资源简介

(共18张PPT)
3　勾股定理的应用
勾股定理与折叠问题
1.如图，将Rt△ABC沿AD对折，使点C落在AB上的点E处.若AC=6，AB=10，则DB=　5　.
第1题图
5
2.北师大八上教材P13尝试·思考改编如图，长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在点C'处，BC'交AD于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.
第2题图
解：易知△ABE≌△C'DE.设BE=DE=x，则AE=8-x.
在Rt△ABE中，42+（8-x）2=x2，解得x=5，所以DE=5.
勾股定理的实际应用
3.如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行 （　B　）
第3题图
A.8 m B.10 m C.12 m D.14 m
B
4.由于台风的影响，一棵树在离地面6 m处折断（如图），树顶落在离树干底部8 m处，则这棵树在折断前（不包括树根）的高度是　16　m.
第4题图
16
5.如图，一段楼梯高BC是3 m，斜边AC长5 m，在楼梯上铺地毯，则地毯至少长　7　m.
第5题图
7
6.新考法小明为了测得风筝的垂直高度CE（如图），进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为8 m；
②根据手中剩余线的长度计算出放出去的风筝线BC的长为17 m；
③牵线放风筝的小明的身高为1.5 m.
（1）求风筝的垂直高度CE.
（2）小明位置不动，若想让风筝沿CD方向下降9 m，他应该往回收线多少米？
第6题图
解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理，得CD2=BC2-BD2=172-82=225，所以CD=15，
所以CE=CD+DE=15+1.5=16.5（m）.
答：风筝的垂直高度CE为16.5 m.
（2）由题意，得CM=9，所以DM=6，
所以BM2=DM2+BD2=62+82=100，所以BM=10 m，
所以BC-BM=17-10=7（m）.
所以他应该往回收线7 m.
7.核心素养·模型观念如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m.若梯子底端的位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5 m，则小巷的宽度为 （　A　）
第7题图
A.2.7 m B.2.5 m C.2 m D.1.8 m
A
8.如图1，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光.当一个身高1.5 m的学生（即CD=1.5 m）走到灯刚好发光时（如图2），他离墙的距离为 （　A　）
第8题图
A.4 m B.3 m C.5 m D.7 m
A
9.我国古代《九章算术》中的“折竹抵地问题”：一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺处，折断处离地面的高度为　3.2　尺.（一丈=10尺）
10.一艘轮船以 n mile/h的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以10 n mile/h的速度从A港向西北方向航行，经过1.5 h后，它们相距　25　n mile.
3.2
25
11.数学文化某中学七年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章产生了学习兴趣.今天，他学到了勾股章第7题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何？”本题大意是：如图，木柱AB⊥BC，绳索AC比木柱AB长三尺，BC的长为8尺，求绳索AC的长.
第11题图
解：设AC=x，则AB=x-3.
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
所以（x-3）2+82=x2，
解得x=.
答：绳索AC的长是尺.
12.（1）如图1，已知AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD所在直线对折，点C落在点E的位置（如图1），连接BE，则∠EBC=　45°　.
（2）如图2，有一直角三角形纸片，两直角边AC=3，BC=4，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长.
45°
解：（1）依题意，得∠EDA=∠ADC=45°，即∠EDC=90°.
因为AD为△ABC的中线，所以BD=DC.
又因为DC=DE，所以BD=DE，
所以△BDE为等腰直角三角形，
所以∠EBC=45°.
（2）令CD=x，则DB=4-x.
因为AC=3，BC=4，△ABC为直角三角形，
所以AB=5.
由题意，得AE=AC=3，DE=x，所以EB=2.
因为∠AED=∠C=90°，所以∠BED=90°，
故在Rt△BDE中运用勾股定理，得
（4-x）2=22+x2，
16-8x=4，解得x=，即CD=.(共20张PPT)
第2课时　验证勾股定理
勾股定理的验证
1.数学文化观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b（a>b），斜边为c，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式 （　C　）
A.a（a-b）=a2-ab B.（a+b）（a-b）=a2-b2
C.（a-b）2=c2-2ab D.（a+b）2=a2+2ab+b2
C
2.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等三角形的两边AE，EB在一条直线上.证明中用到的面积相等关系是 （　D　）
A.S△EDA=S△CEB
B.S△EDA+S△CEB=S△CDE
C.S四边形CDAE=S四边形CDEB
D.S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD
D
3.核心素养·创新意识勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜地发现，当四个全等的直角三角形按如图所示摆放时，可以用“面积法”来验证a2+b2=c2.你能说明其中的道理吗？请试一试（提示：结合图中所作辅助线利用面积相等验证）.
解：图形的总面积可以表示为c2+2×ab=c2+ab，也可表示为a2+b2+2×ab=a2+b2+ab，所以c2+ab=a2+b2+ab，即a2+b2=c2.
勾股定理的简单应用
4.如图，为了测量湖两岸A，B两点之间的距离，观测者从测点A，B分别测得∠BAC=90°，又量得AC=9 m，BC=15 m，则A，B两点之间的距离为 （　C　）
A.10 m B.11 m C.12 m D.13 m
C
5.如图，已知∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3，BC=4，DE=EF=2，则AF的长是　10　.
