资源简介

3.向心加速度
课标准 素养目标
知道匀速圆周运动向心加速度的大小和向。 1.向心加速度的概念。 (物理观念) 2.向心加速度公式的理解和牛顿第二定律的应用。 (科学思维) 3.结合加速度的定义式和牛顿第二定律推导向心加速度的公式。 (科学探究) 4.从生活中圆周运动的实例分析和讨论运动和力的关系,体会向心加速度的概念。 (科学态度与责任)
高端教学引领
【教学建议】
1.向心加速度的特点:
任务 建议
向心加速度的向和物理意义 通过分析水平桌面上做匀速圆周运动的小球的受力,结合牛顿第二定律和前面学到的加速度的含义引导学生分析向心加速度的向和物理意义
2.向心加速度的大小:
任务 建议
向心加速度的大小 结合加速度的定义式,运用学过的向心力公式和牛顿第二定律推导向心加速度的表达式
【情境导引】
　　在2022年2月18日,北京冬奥会自由式滑雪女子U形场地技巧决赛中,中国队运动员强势夺冠,摘得中国代表团本届冬奥会第八金。假设运动员从半圆形场地的坡顶下滑到坡的最低点过中速率不变。
　　问题导引:
　　(1)运动员下滑过中受到的摩擦力怎么变化
　　(2)运动员下滑过中做什么运动
　　(3)向心加速度的向有什么特点
课前自主学习
1.匀速圆周运动的加速度向:
任务驱动:2024年2月29日,卫星互联网高轨卫星01星搭乘长征三号乙运载火箭,在西昌卫星发射中心成功发射。假设该卫星在预定轨道做匀速圆周运动。
(1)“卫星互联网高轨卫星01星”做匀速圆周运动时,有加速度吗
(2)加速度有什么特点
提示:(1)有加速度。
(2)加速度的向始终指向圆心。
(1)定义:任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心,这个加速度叫作向心加速度。
(2)向心加速度的作用:向心加速度的向总是与速度向垂直,故向心加速度的作用只改变速度的向,对速度的大小无影响。
2.匀速圆周运动的加速度大小:
任务驱动:由向心加速度a=知,a与r成反比,由a=ω2r知,a与r成正比,这种说法正确吗
提示:不正确。由a=可知,当v的大小不变时,a与r成反比,由a=ω2r可知,当ω的大小不变时,a与r成正比。
(1)向心加速度公式:an==ω2r。
(2)向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动,也适用于非匀速圆周运动。
【易错辨析】
(1)匀速圆周运动是匀变速运动。 (　　)
(2)做匀速圆周运动的物体的加速度一定不为0。 (　　)
(3)匀速圆周运动的向心加速度的向时刻指向圆心,大小不变。 (　　)
(4)向心加速度只改变速度的向,不改变速度的大小。 (　　)
提示:(1)×。匀速圆周运动的加速度向时刻变化,故匀速圆周运动不是匀变速运动。
(2)√　(3)√　(4)√
课堂合作探究
主题一　匀速圆周运动加速度的向和物理意义
【生活情境】
现在各大城市中的游乐场里都有摩天轮,摩天轮的轿厢绕其圆心做匀速圆周运动,如图所示。
【问题探究】
(1)乘客随轿厢做匀速圆周运动的过中,合外力沿什么向 合外力产生的加速度沿什么向
提示:合外力沿半径指向圆心;产生的加速度沿半径指向圆心。
(2)合外力所产生的加速度向变化吗 它引起了速度哪面的变化
提示:加速度向变化;引起速度向的改变。
【结论生成】
1.物理意义:向心加速度只表示线速度的向变化的快慢,不表示速度大小变化的快慢。
2.向:
做匀速圆周运动的物体,其速度的大小(速率)不变,向不断改变,所以加速度a没有与v同向的分量,它必然沿半径向指向圆心,故称为向心加速度。
3.圆周运动的性质:
不论向心加速度an的大小是否变化,an的向是时刻改变的,所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变,圆周运动一定是非匀变速曲线运动。
4.一般圆周运动向心加速度向:
做非匀速圆周运动的物体的加速度并不指向圆心,而是与半径有一个夹角,我们可以把加速度a分解为沿半径向的an和沿切线向的at,则an描述速度向改变的快慢,at描述速度大小改变的快慢,其中an就是向心加速度。
