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(共22张PPT)
专题一　曲线运动的典型问题
01
课堂合作探究
课标准 素养目标
1.进一步加深理解合运动、分运动的概念及它们之间的关系。 2.理解运动的合成与分解,知道其遵循的规律是平行四边形定则。 3.会运用运动的合成与分解解决小船渡河及关联速度问题。 1.曲线运动、合运动和分运动的概念。(物理观念)
2.运动的合成与分解的法——平行四边形定则。(科学思维)
3.会用数学知识求解合位移、分位移、合速度、分速度。(科学探究)
4.会应用合成与分解的法解决小船渡河问题及关联速度问题。(科学态度与责任)
01
课堂合作探究
主题一　小船渡河问题
【生活情境】
如图游客坐小船渡过一条大江,江水水流湍急。
【问题探究】
(1)小船的航行路线是沿着船头所指的向吗 为什么
提示:不是,小船同时参与了沿水流向的运动和沿船头所指向的运动。
(2)在小船渡河中涉及哪三种速度
提示:v船(船在静水中的速度)、v水(水的流速)、v合(船的实际速度)。
(3)要想最短时间渡河应该怎么渡
提示:如图所示　
当船头垂直河岸时,渡河时间最短,最短时间tmin=。
(4)要想最短位移过河应该怎么渡
提示:①当v水渡河位移最短,xmin=d,如图。
②当v水>v船时,如果船头向(即v船向)与合速度向垂直,渡河位移最短,最短渡河位移为xmin=,如图。
【结论生成】
1.小船渡河问题中分运动和合运动的向:
(1)船的划行向即船头指向为分运动向。
(2)船的运动向即船的实际运动向为合运动向。
2.小船渡河问题运动分解的基本法:
按实际效果分解,一般用平行四边形定则按水流向和船头指向分解。
3.渡河时间:
只与垂直河岸的船的分速度有关,与水流速度的大小无关。
4.求最短渡河位移的法:
根据船速v船与水流速度v水的大小情况用三角形法则求极值的法处理。
[特别提醒]小船在有一定流速的水中渡河时,实际上参与了两个向的分运动,即随水流的运动(水冲船的运动速度v水)和船相对于水的运动(即船在静水中的速度v船),船的实际运动是合运动(v合)。
【典例示范】
(2025·潍坊高一检测)2024年9月27日,2024“运河争辉”绍兴乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行,水乡绍兴以这种特殊的活动式庆祝中华人民共和国成立75周年,同时也纪念中国大运河申遗成功10周年。已知小船在静水中的速度为4 m/s,现让船渡过某条河,若此河的两岸是理想的平行线,河宽为d=200 m,水流速度为3 m/s,向与河岸平行。
(1)欲使小船以最短时间渡河,最短时间是多少 小船的位移多大
(2)欲使小船以最短位移渡河,渡河所用时间是多少
(3)若河水因涨水导致水流速度变为6 m/s,小船在静水中的速度为4 m/s不变,此种情况下渡河最短位移及渡河时间分别为多少
【思维流】
【解析】(1)当船以静水中的速度垂直于河岸过河时,
渡河时间最短,如图所示
最短时间为tmin== s=50 s
这时小船的合速度为v== m/s=5 m/s
此种情况下小船过河的位移为l=vtmin=5×50 m=250 m。
(2)船在静水的速度大于水流速度,那么最短位移为河宽,如图所示
这种情况下,小船的合速度为v'== m/s= m/s
当过河位移最短时过河的时间为t'== s= s。
(3)若水流速度为v水'=6 m/s
则v船此种情况下过河如图所示
当船头向(即v船向)与合速度向垂直时,
渡河位移最短,大小为l'== m=300 m
这种情况下,小船的合速度为v″== m/s=2 m/s
过河时间为t″== s=30 s
答案:(1)50 s　250 m　 (2) s　(3)300 m　30 s
[规律法]小船过河问题分析思路