10
6.核心素养·运算能力在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点E为斜边AB上一点，连接CE.若CE=，则线段AE的长为 或　.
或　
7.人教八下教材P38T4改编如图，要修建一个育苗棚，棚高h=1.8 m，棚宽a=2.4 m，棚宽的长d=12 m.现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜.
第7题图
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=h2+a2=1.82+2.42=9，所以AB=3，即直角三角形的斜边长AB=3 m，所以矩形塑料薄膜的面积为3×12=36（m2）.
答：需要36 m2塑料薄膜.
8.新情境某市《道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过60 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测点A正前方30 m的C处，2 s后又行驶到与车速检测点A相距50 m的B处.请问这辆小汽车超速了吗？若超速，请求出超速了多少.
解：由题意，得AB=50 m，AC=30 m.
在Rt△ABC中，
AB2=AC2+BC2，
所以BC2=AB2-AC2=502-302=402，所以BC=40 m，
所以小汽车的速度为=20（m/s）=72 km/h>60 km/h，
所以这辆小汽车超速了，超速了12 km/h.
9.如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是 （　B　）
A.10 B.8 C.7 D.5
B
10.如图，长12 cm的橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B.若把中点C竖直向上拉升4.5 cm至点D处，则拉长后橡皮筋的长为 （　D　）
A.20 cm B.18 cm C.16 cm D.15 cm
第10题图
D
11.北师大八上教材P22T9改编如图，一架长2.5 m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，梯底距墙底端0.7 m.若梯子的顶端沿墙下滑0.4 m，则梯子的底端将滑出多少米？
第11题图
解：在Rt△AOB中，AO2=AB2-OB2=2.52-0.72=2.42，
所以AO=2.4 m，
所以CO=AO-AC=2.4-0.4=2（m）.
在Rt△COD中，OD2=CD2-
CO2=2.52-22=1.52，
所以OD=1.5 m，所以BD=OD-OB=1.5-0.7=0.8（m）.
因此，梯子的底端将滑出0.8 m.
12.阅读材料，回答下列问题：
三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明，实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系.如图是由8个全等的直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形拼成的“弦图”.
（1）在图中，正方形ABCD的面积可表示为　（a+b）2　，正方形PQMN的面积可表示为　（a-b）2　.（用含a，b的代数式表示）
（2）请结合图用面积法说明（a+b）2，ab，（a-b）2三者之间的等量关系.
（a+b）2
（a-b）2
（3）已知a+b=7，ab=5，求正方形EFGH的面积.
第12题图
解：（1）正方形ABCD的面积可表示为（a+b）2，正方形PQMN的面积可表示为（a-b）2.
故答案为（a+b）2，（a-b）2.
（2）因为正方形ABCD的面积=正方形MNPQ的面积+直角三角形的面积×8，
所以（a+b）2=（a-b）2+ab×8，
所以（a+b）2=（a-b）2+4ab.
所以（a+b）2=（a-b）+ ab×8，
（3）因为正方形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-直角三角形的面积×4，
所以正方形EFGH的面积=（a+b）2-ab×4
=（a+b）2-2ab
=72-2×5=39.(共17张PPT)
问题解决策略：反思
确定几何体上两点之间的最短路线
1.如图，一圆柱高6 cm，底面周长为16 cm，一只壁虎从点A处爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是 （　C　）
A.20 cm B.14 cm
C.10 cm D.无法确定
C
2.小南同学报名参加了学校的攀岩选修课，攀岩墙近似看作一个长方体的两个侧面，如图所示.他根据学过的数学知识准确地判断出：从点A攀爬到点B的最短路径值的平方为　128　.
第2题图
128
3.如图，一只蚂蚁沿棱长为2的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程的平方为　20　.
第3题图
20
4.新情境如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从点A绕到正上方的点B.已知圆柱底面周长是3 m，高为5 m，则至少需要彩带　13　m.
13
5.如图，地面上一块砖宽AN=5 cm，长ND=10 cm，CD上的点B距地面BD=8 cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短距离是多少？
第5题图
解：如图是长方体的侧面展开图，线段AB是蚂蚁爬行的最短路径.
由题意，得AD=AN+ND=5+10=15（cm）.
因为BD=8 cm，
所以在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2=AD2+BD2=152+82=289，
所以AB=17 cm.因此，需要爬行的最短距离是17 cm.
6.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程是多少？
第6题图
解：台阶展开示意图如图所示.
三级台阶平面展开图为长方形，长为20 dm，宽为（2+3）×3=15（dm），
则蚂蚁沿台阶面爬行到点B最短路程是此长方形的对角线长.
由勾股定理，得AB2=202+152=252，所以AB=25 dm.
答：蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程是25 dm.
7.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 m的半圆，其边缘AB=CD=20 m，点E在CD上，CE=5 m，一滑板爱好者从点A滑到点E，求他滑行的最短距离.（边缘部分的厚度忽略不计）
第7题图
解：把滑行部分展开如图.