[特别提醒]无论是匀速圆周运动,还是变速圆周运动都有向心加速度,且向都指向圆心。
【典例示范】
(2025·潍坊高一检测)夏天人们常用蚊香来驱除蚊虫。如图所示,蚊香点燃后缓慢燃烧,若某滑冰运动员(可视为质点)的运动轨迹与该蚊香燃点的轨迹类似,运动的速率保持不变,则该运动员 (　　)
A.线速度不变
B.角速度变小
C.向心加速度变大
D.运动一圈(360°)所用时间保持不变
【解析】选C。由题意可知,线速度大小不变,向时刻改变,故A错误;运动员的速率保持不变,运动半径在减小,由v =ωr可知,角速度变大,故B错误;运动员的速率保持不变,运动半径r减小,由a=可知,向心加速度a变大,故C正确;运动员的速率保持不变,一圈的长度逐渐变小,故运动一圈所用的时间变短,故D错误。
【探究训练】
1.(2024·黑吉辽选择考)“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图,当篮球在指尖上绕轴转动时,球面上P、Q两点做圆周运动的 (　　)
A.半径相等
B.线速度大小相等
C.向心加速度大小相等
D.角速度大小相等
【解析】选D。由题意可知,球面上P、Q两点转动时属于同轴转动,故角速度大小相等,故D正确;由图可知,球面上P、Q两点做圆周运动的半径的关系为rP2.城市中许多停车场出入口都设立了智能道闸,有车辆出入时能实现自动抬杆,其简化模型如图所示。初始时闸门OMN处于静止状态,当有车辆靠近时,M点绕O点做匀速圆周运动,运动过中M、N始终保持在同一高度,OM段和MN段的杆长相同,匀速率抬杆的过中,下列说法正确的是 (　　)
A.M点的加速度不变
B.N点在竖直向做匀速运动
C.M、N点的加速度大小相等
D.M、N点的速度大小不相等
【解析】选C。M绕O做匀速圆周运动,M点加速度大小不变,向指向圆心,故A错误;M、N始终保持水平,所以N在复制M的运动轨迹,所以N点的加速度大小和M点相等,向也始终和M点的加速度向共线,故C正确,B、D错误。
主题二　匀速圆周运动加速度的大小
【生活情境】
如图为游乐场中的旋转飞椅,成人和孩子都喜欢的一种游乐设施,乘客可以看作是做匀速圆周运动。
【问题探究】
(1)试根据向心力的公式和牛顿第二定律推导向心加速度大小的公式。
提示:我们学习了向心力大小的表达式,则根据牛顿第二定律F合=ma和向心力表达式F向=m可得出向心加速度的大小:a=。
(2)结合v=ωr推导可得向心加速度与角速度关系的表达式a=ω2r,有人说:根据a=可知,向心加速度与半径成反比;根据a=ω2r可知,向心加速度与半径成正比;这是矛盾的,你认为呢
提示:不矛盾,说向心加速度与半径成反比是在线速度一定的情况下;说向心加速度与半径成正比是在角速度一定的情况下,所以二者并不矛盾。
(3)做变速圆周运动的物体,其加速度的向是否指向圆心
提示:做变速圆周运动的物体,加速度的向并不指向圆心。
【结论生成】
1.向心加速度的几种表达式
2.做非匀速圆周运动的物体的向心加速度:
(1)物体做匀速圆周运动时,向心加速度就是物体运动的加速度。
(2)物体做非匀速圆周运动时,加速度不是指向圆心,但它可以分解为沿切线向的分量和指向圆心向的分量,其中指向圆心向的分量就是向心加速度,此时向心加速度仍满足:an==ω2r。
(3)无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动,向心加速度都指向圆心。
[特别提醒]
(1)以上公式也适用于变速圆周运动中向心加速度的计算,但计算得到的只是沿径向的加速度,不包括沿切向的加速度。
(2)不同的表达式中,an与同一物理量间有不同的关系,所以在讨论an与其中一个量的关系时,要根据不变量选择合适的公式讨论。
【典例示范】
(2025·滨州高一检测)进入冬季后,北的冰雪运动吸引了许多南游客。如图为雪地转转游戏,人乘坐雪圈(尺寸大小忽不计)绕轴以2 rad/s的角速度在水平雪地上做匀速圆周运动。已知绳子悬挂在离地高为3 m,半径为3 m的水平转盘的边缘,且绳子长为5 m。运动时,绳与水平杆垂直,则雪圈(含人) (　　)
A.线速度大小为8 m/s B.线速度大小为14 m/s
C.加速度大小为16 m/s2 D.加速度大小为20 m/s2
