资源简介

(共37张PPT)
阶段小测（五）
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1.下列方程中，属于一元一次方程的是 （　C　）
A.x2=9 B.=8
C.x-6=2 D.x+y+z=7
　C　
2.已知方程（a-3）x|a|-2+3=0是关于x的一元一次方程，则a的值为 （　B　）
A.3 B.-3 C.±1 D.±3
　B　
3.下列解方程的变形过程正确的是 （　D　）
A.由3x=2x-1移项，得3x+2x=-1
B.由44+3x=2x-1移项，得3x-2x=1-44
C.由=1+去分母，得3（3x-1）=1+2（2x+1）
D.由4-2（3x-1）=1去括号，得4-6x+2=1
　D　
4.若代数式x+4与2x-1的值互为相反数，则x的值是 （　B　）
A.-2 B.-1 C.1 D.2
　B　
5.若关于x的一元一次方程-=1的解是x=-1，则k的值是 （　C　）
A. B.- C.1 D.0
　C　
6.元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？设快马x天可追上慢马，可列方程为 （　D　）
A.= B.=-12
C.240（x-12）=150x D.240x=150（x+12）
　D　
7.某校在践行“安全你我同行”的宣传活动中，交通安全组有8人，消防安全组有7人.应从消防安全组调多少人到交通安全组，才能使交通安全组的人数是消防安全组的2倍？设从消防安全组调x人到交通安全组，可列方程为 （　C　）
A.8+x=2×7-x B.8-x=2×7+x
C.8+x=2（7-x） D.8-x=2（7+x）
　C　
8.A，B两地相距450 km，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，已知甲车的速度是120 km/h，乙车的速度是80 km/h，经过t h两车相距50 km，则t的值是 （　A　）
A.2或2.5 B.2或10
C.10或12.5 D.2或12.5
　A　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9.若x=-2是关于x的方程2x-a+2b=0的解，则代数式2a-4b+1的值为　-7　.
10.一项工程，甲队独立完成需24天，乙队独立完成需30天，甲、乙两队合作若干天后，甲队继续做了6天才完成，则乙队做了　10　天.
　-7　
　10　
11.如图所示的“L”形图形的面积为64 cm2，若a=2 cm，则b=　17　cm.
第11题图
　17　
12.对于两个数a，b，我们规定用M｛a，b｝表示这两个数的平均数，用min｛a，b｝表示这两个数中较小的数，例如：M｛-1，2｝==，min｛-2，0｝=-2.若M｛3，2x+3｝=min｛-2，-3｝，则x=　-6　.
　-6　
三、解答题（本大题共4小题，共48分）
13.（10分）解方程：
（1）8y-3（y+2）=6.
解：去括号，得8y-3y-6=6，
移项、合并同类项，得5y=12，
系数化为1，得y=.（5分）
（2）=-3.
解：去分母、去括号，得5-10x=9x+12-45，
移项，得-10x-9x=12-45-5，
合并同类项，得-19x=-38，
系数化为1，得x=2.（10分）
14.（12分）小张返乡创业，销售家乡某土特产，二月份该土特产平均每吨售价比一月份降低了400元，销售量比一月份增加了10%，二月份与一月份的销售总额相同.求该土特产一月份每吨的售价.
解：设该土特产一月份每吨的售价为x元.（2分）
把一月份销售量看作单位“1”，可列方程为x=（1+10%）（x-400），（6分）
解得x=4 400.（10分）
答：该土特产一月份每吨的售价为4 400元.（12分）
15.（12分）小明在解关于x的方程+1=时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x=4.求a的值，并正确地解该方程.
解：因为去分母时，方程左边的1没有乘10，
所以去分母后，得2（2x-1）+1=5（x+a），（2分）
把x=4代入上式，解得a=-1.（5分）
原方程为+1=，
去分母，得2（2x-1）+10=5（x-1），
去括号，得4x-2+10=5x-5，（8分）
移项、合并同类项，得-x=-13，
系数化为1，得x=13.（12分）
16.（14分）某校在科技节的系列活动中举行了“王中王”知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答对得分，答错扣分，每题必答，未答视为答错.下表记录了其中2名参赛者的得分情况.
（1）参赛者答对一题得　　　　分，答错一题扣　　　　分.
（2）参赛者小红得了70分，她答对了几道题？
（3）参赛者小明说他得了84分，你认为可能吗？为什么？
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 14 6 64
解：（1）5；1（4分）
（2）设参赛者小红答对了m道题.
根据题意，得5m-（20-m）=70，（6分）
解得m=15，所以参赛者小红答对了15道题.（9分）
（3）参赛者小明不可能得84分.（11分）
理由如下：
设参赛者小明答对了n道题.
根据题意，得5n-（20-n）=84，解得n=17.
因为n必须为整数，所以参赛者小明不可能得84分.（14分）
本章核心考点归纳
一元一次方程与方程的解
1.下列方程中，是一元一次方程的是 （　B　）
A.x+3=y+2 B.x=3-x
C.1=1 D.x2=1
　B　
2.下列方程中，解是x=-2的是 （　D　）
A.3x-2=2x B.4x-1=2x+3
C.5x-3=6x-2 D.3x+1=2x-1
　D　
3.已知方程（a-2）x│a│-1+4=0是关于x的一元一次方程，则a=　-2　.
　-2　
等式的基本性质
4.下列利用等式的基本性质进行的变形中，错误的是 （　C　）
A.如果a=b，那么a-c=b-c
B.如果a=b，那么a+c=b+c
C.如果a=b，那么=
D.如果a=b，那么ac=bc
　C　
5.下列各组变形中正确的是 （　D　）
A.由2x-3=1，得2x=1-3
B.由-2x=1，得x=-2
C.由2（x-3）=1，得2x-3=1
D.由8-x=x-5，得-x-x=-5-8
　D　
解一元一次方程
6.方程3-2（x-5）=9的解是 （　B　）
A.x=-2 B.x=2 C.x= D.x=1
　B　
7.解方程 -=1需下列四步，其中开始发生错误的一步是 （　C　）
A.去分母，得2（x+1）-（x-1）=6
B.去括号，得2x+2-x+1=6
C.移项，得2x-x=6-2+1
D.合并同类项，得x=5
　C　
8.将方程=的两边同乘12，可得到　3（x+2）=2（2x+3）　，这种变形叫　去分母　，其依据是　等式的基本性质2　.
9.当x=　-　时， 与 的值互为相反数.
10.已知x= 是方程5（m-x）+x=3m的解，则m= 　.
　3（x+2）=2（2x+3）　
　去分母　
　等式的基本性质2　
　-　
　
解：x=-.
