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(共31张PPT)
5有理数的混合运算
第1课时　有理数的混合运算
有理数的混合运算
1.计算12+（-18）÷（-6）-（-3）×2的结果是 （　C　）
A.7 B.8 C.21 D.36
　C　
2.形如的式子叫作二阶行列式，其运算法则用公式表示为=xn-ym，依此法则计算的结果为
（　D　）
A.17 B.-17 C.1 D.-1
　D　
3.如图是嘉琪计算“-22+6÷×3”的过程，开始出错的步骤是 （　A　）
-22+6÷×3
=-4+6÷1…第一步
=-4+6……第二步
=2…………第三步
第3题图
A.第一步　 B.第二步
C.第三步　 D.嘉琪的计算过程正确
　A　
4.下列计算结果中正确的是 （　C　）
A.（-6）-（-3）÷（-）=3
B.-49÷×=-49
C.-3.5÷×（-）=3
D（-6.5）×（-2）+（）÷（-5）=7.8
　C　
5. 计算.
（1）-14+|3-5|-16÷（-2）×.
解：原式=-1+2-16×（-）×=-1+2+4=5.
（2）6×（-）-32÷（-12）.
解：原式=6×-6×-9×（-）
=2-3+=-.
（3）（-5）3-16×（-）4.
解：原式=-126.
解：原式=24.
（4）-22-（-3）3×（-1）2-（-1）3.
6.下面是圆圆同学计算的一道题的过程：
2÷（-+）×（-3）
解：原式=[2÷（-）+2÷]×（-3）
=2×（-4）×（-3）+2×5×（-3）
=24-30
=-6.
圆圆同学这样计算正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请你写出正确的计算过程.
=2÷（-）×（-3）
=2×（-20）×（-3）
=120.
算“24点”
解：不正确，没有除法的分配律.正确的计算过程如下：
2÷（-+）×（-3）
7.有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌分别是5，8，1，2，每张牌只能用一次，可以用加、减、乘、除等运算，请写出一个正确的算式：　（5+8-1）×2=24（答案不唯一）　.
　（5+8-1）×2=24（答案不唯一）　
8.四张纸上的数字分别为-6，-9，2，7，将这四个数（每个数只用一次）进行加减乘除运算，使其结果为24，用三种方法表示.
解：①2+7-（-6）-（-9）=24.
②（-9+7-2）×（-6）=24.
③（-9+7）×（-6）×2=24.
9.在算式3-│-1□2│中的“□”里，选择一个运算符号，使得算式的值最大 （　D　）
A.+ B.- C.× D.÷
　D　
10.某公司去年前三个月平均每月盈利-1.5万元，4~6月平均每月盈利2万元，7~10月平均每月盈利1.2万元，最后两个月平均每月盈利-3.3万元，则这个公司去年总盈利是 （　A　）
A.-0.3万元　 B.-1.3万元
C.-1.8万元　 D.-2.8万元
　A　
11.按如图所示的流程计算，当a=-2时，最后输出的答案为
　-　.
第11题图
　-　
12.教材变式·P63T11计算：2（1+3+32+33+34+…+32 025）=
　32 026-1　.
13.计算.
（1）-14-（1-0.5）×-［2-（-3）2］.
解：原式=5.
（2）-32-+（-2）3×÷（-）×
解：原式=-9-1+（-8）××（-）×
=-10+3
=-7.
　32 026-1　
（3）（-）÷（-2）2×|-12|.
解：原式=-××12=-2.
（4）×（-2）.
解：原式=（3-5+）×（-）=5-6=-1.
（5）（-）÷（-+-）-（-1）2 025.
解：原式=（-）÷（-+-）-（-1）
=（-）÷+1
=-+1
=.
14.定义一种新运算：对任意有理数a，b都有a b=a-2b.例如： 2 3=2-2×3=-4.
（1）求-3 2的值.
（2）求（x-2y） （x+2y）的值，其中x=3 2，y=-1 4.
解：（1）因为a b=a-2b，
所以-3 2=-3-2×2=-7.
（2）因为x=3 2=3-2×2=-1，
y=-1 4=-1-2×4=-9，
所以x-2y=17，x+2y=-19，
所以（x-2y） （x+2y）=17 （-19）=
17-2×（-19）=55.
第2课时　用计算器进行运算
计算器的认识和使用
1.计算器上的DEL键的功能是 （　C　）
A.开启计算器 B.关闭计算器
C.清除刚刚输入内容 D.计算乘方
　C　
2.用计算器计算520时的正确按键顺序是 （　D　）
A.520= B.5×20=
C.20×5= D.5x■20=
　D　
3.若按键顺序为（-）0·5÷（（-）2
3）=，则显示的结果是 （　D　）
A.-3.14 B.-0.75 C.3.14 D.0.75
■

　D　
4.用计算器计算.
（1）-5.6+20-3.6=　10.8　.
（2）-6.25÷25=　-0.25　.
（3）-15×（-2.4）÷（-1.2）=　-30　.
（4）4.6÷1-6×3=　-14.55　.
　10.8　
　-0.25　
　-30　
　-14.55　
近似数及其精确度
5.近似数2.01精确到 （　D　）
A.百位　 B.个位　 C.十分位　 D.百分位
　D　
6.用四舍五入法按要求对0.050 49分别取近似值，其中错误的是 （　B　）
A.0.1（精确到0.1）
B.0.051（精确到千分位）
C.0.05（精确到百分位）
D.0.050 5（精确到0.000 1）
　B　
7.求下列各数的近似数.
（1）2.692 475（精确到千分位）.
（2）0.298（精确到0.01）.
（3）38 000（精确到万位）.
解：（1）2.692 475≈2.692.
（2）0.298≈0.30.
（3）38 000≈4万.
8.下列说法中正确的是 （　B　）
A.近似数3.6与3.60精确度相同
B.数2.995 4精确到百分位为3.00
C.近似数1.3×104精确到十分位
D.近似数3.61万精确到百分位
　B　
9.如图，已知圆环的外圆半径为46 mm，内圆半径为27 mm，求圆环的面积（π取3.14，用计算器计算）.
第9题图
解：3.14×462-3.14×272，利用计算器计算：按键顺序为3·14×46x2-3·14×27x2=，显示结果为4 355.18.所以3.14×462-3.14×272=4 355.18（mm2）.
答：圆环的面积为4 355.18 mm2.
10.用计算器计算下列各式，将结果填写在横线上.
99 999×11=　1 099 989　；
99 999×12=　1 199 988　；
99 999×13=　1 299 987　；
99 999×14=　1 399 986　.
（1）你发现了什么？
（2）不用计算器，直接写出99 999×19的结果是　1 899 981　.
　1 099 989　
　1 199 988　
　1 299 987　
　1 399 986　
　1 899 981　
解：（1）通过计算观察可发现以下规律：如果n是11，12，13，…，20中的任何一个数，则99 999×n的计算结果是一个7位数，前2位是n-1，个位是20-n，中间4个数字总是9 998.(共78张PPT)
2有理数的加减运算
第1课时　有理数的加法
有理数的加法法则
1.计算（-3）+（-9）的结果是 （　B　）
A.12 B.-12 C.6 D.-6
　B　
2.下列计算错误的是 （　B　）
A.（-1）+0.5=-1 B.（-2）+（-2）=4
C.（-71）+0=-71 D.（-1.5）+（-2）=-4
　B　
3.计算：3+（-2）=　1　.
4.绝对值不大于4的所有整数的和是　0　.
5.计算.
（1）-2+0.
解：原式=-2.
（2）（-9）+9.
解：原式=0.
（3）+（-）.
解：原式=.
　1　
　0　
（4）（-4.23）+（-3.77）.
解：原式=-8.
（5）（-8）+（-4）.
解：原式=-12.
有理数加法的实际应用
6.气温由-5 ℃上升了4 ℃后的温度是 （　D　）
A.9 ℃ B.-9 ℃ C.1 ℃ D.-1 ℃
　D　
7.教材变式·P37练习2升降机的高度为-20 m，为运送货物，升降机上升了9 m，此时升降机的高度为　-11　m.
　-11　
8.某电力公司检修小组从城区出发，在国道（南北方向）上检修线路，规定：向南行驶为正，向北行驶为负.某天行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：-4，+7，-9，+8，+6，-5，-2.
（1）请问收工时检修小组离城区多远？在城区的什么方向？
（2）若行车每千米耗油0.2 L，请问这天行车共耗油多少升？
解：（1）（-4）+7+（-9）+8+6+（-5）+（-2）=1（km）.
答：收工时检修小组离城区1 km，在城区向南方向.
（2）|-4|+7+|-9|+8+6+|-5|+|-2|=41（km），41×0.2=8.2（L）.
答：这天行车共耗油8.2 L.