展开后AD=π·=20（m），DE=CD-CE=20-5=15（m）.
在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE2=AD2+DE2=202+152=252，得AE=25 m.
故他滑行的最短距离为25 m.
8.新情境如图，在公路L的同侧有两个居民点A，B，居民点A，B到公路的距离分别为AC=2 km和BD=7 km，且两个居民点A，B相距13 km.
（1）要在公路边修一个污水处理站P来收集处理居民点A，B的污水，污水处理站P修在什么地方到居民点A，B所用的水管最短，请你在图中设计出污水处理站P的位置.（保留作图痕迹，不用证明）
（2）若铺设水管的工程费用为2万元/km，为使铺设水管的费用最节省，请求出最节省的费用为多少万元.
第8题图
解：（1）如图所示，点P即为所求.
（2）如图，过点A'作A'E⊥BD，交BD的延长线于点E，过点A作AF⊥BD于点F.
根据作图性质，易得DE=A'C=AC=2 km，
A'E=AF=12（km）.
在Rt△A'EB中，A'B2=A'E2+BE2=122+92=225，A'B=15 km，
15×2=30（万元），
所以最节省的费用为30 万元.
9.北师大八上教材P18T1改编如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C的距离是5 cm.一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？
第9题图
解：沿长方体的表面从点A爬到点B的走法有三种：
沿右面和前面走时，如图1.
BD=CD+BC=10+5=15（cm），AD=20 cm.
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB2=BD2+AD2=152+202=625.
沿右面和上面走时，如图2.
BD=CD+BC=20+5=25（cm），AD=10 cm.
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB2=BD2+AD2=252+102=725.
沿后面和上面走时，如图3.
AC=AD+CD=20+10=30（cm），BC=5 cm.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2=302+52=925.
因为625<725<925，当AB2=625时，AB=25 cm，
所以蚂蚁需要爬行的最短路程是25 cm.(共13张PPT)
专题4　【方法技巧】利用勾股定理求最短路径长
类型一　平面上的最短路径
1.如图，某人从A地到B地，若先从A地向北走9 km，又向东走6 km，再向北走3 km，最后向西走1 km，恰好到达B地，则A，B之间的最短路程为　13　km.
13
2.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC=400 m，BD=200 m，CD=800 m.牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，问在何处饮水能使所走的总路径最短？最短路程是多少？
第2题图
解：如图，作点A关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于点M，则在点M处饮水能使所走的路程最短，最短路程为A'B的长.过点A'作A'H⊥BD交BD的延长线于点H.在Rt△A'HB中，A'H=CD=800 m，BH=BD+DH=BD+AC=200+400=600（m）.
在Rt△A'BH中，由勾股定理，得A'B2=A'H2+BH2=8002+6002=1 000 000，
故A'B=1 000 m，所以最短路程是1 000 m.
3.如图，笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B.其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得BC=5 km，CH=4 km，BH=3 km.
（1）问CH是否为从旅游地C到河的最近的路线？请通过计算加以说明.
（2）求原来路线AC的长.
第3题图
解：（1）CH是从旅游地C到河的最近的路线.理由如下：
在△CHB中，
CH2+BH2=42+32=25，BC2=25，
所以CH2+BH2=BC2，
所以△HBC是直角三角形且∠CHB=90°，
所以CH⊥AB，
所以CH是从旅游地C到河的最近的路线.
（2）设AC=AB=x km，则AH=（x-3）km.
在Rt△ACH中，由勾股定理，得AC2=AH2+CH2，
所以x2=（x-3）2+42，解得x=.
答：原来路线AC的长为 km.
类型二　几何体表面上的最短路径
4.如图，正方体的棱长为2，点B为一条棱的中点.已知蚂蚁沿正方体的表面从点A出发，到达点B，设它运动的最短路程为S，则S2=　17　.
17
5.如图，圆柱形玻璃杯高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　15　cm.
15
6.如图，台阶阶梯每一层高20 cm，宽40 cm，长50 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B，最短路程是多少厘米？
第6题图
解：如图，因为它的每一级长50 cm，
宽40 cm，高20 cm，
所以AB2=502+=16 900，
所以AB=130 cm.
答：一只蚂蚁从点A爬到点B，最短路程是130 cm.(共20张PPT)
第一章　　勾股定理
1　探索勾股定理
第1课时　探索勾股定理
勾股定理的初步认识及简单应用
1.已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是 （　D　）
A.a2+b2=c2
B.若△ABC是直角三角形，则a2+b2=c2
C.若∠A=90°，则a2+b2=c2
D.若∠C=90°，则a2+b2=c2
D
2.若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2-6a+9+|b-4|=0，则该直角三角形的第三边长的平方为 （　C　）
A.25 B.7 C.25或7 D.25或16
3.沪科八下教材P57T5改编从电线杆离地面8 m 处拉一根长为10 m的缆绳，则这条缆绳在地面的固定点到电线杆底部的距离为 （　C　）
A.2 m B.4 m C.6 m D.8 m
4.若一个直角三角形两直角边的比为5∶12，斜边长为39，则此直角三角形的周长为　90　.