11.解下列方程.
（1）4-3（10-y）=5y.
解：y=-13.
（2）=-1.
12.如果方程 +4= 的解与方程4x-（3a+1）=6x+2a-1的解相同，求a-的值.
解：x=10，a=-4，a-=-.
一元一次方程的应用
13.（2024·广州）某新能源车企今年5月交付新车35 060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1 100辆.设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为 （　A　）
A.1.2x+1 100=35 060
B.1.2x-1 100=35 060
C.1.2（x+1 100）=35 060
D.x-1 100=35 060×1.2
　A　
14.A，B两地相距480 km，一列慢车从A地出发，每小时行驶60 km，一列快车从B地出发，每小时行驶90 km，快车提前30 min出发，两车相向而行.若设慢车行驶了x h后，两车相遇，根据题意，可列方程为 （　D　）
A.60（x+30）+90x=480
B.60x+90（x+30）=480
C.60（x+）+90x=480
D.60x+90（x+）=480
　D　
15.水果店老板小张将新进的整箱水果按成本提高50%作为标价进行销售.对购买数量较大的顾客给予打八折优惠，此时一箱水果售价为96元，那么这箱水果的利润是　16　元.
　16　
16.《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三.问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱.问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为　5x+45=7x-3　.
　5x+45=7x-3　
17.新情境（2024·吉林）钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键和黑色琴键的个数.
第17题图
解：设黑色琴键x个，则白色琴键（x+16）个.
由题意，得x+（x+16）=88，
解得x=36，
所以白色琴键36+16=52（个）.
答：白色琴键52个，黑色琴键36个.
18.某书店预购进A，B两类学生书刊.若购买300本A书刊和200本B书刊共需要4 400元，其中A，B两类书刊的进价和售价如下表：
（1）求A，B两类书刊的进价各是多少元.
（2）若书店第一次购进A，B两类书刊共600本，全部售完后总利润（利润=售价-进价）为4 950元，求该书店第一次分别购进A，B两类书刊各多少本.
书刊 A B
进价/（元/本） x x+2
售价/（元/本） 15 20
（3）若第二次购进时两类书刊的进价都比上次优惠了10%，购进同样数量的两类书刊，再次销售时书店对A类书刊售价不变，B类书刊进行打折出售，全部售完后总利润比上次还多30元，求B类书刊打了几折.
解：（1）由题意，得300x+200（x+2）=4 400，
解得x=8，
所以x+2=8+2=10（元）.
答：A类书刊的进价是8元，B类书刊的进价是10元.
（2）设A类书刊购进m本，则B类书刊购进（600-m）本.
由题意，得（15-8）m+（20-10）（600-m）=4 950，
解得m=350，
所以600-m=600-350=250（本）.
答：A类书刊购进350本，B类书刊购进250本.
（3）设B类书刊打了a折.
600本书的售价为350×15+250×20×=500a+5 250，
进价为（350×8+250×10）×（1-10%）=4 770，
利润为500a+5 250-4 770=4 950+30，
解得a=9.
答：B类书刊打了九折.(共16张PPT)
第五章　　一元一次方程
1　认识方程
方程的概念与方程的解
1.在下列各式：①3x-4=-1；②5y2+2y=3；③7x-1；④x-2≠0；⑤2x=x+1；⑥3×=；⑦-2y=0，其中是方程的有 （　B　）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
　B　
2.若关于x的方程（|m|-3）x2+（m+3）x-4=0是一元一次方程，则m的值是 （　B　）
A.-3 B.3 C.±3 D.
　B　
3.下列方程中，解是x=2的方程是 （　D　）
A.x+7=1　 B.-2x=6
C.x=0　 D.3x-6=0
　D　
4.已知关于x的方程ax=8-3x的解是x=2，则a的值为
（　A　）
A.1 B. C. D.-2
　A　
5.教材变式·P137练习2判断下列方程是否是一元一次方程，并检验后面括号里的数是不是它前面方程的解.
（1）3y-1=2y+1.（y=2，y=4）
（2）3（x+1）=2x-1.（x=2，x=0，x=-4）
解：（1）是一元一次方程，把y=2代入方程两边，左边=5，右边=5，
左边=右边，所以y=2是方程的解；
把y=4代入方程两边，左边=11，右边=9，
左边≠右边，所以y=4不是方程的解.
（2）是一元一次方程，把x=2代入方程两边，左边=9，右边=3，
左边≠右边，所以x=2不是方程的解；
把x=0代入方程两边，左边=3，右边=-1，
左边≠右边，所以x=0不是方程的解；
把x=-4代入方程两边，左边=-9，右边=-9，
左边=右边，所以x=-4是方程的解.
根据题意列方程
6.根据“x的3倍与5的和等于x的”，列出的方程是 （　A　）
A.3x+5= B.3x+5=x+
C.3（x+5）= D.3（x+5）=x+
　A　
7.小明买80分邮票与1元邮票共花了16元，已知所买的1元邮票比80分邮票少2枚.设买了80分邮票x枚，根据题意可列方程为 （　A　）
A.0.8x+（x-2）=16
B.0.8x+（x+2）=16
C.80x+（x-2）=16
D.80x+（x+2）=16
　A　
8.根据题意列方程.
（1）x的2倍比它的一半大3，则可列方程为　2x-x=3　.
（2）x的5倍比x的2倍小12，则可列方程为　5x=2x-12　.
　2x-x=3　
　5x=2x-12　
9.根据条件列方程.
（1）正方形的边长为2x cm，周长为50 cm.
（2）x的相反数减去3的差是x的2倍.
解：（1）4×2x=50.
（2）-x-3=2x.
10.若x=2是一元一次方程ax-b=2的解，则6a-3b+2的值是 （　B　）
A.-8　 B.8　 C.-4　 D.4
　B　
11.数学文化《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终剩余9个人无车可乘，则人和车各有多少？设共有x人，可列方程为 （　B　）
A.=-9 B.+2=
C.-2= D.=+9
　B　
12.若方程（b+2）+3=0是关于x的一元一次方程，则b的值为　2　.
13.小红在解关于x的方程-3x+1=3a-2时，误将方程中的“-3”看成了“3”，求得方程的解为x=1，求原方程的正确解.
解：把x=1代入3x+1=3a-2，
得3+1=3a-2，
解得a=2，
故原方程为-3x+1=6-2，
-3x=3，
解得x=-1.
　2　
14.在一次手工活动中，甲班制作工艺品的数量比乙班多20%，乙班制作工艺品的数量比甲班的一半多10个.设乙班制作工艺品的数量为x个.