9.若|a|=3，|b|=2，且aA.5或1 B.1或-1
C.5或-5 D.-5或-1
　D　
10.小麦做了这样一道题“计算│（-3）+□│”，其中“□”是被墨水污染看不清的一个数，他翻开后面的答案，得知该题的计算结果是 8，那么“□”表示的数是 （　D　）
A.5 B.-5
C.11 D.-5或11
　D　
11.新考法我国古代的“河图”是由3×3的方格构成的，每个格内均有不同的数，每一行、每一列以及对角线上的三个数之和均相等.如图，给出了“河图”的部分数，则方格中左下角“△”代表的数是　-4　，方格中九个数的和是　-27　.
第11题图
　-4　
　-27　
12.根据题意列式计算.
（1）比-5的相反数大-10的数.
（2）-8的绝对值与-10的相反数的和.
（3）a是绝对值最小的数，b是最小的正整数，c是最大的负整数，求a+b+（-c）的值.
解：（1）-（-5）+（-10）=-5.
（2）│-8│+［-（-10）］=18.
（3）0+1+［-（-1）］=2.
13.核心素养·运算能力观察下面的一列数，探究其规律：
-，，-，，-，，…
（1）请写出第2 025个数.
（2）分别计算第3个数与第4个数的和，第19个数与第20个数的和.
（3）根据规律计算第n（n为奇数）个数与第（n+1）个数的和.
解：（1）第2 025个数为-.
（2）第3个数与第4个数的和为-+=-+=，第19个数与第20个数的和为-+=.
（3）第n（n为奇数）个数与第（n+1）个数的和为.
14.（1）已知|a|=6，b=4，求a+b的值.
（2）已知|a|=6，|b|=4，a>b，求a+b的值.
（3）已知|a|=6，|b|=4，a（4）已知|a|=6，|b|=4，求a+b的值.
解：（1）a=±6，b=4，a+b=10或-2.
（2）a=6，b=±4，a+b=10或2.
（3）a=-6，b=±4，a+b=-2或-10.
（4）当a=6，b=4时，a+b=10；当a=6，b=-4时，a+b=2；当a=-6，b=4时，a+b=-2；
当a=-6，b=-4时，a+b=-10.
综上所述，a+b的值为±10或±2.
第2课时　有理数加法的运算律
有理数加法的运算律
1.+（-2.5）+3.5+（-）=+［（-2.5）+3.5］这个运算中运用了 （　C　）
A.加法的交换律
B.加法的结合律
C.加法的交换律和结合律
D.以上均不对
　C　
2.下列运用加法交换律正确的是 （　C　）
A.-3-8+9-11=-3-8+11-9
B.-3+8-9-11=-11+3+8-9
C.-8+5-2+13=-8-2+5+13
D.-8+5-2-13=-8+5+2-13
　C　
3.给下面的计算过程标明运算依据.
（+16）+（-22）+（+34）+（-78）
=（+16）+（+34）+（-22）+（-78）
加法交换律　
=［（+16）+（+34）］+［（-22）+（-78）］
加法结合律　
=（+50）+（-100） 　有理数的加法法则　
=-50. 　有理数的加法法则　
　有理数的加法法则　
　有理数的加法法则　
4.计算.
（1）23+（-17）+6+（-22）.
解：原式=-10.
（2）（-2）+3+1+（-3）+2+（-4）.
解：原式=-3.
（3）（-）+（-）++（-）.
解：原式=-1.
（4）（-4）+（-3）+6+（-2）.
解：原式=-3.
有理数加法的运算律的应用
5.七年级（1）班上学期班费收支情况如下（收入为正，支出为负）：+219元，-53元，-147元，+31元.该班期末时，班费结余为 （　A　）
A.50元 B.55元 C.45元 D.35元
　A　
6.某公司2025年1~4月的盈亏情况如下（盈利为正，亏损为负）：-152万元，+73万元，-48万元，+217 万元.那么该公司四个月总共盈利　90　万元.
7.如图，一条直线的流水线上依次有5个机器人，它们站立的位置在数轴上依次用点A，B，C，D，E表示.
第7题图
（1）点B与点E之间的距离是多少？
（2）怎样移动点C，使它先到达点B，再到达点E？用文字说明.
　90　
（3）若原点是零件供应点，则5个机器人分别到达供应点的路程之和是多少？
解：（1）4-（-3）=7.
故点B与点E之间的距离是7个单位长度.
（2）先将点C向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动7个单位长度到达点E.
（3）|-4|+|-3|+|-1|+2+4=4+3+1+2+4=14.
故这5个机器人分别到达供应点的路程之和是14个单位长度.
8.一个数比-10的绝对值大1，另一个数比2的相反数小1，则这两个数的和为 （　B　）
A.7 B.8 C.9 D.10
　B　
9.如图，有几滴墨水滴在数轴上，则被墨水遮住的所有整数的和为 （　A　）
A.-11 B.1 C.-15 D.-6
第9题图
　A　
10.若a+c=-2 024，b+（-d）=2 025，则a+b+c+（-d）=　1　.
11.计算：+++…++= 　.
12.计算.
（1）（-23）+59+（-41）+（-59）.
解：原式=-64.
（2）（-）+（+）+（+）+（-1）.
解：原式=-1.
（3）（-3.8）+2.7+（-0.43）+1.3+（-0.27）.
解：原式=-0.5.
　1　
　
（4）0.75+（-）+0.125+（-）+（-4）.
解：原式=-6.
13.有一批水果，包装质量为每筐25 kg，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下（单位：kg）：27，24，23，28，21，26，22，27.为求得8筐样品的总质量，我们可以选取一个恰当的基准数进行简化运算.
（1）你认为选取的一个恰当的基准数为　　　　kg.
（2）根据你选取的基准数，用正负数填写上表.
（3）这8筐水果的总质量是多少？
原质量/kg 27 24 23 28 21 26 22 27
与基准数 的差距/kg +2 -1 -2 +3 -4 +1 -3 +2
解：（1）25.
（2）+2，-1，-2，+3，-4，+1，-3，+2.
（3）总质量为25×8+［（+2）+（-1）+（-2）+（+3）+（-4）+（+1）+（-3）+（+2）］=200+（-2）=198（kg）.
14.新考法如图，半径为1个单位长度的圆形铁片上有一点R与数轴上的原点重合（π取3.14）.
第14题图
（1）把圆形铁片沿数轴向右滚动一周，点R到达数轴上点Q的位置，则点Q表示的数是　6.28　.
（2）将圆形铁片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+3，-2，-5，+4，+1，-3.当圆形铁片结束运动时，点R运动的路程共是多少？此时点R所表示的数是什么？
　6.28　
解：（1）由圆的周长为2π×1≈2×3.14=6.28，
所以表示的数为6.28.
（2）|+3|+|-2|+|-5|+|+4|+|+1|+|-3|=3+2+5+4+1+3=18，
18×2πr=18×2×3.14×1=113.04.
所以当圆形铁片结束运动时，点R运动的路程共是113.04.
+3+（-2）+（-5）+4+1+（-3）=-2，-2×2πr=-2×2×3.14×1=-12.56.
所以当圆形铁片结束运动时，点R所表示的数是-12.56.
第3课时　有理数的减法
有理数的减法法则
1.（2024·天津）计算3-（-3）的结果是 （　A　）
A.6　 B.3　 C.0　 D.-6
　A　
2.下列计算错误的是 （　C　）
A.1-（+5）=-4
B.0-（+3）=-3
C.（+6）-（-6）=0
D.（-15）-（-5）=-10
　C　
3.填空.
（1）（-3）-　（-4）　=1.
（2）　-9　+7=-2.
（3） -5-　（-5）　=0.
　（-4）　
　-9　
　（-5）　
4.计算.
（1）-3-|-6|.
解：原式=-9.
（2）（-1.13）-（+1.12）.
解：原式=-2.25.
（3） -（-）.
解：原式=1.
（4）-5-（-2）.
解：原式=-3.
5.列式并计算.
（1）求4与-的差.
（2）求-15的绝对值与12的相反数的和.
解：（1）4-（-）
=4+
=5.
（2）|-15|+（-12）
=15-12
=3.
有理数减法的实际应用
6.我市某天最高气温为6 ℃，最低气温为-2 ℃，则这一天的温差为 （　B　）
A.4 ℃ B.8 ℃ C.-12 ℃ D.12 ℃
　B　
7.某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，都标有“质量为（25±0.3）kg”的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差　0.6　kg.
　0.6　
8.红星队在4场足球赛中的成绩分别是第一场3∶1胜；第二场2∶3负；第三场0∶0平；第四场2∶5负.红星队在4场比赛中总的净胜球数是多少？
解：由题意，得3+（-1）+2+（-3）+2+（-5）=-2.
故红星队在4场比赛中总的净胜球数是-2.