C
C
90
5.如图，在△ABC中，AE⊥BC，垂足为点E，AB=15，BE=9，CE=5，求AC的长.
解：因为AE2=AB2-BE2=144，
所以AE=12，
所以AC2=AE2+CE2=169，
所以AC=13.
6.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠DBC=90°.若AD=4 cm，AB=3 cm，DC=13 cm，求BC的长.
解：因为∠BAD=∠DBC=90°，所以△ADB，△BDC均是直角三角形.由题意，得AD=4 cm，AB=3 cm，DC=13 cm.在Rt△ABD中，BD2=AD2+AB2=25.
在Rt△BDC中，BC2=DC2-BD2=132-25=144，
所以BC=12 cm.
利用勾股定理求面积
7.如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的边长为 （　B　）
A.4 B.8 C.16 D.64
第7题图
B
8.如图，点E在正方形ABCD内.若∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积为　76　.
第8题图
76
9.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于点E，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC，CF于点M，F.若EM=3，则CE2+CF2的值为 （　A　）
第9题图
A.36 B.9 C.6 D.18
A
10.直角三角形两条直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高为 　.

11.新考法对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形.现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O.若AD=5，BC=12，则AB2+CD2=　169　.
第11题图
169
12.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M是BC的中点，MN⊥AC于点N.
（1）求△ABC的面积.
（2）求MN的长.
第12题图
解：（1）如图，连接AM，则AM⊥BC（三线合一）.在Rt△ACM中，可求AM=4，所以S△ABC=12.
（2）在Rt△ACM中，
S△AMC=·MN·AC=
·AM·MC，
则×MN×5=×3×4，所以MN=.
13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，AC=6，BC=8，求△ABD的面积.
第13题图
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E.易证
Rt△ACD≌Rt△AED，
则AC=AE=6.
易求AB=10，BE=4.
设CD=DE=x.
在Rt△BDE中，x2+42=（8-x）2，
解得x=3，所以CD=DE=3，
所以S△ABD=AB·DE=×10×3=15.
14.核心素养·推理能力如果正整数a，b，c满足等式a2+b2=c2，那么正整数a，b，c叫作勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下图，观察图中每列数的规律，求x+y的值.
第14题图
解：由题可得3=22-1，4=2×2，5=22+1……
所以a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n≥2，且n为整数），
所以当c=n2+1=65时，n=8，
所以x=63，y=16，所以x+y=79.(共8张PPT)
综合与实践　勾股定理在测量中的应用
1.某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系”的实践探究活动.如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘点B离桌面的高度BC为7 cm，此时底部边缘点A与点C之间的距离AC为24 cm.
（1）求AB的长度.
（2）若小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为∠DAF时（点D为点B的对应点），顶部边缘点D离桌面的高度为DE，此时底部边缘点A与点E之间的距离AE为15 cm，求此时电脑顶部边缘上升的高度.
第1题图
解：（1）根据题意，得BC=7 cm，AC=24 cm，∠ACB=90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=242+72=625，
所以AB=25 cm.
答：AB的长度为25 cm.
（2）因为AD=AB=25 cm，AE=15 cm，∠AED=90°，
所以在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE2=AD2-AE2=252-152=400，
所以DE=20 cm，
所以此时电脑顶部边缘上升的高度为20-7=13（cm）.
答：此时电脑顶部边缘上升的高度为13 cm.
2.某大学新建了一个校史馆，其中一个长方形展厅利用智能机器人担任讲解员，展厅已有一个长方形展柜（图中展柜1），计划新建长方形展柜2.李老师将展柜2的尺寸规划任务交给希望兴趣小组，小组的同学们把“校史馆展柜设计”的任务作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告.请根据活动报告，计算FG的长度.
课题 校史馆展柜设计
调查方式 走访调研、实地察看测量
测量过程 及计算 调研内容及图示
相关数据及说明 机器人从出口正中心（即HE的中点）通过时，机器人的边缘距离点H和点E的安全距离都为10 cm
解：如图，延长BE，FH交于点P，连接EH，
则∠HPE=90°，PB=AF，PF=AB=80 cm，
所以HP=80-40=40（cm）.
由题意知，HE=30+10×2=50（cm）.
在Rt△HPE中，PE2=HE2-HP2=900，PE=30 cm.
因为四边形BCDE为长方形，
所以BE=CD=60 cm，
所以AF=PB=PE+BE=90 cm，
所以FG=AG-AF=110 cm.(共8张PPT)
综合与实践　勾股定理的证明
【阅读理解】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，它反映了直角三角形的三边关系，即直角三角形两直角边（即“勾”“股”）边长的平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方.也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2.迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有400种.
【尝试探究】
（1）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为　　　　　　　或者是　　　　　　　，因此得到　　　　　　 　，
运用乘法公式展开整理得到a2+b2=c2.
（2）其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图2用四个直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形直角边分别为a，b，斜边长为c，请你根据古人的拼图完成证明.