（1）列两个不同的含x的整式表示甲班制作工艺品的数量.
（2）根据题意列出含有未知数x的方程.
（3）检验甲班、乙班制作工艺品的数量是不是分别为35个和25个.
解：（1）根据甲班制作工艺品的数量比乙班多20%，得甲班制作工艺品的数量为（1+20%）x；
根据乙班制作工艺品的数量比甲班的一半多10个，得甲班制作工艺品的数量为2（x-10）.
（2）由题意，得（1+20%）x=2（x-10）.
（3）把x=25代入方程两边，
左边=30，右边=30，左边=右边，
所以x=25是方程的解，
此时甲班制作工艺品的数量为25×（1+20%）=30≠35，
所以乙班制作工艺品的数量是25个，甲班制作工艺品的数量是30个，而不是35个.(共51张PPT)
2一元一次方程的解法
第1课时　等式的基本性质
等式的基本性质
1.如果x=y，那么下列等式不一定成立的是 （　D　）
A.x+a=y+a　 B.x-a=y-a
C.ax=ay　 D.=
　D　
2.已知a=b，则a+3=　b+3　；4-a=　4-b　；-2a+1=　-2b+1　；= 　.
　b+3　
　4-b　
　-2b+1　
　
运用等式的基本性质解方程
3.解方程-x=12时，应在方程两边 （　D　）
A.同时乘- B.同时乘4
C.同时除以 D.同时除以-
　D　
4.下列对于等式-1=x的变形中，根据等式的基本性质2变形的是 （　C　）
A.=x+1 B.-x=1
C.2x+1-3=3x D.+-1=x
　C　
5.填空.
（1）在等式x+5=7的两边同时　减去5　 　，
得x=2，根据是　等式的基本性质1　.
（2）如果-4x=-8，那么x=　2　是等式两边同时　除以-4　得到的，根据是　等式的基本性质2　.
　减去5　 　
　等式的基本性质1　
　2　
　除以-4　
　等式的基本性质2　
6.利用等式的基本性质解下列方程，并检验.
（1）-x-5=4. （2）6x=4x-3.
解：x=-27. 解：x=-.
检验略.　　　　　　 检验略.
7.教材变式·P146习题6如图，下列四个天平中，均放有球形物体和圆柱形物体，并且相同形状的物体的质量是相等的.若天平①是平衡的，则后三个天平中仍然平衡的有 （　C　）
第7题图
A.③ B.④ C.②③ D.③④
　C　
8.定义新运算：a※b=2a+b，例如：3※2=2×3+2=8.已知x※4=20，则x=　8　.
　8　
9.阅读下列解题过程，指出它错在哪一步？为什么？
解方程：2（x-1）-1=3（x-1）-1.
解：两边同时加上1，得2（x-1）=3（x-1）， 第一步
两边同时除以x-1，得2=3. 第二步
解：错在第二步.理由如下：
两边不能同时除以x-1，因为x-1的值可能为0.
10.我们知道，无限循环小数都可以转化为分数.例如：将0.转化为分数时，可设0.=x，则x=0.3+x，解得x=，即0.=.仿此方法，将0.化成分数.
解：设0.=x=0.737 373…，①
两边乘100，得100x=73.737 3….②
由②-①，得100x-x=73，即99x=73，
解得x=，
故0.=.
第2课时　利用移项与合并同类项解一元一次方程
利用移项与合并同类项解一元一次方程
1.解方程5x-3=2x时，移项正确的是 （　D　）
A.5x+2x=3 B.5x-2x=-3
C.5x+2x=-3 D.5x-2x=3
　D　
2.若多项式2+3x与4x的值相同，则x的值是 （　B　）
A.-2 B.2 C.- D.
　B　
3.下列方程中，与x-1=-x+3的解相同的是 （　D　）
A.x+2=0 B.2x-3=0
C.x-2=2x D.x-2=0
　D　
4.若多项式 x+与x-的值互为相反数，则x的值是 　.
5.解下列方程.
（1）2x-15=-3x.
解：x=3.
（2）5x+2=7x-4.
解：x=3.
（3）x-5=15-x.
解：x=24.
　
6.甲厂库存钢材100 t，每月用去15 t；乙厂库存钢材82 t，每月用去9 t，经过几个月后，两厂剩下的钢材相等？
解：设经过x月后，两厂剩下的钢材相等.
根据题意，可列方程为100-15x=82-9x，
解得x=3.
答：经过3个月后，两厂剩下的钢材相等.
7.小文同学晚上写数学作业，在解方程“-5x+1=2x-a”时，将“-5x”中的负号抄漏了，解出x=2，则原方程正确的解为 （　C　）
A.x=　 B.x=
C.x=-　 D.x=-
　C　
8.已知关于x的方程 x-5a=a+x的解是x=3，则a的值是　-　.
9.若a，b，c，d均为有理数，现规定一种新的运算：=ad-bc.若已知=2，则x= 　.
　-　
　
10.已知单项式-7a2x+1b5与单项式ax+3b5的和仍是单项式.
（1）求x的值.
（2）若x的值是关于x的方程5a+14=2+x的解，求整式a3-3|a|+23的值.
解：（1）由单项式-7a2x+1b5与单项式ax+3b5的和仍是单项式，得2x+1=x+3，解得x=2.
（2）因为x的值是关于x的方程5a+14=2+x的解，所以5a+14=2+2，解得a=-2，
所以a3-3|a|+23=-8-3×2+8=-8-6+8=-6.
第3课时　利用去括号解一元一次方程
利用去括号解一元一次方程
1.解方程（3x+2）-2（2x-1）=1，去括号的结果正确的是 （　D　）
A.3x+2-2x+1=1　 B.3x+2-4x+1=1
C.3x+2-4x-2=1　 D.3x+2-4x+2=1
　D　
2.方程2（x+1）-3=0的解是 （　A　）
A.x=　 B.x=-
C.x=　 D.x=1
　A　
3.解方程3（x-1）-x=x+的步骤如下：
①去括号，得3x-3-x=x+；
②移项，得3x-x+x=-3；
③合并同类项，得3x=-；
④系数化为1，得x=-.
经检验，x=-不是原方程的解，说明解题的步骤有错，开始出错的一步是 （　B　）
A.① B.② C.③ D.④
　B　
4.已知关于x的一元一次方程（2k+3）x-4=0的解是x=-1，则k的值是　-　.
5.已知A=2x+1，B=5x-4，若A比B小1，则x的值为　2　.
6.若长方形的长为（a+5）cm，宽为（6a-2）cm，长的2倍正好等于宽的3倍，则该长方形的长为　6　cm.
7.解下列方程.