9.下列各式中，计算结果是负数的是 （　C　）
A.|-7|+|-1| B.|-7|-（-1）
C.|-1|-|-7| D.|-1|-（-7）
　C　
10.对于整数a，b，c，d，定义运算=ac-bd，则的值为 （　C　）
A.1 B.-3 C.-5 D.5
　C　
11.有一组数按照一定规律排列，依次是-1，2，3，-4，5，6，-7，8，9，x，11，y，…，则x-y的值为　-22　.
12.若|m-n|=n-m，|m|=4，|n|=3，则m-n=　-1或-7　.
13.计算.
（1）|-3.75|-（-5.25）-（+1）.
解：原式=8.
（2）6.47-4-（-1.53）-1.
解：原式=2.
　-22　
　-1或-7　
14.小明在计算41-n时，误将“-”看成“+”，结果得13.
（1）求n的值.
（2）求41-n的值是多少？
解：（1）由题意，得41+n=13，解得n=-28.
（2）41-n=41-（-28）=41+28=69.
15.有一架直升机从海拔1 200 m的高原上起飞，第一次上升了1 500 m，第二次上升了-1 300 m，第三次上升了1 300 m，第四次上升了-1 700 m.求此时这架飞机距海平面多少米.
解：1 200+1 500+（-1 300）+1 300+（-1 700）=1 000（m）.
16.（1）│a│=9，│b│=6，a>b，求a-b的值.
（2）│a│=9，│b│=6，│a-b│=b-a，求a-b的值.
（3）│a-1│=2，│b+1│=3，a<0，b>0，求a-b的值.
解：（1）a=9，b=±6，a-b=3或15.
（2）由题意知，ab=±6，a-b=-15或-3.
（3）因为│a-1│=2，│b+1│=3，
所以a=3或-1，b=2或-4.
因为a<0，b>0，
所以a=-1，b=2，a-b=-3.
第4课时　有理数的加减混合运算
有理数的加减混合运算
1.将-2-（+5）-（-7）+（-9）写成省略括号和加号的和的形式是 （　C　）
A.-2+5-7-9 B.-2-5+7+9
C.-2-5+7-9 D.-2-5-7-9
　C　
2.下列计算结果中错误的是 （　C　）
A.（-18）+3-5-（-7）=-13
B.10-11+（-2）-（-8）+3=8
C.--+=
D.（-7）-5+（-6）-（-1）=-17
　C　
3.若a=-2，b=3，c=-4 ，则a-（b-c）的值为　-9　.
4.填空.
（1）（-0.5）-（-0.7）+（-0.9）=　-0.7　.
（2）-0.25-+= 　.
（3）　-1　与0.5-（-）的和为0.
运用运算律进行加减混合运算
　-9　
　-0.7　
　
　-1　
5.把3-10-7统一成加法运算是 （　C　）
A.3+10+7 B.-3+（-10）+（-7）
C.3+（-10）+（-7） D.3-（+10）-（+7）
　C　
6.7+（-3）+（-4）+18+（-11）=（7+18）+［（-3）+（-4）+（-11）］运用了 （　D　）
A.加法交换律
B.加法结合律
C.分配律
D.加法交换律与结合律
　D　
7.计算.
（1）（-53）+（+21）-（-69）-（+37）.
解：原式=-53+21+69-37
=（-53-37）+（21+69）
=-90+90
=0.
（2）5.7-4.2-8.4-2.3+1.
解：原式=5.7+1.2-（4.2+8.4+2.3）
=6.9-14.9
=-8.
（3）1-5+（-）-+（-5）.
解：原式=-10.
（4）（-2.4）-（-4.7）-0.5+3.4+（-3.5）.
解：原式=1.7.
有理数加减混合运算的实际应用
8.某地一天早晨的气温是-2 ℃，中午温度上升了12 ℃，晚上又下降了8 ℃，则晚上的气温是 （　C　）
A.-10 ℃ B.-6 ℃ C.2 ℃ D.6 ℃
　C　
9.小明今年在银行办理了5笔业务：取出900元，存入500元，取出800元，存入2 000元，取出200元，这时他在银行的存款增加了 （　A　）
A.600元 B.-600元
C.-400元 D.400元
　A　
10.教材变式·P47习题21一个病人每天下午需要测量一次血压，下表是该病人星期一至星期五高压的变化情况，该病人上个星期日的高压为160单位.
（1）该病人哪一天高压最高？哪一天高压最低？
（2）与上个星期相比，这个星期五的高压是升了还是降了？
星期 一 二 三 四 五
高压的变化 （与前一天比较） 升25 单位 降15 单位 升13 单位 升15 单位 降20
单位
解：（1）该病人星期一高压为160+25=185（单位），星期二高压为185-15=170（单位），星期三高压为170+13=183（单位），星期四高压为183+15=198（单位），星期五高压为198-20=178（单位）.
故该病人星期四的高压最高，星期二的高压最低.
（2）因为+25-15+13+15-20=18，
所以与上个星期相比，这个星期五的高压升了.
11.计算-7-（-5）+（-4）-（-10）的结果为 （　C　）
A.26 B.-26 C.4 D.-4
　C　
12.某气象站每天下午4点需要测量一次气温，下表是某地星期一至星期五的气温变化情况.该地上个星期日下午4点的气温是
12 ℃，则该地这个星期五下午4点的气温是 （　B　）
A.11 ℃ B.12 ℃
C.11.5 ℃ D.15.6 ℃
星期 一 二 三 四 五
气温的变化 （与前一天 比较） 上升 0.2 ℃ 下降 0.7 ℃ 上升 0.3 ℃ 上升 0.8 ℃ 下降
0.6 ℃
　B　
13.根据如图所示的程序计算，若输入的值为1，则输出的值为　-5　.
第13题图
　-5　
14.新考法规定图形 表示a+b+c，图形 表示x+z-y-w.则 + 的值为　14　.
　14　
15.计算.
（1） 2-（-10）-（-2）+（-10）.
解：原式=4.
（2）-14+11-（-12）-14+（-11）.
解：原式=-16.
16.一口水井，水面比井口低3 m，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了0.5 m，又往下滑了0.1 m；第二次往上爬了0.42 m，又下滑了0.15 m；第三次往上爬了0.7 m，又下滑了0.15 m；第四次往上爬了0.75 m，又下滑了0.1 m；第五次往上爬了0.55 m，没有下滑；第六次蜗牛又往上爬了0.48 m，问蜗牛有没有爬出井口？
解：把往上爬的距离用正数表示，下滑的距离用负数表示，根据题意，蜗牛每次上爬和下滑的情况如下表：
因为0.5-0.1+0.42-0.15+0.7-0.15+0.75-0.1+0.55-0+0.48=2.9<3，
所以蜗牛没有爬出井口.
次数 上爬/m 下滑/m
第一次 +0.5 -0.1
第二次 +0.42 -0.15
第三次 +0.7 -0.15
第四次 +0.75 -0.1
第五次 +0.55 0
第六次 +0.48
第5课时　有理数加减混合运算的应用
有理数加减混合运算的应用
1.某天某粮店仓库有50袋大米，上午卖出30袋，下午又购进20袋，则该仓库现有大米 （　A　）
A.40袋　　B.50袋　　C.60袋　　D.100袋
　A　
2.某天早晨6：00某河水位为20.4 m，到上午11：30水位上涨了2.3 m，到下午4：00水位又下降了0.9 m，则下午4：00水位应为 （　B　）
A.19 m B.21.8 m C.22.8 m D.23.6 m
　B　
3.下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京早的点时数）：
如果北京时间是下午3点，那么伦敦的当地时间是　上午7点　.
城市 纽约 伦敦 东京 巴黎
时差/时 -13 -8 +1 -7
　上午7点　
4.新考法在活动课上，李老师邀请小明、小宇玩一个游戏，规则为每人每次抽取四张卡片.若抽到方块卡片，则加上卡片上的数字，若抽到桃心卡片，则减去卡片上的数字.比较两人所抽四张卡片的计算结果，结果较小的为同学表演节目，小明抽到如图1所示的四张卡片，小宇抽到如图2所示的四张卡片，则小明、小宇谁会为同学们表演节目？
第4题图
解：小明：+（-5）+（---（-3）=-5+（-）-+3
=-2+（-）-=-2-=-3；
小宇：-（-4）+（-）-+（-5）=4+（-5）+（-）-
=-1-=-2.
因为-3<-2，所以小明为同学们表演节目.
5.小明近期几次数学测试成绩如下：第一次88分；第二次比第一次高8分；第三次比第二次低12分；第四次又比第三次高10分.则小明第四次的测试成绩是 （　C　）
A.93分 B.78分 C.94分 D.84分
　C　
6.新情境如图1，将一根木棒放在数轴（单位长度为1 cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合.