主题二　关联速度问题
【生活情境】
如图所示,岸上的工作人员用绳子拉船,使船靠岸。
【问题探究】
(1)人拉绳子的速度和船航行的速度相同吗
提示:不相同,用绳、杆相连的物体,在运动过中,两个物体的速度通常不同,但物体沿绳或杆向的速度分量大小相等。
(2)如果知道人拉绳子的速度,如何求解船的速度
提示:把人的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量,根据沿绳(杆)向的分速度大小相等求解。
【结论生成】
1.解决关联速度问题的思路:
(1)明确合运动即物体的实际运动速度。
(2)明确分运动。一般情况下,分运动表现在:
①沿绳向的伸长或收缩运动;
②垂直于绳向的旋转运动。
解题的原则:速度的合成遵循平行四边形定则。
2.常见的模型如图所示:


[特别提醒]用绳、杆等连接的两个物体在运动过中,其速度通常是不一样的,但两个物体沿绳或杆向的速度大小相等。
【典例示范】
(多选)如图所示,物体A和B的质量均为m,且分别用轻绳连接并跨过定滑轮(不计绳子与滑轮、滑轮与轴之间的摩擦)。在用水平变力F拉物体B沿水平向向右做匀速直线运动的过中(　　)
A.物体A也做匀速直线运动
B.绳子的拉力始终大于物体A所受的重力
C.物体A的速度小于物体B的速度
D.地面对物体B的支持力逐渐增大
√
√
√
【解析】选B、C、D。将B的运动沿绳子向和垂直于绳子向分解,沿绳子向上的分速度等于A物体的速度,根据平行四边形定则求出A的速度与B的速度的关系。以绳子与物体B的结点为研究对象,将B的速度分解成绳子伸长的速度v1和垂直绳子向的速度v2,如图所示。
v1=vcosθ,绳子伸长的速度等于物体A上升的速度,即vA=v1=vcosθ,物体B向右运动时θ减小,所以vA增大,物体B匀速向右运动则物体A加速上升,处于超重状态,绳子拉力始终大于物体A所受的重力;θ减小并无限趋近于0,则物体A无限趋近于匀速运动,故物体A上升的加速度在减小,所以绳子的拉力FT减小,地面对B的支持力FNB=mBg-FTsinθ逐渐增大。故选B、C、D。
[规律法]绳(或杆)端速度分解法
(1)确定绳(或杆)端的定点。绳(或杆)两端物体运动时,绳(或杆)在转动,若绳(或杆)的一端不动,另一端运动,则不动的一端为定点;若绳(或杆)的两端均在运动,则欲分解的速度对应的物体端为动点,另一端为等效定点。本例中滑轮右侧这段绳的上端为定点,与B相连的下端为动点。
(2)速度分解的向。确定定点之后,动点(研究对象)的速度可分解为沿绳(或杆)伸长(或缩短)的向和垂直绳(或杆)使绳(或杆)绕定点转动的向。牢牢记住实际速度是合速度。
(3)绳(或杆)两端物体均在运动,则沿绳(或杆)的向(弹力向)速度相等。
【母题追问】
如果【典例示范】中其他条件不变,要想让物体A匀速上升,那物体B应沿水平向做什么运动
提示:将B的运动沿绳子向和垂直于绳子向分解,沿绳子向上的分速度v1等于A物体的速度vA,可得vA=v1=vcosθ,物体B向右运动时θ减小,cosθ变大,要让vA不变则要v减小,故B应做减速运动。(共27张PPT)
单元复习课
01
02
思维脉图构建
核心考点突破
01
思维脉图构建
【答案速填】
①重力　　②匀速　　　
③水平　　④竖直　　　
⑤轨迹　　⑥分解
⑦四边　　⑧曲线　　
⑨直线　　⑩合外　　
实际　　 等时
02
核心考点突破
一、 运动的合成与分解
【典例1】(2025·安康高一检测)如图甲所示,近年来无人机已越来越频繁应用在物流配送场景,包括应急救援、冷链、物资运送。某次配送物资的无人机在飞行过中,水平向的速度vx及竖直向的速度vy与飞行时间t的关系图像分别如图乙、图丙所示。关于该无人机的运动,下列说法正确的是(　　)
A.在0~2 s内,无人机做匀变速曲线运动
B.在第2 s末,无人机运动到最高点