（1）x+1=2（2x-7）.
解：x=5.
（2）3x-2（10-x）=5.
解：x=5.
　-　
　2　
　6　
（3）3（x+1）-2（x+2）=2x+3.
解：x=-4.
（4）2（0.3x+4）-5（0.2x-5）=9.
解：x=60.
8.教材变式·P142引例小丽在水果店花18元买了苹果和橘子共6 kg.已知苹果每千克3.2元，橘子每千克2.6元，小丽买了苹果和橘子各多少千克？
解：设小丽买了x kg苹果，则买了（6-x）kg橘子.
由题意，得3.2x+2.6（6-x）=18，
解得x=4，则6-x=2.
答：小丽买了4 kg苹果，2 kg橘子.
9.若-2（x-1）与4-3（x-1）互为相反数，则x的值为
（　D　）
A.0 B.3 C.-3 D.
　D　
10.定义一种新运算：a b=2a+b，a※b=a2b，则方程（x+1） 2=（3※x）-2的解是 （　C　）
A.x=　 B.x=-1
C.x=　 D.x=2
　C　
11.已知x=3是关于x的方程ax-5=9x-a的解，则关于x的方程a（x-1）-5=9（x-1）-a的解是x=　4　.
　4　
12.某工厂有三个车间，其中一车间原有80人，二车间原有372人.现因工作需要，要从三车间调4人到一车间，则还需从二车间调多少人去一车间，才能使二车间的人数是一车间的两倍？
解：设还需从二车间调x人去一车间.
依题意，得2×（80+4+x）=372-x，
解得x=68.
答：还需从二车间调68人去一车间，才能使二车间的人数是一车间的两倍.
13.小明做题时发现有一个方程“y-=y-■”题中■处不清晰，于是问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与方程5（x-1）-2（x-2）-4=-2的解相同.”根据老师的提示，请你帮小明算出“■”处这个有理数.
解：设题中不清晰处有理数为a.
解方程5（x-1）-2（x-2）-4=-2，得x=1，
所以方程y-=y-a的解为y=1.
当y=1时，y-=y-a，解得a=-.
14.核心素养·运算能力在解形如3|x-2|=|x-2|+4这一类含有绝对值的方程时，我们可以根据绝对值的意义分x<2和x≥2两种情况讨论：
①当x<2时，原方程可化为-3（x-2）=-（x-2）+4，解得x=0，符合x<2；
②当x≥2时，原方程可化为3（x-2）=（x-2）+4，解得x=4，符合x≥2.
所以原方程的解为x=0，x=4.
（1）运用整体思想先求|x-3|的值，再去绝对值符号的方法解方程：|x-3|+8=3|x-3|.
（2）运用分类讨论先去绝对值符号的方法解类似的方程：|2-x|-3|x+1|=x-9.
解：（1）移项，得|x-3|-3|x-3|=-8，
合并同类项，得-2|x-3|=-8，
两边除以-2，得|x-3|=4，
所以x-3=±4，
所以x=-1或7.
（2）当x≤-1，原方程可化为2-x+3（x+1）=x-9，解得x=-14，符合x≤-1；
当-1当x>2，原方程可化为-2+x-3（x+1）=x-9，解得x=，不符合x>2；
所以原方程的解为x=-14或x=.
第4课时　利用去分母解一元一次方程
利用去分母解一元一次方程
1.将方程 x-=2去分母，正确的是 （　A　）
A.2x-（x-2）=4 B.2x-x-2=4
C.2x-x+2=1 D.2x-（x-2）=1
　A　
2.方程 = 的解为 （　C　）
A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2
　C　
3.将方程-=1去分母，得到3x+3-2x-3=6，错在 （　C　）
A.最简公分母找错
B.去分母时，漏掉常数项
C.去分母时，分子部分没有加括号
D.去分母时，各项所乘的数不同
　C　
4.若关于x的一元一次方程-=1的解是x=-1，则k的值是　1　.
5.有一道解方程题：+1=x，□处被油墨盖住了，查后面的答案知这个方程的解是x=-2，那么□处的数字应该是　5　.
　1　
　5　
6.将下列方程的求解过程和理论依据在横线上补充完整：
解方程：-1=. 理论依据
解：去分母，得 3（3x-1）-12=2（5x-7）， 等式的基本性质
去括号，得 9x-3-12=10x-14， 乘法分配律
移项，得 9x-10x=-14+3+12， 等式的基本性质
合并同类项，得-x=1， 合并同类项
方程两边同时除以-1， 得x=-1. 等式的基本性质
3（3x-1）-12=2（5x-7）
9x-3-12=10x-14
9x-10x=-14+3+12
-x=1
x=-1
7.解下列方程.
（1）=.
解：x=3.
（2）-=1.
解：y=0.
（3）y-（y+1）=2-（y+2）.
解：y=3.
8.（1）代数式 的值比 的值大1，求x的值.
（2）若（1）中两个代数式的值相等，求x的值.
解：（1）x=.
（2）x=.
9.在解关于x的方程=-2时，小颖在去分母的过程中，右边的“-2”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为x=4，则方程正确的解是 （　A　）
A.x=-10　 B.x=16
C.x=　 D.x=4
　A　
10.我们知道，含有未知数的等式叫作方程，若规定符号“ ”的运算意义为a b=，则方程3 x=x 2的解是　x=1　.
11.已知方程2-3（x+1）=0的解与关于x的方程 -3k-2=2x的解互为倒数，则k的值是　1　.
12.解下列方程.
（1）+1=.
解：y=-.
（2）-=-1.
解：x=0.
　x=1　
　1　
13.解答下列各题.
（1）若整式与的差为1，求x的值.
（2）若关于x的方程m-2x=4x+m-5的解是x=-，求m的值.
解：（1）由题意，得-=1，
去分母，得2（2x+1）-（5x-1）=6，
去括号，得4x+2-5x+1=6，
移项，得4x-5x=6-2-1，
合并同类项，得-x=3，
系数化为1，得x=-3.
（2）由题意，把x=-代入原方程，得m-2×（-）=4×（-）+m-5，
即m+=-+m-5，
移项，得m-m=---5，
合并同类项，得3m=-9，
系数化为1，得m=-3.
（3）当a=2时，代数式3a2-2a-4的值恰好是关于x的方程3mx-2m+1=mx-6的解，求m的值.
（3）当a=2时，3a2-2a-4=3×22-2×2-4=4，
则方程的解是x=4.
把x=4代入方程3mx-2m+1=mx-6中，得3×4m-2m+1=4m-6，
即6m=-7，解得m=-.