（3）利用图3也能证明勾股定理，其中四个直角三角形直角边分别为a，b，斜边长为c，请你帮助完成.
【实践应用】
（4）已知a，b，c为Rt△ABC的三边（c>b>a），试比较代数式a2c2+a2b2与c4-b4的大小关系.
解：（1）（a+b）2，2×ab+c2，（a+b）2=2×ab+c2
（2）图2中大正方形的面积可表示为（a+b）2，
也可表示为c2+4×(ab)，
即（a+b）2=c2+4×(ab)，
所以a2+b2=c2.
（3）图3中大正方形的面积可表示为c2，
也可表示为（b-a）2+4×(ab)，
即（b-a）2+4×(ab)=c2，
所以a2+b2=c2.
（4）因为a，b，c为Rt△ABC的三边（c>b>a），
所以c2=a2+b2.
因为a2c2+a2b2=a2（a2+b2）+a2b2=a4+2a2b2，
c4-b4=（a2+b2）2-b4=a4+2a2b2+b4-b4=a4+2a2b2，
所以代数式a2c2+a2b2与c4-b4的大小关系是相等.(共18张PPT)
单元核心考点归纳
勾股定理及其验证
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3.若S1=5，AB=4，则S2的值是 （　C　）
A.6 B.8
C.11 D.24
C
2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线.已知AB=5，AD=3，则BC的长为 （　C　）
A.5 B.6
C.8 D.10
C
3.在等腰三角形ABC中，AB=AC=10 cm，BC=12 cm，则边BC上的高是　8　cm.
8
4.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的边长分别为4，6，3，4，则最大的正方形E的面积是　77　.
77
5.如图，在△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上的一点，AD=15，且AD⊥AC，求BD的长.
第5题图
解：因为AD⊥AC，AC=20，AD=15，
所以CD2=202+152=625，
CD=25，
所以BD=BC-CD=32-25=7.
直角三角形的判定
6.下列各组3个整数是勾股数的是 （　D　）
A.4，5，6 B.6，8，9
C.13，14，15 D.8，15，17
D
7.已知三角形的三边长a，b，c满足（a-3）2+|b-c-1|+（c-4）2=0，则这个三角形是 （　C　）
A.等边三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.锐角三角形
C
8.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形的三条线段是 （　B　）
A.CD，EF，GH B.AB，EF，GH
C.AB，CD，GH D.AB，CD，EF
B
勾股定理的实际应用
9.两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8 cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6 cm，10 min之后两只小鼹鼠相距 （　A　）
A.100 cm B.50 cm C.140 cm D.80 cm
A
10.跨学科·生物学葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上.现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高2.4 m，如果把树干看成圆柱体，其底面周长是0.5 m，葛藤盘旋1圈的示意图如图所示，则这段葛藤的长是　2.6　m.
2.6
11.如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙角 1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙角　2　m.
2
12.如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走出了一条“路”.他们仅仅少走了　8　步路（假设2步为1 m），却踩伤了花草.
8
13.新情境一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：mm），则两圆孔中心A和B之间的距离为　150　mm.
150
14.为了积极宣传预防感冒，某社区采用了移动车进行广播.如图，小明家在南街这条笔直公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离AB为600 m.假使广播车P周围1000 m以内能听到广播宣传，广播车P以400 m/min的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，假如小明此时在家，他是否能听到广播宣传？若能，请求出他总共能够听到多长时间的广播宣传；若不能，请说明理由.
解：小明能听到广播宣传.理由如下：
因为A到公路MN的距离为600 m<1000 m，
所以小明能听到广播宣传.
如图，假设当广播车行驶到点P开始小明听到广播，行驶到点Q小明恰好听不到广播，
则AP=AQ=1000 m，AB=600 m，
所以BP2=BQ2=10002-6002=8002，BP=BQ=800 m，
所以PQ=1600 m，
所以小明听到广播的时间为1600÷400=4（min）.
答：他总共能够听到4 min的广播宣传.
因为A到公路MN的距离为600 m<1000 m，
所以小明能听到广播宣传.
如图，假设当广播车行驶到点P开始小明听到广播，行驶到点Q小明恰好听不到广播，
则AP=AQ=1000 m，AB=600 m，
所以BP2=BQ2=10002-6002=8002，BP=BQ=800 m，
所以PQ=1600 m，
所以小明听到广播的时间为1600÷400=4（min）.(共14张PPT)
专题3　【重点强化】勾股定理与折叠问题
【重点强化1】折叠三角形问题中，根据勾股定理列方程
1.如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，求BN的长.
第1题图
解：设BN=x，则AN=ND=9-x，BD=BC=3.
在Rt△BND中，x2+32=（9-x）2，
解得x=4，
所以BN=4.
2.如图，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分（阴影部分）的面积.
第2题图
解：因为AC2+BC2=122+162=400=AB2，所以△ABC为直角三角形.设DC=x，所以BD=B'D=16-x.在Rt△DCB'中，x2+82=（16-x）2，解得x=6，所以S△ACD=DC·AC=×6×12=36.
故重叠部分的面积为36.