C.在第4 s末,无人机的速度大小为7 m/s
D.在2~6 s内,无人机做匀变速曲线运动
√
【解析】选D。根据图像可知,在0~2 s时间内,无人机在水平向与竖直向上均做初速度为0的匀加速直线运动,则合运动为匀加速直线运动,故A错误;根据图像可知,0~6 s时间内,无人机竖直向的速度一直为正值,即一直向上运动,可知,在第2 s末无人机没有运动到最高点,故B错误;根据图像可知,2~6 s时间内,无人机在水平向上做匀速直线运动,vx=4 m/s,竖直向上做匀减速直线运动,通过图像可知,第4 s末速度为vy=3 m/s,合速度为v==5 m/s,无人机做匀变速曲线运动,故C错误,D正确。
[法技巧]合运动性质的判断
(1)思路:分析两个直线运动的合运动性质时,应先根据平行四边形定则,求出合运动的合初速度v和合加速度a,然后进行判断。
(2)是否为匀变速运动的判断法:
加速度或合力
(3)物体做曲线运动和直线运动的判断法:
加速度或合力与速度向
【对点训练】
1.图甲为发动机活塞连杆组,图乙为连杆组的结构简图,连杆组在竖直平面内,且OA正好在竖直向上,连杆一端连接A处活塞,另一端与曲柄上B点相连,活塞沿OA直线往复运动并带动连杆使B点绕圆心O沿顺时针向做圆周运动,某时刻OB刚好水平,∠OAB=θ,活塞的速率为vA,曲柄上B点的速率为vB,则此时(　　)
A.vA·cosθ=vB　　　 B.vB·cosθ=vA
C.vA=vB D.vA·sinθ=vB
√
【解析】选C。活塞的实际运动沿竖直向,曲柄上B点的实际运动沿虚线圆的切线向,当OB刚好水平,曲柄上B点的速率向刚好竖直时,将vA、vB沿连杆向和垂直于连杆向分解如图,则有v1=vAcosθ=vBcosθ,可得vA=vB,故A、B、D错误,C正确。
2.(多选)(2025·聊城高一检测)如图所示是儿童很喜欢的玩具坦克车,可以遥控坦克车行
驶并在水平面的任意向发射弹丸。该坦克车以速度v1沿直线AB匀速行驶,并用弹丸
射击直线AB外侧附近的固定靶。坦克车静止时射出的弹丸速度大小为v2,且v2>v1,固定
靶离直线AB的最近距离lAO的大小为d,忽弹丸受到的空气阻力和竖直向的下落高度,
并且发射时炮口离地高度与靶心高度相同,不计弹丸发射对坦克速度的影响。下列说
法正确的是 (　　)
A.弹丸命中固定靶飞行的最短位移为
B.弹丸命中固定靶飞行的最短时间为
C.要命中固定靶且弹丸在空中飞行时间最短,坦克发射处离固定靶的距离为
D.若坦克车到达距离固定靶最近时再发射,无论炮口怎么调整,弹丸都无法射中目标
√
√
【解析】选B、C。因v2>v1,发射弹丸相当于小船渡河模型,则发射速度斜向上游,合位移沿着AO向,则最短位移为d,故A错误;要命中固定靶且弹丸在空中飞行时间最短,则在A点之前发射,速度沿AO向,最短时间为t=,坦克发射处离固定靶的距离为s==,故B、C正确;由于v2>v1,若坦克车到达距离固定靶最近时再发射,应调整炮口至左上,可能射中目标,故D错误。
二、解决平抛运动问题的三个突破口
【典例2】足球比赛时,在罚球区的本队员故意犯规,判由对队员罚点球。如图为某运动员罚点球。已知球门框ABCD,球门AB宽l=5 m,AD高h=2 m,点球点O距球门线中点垂直距离为8 m,一球员将足球以斜向上的初速度从O点踢出,到达球门横梁E点反弹,且速度向恰好在水平面内,DE=2 m,反弹后落到地面上的F点,AF恰好垂直于球门线AB,AF=4 m,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2(计算结果可带根号)。求:
(1)足球从E点反弹至第一次落地的时间t;
(2)足球第一次落地时速度v的大小。
【解析】(1)足球反弹后做平抛运动,竖直向h=gt2
得t= s
(2)设足球反弹后速度为v0,落地时竖直向的速度为vy,