14.我们把解相同的两个方程称为同解方程.例如：方程：2x=6与方程4x=12的解都为x=3，所以它们为同解方程.
（1）若方程2x-3=11与关于x的方程4x+5=3k是同解方程，求k的值.
（2）若关于x的方程x-2（x-m）=4和-=1是同解方程，求m的值.
解：（1）2x-3=11，解得x=7.
因为方程2x-3=11与关于x的方程4x+5=3k是同解方程，
所以把x=7代入方程4x+5=3k，得28+5=3k，
解得k=11，
所以k的值为11.
（2）因为x-2（x-m）=4，
所以x=2m-4.
因为方程x-2（x-m）=4和-=1是同解方程，
所以-=1，
所以3（3m-4）-2（2m-4）=6，
所以m=2.(共10张PPT)
专题11　【方法技巧】　含参一元一次方程问题
根据一元一次方程的定义求参数的值
1.若3x2m-3+7=1是关于x的一元一次方程，则m的值是 （　B　）
A.1 B.2 C.3 D.4
　B　
2.若关于x的方程（|k|-2）x2-2x|k-1|=k+2是一元一次方程，则k的值是　2　.
　2　
由一元一次方程的解求参数或代数式的值
3.已知关于x的方程3x+2a=2的解是x=a-1，则a的值是
（　A　）
A.1 B.-1 C.5 D.-
　A　
4.若x=1是关于x的一元一次方程ax+2bx-c=3的解，则2a+4b-2c=　6　.
　6　
5.若x=3是方程 ++1=0的解，求k的值.
解：把x=3代入方程++1=0，得
++1=0，
解得k=-4.
一元一次方程的解关联问题
6.若一元一次方程2x+1=1的解是关于x的一元一次方程1-2（x-a）=2的解，则a的值是 （　C　）
A.-1 B.1 C. D.-
　C　
7.关于x的方程 =-x与方程4（3x-7）=19-35x的解相同，求m的值.
解：由4（3x-7）=19-35x，得x=1，
代入 =-x，
得 =-，
解得m=-.
8.已知关于x的方程 （1-x）=1+a的解与方程-=+2a的解互为相反数，求a的值.
解：解方程 （1-x）=1+a，得x=-1-2a，
解方程 -=+2a，得x=.
因为两个方程的解互为相反数，
所以-1-2a+=0，
解得a=.
9.当m为何值时，关于x的方程 5m+12x=6+x的解比关于x的方程x（m+1）=m（1+x）的解大2？
解：解关于x的方程5m+12x=6+x，
得x=.
解关于x的方程x（m+1）=m（1+x），得x=m.
由题意，得-m=2，解得m=-1.(共9张PPT)
专题10　【重点强化】　解一元一次方程
直接移项
1.3x-x+1=x+3.
解：x=2.
2.4x+3=2x-5.
解：x=-4.
先去括号再移项
3.2（x-1）=3（x+1）.
解：x=-5.
4.2（2x-1）-2（x+1）=3（x+3）.
解：x=-13.
先去分母再去括号
5.-=1.
解：x=-3.
6.（2x+1）-1=x-（10x+1）.
解：x=2.
7.-=-1.
解：x=.
先化小数为整数再去分母
8.-2.5=.
解：x=.(共26张PPT)
专题12　【类比归纳】　利用一元一次方程解决实际问题
调配与配套问题
1.学校组织大扫除，某班分成两个小组，第一组30人打扫教室，第二组24人打扫包干区.根据工作需要，要使第二组人数是第一组人数的2倍，那么应从第一组调多少人到第二组？
解：设应从第一组调x人到第二组.
由题意，得x+24=2（30-x），
解得x=12.
答：应从第一组调12人到第二组.
2.一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，如果1 m3木料可制作方桌的桌面50个或制作桌腿300条.现有5 m3木料，请你设计一下，用多少木料做桌面，用多少木料做桌腿，恰好配成方桌多少张？
解：设用x m3木料做桌面，则桌腿用木料（5-x）m3.根据题意，得4×50x=300（5-x），
解得x=3.
5-x=2（m3），50x=150（张）.
答：用3 m3木料做桌面，用2 m3木料做桌腿，恰好配成方桌150张.
行程问题
3.一辆汽车从甲地驶向乙地，若每小时行驶45 km，就要比原计划延误半个小时到达；若每小时行驶50 km，就可以比原计划提前半小时到达.求甲、乙两地的距离及原计划的时间.
解：设原计划的时间为x h.由题意，得
45（x+）=50（x-），解得x=9.5.
50（x-）=450 （km）.
答：甲、乙两地的距离为450 km，原计划的时间为9.5 h.
4.甲、乙两车站相距450 km，一列慢车从甲车站开出，每小时行驶65 km，一列快车从乙车站开出，每小时行驶85 km.
（1）两车同时开出，相向而行，多少小时两车相遇？
（2）两车同时开出，同向而行，慢车在前，多少小时快车追上慢车？
（3）快车先行30 min，两车相向而行，慢车行驶多少小时两车相遇？
解：（1）3 h两车相遇.
（2）22.5 h快车追上慢车.
（3）设慢车开了x h两车相遇.由题意，得
65x+85x+85×0.5=450，解得x=2 ，
所以慢车行驶2 h两车相遇.
工程问题
5.甲、乙两个工程队修筑一段长为300 m的公路，如果甲、乙两个工程队从公路两端相向施工，已知乙工程队修筑的公路比甲工程队修筑的公路的3倍少20 m，求该工程完工后甲、乙两个工程队分别修筑了多少米公路.
解：设甲工程队修筑了x m.
由题意，得（3x-20）+x=300，解得x=80，
3x-20=220 （m）.
答：甲工程队修筑了80 m，乙工程队修筑了220 m.
6.一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要12天完成，丙单独做需要15天完成，甲、丙先合作做了3天后，甲因事离开，由乙和丙继续合作，问还需几天才能完成？
解：设还需x天才能完成.由题意，得
++=1，解得x=.
答：还需 天才能完成.
利润问题
7.某商场新进一批相同型号的电脑，按进价提高40%标价，此商场为了促销，又对该电脑打八折销售，每台电脑仍可盈利420元，那么该型号电脑每台进价为多少元？
解：设该型号电脑每台进价为x元.
依题意，可得0.8（1+40%）x-x=420，
解得x=3 500.
答：该型号电脑每台进价为3 500元.
8.某商品的进价为800元，出售时标价为1 200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率是5%，则应打几折出售？
解：设打x折出售，根据题意，得
1 200×-800=800×5%，解得x=7.
答：应打七折出售.