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，进行如下操作，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE.若AC=3，BC=4，求CD的长.
第3题图
解：由折叠的性质，可得BD=AD，
所以在Rt△ACD中，CD2+AC2=AD2.
设CD=x，则AD=BD=4-x，即x2+9=（4-x）2，
解得x=，即CD=.
4.如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，求AE的长.
第4题图
解：根据折叠可知，AB=AD，ED=EC，∠ADB=∠B，∠EDC=∠C.
因为∠BAC=90°，所以∠B+∠C=90°，
所以∠ADB+∠EDC=90°，所以∠ADE=90°.
设AE=x.因为AB=2，AC=3，
所以AD=2，CE=3-x，所以ED=3-x.
在Rt△ADE中，根据勾股定理，得22+（3-x）2=x2，解得x=，即AE的长为.
【重点强化2】折叠长方形问题中，勾股定理的应用
5.如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处.设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由.
第5题图
解：a2+b2=c2.理由如下：
由折叠的性质，得B'F=BF，
∠B'FE=∠BFE.
在长方形ABCD中，AD∥BC，
所以∠B'EF=∠BFE，
所以∠B'FE=∠B'EF，
所以B'F=B'E，
所以B'E=BF=c.
由折叠的性质，得∠A'=∠A=90°，
A'E=AE=a，A'B'=AB=b.
在△A'B'E中，因为∠A'=90°，
所以A'E2+A'B'2=B'E2，
所以a2+b2=c2.
6.如图，在长方形ABCD中，对角线AC=10，AB=6，E为边BC上的一点.将长方形ABCD沿AE所在的直线折叠，点B恰好落在对角线AC上的B'处，求BE的长.
第6题图
解：因为ABCD为长方形，所以∠ABC=90°，
所以在△ABC中，AB2+BC2=AC2，所以BC=8.
设BE=B'E=x，则CE=8-x，B'C=4.
在Rt△B'EC中，42+x2=（8-x）2，
解得x=3，
所以BE=3.(共15张PPT)
专题2　【思想方法】勾股定理与方程思想
一、实际问题中，根据勾股定理列方程
1.如图，一根垂直于地面的电线杆AC=16 m，因特殊情况，在点B处折断，顶端C落在地面上的点C'处，测得AC'的长是8 m，求电线杆底端A到折断点B的距离.
第1题图
解：设电线杆底端A到折断点B的距离为x m，则BC'=（16-x）m.在Rt△ABC'中，根据勾股定理，得x2+82=（16-x）2，解得x=6，故电线杆底端A到折断点B的距离为6 m.
二、作三角形的高，利用“双勾股”列方程
2.如图，在△ABC中，BC=14，AC=13，AB=15，求△ABC的面积.
第2题图
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.设CD=x，则BD=14-x.因为AB2-BD2=AC2-CD2，所以152-（14-x）2=132-x2，解得x=5，
CD=5，所以AD=12，
所以S△ABC=84.
故△ABC的面积为84.
3.如图，在△ABC中，BC=4，AC=13，AB=15，求△ABC的面积.
第3题图
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.设CD=x，则BD=4+x.因为AC2-CD2=AB2-BD2，所以132-x2=152-（4+x）2，
解得x=5，所以AD=12，
所以S△ABC=24.
故△ABC的面积为24.
三、两直角三角形共边，利用“双勾股”列方程
4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BD=2，AD=8，求BC2的值.
第4题图
解：设BC=x，AC=y.
在△ABC中，x2+y2=102.①
因为BC2-BD2=AC2-AD2，所以x2-22=y2-82，即x2-y2=22-82.②
①+②，得x2=20，所以BC2=20.
5.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是BC的中点，AD=13，AB2=244，求△ABD的面积.
第5题图
解：设CD=BD=x.
在Rt△ACD中，
AC2+x2=132.①
在Rt△ABC中，
AC2+（2x）2=244.②
由②-①，得x=5，
所以AC=12，所以S△ABD=S△ABC-S△ACD=30.
故△ABD的面积为30.
四、根据两直角三角形边的关系，利用“双勾股”列方程
6.如图，某地方政府决定在相距50 km的A，B两站之间的公路旁点E修建一个土特产加工基地，且使C，D两村到点E的距离相等.已知DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA=30 km，CB=20 km，那么土特产加工基地E应建在离A站多少千米的地方？
第6题图
解：设基地E应建在离A站 x km的地方，则BE=（50-x）km.在Rt△ADE中，根据勾股定理，得DA2+AE2=DE2，即302+x2=DE2.在Rt△CBE中，根据勾股定理，得CB2+BE2=CE2，即202+（50-x）2=CE2.又因为C，D两村到点E的距离相等，所以DE=CE，所以DE2=CE2，所以302+x2=202+（50-x）2，解得x=20.