图1
图2
第6题图
【操作：】（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长是多少？
（2）如图2，有一根小木棒CD，其中点C和原点重合，点D表示的数为3，现将木棒CD沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时木棒AB也沿着该数轴以每秒0.5个单位长度的速度向右运动，求这两根木棒运动4 s后的距离（即点D到点A的距离）.
【探究：】（3）一天，嘉嘉去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年后才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦！”则再过5年嘉嘉的年龄是多少？（借助数轴解题更方便）
解：（1）观察数轴可知数轴上表示6的点与表示30的点的距离是三根木棒的长，即30-6=24（cm），所以这根木棒的长为24÷3=8（cm）.
（2）因为AB=8 cm，所以点A表示的数为6+8=14，点B表示的数为30-8=22.
4 s后点D的位置为3+4×1=7，点A的位置为14+4×0.5=16，
则此时两根木棒的距离为16-7=9（cm）.
（3）当奶奶像嘉嘉这样大时，嘉嘉为（-35）岁，
所以奶奶与嘉嘉的年龄差为［115-（-35）］÷3=50（岁），
所以嘉嘉现在的年龄为115-50-50=15（岁），
所以再过5年后嘉嘉的年龄为20岁.(共24张PPT)
4有理数的乘方
第1课时　乘方的运算
乘方及其相关概念
1.34表示的含义是 （　C　）
A.3+3+3+3　 B.3×4
C.3×3×3×3　 D.4×4×4
　C　
2.某种细菌每0.5 h便由1个分裂成2个，经过3 h 后，这种细菌由1个能分裂成 （　C　）
A.23个　 B.24个　 C.26个　 D.27个
　C　
3.（1）在64中，底数是　6　，指数是　4　，
读作　6的4次方（幂）　.
（2）在（- ）5中，底数是　-　，指数是　5　，
读作　负的5次方（幂）　.
　6　
　4　
　6的4次方（幂）　
　-　
　5　
　负的5次方（幂）　
4.（-1）2 025的值是 （　B　）
A.1 B.-1
C.2 025 D.-2 025
　B　
乘方的运算
5.下列各组数中，相等的一组是 （　C　）
A.23和32 B.23和（-2）3
C.32和（-3）2 D.-23和-33
　C　
6.计算：（-2）4=　16　；（-1）5=　-1　；　= 　；=　-　.
7.计算.
（1）（-）3. （2）［-（-2）］3.
解：原式=-. 解：原式=8.
（3）-（-0.1）4. （4）-.
解：原式=-0.000 1. 解：原式=-.
　16　
　-1　
　
　-　
解：原式=-36. 解：原式=-.
（5）-22×（-3）2. （6）（-）3×（-1）4.
8.对任意有理数a，下列各式一定成立的是 （　C　）
A.-a2=（-a）2 B.a3=（-a）3
C.a2=│a│2 D.a3=│a│3
　C　
9.日常生活中我们使用的数是十进制数，而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”.二进制数只使用数字0和1，如二进制数1101记为1101（2），1101（2）通过式子1×23+1×22+0×21+1可以转换为十进制数13.仿照上面的转换方法，将二进制数11101（2）转换为十进制数是 （　A　）
A.29 B.25 C.4 D.33
　A　
10.若|a|=2，|b|=3，且a<011.计算.
（1）-（）2×（-4）3.
解：原式=4.
（2）（-3）3×（-1）÷（-42）.
解：原式=-2.
　-8　
12.已知a，b为有理数，且（a+）2+（2b-4）2=0，求a3·b3的值.
解：因为（a+）2≥0，（2b-4）2≥0，
又因为（a+）2+（2b-4）2=0，
所以a+=0，2b-4=0，所以a=-，b=2，
所以a3·b3=（-）3×23=-1.
第2课时　科学记数法
用科学记数法表示大数
1.（2024·自贡）据统计，今年“五一”小长假期间，近70 000人次游览了自贡中华彩灯大世界.70 000用科学记数法表示为 （　B　）
A.0.7×105　 B.7×104
C.7×105　 D.0.7×104
　B　
2.（2024·枣庄）2023年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位61.9万个，将61.9万用科学记数法表示应为 （　C　）
A.0.619×103　 B.61.9×104
C.6.19×105　 D.6.19×106
　C　
3.（2024·达州）大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在2亿吨以上.将2亿用科学记数法表示为 （　B　）
A.2×109　 B.2×108
C.0.2×108　 D.2×107
　B　
4.（2024·安徽）据统计，2023年我国新能源汽车产量超过944万辆，其中944万用科学记数法表示为 （　B　）
A.0.944×107 B.9.44×106
C.9.44×107 D.94.4×106
　B　
5.若将6 700 000用科学记数法表示为 6.7×10n，则n的值为　6　.
6.用科学记数法表示下列各数.
（1）503 000=　5.03×105　.
（2）200 000=　2×105　.
（3）-9 800=　-9.8×103　.
（4）0.023×109 =　2.3×107　.
　6　
　5.03×105　
　2×105　
　-9.8×103　
　2.3×107　
还原用科学记数法表示的数
7.光速约为3×108 m/s，则用科学记数法表示的数的原数是　300 000 000　m/s.
8.下列用科学记数法表示出来的数，请写出原数.
（1）7.2×105=　720 000　.
（2）-3.07×104=　-30 700　.
（3）5.2×102=　520　.
（4）1×106=　1 000 000　.
　300 000 000　
　720 000　
　-30 700　
　520　
　1 000 000　
9.下列各数7.2 × 105，2.5× 105，9.9 ×106，1× 107，其中最大的数为　1×107　.
10.（2024·河南）据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5 784亿元，数据“5 784亿”用科学记数法表示为 （　C　）
A.5 784×108 B.5.784×1010
C.5.784×1011 D.0.578 4×1012
　1×107　
　C　
11.我国第一颗探月卫星“嫦娥一号”从环月轨道传回第一张月球表面照片时距地球38万公里.将38万用科学记数法表示应为 （　B　）
A.38×104 B.3.8×105
C.0.38×106 D.3.8×104
　B　
12.已知a=3.2×10n，如果a是一个20位数，那么n=　19　；如果n=6，那么a是一个　7　位数.
13.（2024·上海）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为2×105 GB，一张普通唱片的容量约为25 GB，则蓝光唱片的容量是普通唱片的　8×103　倍.（用科学记数法表示）
　19　
　7　
　8×103　
小兵：365×24×60×65=34 164 000=3.416 4×107（次）.
14.小明的平均心跳速度约为80次/分，一年大约跳多少次？小兵坚持体育锻炼，平均心跳速度约为65次/分，一年大约跳多少次？（用科学记数法表示结果，一年按365天计算）
解：小明：365×24×60×80=42 048 000=4.204 8×107（次）；(共13张PPT)
专题3　【方法技巧】　有理数的加减混合运算
将互为相反数的数结合相加
1.计算：22+（-17）+6+（-22）.
解：原式=-11.
2.计算：（-2.01）+2.5+1+2.01+（-）.
解：原式=1.
将同号的数结合相加
3.计算：（-8）-9-（-3）+（-6）.
解：原式=-20.
4.计算：（-3）+（-4）-（+11）-（-19）.
解：原式=1.
5.计算：-4.2+5.7-8.4+10.
解：原式=3.1.
6.计算：（-40）-（-28）-（-19）+（-24）.
解：原式=-17.
将同分母分数、小数结合相加
7.计算：（-）+（-）++（-）.
解：原式=-1.
8.计算：2.76+（-5）+（-4.76）+（-2）.
解：原式=-9.
将和为整数的数结合相加
9.计算：（+2）-（+2）+（-5）-+4）.
解：原式=-10.
10.计算：（-4+（+3+6+（-2）.
解：原式=3.
11.计算：（-0.5）+（3）+2.75+（-5）.
解：原式=0.
12.计算：0.75+0.125+（-2）+（-4）.
解：原式=-6.(共10张PPT)
专题4　【易错易混】　有理数及其运算
概念不清易出错
1.下列说法：①-2是负分数；② 3.6不是正数；③非负有理数不包括零；④正整数、负整数统称为整数；⑤零是最小的有理数.其中结论正确的有 （　A　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
　A　
符号问题易出错
2.化简.
（1）-（-2）=　2　.
（2）-|-2|=　-2　.
（3）|-（-2）|=　2　.
（4）（-1）2=　1　.
（5）-12=　-1　.
（6）-（-1）2=　-1　.
　2　
　-2　
　2　
　1　
　-1　
　-1　
3.计算.
（1）-=　-　.
（2）-=　-　.
（3）-（-）2=　-　.
（4）-（-2）4=　-16　.
（5）-（-2）3=　8　.
（6）［-（-2）］3=　8　.
运算顺序不当易出错
　-　
　-　
　-　
　-16　
　8　
　8　
4.判断正误.
