A'D'（全等三角形的对应边相等）.
10.如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一条直线上.下面有四个条件，请你从中选择三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明.
①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF；
第10题图
解：将①②④作为题设，③作为结论，可写出一个正确的命题.（答案不唯一）
已知：如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.
求证：∠ABC=∠DEF.
证明：在△ABC和△DEF中，
∵BE=CF，
∴BE+EC=EC+CF，
∴BC=EF.
又∵AB=DE，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ABC=∠DEF.

展开更多......

收起↑