【解析】选D。水平转盘半径为3 m,离地高为3 m,绳长为5 m,根据几何关系可知,雪圈(含人)做匀速圆周运动的半径为r= m=5 m,则线速度大小为v=ωr=2×5 m/s=10 m/s,故A、B错误;雪圈(含人)做匀速圆周运动的加速度大小为a=ω2r=22×5 m/s2=20 m/s2,C错误,D正确。
[规律法]向心加速度公式的应用技巧
(1)先确定各点是线速度大小相等,还是角速度相同。
(2)在线速度大小相等时,向心加速度与半径成反比,在角速度相同时,向心加速度与半径成正比。
【探究训练】
1.(2025·日照高一检测)中国糖画是非物质文化遗产之一。某游客参加抽奖活动,转动指针,指针最后停在哪里,便可得到对应的糖画作为奖励。指针上两点P、Q距中心点O的距离分别为r和2r,如图所示。以下关于P、Q两点在转动时各物理量之比,正确的是 (　　)
A.周期之比为2∶1 B.角速度大小之比为1∶2
C.线速度大小之比为1∶1 D.向心加速度大小之比为1∶2
【解析】选D。因P、Q两点同轴转动,可知角速度和周期相等,选项A、B错误;根据v=ωr可知P、Q两点线速度大小之比为1∶2,选项C错误;根据a=ω2r可知P、Q两点向心加速度大小之比为1∶2,选项D正确。
2.如图,质量为m的质点从P点静止释放,自由落体运动到Q点(Q点与圆心等高),由于其他力对质点产生作用,质点从Q点开始做匀速圆周运动。质点运动过中加速度大小始终不变,已知P、Q之间的距离为h,圆周运动的半径为R,则h与R的比值为 (　　)
A. B. C.2 D.3
【解析】选B。由于质点从P到Q过中做自由落体运动,加速度大小为g;到达Q后做匀速圆周运动,其向心加速度也应与前者相同,故向心加速度a==g,另一面,质点自由落体到Q点时速度满足v2=2gh,联立可得2gh=gR,则=,故选B。
【课堂回眸】
课时巩固 请使用　课时素养检测 九(共31张PPT)
3.向心加速度
01
02
03
高端教学引领
课前自主学习
课堂合作探究
课标准 素养目标
知道匀速圆周运动向心加速度的大小和向。 1.向心加速度的概念。(物理观念)
2.向心加速度公式的理解和牛顿第二定律的应用。(科学思维)
3.结合加速度的定义式和牛顿第二定律推导向心加速度的公式。(科学探究)
4.从生活中圆周运动的实例分析和讨论运动和力的关系,体会向心加速度的概念。(科学态度与责任)
01
高端教学引领
【教学建议】
1.向心加速度的特点:
任务 建议
向心加速度的向和物理意义 通过分析水平桌面上做匀速圆周运动的小球的受力,结合牛顿第二定律和前面学到的加速度的含义引导学生分析向心加速度的向和物理意义
2.向心加速度的大小:
任务 建议
向心加速度的大小 结合加速度的定义式,运用学过的向心力公式和牛顿第二定律推导向心加速度的表达式
【情境导引】
　　在2022年2月18日,北京冬奥会自由式滑雪女子U形场地技巧决赛中,中国队运动员强势夺冠,摘得中国代表团本届冬奥会第八金。假设运动员从半圆形场地的坡顶下滑到坡的最低点过中速率不变。
　　问题导引:
　　(1)运动员下滑过中受到的摩擦力怎么变化
　　(2)运动员下滑过中做什么运动
　　(3)向心加速度的向有什么特点
02
课前自主学习
1.匀速圆周运动的加速度向:
任务驱动:2024年2月29日,卫星互联网高轨卫星01星搭乘长征三号乙运载火箭,在西昌卫星发射中心成功发射。假设该卫星在预定轨道做匀速圆周运动。
(1)“卫星互联网高轨卫星01星”做匀速圆周运动时,有加速度吗
(2)加速度有什么特点
提示:(1)有加速度。
(2)加速度的向始终指向圆心。
(1)定义:任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向_____,这个加速度叫
作向心加速度。
(2)向心加速度的作用:向心加速度的向总是与速度向_____,故向心加
速度的作用只改变速度的_____,对速度的_____无影响。
圆心
垂直
向
大小
2.匀速圆周运动的加速度大小:
任务驱动:由向心加速度a=知,a与r成反比,由a=ω2r知,a与r成正比,这种说
法正确吗