（1）-2÷×（-）=-2÷（-1）=2. （　×　）
（2）-9÷（-4）÷（-2）=-9÷2=-. （　×　）
×
×
臆造运算律易出错
5.判断正误：24÷（-）=24÷-24÷. （　×　）
×
多种情况时漏解易出错
6.（1）|a|=|3|，则a=　±3　.
（2）|a|=|-3|，则 a=　±3　.
（3）-|a|=-3，则 a=　±3　.
　±3　
　±3　
　±3　
7.在数轴上距离表示数1的点3个单位长度的点表示的数是　-2或4　.
8.已知|x|=1，|y|=2，若|x-y|=y-x，求x+y的值.
解：x-y≤0，所以x=±1，y=2，
①x=1，y=2，则x+y=3；
②x=-1，y=2，则x+y=1.
　-2或4　
分类讨论不当易出错
9.若ab>0，化简：++.
解：ab>0，所以a，b同号，
①a>0，b>0，原式=1+1+1=3；
②a<0，b<0，原式=-1+（-1）+1=-1.
10.已知|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c，求ab+bc的值.
解：由题意，得a=±1，b=±2，c=±3.
因为a>b>c，
所以a=±1，b=-2，c=-3.
①a=1，b=-2，c=-3，ab+bc=4；
②a=-1，b=-2，c=-3，ab+bc=8.(共35张PPT)
阶段小测（二）
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1.在-，3.141 5，0，-0.333…，-，2.010 010 001…（每两个1之间的0的个数逐次增加1）中，非负有理数的个数是 （　A　）
A.2 B.3 C.4 D.5
　A　
2.生产厂家检测4个篮球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的篮球是 （　B　）
A.+2.4 B.-0.5 C.+0.6 D.-3.4
　B　
3.《安徽日报》是我省内部发行量最大的综合性对开日报，日发行量达71 000份，数据“71 000”用科学记数法表示为 （　B　）
A.71×103 B.7.1×104
C.7.1×105 D.7.1×106
　B　
4.下列说法：①有理数与数轴上的点一一对应；②1的平方是它本身；③3次方是它本身的数是0，1；④对于任意一个实数a，都可以用表示它的倒数；⑤任何无理数都是无限不循环小数.其中正确的个数是 （　D　）
A.0 B.1 C.2 D.3
　D　
5.计算（-3）×÷（-）×3的结果是 （　A　）
A.9 B.-9 C.1 D.-1
　A　
6.如图是一个程序图，若输入x的值为1，则输出y的值为 （　A　）
第6题图
A.13 B.-3 C.23 D.3
　A　
7.把数轴上表示数2的点移动3个单位长度后，表示的数为 （　C　）
A.5 B.-1
C.5或-1 D.5或1
　C　
8.下面两个图框是计算7×8和8×9的两个示例，规定左手伸出的手指数不大于右手伸出的手指数.若用此方法计算7×9，则左、右手依次伸出手指的个数是 （　A　）
7×8=？
因为两手伸出的手指数的和为5，未伸出的手指数的积为6，所以7×8=10×（2+3）+3×2=56
8×9=？
因为两手伸出的手指数的和为7，未伸出的手指数的积为2，所以8×9=10×（3+4）+2×1=72
　A　
A.2，4 B.1，4 C.3，4 D.3，1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9.-2的绝对值是　2　.
10.如图，将一直尺靠在数轴上，刻度尺上“0”和“8”分别对应数轴上的-3和x，则x的值为　5　.
第10题图
　2　
　5　
11.已知|x|=5，|y|=3且xy>0，则x+y=　8或-8　.
12.定义一种新运算“ ”，规则如下：a b=a2-ab，例如：3 1=32-3×1=6，则4 的值为　-40　.
　8或-8　
　-40　
三、解答题（本大题共4小题，共48分）
13.（10分）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”连接.
4，-6.5，-（-2），|-3|，0.
解：数轴如图所示.（6分）
用“<”连接为-6.5<0<-（-2）<|-3|<4.（10分）
14.（12分）将有理数-2.5，0，2，2 025，-35%，0.6分别填在相应的大括号里.
整数：｛0，2 025　　　　　　　…｝；（4分）
负数：｛-2.5，-35% …｝；（8分）
正分数：｛2，0.6 …｝.（12分）
0，2 025
（4分）
-2.5，-35%
（8分）
2，0.6
（12分）
15.（12分）计算：
（1）17×+0.35×+×17+×0.35.
解：（1）原式=17.35.（3分）
（2）（-15+5）÷5×.
（2）原式=-.（6分）
（3）-9+5×（-6）-18÷（-3）.
（3）原式=-33.（9分）
（4）÷（--）.
（4）原式=-.（12分）
16.（14分）小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次记为（单位：cm）：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10.
（1）小虫是否回到原点O？
（2）在爬行过程中，如果每爬行1 cm奖励2粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？
解：（1）因为（+5）+（-3）+（+10）+（-8）+（-6）+（+12）+（-10）=5-3+10-8-6+12-10
=5+10+12-3-8-6-10
=27-27
=0，
所以小虫最后可以回到原点O.（7分）
（2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|）×2
=（5+3+10+8+6+12+10）×2
=54×2
=108（粒），
所以小虫共可得108粒芝麻.（14分）
本章核心考点归纳
有理数的概念及分类
1.（2024·湖南）在日常生活中，若收入300元记作+300元，则支出180元应记作 （　C　）
A.+180元　 B.+300元
C.-180元　 D.-480元
　C　
2.下列各数中为负数的是 （　C　）
A.0 B.│-3│ C.-22 D.-（-3）
　C　
3.在1，-0.3，+，0，-3.3这五个数中，属于非负有理数的是
　1，+，0　.
4.请把下列各数填入表示它所在的数集的圈里.
-2，-20%，-0.13，-7，10，，21，6.2，4.7，
-8，0.
　1，+，0　
相反数、绝对值与倒数
5.（2024·绥化）实数-的相反数是 （　D　）
A.2 025　 B.-2 025　
C.-　 D.
　D　
6.（2024·苏州）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是 （　B　）
A.-3　 B.1　 C.2　 D.3
　B　
7.若a+3的相反数是-5，则a的倒数是 　.
8.已知│x+1│+│y-5│=0，则xy的相反数是　1　.
　
　1　
数轴与有理数的大小比较
9.（2024·广元）如图，将-1在数轴上对应的点向右平移2个单位长度，则此时该点对应的数是 （　B　）
第9题图
A.-1　 B.1　 C.-3　 D.3
　B　
10.（2024·广州）四个数-10，-1，0，10中，最小的数是 （　A　）
A.-10　 B.-1　 C.0　 D.10
　A　
11.在数轴上表示数-3，2.6，-，0，4，-2，-1这些点时，在原点左边的点有　-3，-，-2，-1　，距离原点最远的点是　4　.
　-3，-，-2，-1　
　4　
12.（1）如图，写出数轴上的点A，B所表示的数，点A： 　；点B：　2　.
（2）已知点C表示的数是3，点D表示的数是1.5，请在数轴上分别标出这两点.
（3）将点A，B，C，D所表示的数用“>”连接.
第12题图
解：（2）如图所示.
（3）由数轴可知，3>2>1.5>.
　
　2　
有理数运算及其应用
13.下列两个数相等的是 （　D　）
A.3和　 B.-（-3）和-3
C.（-3）2和-32　 D.（-3）3和-33
　D　
14.下列计算中正确的是 （　C　）
A.8÷（4+2）=8÷4+8÷2=6
B.（-1）÷（-2）×=（-1）÷（-1）=1
C.（-6）÷3=（-6）×=-6×+（-）×
=-2
D.［（-2）-（+2）］÷4=0
　C　
15.计算：
（1）-12++÷（-）.
解：原式=-1++×（-）
=-1+3+（-3）
=-1.
（2）+÷×2-6×（-）.
解：原式=2+（-）×4×2-6×（-）
=2-1+1
=2.
16.一名足球守门员练习折返跑，从球门的位置出发，向前记作“+”，返回记作“-”，他的记录如下（单位：m）：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10.
（1）守门员最后是否回到了原来的位置？
（2）守门员离开球门的最远位置是多少？
（3）守门员一共走了多少路程？
解：（1）5-3+10-8-6+12-10=0，最后回到了原来的位置.
（2）离开球门的最远位置是12 m.
（3）总路程为│5│+│-3│+│+10│+│-8│+│-6│+│+12│+│-10│=54（m）.
科学记数法与近似数
17.（2024·广东）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384 000 km外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接.数据384 000用科学记数法表示为 （　B　）
A.3.84×104　 B.3.84×105
C.3.84×106　 D.38.4×105
　B　
18.某公司去年的营业额约为 4 070万元，则此营业额可用科学记数法表示为 （　C　）
A.4.07×105元 B.4.07×106元
C.4.07×107元 D.4.07×108元
　C　
19.下列说法中正确的是 （　A　）
A.将数50 340精确到千位是5.0×104
B.用科学记数法表示的数5.04×105，其原数是50 400
C.近似数117.08精确到十分位
D.用四舍五入法得到的近似数8.175 0是精确到千分位
　A　(共12张PPT)
专题5　【方法技巧】　有理数的混合运算
一、有理数的乘除混合运算方法归纳
正用乘法的分配律
1.计算：（--+-）×（-36）.