答：土特产加工基地E应建在离A站20 km的地方.(共23张PPT)
阶段小测（一）
（时间：45分钟　满分：100分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1.将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是 （　C　）
A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.4，5，6
2.在△ABC中，已知AB=8，AC=15，BC=17，则△ABC的面积为 （　D　）
A.136 B.68 C.120 D.60
C
D
3.把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的 （　B　）
A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍
4.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5 cm，BC=12 cm，则其斜边上的高为 （　C　）
A.6 cm B.8.5 cm C. cm D. cm
B
C
5.如图，长为6 cm的橡皮筋AB如图放置，固定两端A和B后把中点C向上竖直拉升4 cm至点D，则橡皮筋被拉长了 （　C　）
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
C
6.如图，在长方形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，△BCD与△BC'D关于直线BD对称，BC=6，CD=3，点C与点C'对应，BC'交AD于点E，则线段DE的长为 （　B　）
A. B. C. D.4
B
7.如图，已知1号、4号两个正方形的面积之和为7，2号、3号两个正方形的面积之和为4，则a，b，c三个正方形的面积之和为 （　B　）
A.11 B.15 C.10 D.22
B
8.国庆节这天，文文和学校国旗护卫队的其他同学赶到学校举行了升旗仪式.爱动脑筋的文文设计了一个方案来测量学校旗杆的高度.将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2 m，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5 m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1 m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为 （　B　）
A.10 m B.11 m C.12 m D.13 m
B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9.在锐角三角形ABC中，AB=15，AC=13，边BC上的高AD=12，则△ABC的周长是　42　.
10.如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形组成的网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为　3　.
42
3
11.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处，则AE的长为 　.
12.如图，在△ABC中，∠B=90°，AC=12， BC=6，边长为2的正方形DEFH沿边CA向下平移，平移开始时点F与点C重合，当正方形DEFH的平移距离为 　时，有DC2=AE2+BC2成立.
三、解答题（本大题共4小题，共48分）
13.（10分）如图，在四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求四边形ABCD的面积.
第13题图
解：连接AC.（2分）
因为AB=20，BC=15，∠B=90°，
所以由勾股定理，得AC2=202+152=625.（4分）
又因为CD=7，AD=24，
所以CD2+AD2=625，
所以AC2=CD2+AD2，
所以∠D=90°，（8分）
所以S四边形ABCD=×7×24+×20×15=234.（10分）
14.（12分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放时，可以用“面积法”来证明.将两个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放，其中∠DAB = 90°，求证：a2+b2=c2.（提示：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ABD+S△BCD）
第14题图
证明：如图，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，连接BD，则DF=CE.（2分）
由全等三角形的性质，得AC=DE=b，
所以DF=CE=AC-AE=b-a.（4分）
因为S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ABD+S△BCD，
所以AC·DE+AC·BC=AD·AB+BC·DF，（8分）
即b2+ba=c2+a·（b-a），（10分）
整理，得a2+b2=c2.（12分）
15.（12分）如图，有一台风中心沿东西方向由A移动到B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC=300 km，BC=400 km.若AB=500 km，台风中心周围250 km以内（包含250 km）为受影响区域，海港C会受台风影响吗？如果会，已知台风中心的移动速度为20 km/h，台风影响该海港持续的时间是多长？如果不会，请说明理由.
第15题图
解：海港C会受台风影响.
如图，过点C作CD⊥AB于点D.（2分）
因为AC=300 km，BC=400 km，AB=500 km，
AC2+BC2=3002+4002=5002=AB2，
所以△ABC是直角三角形，（4分）
所以S△ABC=AC·BC=AB·CD，即×300×400=×500×CD，
所以CD=240 km.（6分）
因为台风中心周围250 km以内（含250 km）为受影响区域，240<250，
所以海港C会受台风影响.（8分）
在AB上取两点E，F，使CE=CF=250 km.
在Rt△CED中，ED2=EC2-CD2=2502-2402=4 900，
所以DE=70 km，（10分）
所以EF=2DE=140 km.
因为台风中心的移动速度为20 km/h，
所以140÷20=7（h），
所以台风影响该海港持续的时间为7 h.（12分）
16.（14分）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16 cm，在容器内壁离容器底部4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上底面距离为4 cm的点A处.若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20 cm，则该圆柱底面周长为多少？
第16题图
解：如图，将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半.（2分）
作点A关于点E的对称点A'，连接A'B交EG于点F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，
即AF+BF=A'B=20 cm.（6分）
延长BG，过点A'作A'D⊥BG，交BG的延长线于点D.（8分）
因为AE=A'E=DG=4 cm，
所以BD=16 cm.
在Rt△A'DB中，由勾股定理，得A'D=12 cm，（12分）
则该圆柱底面周长为24 cm.（14分）(共22张PPT)
2　一定是直角三角形吗
勾股定理的逆定理
1.下列各组数中，可作为三边长构成直角三角形的是（　D　）
A.1，2，3 B.2，3，4
C.2，4，5 D.3，4，5
D
2.（2024·蜀山区期中）下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是 （　D　）
A.a∶b∶c=5∶12∶13
B.∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5
C.a=9k，b=40k，c=41k（k>0）
D.a=32，b=42，c=52
D
3.在△ABC中，AB2=2，AC=BC=1，则∠C的度数是　90°　.