方案问题
9.甲、乙两家商店出售两种同样品牌的笔记本和钢笔.笔记本定价为20元/本，钢笔定价为5元/支，甲商店每卖一本笔记本赠一支钢笔；乙商店全部按定价的九折优惠.现在，七年级需购买笔记本20本，钢笔若干支（不小于20支）.
（1）设购买钢笔x（x不小于20）支，则在甲店购买共需付款　（5x+300）　元；在乙店购买共需付款　（4.5x+360）　元.（用含x的代数式表示）
（2）当购买钢笔多少支时，在两家商店购买付款一样？
　（5x+300）　
　（4.5x+360）　
（3）如果给你810元，让你选择一家商店去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？
解：（1）（5x+300），（4.5x+360）.
（2）由题意，得5x+300=4.5x+360，
解得x=120.
答：当购买钢笔120支时，在两家商店购买付款一样.
（3）甲商店：5x+300=810，5x=510，x=102（支）；
乙商店：4.5x+360=810，4.5x=450，x=100（支），所以选择甲商店.
☆问题解决策略：直观分析
1.超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打八折，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元.根据题意可列方程为 （　A　）
A.0.8x-10=90　 B.0.08x-10=90
C.90-0.8x=10　 D.x-0.8x-10=90
　A　
2.某品牌冰箱去年国庆节开始季节性降价20%，到今年五一又季节性涨价20%后，现售价为2 400元/台，则该品牌冰箱去年国庆节之前的售价为 （　B　）
A.2 000元/台 B.2 500元/台
C.2 400元/台 D.2 200元/台
　B　
3.已知某班共有29名学生参加书法、篮球两个社团，这29名学生每人至少参加这两个社团中的一个社团，其中有22名学生参加书法社团，16名学生参加篮球社团，则两个社团都参加的学生人数为 （　A　）
A.9　 B.7　 C.13　 D.6
　A　
4.某商店元旦促销，某款衣服打八折销售后，每件比标价少35元，仍获利15元.下列说法：①衣服标价为每件175元；②衣服促销单价为140元；③衣服的进价为每件125元；④不打折时商店的利润为每件50元.其中正确的有 （　A　）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
　A　
5.（1）学校组织乒乓球比赛，小组共有5名选手，小组中每2人之间都要进行一场比赛，则共要进行　10　场比赛.
（2）某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，则共握手　990　次.
（3）海南环岛高铁是世界首创，其中某趟列车在东段的三亚站、陵水站、万宁站、琼海站、文昌站和海口东站6个站之间运行，那么该趟列车需要安排不同的车票　30　种，票价　15　种（往返票价相同）.
　10　
　990　
　30　
　15　
6.一家商店将某种商品按进价提高40%后标价，节假日期间又以标价打八折销售，结果这种商品每件仍可获利24元，问这件商品的进价是多少元？
解：设这件商品的进价是x元.由题意，得
（1+40%）x×80%=x+24，解得x=200.
答：这件商品的进价是200元.
7.一支自行车队进行训练，训练时所有队员都以40 km/h的速度前进，突然，6号队员以50 km/h的速度独自行进，行进20 km后掉转车头，仍以50 km/h的速度往回骑，直到与其他队员会合，6号队员从离队开始到与其他队员重新会合，经过了多长时间？
解：设6号队员从离队开始到与队员重新会合经过了x h.
由题意，得40x+50x=2×20，
解得x=.
答：6号队员从离队开始到与队员重新会合经过了 h.
8.某校向七年级（5）班50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的多1人，则对A，B都赞成的学生人数为
（　D　）
A.12　 B.15　 C.18　 D.21
　D　
9.同学们要进行足球比赛，分组情况如图所示，若A组中每个球队要和B组中每个球队分主客场比赛，主客场各踢一场，则一共要赛　18　场.
第9题图
　18　
10.某商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售，则每件衬衫降价　20　元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标.
　20　
11.某商店将A，B两种商品在进价的基础上提高50%为标价，元旦期间，该商店对A，B两种商品开展促销活动，活动方案如下：
（1）A种商品进价为　100　元，B种商品进价为　150　元，B种商品降价后的售价为　225（1-a%）　元（用含有a的代数式表示）.
商品 A B
标价/（元/件） 150 225
元旦期间每件商 品出售的价格 按标价 降10% 按标价
降a%
　100　
　150　
　225（1-a%）　
（2）不考虑其他成本，在元旦期间卖出A种商品40件，B种商品20件，获得的总利润为2 000元，试求a的值.［注：利润=（售价-进价）×销售量］
解：（2）由题意，得［150×（1-10%）-100］×40+
［225（1-a%）-150］×20=2 000，
解得a=20.
12.一支自行车队进行训练，训练时所有队员都以相同的速度前进，突然，1号队员以每小时比其他队员快10 km的速度独自行进，行进了10 km后掉转车头，速度不变往回骑，直到与其他队员会合.从1号队员离队开始到与其他队员重新会合，经过了15 min.
（1）其他队员的行进速度是多少？
（2）1号队员从离队开始到与队员重新会合这个过程中，经过多长时间与其他队员相距1 km？
解：（1）设其他队员的行进速度是x km/h.
依题意，得x+（x+10）=10×2，
解得x=35.
故其他队员的行进速度是35 km/h.
（2）设经过y h与其他队员相距1 km.
依题意，得①35y+1=（35+10）y，
解得y=；
②35y+（35+10）y=10×2-1，
解得y=.
答：经过 h或 h与其他队员相距1 km.(共47张PPT)
3一元一次方程的应用
第1课时　几何图形问题
立体图形问题
1.如图，一个密封的瓶子里装着一些水，瓶子的底面积为10 cm2，根据图中数据可计算瓶子的容积是 （　C　）
第1题图
A.80 cm3 B.70 cm3 C.60 cm3 D.50 cm3
　C　
2.要锻造直径为50 cm，高为40 cm的圆柱毛坯，需要截取底面边长为20 cm的方钢多长？设需要截取底面边长为20 cm的方钢x cm，根据题意可列方程为 （　C　）
A.π·（）2·40=20x
B.π·502·40=20x
C.π·（）2·40=202·x
D.π·502·40=202·x
　C　
3.一个长方体水池，从里面测得其长、宽、高分别为4 m，3 m和3 m，池中水面高为2 m，若放入一个棱长为2 m的正方体铁块，则此时池中水面的高为 　m.
　
4.两个圆柱体的容器的直径分别是4 cm和8 cm，高分别为39 cm和10 cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其倒入第二个容器中，问倒完后，第二个容器中的水面的高度为多少厘米？
解：设第二个容器中的水面的高度为x cm.
根据题意，得π·×39=π··x，
解得x=.