解：原式=（-）×（-36）-×（-36）+×（-36）-×（-36）
=3+1-27+6
=-17.
逆用乘法的分配律
2.计算：（-）×（-3）+（-2）×（-3）+10×（-3）.
解：原式=（--2+10）×（-3）
=7×（-3）
=-27.
运用乘法的交换律和结合律
3.计算：（-8）×9×（-）×（-）.
解：原式=（-8）×（-）×[9×（-）]
=10×（-1）
=-10.
取倒数
4.计算：（-）÷（-+- ）.
解：因为原式的倒数为（-+-）÷（-）
=（-+-）×（-42）
=-7+9-28+12
=-35+21
=-14.
所以原式=-.
二、有理数混合运算中的易错点
未按运算顺序计算
5.计算：-÷×.
解：原式=-××
=-.
对乘方的意义理解有误
6.计算：-14+2÷×│-9│.
解：原式=-1+2×3×9
=-1+54
=53.
误认为除法也有分配律
7.计算：（-）÷（-+）.
解：设原式的值为x，易知x≠0.
所以 =（-+）÷（-）
=（-+）×（-12）
=-8+3-10
=-15，
所以x=-.
即（-）÷（-+）=-.
三、强化训练
8.计算.
（1） 3÷1÷2.
解：原式=××
=.
（2） 36÷4×（-）÷（-）.
解：原式=9×（-）×（-）
=.
（3） ×（-）×（-2）×（-4）.
解：原式=×（-）×[（-）×（-）]
=（-）×1
=-.
解：原式=×（-）×[（-）×（-）
（4）2×（-1）-2×13+（-1）×5+×（-13）.
解：原式=（2+5）×（-1）+[（-2）+
（-）]×13
=7×（-）+（-3）×13
=（-10）+（-39）
=-49.
（5）（-1）2 025+（-3）3÷（-3）×.
解：原式=-1+（-27）÷（-3）×
=-1+3
=2.(共56张PPT)
3有理数的乘除运算
第1课时　有理数的乘法
有理数的乘法法则
1.计算-2×（-3）的结果是 （　A　）
A.6　　　B.-6　　　C.5　　　D.-5
　A　
2.下列计算：①3×（-4）=-12；②（-4）×（-6）=24；③（-5）×（-1）=-5；④（-2）×12=24.其中正确的个数是 （　B　）
A.1 B.2 C.3 D.4
　B　
3.对于（-5）×7，左边第一个因数增加1后积的变化是
（　D　）
A.减少5　 B.增加5　 C.减少7　 D.增加7
　D　
4.如图，沿正方形对角线对折，互相重合的两个小正方形里面的数字的积为　0或-9　.
第4题图
　0或-9　
5.计算.
（1）（-3.4）×（-1）.
解：原式=4.
（2）-|-3|×（-2）.
解：原式=6.
（3）（-1.8）×.
解：原式=-4.2.
（4）-│-0.4│×（-）.
解：原式=.
倒数
6.-3的倒数是 （　C　）
A.-3　　　B.3　　　C.-　　　D.
　C　
7.下列互为倒数的是 （　A　）
A.3和 B.-2和2
C.3和- D.-2和
　A　
8.-1的倒数与的相反数的积是 （　B　）
A.- B. C.-9 D.9
　B　
9.填空.
（1）-7的倒数是　-　，它的相反数是　7　，它的绝对值是　7　.
（2）-2的倒数是　-　，-2.5的倒数是　-　.
（3）倒数等于它本身的有理数是　±1　.
　-　
　7　
　7　
　-　
　-　
　±1　
10.按如图的某种计算规律确定在第四个正方形中应填的数是 （　C　）
第10题图
A.140 B.180 C.210 D.240
　C　
11.如果ab<0，那么下列判断正确的是 （　D　）
A.a<0，b<0 B.a>0，b>0
C.a≥0，b≤0 D.a<0，b>0或a>0，b<0
　D　
12.（2024·包头）若m，n互为倒数，且满足m+mn=3，则n的值为 （　B　）
A.　 B.　 C.2　 D.4
　B　
13.形如的式子叫作二阶行列式，它的运算公式表示为=ad-bc，则的计算结果为　7　.
　7　
14.已知a与2互为相反数，b与-互为倒数.
（1）a=　-2　，b=　-3　.
（2）已知+=0，求mn的值.
解：（1）因为a与2互为相反数，b与-互为倒数，
所以a=-2，b=-3.
故答案为-2；-3.
（2）由题意，得|m-（-2）|+|-3+n|=0，
所以m=-2，n=3，
所以mn=-2×3=-6.
　-2　
　-3　
15.杂技演员小谦为观众表演走钢丝，他先以每秒1.5 m的速度向左走8 s，然后再以每秒2 m的速度向右走19 s，又以每秒2.5 m的速度向左走6 s，那么小谦在出发点的左边还是右边？距离是多少？
解：规定向左为正，向右为负.
1.5×8+（-2）×19+2.5×6=12-38+15=-11（m）.
所以小谦在出发点的右边，距离是11 m.
16.（1）若a+b=5，则ab的值为：①正数；②负数；③ 0.你认为结果可能是　①②③　（填序号）.
（2）若ab=-6，且a，b为整数，则a+b的最小值为　-5　.
（3）数轴上点A，B分别对应有理数a，b，若ab<0，b解：（2）因为ab=-6，所以a，b异号.
因为a，b为整数，
所以a=1，b=-6或a=2，b=-3或
a=-2，b=3或a=-1，b=6，
所以a+b=-5或-1或1或5.
　①②③　
　-5　
所以a+b的最小值为-5.
（3）因为ab<0，b0，则b<0.
若|a|>|b|，则a+b>0；
若|a|=|b|，则a+b=0；
若|a|<|b|，则a+b<0.
综上所述，若|a|>|b|，则a+b>0；
若|a|=|b|，则a+b=0；
若|a|<|b|，则a+b<0.
第2课时　有理数乘法的运算律
多个有理数相乘
1.下列计算结果中为正数的是 （　B　）
A.（-1）×（-2）×（-3）
B.1×（-2）×（-3）
C.（-1）×2×3
D.1×2×（-3）
　B　
2.下列计算结果中错误的是 （　D　）
A.-（-2）×（-3）=-6
B. -×（-6）=3
C.（-5）×（-2）×（-4）=-40
D.0×（-2）×（-4）=8
　D　
3.（1）绝对值大于1而小于3.5的整数有　4　个，它们的积是　36　.
（2）计算：-×15×（-1）=　15　.
　4　
　36　
　15　
4.计算.
（1）（-3）×（-2）×（- ）.
解：原式=-3.
（2） ×（-2.4）×.
解：原式=-××=-.
（3）（-4）×1.25×（-8）.
解：原式=××8=40.5.
（4）（-2）×（-1）×（-2）×.
解：原式=-（2×××）
=-5.
有理数乘法的运算律及其应用
5.-6×（-1+）=-+10-，这步运算运用了　 （　D　）
A.加法结合律 B.乘法结合律
C.乘法交换律 D.分配律
　D　
6.对于算式2 025×（-8）+（-2 025）×（-18），利用分配律写成积的形式为 （　C　）
A.2 025×（-8-18） B.-2 025×（-8-18）
C.2 025×（-8+18） D.-2 025×（-8+18）
　C　
7.下列变形中错误的是 （　D　）
A.5×（-6）=（-6）×5
B.4×（-5）×（-10）=4×［（-5）×（-10）］
C.［（-）+］×（-12）=（-）×（-12）+×
（-12）
D.（-8）××（-1）×=-8××1×
　D　
8.计算，并在算式每一步后面填上这一步运用的运算律.
［（8×4）×125-5］×25
=［（4×8）×125-5］×25 （　乘法的交换律　）
=［4×（8×125）-5］×25（　乘法的结合律　）
=4 000×25-5×25（　乘法对加法的分配律　）
=　99 875　.
　乘法的交换律　
　乘法的结合律　
　乘法对加法的分配律　
　99 875　
9.计算.
（1）8×（-）×5.
解：原式=-16.
（2）（-12.5）×（-）×（-4）.
解：原式=-5.
（3）-69×8.
解：原式=（-70+）×8
=-560+
=-559.
（4）（-8）×（-1+）.
解：原式=5.
（5）（-72）×.
解：原式=（-72）×（-）+（-72）×（-）+（-72）×（-）
=16+30+12
=58.
（6）25×+25×-25×.
