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第三章 位置与坐标
第3课 轴对称与坐标变换
2024版北师大数学八年级数学上册
学习目标
1.经历 “画图 — 观察 — 分析 — 归纳” 的过程，理解平面直角坐标系中，图形顶点坐标变化与图形轴对称变换的关系，能准确描述这种对应规律.
2.能根据给定图形顶点坐标，通过坐标变换画出变换后的图形，判断其与原图形的位置关系，发展数形结合思想.
教学设计的基本环节：
协作破冰
问题构建
情境启航
教师示范
巩固拓展
当堂检测
反思总结
作业设计
情境启航
如果在平面直角坐标系中进行轴对称变换，有没有一定的规律隐藏其中呢？你学习过的轴对称的基本性质是否依然成立呢？
问题：画出右侧图形的关于某条直线的轴对称图形，你打算怎样操作？
问题构建
问题1：在如图所示的平面直角坐标系中，第一、第二象限内各有一面小旗.
（1）两面小旗有怎样的位置关系？对应点A与的坐标有什么共同特点？其他的对应点也有这个特点吗？
两面小旗关于轴成轴对称.
A(2,6)和(-2,6)纵坐标相等，横坐标互为相反数
其他对应点也有相同的特征.
问题构建
问题2：在这个坐标系中画出小旗ABCD关于轴的对称图形，它的各个 “顶点” 的坐标与其对应点的坐标有什么关系？
两面小旗关于轴成轴对称.
A(2,6)和(2,-6)横坐标相等，纵坐标互为相反数
其他对应点也有相同的特征.
点D在对称轴上，坐标无变化.
问题构建
猜想：关于坐标轴的轴对称规律
对称轴 横坐标 纵坐标 位置 是否符合轴对称性质
轴 不变 变为相反数 改变 是
轴 变为相反数 不变 改变 是
猜想结论：关于谁对称，谁不变，另一个坐标变成相反数.
问题构建
问题3：在平面直角坐标系中依次连接下列各点：(0,0)，(5,4)，(3,0)，(5,1)，(5, 1)，(3,0)，(4, 2)，(0,0).你得到了一个怎样的图案？
顺次连接各点后，得到的图案很像一条“鱼”.
协作破冰
问题4：将所得图案的各个 “顶点” 的纵坐标保持不变,横坐标分别乘 1,依次连接这些点,你会得到怎样的图案？这个图案与原图案有怎样的位置关系？
纵坐标保持不变,横坐标分别乘 1,所得各点的坐标依次是(0,0)，( 5,4)，( 3,0)，( 5,1)，( 5, 1)，( 3,0)，( 4, 2)，(0,0)，依次连接这些点,所得图案如图 所示,它与原图案关于轴对称.
协作破冰
问题5：将图所示图案的各个 “顶点” 的横坐标保持不变,纵坐标分别乘 1,依次连接这些点,你会得到怎样的图案？这个图案与原图案又有怎样的位置关系？
横坐标保持不变,纵坐标分别乘 1,所得各点的坐标依次是(0,0)，(5,-4)，(3,0)，(5,-1)，(5,1)，(3,0)，(4,2)，(0,0)，依次连接这些点,所得图案如图所示,它与原图案关于轴对称.
教师示范
1.关于轴对称的两个点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数；反过来,横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于轴对称.
2.关于轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数；反过来,纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于轴对称.
验证：关于坐标轴的轴对称规律
关于轴对称
横坐标乘-1
关于轴对称
纵坐标乘-1
教师示范
例1：如图,在平面直角坐标系中,先画出△ABC关于轴对称的图形,再画出所得图形关于轴对称的图形.你是怎样做的？
类比学习过的轴对称作图，只需要找到特殊点的对称点连接即可.
教师示范
例2：在平面直角坐标系中,画一幅关于轴（或轴 ）对称的图案,并说明你是如何做的.
无论是关于轴还是轴对称的图案绘制,核心步骤是：先确定原图案顶点坐标→依据对称点坐标特征（关于轴：横同纵反；关于轴：纵同横反 ）求出对称点坐标→连接对称点还原图案形状 ,通过这样的方法,就能在平面直角坐标系中画出关于坐标轴的对称图案.
教师示范
例2：在平面直角坐标系中,画一幅关于轴（或轴 ）对称的图案,并说明你是如何做的.
无论是关于轴还是轴对称的图案绘制,核心步骤是：先确定原图案顶点坐标→依据对称点坐标特征（关于轴：横同纵反；关于轴：纵同横反 ）求出对称点坐标→连接对称点还原图案形状 ,通过这样的方法,就能在平面直角坐标系中画出关于坐标轴的对称图案.
巩固拓展
例2：在平面直角坐标系中,画一幅关于轴（或轴 ）对称的图案,并说明你是如何做的.
既关于轴对称又轴对称的图案也可以得到.
巩固拓展
例3：已知点A (2+，5+ )，B(2 -1 ， - + ).
(1)若点A，B关于轴对称，求， 的值；
(2)若点A，B关于轴对称，求（4 +4 ）2 021 的值.
根据关于坐标轴对称的点的坐标规律列出两个方程求解即可.
解：（1）因为点A，B 关于x 轴对称，
所以2a+b=2b-1，5+a-a+b=0，解得a= -3，b= -5.
（2）因为点A，B 关于y 轴对称，
所以2a+b+2b-1=0，5+a=-a+b，解得 a= ，b= .
所以（4a+4b）2 021=（-7+6）2 021=（-1）2 021=-1.
巩固拓展
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）在轴上有一条河，现准备在河流边上建一个抽水站P，使得抽水站P到A，B两个村庄的距离之和最小，请作出点P的位置，并求此时距离之和的最小值.
例4：A,B两个村庄在如图所示的平面直角坐标系中，那么：
巩固拓展
作出点A关于x轴的对称点，连接B，
与轴的交点就是抽水站P的位置，理由如下：
连接PB，则PA=P，有AP+PB=+PB；
根据两点之间线段最短得：AP+PB的最小值即为线段B的长度.于是，问题转化为求线段B的长度.在Rt△BC中，由勾股定理可得B=5.
当堂检测
1.春节是中华民族的传统节日,人们常用贴“福”字、贴
春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图,
在平面直角坐标系中,,两处灯笼的位置关于轴对称.
若点 的坐标为,则点 的坐标为________．
当堂检测
2.如图所示，已知点，， .
（1）作出关于轴对称的 .
（2）作出关于轴对称的 .
当堂检测
解：（1）（2）如图所示.
当堂检测
3.（1）在平面直角坐标系中，已知点， .
直线上各点的横坐标都是1，若，两点关于直线对称，则 ___,
___;
直线上各点的纵坐标都是，若，两点关于直线对称，则
____, ____.
4
1
当堂检测
（2）直线上各点的横坐标都是，若点和点 关于
直线对称，则____, _____;
直线上各点的纵坐标都是，若点和点关于直线
对称，则____, ____.
反思总结
1. 平面直角坐标系中点的对称遵循怎样的规律？
2.如何在平面直角坐标系中作一个图形关于坐标轴的对称图形？
3.尝试制作本章的思维导图，和同学讨论后，下节课分享.
作业设计
一、基础巩固作业：
课本P70 第1题
二、素养类作业
课本P71 数学理解第2题.
作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错.

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