答：第二个容器中的水面的高度为 cm.
平面图形问题
5.一个长方形钢板，已知它的长是宽的2倍少1 cm，周长为52 cm，若设宽为x cm，则可列方程为 （　C　）
A.2x-1+x=52　
B.2x+1+x=52
C.2（2x-1）+2x=52　
D.2（2x+1）+2x=52
　C　
6.已知一个长方形的周长为30 cm，把这个长方形的长减少1 cm，宽增加2 cm，就可以得到一个正方形.设长方形的长为x cm，则可列方程为 （　B　）
A.x-1=（30-x）+2
B.x-1=（15-x）+2
C.x+1=（30-x）-2
D.x+1=（15-x）-2
　B　
7.教材变式·P154T4如图，小明将一张正方形纸片剪去一个宽为3 cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为4 cm的长条.若两次剪下的长条面积正好相等，则剪下的长条的面积之和为　72　cm2.
第7题图　　　
　72　
8.在长为10 m，宽为8 m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分割出三个形状、大小完全相同的小长方形花圃（如图所示），则一个小长方形花圃的面积是　8　m2.
第8题图
　8　
9.某校计划在一块长方形的空地上开垦两块完全相同的长方形菜园，如图所示，已知空地长10 m，宽4.5 m，长方形菜园的长与宽的比为6∶1，并且所有预留通道的宽度相等，那么预留通道的宽度和长方形菜园的宽分别是多少米？
第9题图
解：设长方形菜园的宽为x m，则长为6x m.
由题意，可得=，解得x=1.5，
所以=0.5.
答：预留通道的宽度是0.5 m，长方形菜园的宽是1.5 m.
10.在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.设AE=x，则下列所列方程中正确的是 （　B　）
A.6+2x=14-3x B.6+2x=x+（14-3x）
C.14-3x=6 D.6+2x=14-x
第10题图　　
　B　
11.教材变式·P154习题1如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的底面半径为10 cm，容器内水的高度为12 cm，把一根半径为2 cm的玻璃棒垂直插入水中，水不会溢出，则容器内的水面将升高　0.5　cm.
第11题图
　0.5　
12.如图，一个长方形养鸭场的长边靠墙，墙长25 m，其他三边用竹篱笆围成，现有长为64 m的竹篱笆，刘海同学打算用它围成一个长方形养鸭场，其中长比宽多4 m；唐大奎同学也打算用它围成一个长方形养鸭场，其中长比宽多10 m.
（1）你认为谁的设计符合实际？通过计算说明理由.
（2）在（1）的条件下，按照设计，求出长方形养鸭场的面积.
第12题图
解：（1）刘海同学的设计符合题意.理由如下：
根据刘海同学的设计，设长方形养鸭场的宽为x m，则长为（x+4）m.
根据题意，得2x+（x+4）=64，解得x=20，
因此刘海同学设计的长为x+4=20+4=24（m）.
因为24<25，所以刘海同学的设计符合实际.
根据唐大奎同学的设计，设长方形养鸭场的宽为y m，则长为（y+10）m.
根据题意，得2y+（y+10）=64，解得y=18，
因此唐大奎同学设计的长为y+10=18+10=28（m）.
因为28>25，所以唐大奎同学的设计不符合实际.
（2）由（1）得，长方形养鸭场的宽为20 m，长为24 m，
所以养鸭场的面积为20×24=480（m2）.
答：长方形养鸭场的面积为480 m2.
第2课时　“盈不足”问题
“盈不足”问题
1.为建设书香校园，某校把一批图书分配给各班，供班级充盈图书角，如果每个班分4本，则剩余15本；如果每班分5本，则还缺18本.设这个学校有x个班，则根据题意可列方程为
（　D　）
A.4x+15=5x+18　 B.4x-15=5x+18
C.4x-15=5x-18　 D.4x+15=5x-18
　D　
2.数学文化《九章算术》卷七“盈不足”有如下记载：“今有共买琎（音jìn，像玉的石头），人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数、琎价各几何？”译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱.问人数、琎价各是多少？设琎价是x钱，则可列方程为 （　B　）
A.2（x-4）=3（x+3） B.2（x+4）=3（x-3）
C.x+3=x-4 D.x-4=x+3
　B　
3.近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活.某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，设该分派站有x名快递员，则可列方程为　10x+6=12x-6　.
　10x+6=12x-6　
4.某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，则刚好坐满；如果单独租用60座客车，可以少租1辆，且余30个空座位，则该学校参加春游的人数为　270　.
　270　
5.《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生想要凑钱购买1本.若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元.问学生人数和该书的单价各是多少？
解：设学生人数为x人.
由题意，得8x-3=7x+4，解得x=7，
所以该书的单价为7×7+4=53（元）.
答：学生人数为7人，该书的单价为53元.
6.程大位是我国明朝商人、珠算发明家.他60岁时完成的《算法统宗》是我国古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法.书中有如下问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，若大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，则大、小和尚各有几人？
解：设大和尚有x人，则小和尚有（100-x）人.
根据题意，得3x+=100，解得x=25，则100-x=100-25=75.
答：大和尚有25人，小和尚有75人.
其他问题
7.某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1 200个或螺母2 000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，设分配x名工人生产螺母，则可列方程为 （　B　）
A.2×1 200x=2 000（22-x）
B.2×1 200（22-x）=2 000x
C.2×2 000x=1 200（22-x）
D.2×2 000（22-x）=1 200x
　B　
8.甲仓库有粮食120 t，乙仓库有粮食90 t，从甲仓库调运x t到乙仓库，调运后甲仓库的粮食是乙仓库粮食的，则可列方程为　120-x=（90+x）　.
　120-x=（90+x）　
9.某建筑公司有甲、乙两个施工队，甲队的技术人员人数是乙队技术人员人数的2倍.今年公司进行人员调整，从甲施工队调出10名技术人员到乙施工队，结果两队技术人员相等了.求原来甲、乙两施工队各有多少名技术人员.
解：设乙队技术员有x人，则甲队技术人员为2x人.根据题意，得2x-10=x+10，解得x=20，
所以2x=40.
答：甲队有40名技术人员，乙队有20名技术人员.
10.数学文化《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六.问人数、物价各几何？意思是有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱.买鸡的人数、鸡的总价各是多少？若设鸡的总价是x文钱，根据题意列一元一次方程正确的是 （　A　）
A.=　 B.=
C.=　 D.=
　A　
11.一件夹克衫先按成本提高50%后标价，再以八折优惠卖出，获利28元，则这件夹克衫的成本是　140　元.