解：原式=25×（+-）
=25×（-）
=-5.
10.已知abc<0，ac<0，a>c，则下列结论中正确的是 （　B　）
A.a<0，b<0，c>0 B.a>0，b>0，c<0
C.a<0，b<0，c<0 D.a>0，b>0，c>0
　B　
11.数学活动课上，王老师在6张卡片上写了6个不同的数：
-3　+2　+1　0　+5　-8
如果从中任意抽取3张，使这3张卡片上的数之积最小，最小的积为　-80　；使这3张卡片上的数字之积最大，最大的积为　120　.
　-80　
　120　
12.计算.
（1）（-）×1×（-）.
解：原式=.
（2）（-2）×（-7）×（-5）×（-）.
解：原式=10.
（3）1.25×（-1）×（-3.2）×（-）.
解：原式=-4.
（4）（-）×（-）×（-）.
解：原式=（-）×（-）×（-）
=×（-）
=-.
13.细心观察如图所示的图形，按下述方法找出规律.
第13题图
（1）写出前面三个图形四角中四个数的积，
分别是　24　，　60　，　120　.
（2）写出前面三个图形四角中四个数的和，
分别是　-10　，　-13　，　-16　.
（3）请你按规律计算出第四个长方形中的数，并说明理由.
解：（3）（-1）×（-5）×（-6）×（-7）=210，
（-1）+（-5）+（-6）+（-7）=-19，
　24　
　60　
　120　
　-10　
　-13　
　-16　
第四个长方形中的数是210+（-19）=191.
14.核心素养·运算能力学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算 49×（-5）.
有两位同学的解法如下.
小明：原式=-×5=-=-249.
小军：原式=（49+）×（-5）=49×（-5）+×（-5）=-249.
（1）对于以上两种解法，你认为　小军　的解法较好.
（2）上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来.
（3）用你认为最合适的方法计算 99×（-16）.
　小军　
解：（2）有.方法如下：
49×（-5）
=-（49×5）=-
=-（50×5-×5）=-（250-）
=-249.
（3）99×（-16）
=-（99×16）=-
=-（100×16-×16）=-1 599.
第3课时　有理数的除法
有理数除法法则（一）绝对值法相除
1.（-8）÷（+2）的计算结果是 （　A　）
A.-4 B.4 C.±4 D.-16
　A　
2.（-2）÷（-）的计算结果是 （　A　）
A.4 B.-4 C.1 D.-1
　A　
3.下列计算结果中正确的是 （　C　）
A.-45÷15=3 B.（-8）÷（-16）=2
C.（-12）÷8=- D.69÷（-23）=3
　C　
4.计算.
（1） 0÷（-7）=　0　.
（2）-0.75÷0.25=　-3　.
（3）（-378）÷（-7）÷（-9）=　-6　.
有理数除法法则（二）倒数法相除
　0　
　-3　
　-6　
5.在计算2÷（-）时，将除法转化为乘法正确的是 （　B　）
A.×（-） B.2×（-）
C.2× D.×（-）
　B　
6.（-）÷（-）的计算结果是 （　A　）
A. B.- C.2 D.-2
　A　
7.（1）一个数与-4的乘积等于1，则这个数是　-　.
（2）已知两数的商是-3，被除数是4，则除数是　-　.
　-　
　-　
8.计算.
（1）（-3）÷（-5）.
解：原式=.
（2）（-3）÷.
解：原式=-.
（3）（-32）÷4×（-）.
解：原式=.
解：原式=-.
（4）（-）×（-）÷（-0.25）.
9.计算-8÷（-2）×（-）的结果是 （　D　）
A.8 B.-8 C.2 D.-2
　D　
10.已知|a|=6，|b|=3，且a+b>0，那么 的值是　 （　C　）
A.2 B.-2 C.±2 D.±0.5
　C　
11.从6，-5，-4，3这四个数中任取两个数相乘，积记为A；任取两个数相除，商记为B.则A-B的最大值为 　.
　
12.计算.
（1）（-）×（-1）÷（-2）.
解：原式=-.
（2）（-81）÷（-2）×÷（-16）.
解：原式=-1.
13.教材变式·P56习题8气温的变化与高度有关，高度每增加1 km，气温大约下降5.8 ℃.
（1）若地表气温是12 ℃，则此时高度为3 km的山顶气温是多少？
（2）若山顶气温是-6.1 ℃，此时地表气温是20 ℃，则这座山的高度是多少？
解：（1）由题意，得12-3×5.8=12-17.4=-5.4 （℃）.
答：山顶气温是-5.4 ℃.
（2）［20-（-6.1）］÷5.8=26.1÷5.8=4.5（km）.
答：这座山的高度是4.5 km.
14.（1）用简便方法计算：（-+）÷（-）.
（2）直接写出（-）÷（-+）的值为　-　.
（3）计算：（1--）÷（-）+÷（1--）.
解：（1）原式=（-+）×（-24）
=×（-24）-×（-24）+×（-24）
=-12+4-8
=-16.
（2）由（1）知（-+）÷（-）=-16，
　-　
所以（-）÷（-+）=-.
（3）因为（1--）÷（-）
=（--）×（-）
=×（-）-×（-）-×（-）
=-2+1+
=-，
所以÷（1--）=3.
原式=-+3=.(共52张PPT)
第二章　　有理数及其运算
1认识有理数
第1课时　有理数
正负数的认识
1.下列说法中正确的是 （　D　）
A.0既是正数，又是负数
B.0是最小的正数
C.0是最大的负数
D.0既不是正数，又不是负数
　D　
2.在-1，0，2.5，+，-1.732，-3.14，106，-，-1中，正数是　2.5，+，106　　；负数是　-1，-1.732，-3.14，-，-1　.
用正负数表示具有相反意义的量
　2.5，+，106　　
　-1，-1.732，-3.14，-，-1　
3.若火箭发射点火前5 s记作-5 s，则火箭发射点火后10 s应记作 （　D　）
A.-10 s B.-5 s
C.+5 s D.+10 s
　D　
4.如果支出100元记作-100元，那么+60元表示 （　D　）
A.支出40元　　　　　　B.收入40元
C.支出60元　　　　　　D.收入60元
　D　
5.（2024·武汉）中国是世界上最早使用负数的国家.负数广泛应用到生产和生活中.例如：若零上3 ℃记作+3 ℃，则零下2 ℃记作　-2　℃.
6.如果以某次数学成绩的平均成绩83分为标准，某同学考了85分，记作+2分，那么考了90分记作　+7　分，-5分表示考了　78　分.
有理数及其分类
　-2　
　+7　
　78　
7.（2024·凉山）下列各数：5，-，-3，0，-25.8，+2，其中负数有 （　C　）
A.1个　 B.2个　 C.3个　 D.4个
　C　
8.下列说法中正确的是 （　A　）
A.整数和分数统称为有理数
B.0和负分数统称为分数
C.正整数和负整数统称为整数
D.0和正整数叫作非负数
　A　
9.如果海平面的高度为0 m，一艘潜水艇在海面下40 m处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方10 m处游动.试用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼在水中的高度.
解：潜水艇在水中的高度是-40 m，鲨鱼在水中的高度是-30 m.
10.教材变式·P25练习2把下列各数填入相应的集合中.
+3，-4，-1.9，0.，0，-8，+123.
正数集合：｛　　　　+3，0.，+123　　　…｝
负数集合：｛　　　　-4，-1.9，-8　　 …｝
整数集合：｛　　　　+3，0，-8，+123　　 …｝
分数集合：｛　　　　-4，-1.9，0. 　 …｝
非负数集合：｛　　　+3，0.，0，+123　　…｝
有理数集合：｛+3，-4，-1.9，0.，0，-8，+123 …｝
　　　+3，0.，+123
　　　-4，-1.9，-8
　　　+3，0，-8，+123
　　　-4，-1.9，0.
　　+3，0.，0，+123
+3，-4，-1.9，0.，0，-8，+123
11.某品牌大米包装的质量标识为（10±0.20）kg，下列实际质量中不符合标识的是 （　A　）
A.9.79 kg　 B.10.09 kg
C.10.20 kg　 D.9.81 kg
　A　
12.在-8，2 017，3，0，-4，+12，-，-5.9中，正整数有m个，负分数有n个，则m+n的值为 （　B　）
A.3　　　B.4　　　C.5　　　D.6
　B　
13.某路公交车从起点经过A，B，C，D站到达终点，一路上下乘客如表所示.（用正数表示上车的人数，负数表示下车的人数）
（1）到终点下车有　28　人.
（2）公交车行驶在哪两站之间车上的乘客最多？　B　站和　C　站.
站点 起点 A B C D 终点
上车的人数 18 15 13 8 6 0
下车的人数 0 -4 -5 -11 -12
　28　
　B　
　C　
（3）若每人上车需买票2元，问该公交车出车一次能收入多少钱？
解：（1）根据题意可得，到终点前，车上有18+15-4+13-5+8-11+6-12=28（人），故到终点下车有28人.