第4题图
90°
4.如图，以△ABC的三边为边长分别向外作正方形，正方形的面积分别记为S1，S2，S3.若S1+S2=S3，则△ABC的形状是　直角三角形　.
直角三角形
5.核心素养·推理能力在解答“判断由长，2，的线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中，小明是这样做的：设a=，b=2，c=，因为a2+b2=+22=≠c2，所以由a，b，c组成的三角形不是直角三角形.你认为小明的解答正确吗？请说明理由.
解：小明的做法不正确.理由如下：
<<2，b=2可能是直角三角形的斜边.
因为a2+c2=+=22=b2，
所以由a，b，c组成的三角形是直角三角形.
6.如图，正方形网格中的△ABC，若正方形网格的边长为1个单位长度，求∠A+∠B的度数.
第6题图
解：因为正方形网格的边长为1个单位长度，
所以BC2=42+42=32，AC2=32+32=18，AB2=12+72=50.
在△ABC中，因为BC2+AC2=32+18=50，AB2=50，
所以BC2+AC2=AB2，
所以△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
所以∠A+∠B=90°.
勾股数
7.下列各组数中，为勾股数的是 （　C　）
A.4，5，6 B.，，1
C.9，12，15 D.0.3，0.4，0.5
8.若a，b，c是一组勾股数，则以3a，3b，3c为三边长的三角形是　直角　（选填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形.
C
直角
9.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是 （　A　）
A.120 B.144
C.196 D.60
A
10.在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中，则当a=24时，b+c的值为 （　B　）
A.250 B.288 C.300 D.574
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
B
11.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，CD=3，AD=1，则∠DAB的度数是　135°　.
135°
12.如图，在△ABC中，CA=CB，D是AC上的一点，且AD=5，BD=12，AB=13，则BC的长为　16.9　.
16.9
13.如图是一块木板，已知AB=4 m，BC=3 m，DC=12 m，AD=13 m，∠B=90°，求木板的面积.
第13题图
解：如图，连接AC.因为∠B=90°，所以△ABC为直角三角形.
根据勾股定理，得AC2=AB2+BC2=42+32=25，所以AC=5 m.
在△ADC中，AD=13，DC=12，AC=5，
所以AC2+DC2=AD2，
所以∠DCA=90°，
则S木板=S△ADC-S△ABC=×5×12-×3×4=24（m2）.
答：木板的面积为24 m2.
14.如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD上的一点，且CF=CD.试说明：AE⊥EF.
第14题图
解：如图，连接AF.设CF=x，
则DF=3x，BE=CE=2x，
所以EF2=5x2，AE2=20x2，
AF2=25x2，
所以AE2+EF2=AF2，
所以∠AEF=90°，
所以AE⊥EF.
15.（2024·内江期末）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB，BC于点D，E，且BD2-DA2=AC2.
（1）试说明：∠A=90°.
（2）若AB=8，AD∶BD=3∶5，求AC的长.
第15题图
解：（1）连接CD.
因为BC的垂直平分线DE分别交AB，BC于点D，E，
所以CD=DB.
因为BD2-DA2=AC2，
所以CD2-DA2=AC2，
所以CD2=DA2+AC2，
所以△ACD是直角三角形，所以∠A=90°.
（2）因为AB=8，AD∶BD=3∶5，
所以AD=3，BD=5，所以DC=5，
所以AC=4.(共9张PPT)
专题1　【方法技巧】勾股定理与面积问题
一、直角三角形中，利用面积求斜边上的高
1.如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为边BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为 （　C　）
A. B. C. D.
C
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，CD⊥AB于点D，求CD的长.
第2题图
解：因为∠ACB=90°，AB=5，BC=4，
所以AC=3.
因为CD⊥AB，
所以AB×CD=AC×BC，
所以CD===2.4.
二、利用勾股定理的意义
3.数学文化如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为Rt△ABC的斜边BC、直角边AB和AC.若△ABC的面积记为S1，阴影部分的面积记为S2，其余部分的面积记为S3，则下列关系式中正确的是 （　A　）
A.S1=S2 B.S2=S3
C.S2+S3=S1 D.+=
A
三、巧用乘法公式
4.已知一个直角三角形的周长是12 cm，斜边长是5 cm，则其面积是　6　cm2.
5.已知Rt△ABC中，∠C=90°.若BC+AC=14，AB=10，则Rt△ABC的面积是 （　A　）
A.24 B.30 C.40 D.60
6
A
四、巧用割补法
6.某中学有一块四边形的空地ABCD（如图），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3 m，AD=4 m，CD=13 m，BC=12 m.
（1）求空地ABCD的面积.
（2）若每种植1 m2草皮需要200元，问总共需投入多少元？
第6题图
解：（1）如图，连接BD.
而122+52=132，即BC2+BD2=CD2，
所以∠DBC=90°，
故空地ABCD的面积为36 m2.
（2）所需费用为36×200=7 200（元）.
故总共需要投入7 200元.
则S四边形ABCD=S△ABD+S△DBC=×3×4+×5×12=36（m2）.

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