12.某中学举行了知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每答对一题得4分，答错扣1分，不答得0分.若某参赛同学有1道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了　22　道题.
　140　
　22　
13.某车间为提高工作效率，配置了自动化零件检测设备，现对一批零件进行检测，若每套设备每小时检测700个零件，则经过1 h，剩下300个零件未检测；若每套设备每小时检测750个零件，则经过1 h，剩下50个零件未检测.请问该车间配置了多少套这样的检测设备？
解：设该车间配置了x套这样的检测设备.
根据题意，得1×700x+300=1×750x+50，解得x=5.
答：该车间配置了5套这样的检测设备.
14.某公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场.现在红星和巨星两个加工厂都想加工这批产品，已知红星厂单独加工这批产品比巨星厂单独加工这批产品多用20天，红星厂每天可加工16件产品，巨星厂每天可加工24件产品.公司需付红星厂每天加工费80元，巨星厂每天加工费120元.
（1）这个公司要加工多少件新产品？
（2）在加工过程中，公司需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费.现公司可选择一个厂单独加工完成或两厂合作同时完成.请你帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种最省钱的加工方案.
解：（1）设这个公司要加工x件新产品.
根据题意，得-=20，解得x=960.
答：这个公司要加工960件新产品.
（2）方案1：由红星厂单独加工需耗时=60（天），
需费用60×（5+80）=5 100（元）；
方案2：由巨星厂单独加工需耗时=40（天），
需费用40×（120+5）=5 000（元）；
方案3：由两厂共同加工需耗时=24（天），
需费用24×（80+120+5×2）=5 040（元），
所以由巨星厂单独加工最省钱.
第3课时　追及和相遇问题
追及问题
1.小明每天早上7：40之前要赶到学校上学，一天小明以4.8 km/h的速度出发，5 min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书，于是，爸爸立即以10.4 km/h的速度去追小明，并在途中追上了.爸爸用了多长时间追上小明？在这个问题中，设爸爸用了x h追上小明，可列方程为 （　C　）
A.10.4x=4.8x+4.8×5
B.10.4x+4.8×5=4.8x
C.10.4x=4.8x+4.8×
D.10.4x+4.8×=4.8x
　C　
2.数学文化（2024·扬州）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为速度快的人每分钟走100 m，速度慢的人每分钟走60 m，现在速度慢的人先走100 m，速度快的人去追他.问速度快的人追上他需要　2.5　min.
　2.5　
3.某校组织七年级学生从学校乘大客车去实践基地开展研学游活动.小李因事迟到了10 min才赶到学校，他立即坐上爸爸的小汽车从学校出发，沿相同的路线用了30 min在路上追上了大客车.已知小汽车的速度比大客车的速度快20 km/h，分别求大客车、小汽车的速度.
解：设大客车的速度为x km/h，则小汽车的速度为（x+20）km/h.
由题意，得（x+20）=x，
解得x=60，
所以x+20=60+20=80.
答：大客车的速度为60 km/h，小汽车的速度为80 km/h.
相遇问题
4.小明和小刚从相距25 km的两地同时相向而行，3 h后两人相遇，小明的速度是4 km/h，设小刚的速度为x km/h，则可列方程为 （　C　）
A.4+3x=25 B.12+x=25
C.3（4+x）=25 D.3（4-x）=25
　C　
5.A，B两人分别从甲、乙两地同时相向而行，A的速度是80 km/h，B的速度是A的，经过 h两人相距10 km，则甲、乙两地相距　360或340　km.
　360或340　
6.甲、乙两人骑自行车，同时从相距45 km的两地相向而行，2 h后相遇.已知乙比甲每小时多行2.5 km，求甲的速度.
解：设甲的速度为x km/h.
由题意，得2（x+x+2.5）=45，x=10.
答：甲的速度为10 km/h.
其他问题
7.被誉为“天下第一塘”的水门塘是我县的一张文化名片，为打造水门塘风光带，现有一段长为280 m的堤岸维修任务由A，B两个工程队先后接力完成.A工程队每天维修12 m，B工程队每天维修10 m.若两个工程队共用时25天，则A工程队维修堤岸 （　C　）
A.160 m　 B.170 m　 C.180 m　 D.190 m
　C　
8.《孙子算经》中记载了一个题目，其大意是用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为 （　A　）
A.（x+5）=x-1 B.（x+5）=x+1
C.（x+1）=x-5 D.（x-1）=x+5
　A　
9.安庆长江铁路大桥，是安徽省境内连接池州市与安庆市的过江通道，位于长江水道之上，是宁安高速铁路与阜景铁路重要构成部分之一，大桥全长约3 000 m.现有一列动车从桥上通过，测得动车从开始上桥到完全过桥共用80 s，整列动车完全在桥上的时间是70 s，则这列动车长为 （　C　）
A.400 m　 B.300 m　 C.200 m　 D.100 m
　C　
10.轮船在静水中速度为20 km/h，水流速度为4 km/h，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用5 h（不计停留时间），则甲、乙两码头间的距离为　48　km.
　48　
11.一辆慢车以50 km/h的速度从A地出发匀速前进，2 h后另一辆快车以80 km/h的速度匀速从A地出发，沿着慢车的同一线路朝同一方向前进.求两车相距20 km时，快车行驶的时间.
解：设快车行驶的时间是 t h，则慢车行驶的时间是（t+2）h.
①当快车还未追上慢车，相距20 km时，
根据题意，得50（t+2）-80t=20，
解得t=.
②当快车超过慢车20 km时，
根据题意，得80t-50（t+2）=20，
解得t=4.
综上所述，t=或4.
答：当两车相距20 km时，快车行驶的时间为 h或4 h.
12.甲、乙两人在300 m环形跑道上练习长跑，甲的速度是6 m/s，乙的速度是7 m/s.
（1）如果甲、乙两人同地背向跑，乙先跑2 s，再经过多少时间两人相遇？
（2）如果甲、乙两人同时同地同向跑，乙跑几圈后能首次追上甲？
（3）如果甲、乙两人同时同向跑，乙在甲前面6 m，经过多少时间后两人第二次相遇？
解：（1）设再经过x s甲、乙两人相遇.
由题意，得7×2+7x+6x=300，解得x=22，
所以经过22 s甲、乙两人相遇.
（2）设经过y s后乙能追上甲，则7y-6y=300，解得y=300.因为乙跑一圈需 s，
所以乙跑了300÷=7（圈），
所以乙跑7圈后首次追上甲.
（3）设经过t s后两人第二次相遇.
由题意，得7t=6t+（300×2-6），解得t=594，所以经过594 s后两人第二次相遇.

展开更多......

收起↑