（2）根据表可知，A站：18+15-4=29，
B站：18+15-4+13-5=37，
C站：18+15-4+13-5+8-11=34，
D站：18+15-4+13-5+8-11+6-12=28，
易知B站和C站之间人数最多.
（3）根据题意，得
（18+15+13+8+6）×2=60×2=120（元），
该公交车出车一次能收入120元.
14.核心素养·运算能力观察下面一列数：，-，，-，，…，并回答下列问题.
（1）第100个数是　　　和第2 025个数是　　　.
（2）在前2 025个数中，正数有　　　个，负数有　　　个.
（3） 和 这两个数，哪一个数在这一列数中？
解：（1）-；.
（2）1 013；1 012.
（3） 在这一列数中.
相反数
第2课时　相反数和绝对值
1.（2024·达州）有理数2 024的相反数是 （　B　）
A.2 024　 B.-2 024
C.　 D.-
　B　
2.下列各组数中，互为相反数的是 （　A　）
A. 和- B.-4和
C.-4和- D.4和
　A　
3.和它的相反数之间的整数有　1　个.
4. 填空.
（1）-1.8与　1.8　互为相反数.
（2）- 是 　的相反数.
（3）　-0.3　的相反数是 0.3.
（4）相反数等于它本身的数是　0　.
绝对值
　1　
　1.8　
　
　-0.3　
　0　
5.下列各项中绝对值最小的数是 （　C　）
A.-3 B.- C.0 D.
　C　
6.如果一个有理数的绝对值是6，那么这个数是 （　B　）
A.6 B.6或-6
C.-6 D.或-
　B　
7.（2024·威海）一批食品，标准质量为每袋454 g.现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示.那么最接近标准质量的是 （　C　）
A.+7　 B.-5　 C.-3　 D.10
　C　
8.求下列各数的绝对值：
（1）-8. 　　　　　　　（2） 0.15.
解：│-8│=8. 解：│0.15│=0.15.
（3）-3. （4） 0.
解：=3. 解：│0│=0.
利用绝对值比较两个负数的大小
9.下列大小关系中错误的是 （　A　）
A.-2<-3 B.-<-
C.> D.5>-|-5|
　A　
10.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为　-7，-6，-5，-4，-3　.
11.比较下列每组数的大小.
（1）- 和-.
解：-<-.
（2）-2 和-2.33.
解：-2<-2.33.
（3）- 和-│-0.3│.
解：->-│-0.3│.
　-7，-6，-5，-4，-3　
12.min（a，b）表示a，b两数中的最小者，max（a，b）表示a，b两数中的最大者.例如min（-3，5）=-3，max（-3，5）=5，则max是 （　A　）
A.-　 B.-1 C.-　 D.-
　A　
13.填空.
（1）-（-4）+|-12|-|+8|=　8　.
（2）-　<　-.（选填“>”或“<”）
　8　
　<　
14.“南辕北辙”这个成语讲的是我国古代某人要去南方，却向北走了起来，有人预言他无法到达目的地，他却说：“我的马很快，车的质量也很好.”请问他能到达目的地吗？“马很快，车质量好”会出现什么结果？用相反数或绝对值的知识加以说明.
解：不能，因为方向相反.
“马很快，车质量好”只能离目的地越来越远.
15.新情境如图为某一条东西方向直线上的公交线路，东起职教园区站，西至人民公园站，途中共设12个上下车站点.某天，小王从电业局站出发，始终在该线路的公交站点做志愿者服务，到A站下车时，本次志愿者服务活动结束.如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：+5，-2，+6，-7，+4，+1，-3，-2，+7，-4.
第15题图
（1）请通过计算说明A站是哪一站？
（2）若相邻两站之间的平均距离为2 km，求这次小王志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是多少千米.
解：（1）由题意，得+5-2+6-7+4+1-3-2+7-4=5，
所以在电业局东边第5站是市政府，
所以A站是市政府站.
（2）由题意，得
（|+5|+|-2|+|+6|+|-7|+|+4|+|+1|+|-3|+|-2|+|+7|+|-4|）×2
=（5+2+6+7+4+1+3+2+4+7）×2
=41×2
=82（km），
所以小王志愿服务期间乘坐公交车行进的路程是82 km.
16.用字母a表示一个有理数，则|a|一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而-|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以-|a|有最大值0，根据这个结论，回答下列问题：
（1）|a|+1有最　小　值　1　.
（2）5-|a|有最　大　值　5　.
（3）当a的值为　1　时，|a-1|+2有最　小　值　2　.
（4）若|a-2|+（b-3）2=0，则ab=　6　.
解：（1）因为|a|≥0，所以|a|+1≥1，所以|a|+1有最小值1.
故答案为小，1.
　小　
　1　
　大　
　5　
　1　
　小　
　2　
　6　
（2）因为-|a|≤0，所以5-|a|≤5，所以5-|a|有最大值5.
故答案为大，5.
（3）因为|a-1|≥0，所以|a-1|+2≥2，
所以a-1=0，即a=1时，|a-1|+2有最小值2.
故答案为1，小，2.
（4）因为|a-2|+（b-3）2=0，
所以a-2=0，b-3=0，
解得a=2，b=3，
所以ab=2×3=6.
故答案为6.
第3课时　数　轴
用数轴上的点表示有理数
1.下列选项中数轴画法正确的是 （　D　）
A B
C D
　D　
2.（2024·河南）如图，数轴上点P表示的数是 （　A　）
第2题图
A.-1　 B.0　 C.1　 D.2
　A　
3.数轴上表示-2的点在原点的　左　侧，距原点的距离是　2　个单位长度.
4.（1）如图，写出数轴上点A，B，C，D表示的数.
（2）请在数轴上表示有理数-，4.
第4题图
解：（1）由数轴可得，点A，B，C，D表示的数分别是-3，-1.5，0，2.
（2）在数轴上表示有理数-，4如图所示.
　左　
　2　
绝对值的几何意义
5.在数轴上表示-4的点与原点的距离是 （　B　）
A.-4　 B.4　 C.±4　 D.8
　B　
6.（2024·湖南）数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为 （　A　）
A.6或-6 B.-6 C.6 D.3或-3
　A　
7.数轴上，如果点A表示-，点B表示-，那么离原点较近的点是　点B　.（选填“点A”或“点B”）
利用数轴比较有理数的大小
　点B　
8.如图，数轴上点A，B分别对应有理数a，b，则a，b的大小关系为 （　A　）
第8题图
A.ab D.a≤b
　A　
9.如图，在数轴上点A，B，C，D表示的数中，比点A表示的数大的数对应的点有　2　个，比点C表示的数小的数对应的点有　2　个.
第9题图
　2　
　2　
10.教材变式·P31习题8如图，分别指出数轴上A，B，C，D，E各点所表示的数，并用“<”将它们连接起来.
第10题图
解：点A表示-3，点B表示5，点C表示3，点D表示-，点E表示-1.
用“<”连接为-3<-1<-<3<5.
11.如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是 （　C　）
第11题图
A.-2　 B.0　 C.1　 D.4
　C　
12.已知数轴上有A，B两点，点A，B之间的距离为2，点A与原点O的距离为4，则所有满足条件的点B与原点O的距离之和为 （　D　）
A.4　 B.6　 C.8　 D.16
　D　
13.一只电子跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处表示的数是　-50　.
　-50　
14.小明在一张纸面上画了一条数轴（原点未标出），有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，表示数a的点与表示数c的点到原点的距离相等，表示数b与-b的点相距30个单位长度，若表示数a的点与原点的距离是表示数b的点与原点距离的，则c的值为　-5　.
第14题图
　-5　
15.在数轴上有三个点，它们分别表示4，2，-3，点A，B，C分别表示这三个数的相反数.
（1）画一条数轴，并在该数轴上画出A，B，C三点.
（2）将点B向右移动3个单位长度后，对应点B'表示的数的相反数是　-1　.
　-1　
（3）在（1）的条件下，小李想移动原点的位置，使点A，B对应的数互为相反数，他应该怎么做？
解：（1）如图所示.
（2）-1.
（3）点A，B不动，将原点向左移动3个单位长度.
16.如图所示的数轴上标出的所有点中，相邻两点间的距离都相等.已知点A表示的是有理数-16，点G表示的是有理数8.
第16题图
（1）表示原点的是点　E　，点C表示的有理数是　-8　.
（2）数轴上有两点M，N，点M到点E的距离为4，点N到点E的距离为4，则点M，N之间的距离为　0或8　.
（3）点P为数轴上一点，且表示的数是整数，点P到点A的距离与点P到点G的距离之和是24，则这样的点P有　25　个.
　E　
　-8　
　0或8　
　25　

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