提示:不正确。由a=可知,当v的大小不变时,a与r成反比,由a=ω2r可知,当
ω的大小不变时,a与r成正比。
(1)向心加速度公式:an==____。
(2)向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动,也适用于_______________。
ω2r
非匀速圆周运动
【易错辨析】
(1)匀速圆周运动是匀变速运动。(　　)
(2)做匀速圆周运动的物体的加速度一定不为0。(　　)
(3)匀速圆周运动的向心加速度的向时刻指向圆心,大小不变。(　　)
(4)向心加速度只改变速度的向,不改变速度的大小。(　　)
提示:(1)×。匀速圆周运动的加速度向时刻变化,故匀速圆周运动不是匀变速运动。 (2)√　(3)√　(4)√
03
课堂合作探究
主题一　匀速圆周运动加速度的向和物理意义
【生活情境】
现在各大城市中的游乐场里都有摩天轮,摩天轮的轿厢绕其
圆心做匀速圆周运动,如图所示。
【问题探究】
(1)乘客随轿厢做匀速圆周运动的过中,合外力沿什么向 合外力产生的加速度沿什么向
提示:合外力沿半径指向圆心;产生的加速度沿半径指向圆心。
(2)合外力所产生的加速度向变化吗 它引起了速度哪面的变化
提示:加速度向变化;引起速度向的改变。
【结论生成】
1.物理意义:向心加速度只表示线速度的向变化的快慢,不表示速度大小变化的快慢。
2.向:
做匀速圆周运动的物体,其速度的大小(速率)不变,向不断改变,所以加速度a没有与v同向的分量,它必然沿半径向指向圆心,故称为向心加速度。
3.圆周运动的性质:
不论向心加速度an的大小是否变化,an的向是时刻改变的,所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变,圆周运动一定是非匀变速曲线运动。
4.一般圆周运动向心加速度向:
做非匀速圆周运动的物体的加速度并不指向圆心,而是与半径有一个夹角,我们可以把加速度a分解为沿半径向的an和沿切线向的at,则an描述速度向改变的快慢,at描述速度大小改变的快慢,其中an就是向心加速度。
[特别提醒]无论是匀速圆周运动,还是变速圆周运动都有向心加速度,且向都指向圆心。
【典例示范】
(2025·潍坊高一检测)夏天人们常用蚊香来驱除蚊虫。如图所示,蚊香点燃后缓慢燃烧,若某滑冰运动员(可视为质点)的运动轨迹与该蚊香燃点的轨迹类似,运动的速率保持不变,则该运动员(　　)
A.线速度不变
B.角速度变小
C.向心加速度变大
D.运动一圈(360°)所用时间保持不变
√
【解析】选C。由题意可知,线速度大小不变,向时刻改变,故A错误;运动员的速率保持不变,运动半径在减小,由v =ωr可知,角速度变大,故B错误;运动员的速率保持不变,运动半径r减小,由a=可知,向心加速度a变大,故C正确;运动员的速率保持不变,一圈的长度逐渐变小,故运动一圈所用的时间变短,故D错误。
【探究训练】
1.(2024·黑吉辽选择考)“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图,当篮球在指尖上绕轴转动时,球面上P、Q两点做圆周运动的(　　)
A.半径相等
B.线速度大小相等
C.向心加速度大小相等
D.角速度大小相等
√
【解析】选D。由题意可知,球面上P、Q两点转动时属于同轴转动,故角速度大小相等,故D正确;由图可知,球面上P、Q两点做圆周运动的半径的关系为rP2.城市中许多停车场出入口都设立了智能道闸,有车辆出入时能实现自动抬杆,其简化模型如图所示。初始时闸门OMN处于静止状态,当有车辆靠近时,M点绕O点做匀速圆周运动,运动过中M、N始终保持在同一高度,OM段和MN段的杆长相同,匀速率抬杆的过中,下列说法正确的是(　　)
A.M点的加速度不变
B.N点在竖直向做匀速运动
C.M、N点的加速度大小相等
D.M、N点的速度大小不相等
√
【解析】选C。M绕O做匀速圆周运动,M点加速度大小不变,向指向圆心,故A错误;M、N始终保持水平,所以N在复制M的运动轨迹,所以N点的加速度大小和M点相等,向也始终和M点的加速度向共线,故C正确,B、D错误。
主题二　匀速圆周运动加速度的大小
【生活情境】
如图为游乐场中的旋转飞椅,成人和孩子都喜欢的一种游乐
设施,乘客可以看作是做匀速圆周运动。
【问题探究】
(1)试根据向心力的公式和牛顿第二定律推导向心加速度大小的公式。
提示:我们学习了向心力大小的表达式,则根据牛顿第二定律F合=ma和向心力表达式F向=m可得出向心加速度的大小:a=。
(2)结合v=ωr推导可得向心加速度与角速度关系的表达式a=ω2r,有人说:根据a=可知,向心加速度与半径成反比;根据a=ω2r可知,向心加速度与半径成正比;这是矛盾的,你认为呢
提示:不矛盾,说向心加速度与半径成反比是在线速度一定的情况下;说向心加速度与半径成正比是在角速度一定的情况下,所以二者并不矛盾。
(3)做变速圆周运动的物体,其加速度的向是否指向圆心
提示:做变速圆周运动的物体,加速度的向并不指向圆心。
【结论生成】
1.向心加速度的几种表达式
2.做非匀速圆周运动的物体的向心加速度:
(1)物体做匀速圆周运动时,向心加速度就是物体运动的加速度。
(2)物体做非匀速圆周运动时,加速度不是指向圆心,但它可以分解为沿切线向的分量和指向圆心向的分量,其中指向圆心向的分量就是向心加速度,此时向心加速度仍满足:an==ω2r。
(3)无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动,向心加速度都指向圆心。
[特别提醒]
(1)以上公式也适用于变速圆周运动中向心加速度的计算,但计算得到的只是沿径向的加速度,不包括沿切向的加速度。
(2)不同的表达式中,an与同一物理量间有不同的关系,所以在讨论an与其中一个量的关系时,要根据不变量选择合适的公式讨论。
【典例示范】
(2025·滨州高一检测)进入冬季后,北的冰雪运动吸引了许多南游客。如图为雪地转转游戏,人乘坐雪圈(尺寸大小忽不计)绕轴以2 rad/s的角速度在水平雪地上做匀速圆周运动。已知绳子悬挂在离地高为3 m,半径为3 m的水平转盘的边缘,且绳子长为5 m。运动时,绳与水平杆垂直,则雪圈(含人)(　　)
A.线速度大小为8 m/s
B.线速度大小为14 m/s
C.加速度大小为16 m/s2
D.加速度大小为20 m/s2
√
【解析】选D。水平转盘半径为3 m,离地高为3 m,绳长为5 m,根据几何关系可知,雪圈(含人)做匀速圆周运动的半径为r= m=5 m,则线速度大小为v=ωr=2×5 m/s=10 m/s,故A、B错误;雪圈(含人)做匀速圆周运动的加速度大小为a=ω2r=22×5 m/s2=20 m/s2,C错误,D正确。
[规律法]向心加速度公式的应用技巧
(1)先确定各点是线速度大小相等,还是角速度相同。
(2)在线速度大小相等时,向心加速度与半径成反比,在角速度相同时,向心加速度与半径成正比。
【探究训练】
1.(2025·日照高一检测)中国糖画是非物质文化遗产之一。某游客参加抽奖活动,转动指针,指针最后停在哪里,便可得到对应的糖画作为奖励。指针上两点P、Q距中心点O的距离分别为r和2r,如图所示。以下关于P、Q两点在转动时各物理量之比,正确的是(　　)
A.周期之比为2∶1
B.角速度大小之比为1∶2
C.线速度大小之比为1∶1
D.向心加速度大小之比为1∶2
√
【解析】选D。因P、Q两点同轴转动,可知角速度和周期相等,选项A、B错误;根据v=ωr可知P、Q两点线速度大小之比为1∶2,选项C错误;根据a=ω2r可知P、Q两点向心加速度大小之比为1∶2,选项D正确。
2.如图,质量为m的质点从P点静止释放,自由落体运动到Q点(Q点与圆心等高),由
于其他力对质点产生作用,质点从Q点开始做匀速圆周运动。质点运动过中加
速度大小始终不变,已知P、Q之间的距离为h,圆周运动的半径为R,则h与R的比值
为(　　)
A. B. C.2 D.3
【解析】选B。由于质点从P到Q过中做自由落体运动,加速度大小为g;到达Q
后做匀速圆周运动,其向心加速度也应与前者相同,故向心加速度a==g,另一
面,质点自由落体到Q点时速度满足v2=2gh,联立可得2gh=gR,则=,故选B。
√
【课堂回眸】

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