设E点在AB上对应的投影点为G,
vy=gt,v0=其中GF=,v=得v=3 m/s
答案:(1) s　(2)3 m/s
[法技巧]解决平抛运动问题的三个突破口
(1)把平抛运动的时间作为突破口:平抛运动规律中,各物理量都与时间有联系,所以只要求出抛出时间,其他的物理量都可轻松解出。
(2)把平抛运动的偏转角作为突破口:
如图所示可得tanθ==(推导:tanθ====),tanα=,所以有tanθ=2tanα。从以上各式可以看出偏转角和其他各物理量都有关联,通过偏转角可以确定其他的物理量。
(3)把平抛运动的一段轨迹作为突破口:
平抛运动的轨迹是一条抛物线,已知抛物线上的任意一段,就可求出水平初速度和抛出点,其他物理量也就迎刃而解了。
设图为某小球做平抛运动的一段轨迹,在轨迹上任取两点A和B,E为AB的中间时刻对应的点(如图所示)。
设tAE=tEB=T,由竖直向上的匀变速直线
运动得FC-AF=gT2,所以T==;
由水平向上的匀速直线运动得v0==EF。
【对点训练】
(2025·曲靖高一检测)某次飞镖比赛中,选手投掷飞镖出手点与靶的水平距离为L=2.4 m,靶心距离飞镖出手点竖直向的距离为h=0.2 m,设每次出手都将飞镖以水平向垂直于靶面扔出,不计空气阻力,取g=10 m/s2。
(1)若掷出的飞镖恰好可以命中靶心,求:
①飞镖的飞行时间;
②飞镖的出手速度大小;
(2)调整靶到选手的距离后,选手以某速度第一次掷出的飞镖扎在靶上时,与靶面向夹角为60°,将靶后移40 cm后,再以同样速度出手后,飞镖扎在靶上时与靶面的夹角变为45°,求飞镖出手的速度大小。
【解析】(1)①由题意,飞镖做平抛运动,根据h=gt2可得,
飞镖的飞行时间t==0.2 s。
②根据L=v0t,可得飞镖的出手速度大小为v0==12 m/s。
(2)设飞镖出手的速度大小为v'0,选手第一次掷出的飞镖扎在靶上时,与靶面向
夹角为 60°,则有tan60°=,将靶后移40 cm后,再以同样速度出手后,飞镖扎在靶
上时与靶面的夹角变为45°,则有tan45°=,结合x=v'0t,vy=gt, x+0.4 m=v'0(t+Δt),
v'y=g(t+Δt),联立求得v'0= m/s。
答案: (1)①0.2 s　②12 m/s　 (2) m/s
三、与斜面结合的平抛运动
【典例3】A、D分别是斜面的顶端、底端,B、C是斜面上的两个点,AB=BC =CD,E点在D点的正上,与A等高,从E点水平抛出质量相等的两个小球,球1落在B点,球2落在C点,忽空气阻力。关于球1和球2从抛出到落在斜面上的运动过,下列说法正确的是(　　)
A.球1和球2运动的时间之比为2∶1
B.球1和球2运动的时间之比为1∶2
C.球1和球2抛出时初速度之比为2∶1
D.球1和球2运动时单位时间内速度变化量之比为1∶1
√
【解析】选D。因为AC=2AB,所以球2的竖直位移是球1竖直位移的2倍,根据h=gt2得t=,解得运动的时间之比为t1∶t2=1∶,故A、B错误;因为BD=2CD,所以球1的水平位移是球2水平位移的2倍,根据x=v0t得v0=x,解得初速度之比为v01∶v02=2∶1,故C错误;单位时间内速度变化量即为加速度,而平抛运动的加速度都为g,相同,故D正确。
[法技巧]求解平抛运动与斜面相结合问题的法
(1)对于垂直打在斜面上的平抛运动,画出速度分解图;对于从斜面抛出,又落在斜面上的平抛运动,画出位移分解图。
(2)确定合速度(或合位移)与水平向的夹角,利用夹角确定分速度(或分位移)的关系。
(3)结合平抛运动在水平向和竖直向的位移公式或速度公式列式求解。
【对点训练】
1.如图所示,将小球从倾角为45°的斜面上的P点先后以不同速度向右水平抛出,小球分别落在斜面上的A点、B点以及水平面上的C点。已知B点为斜面底端点,P、A、B、C在水平向间隔相等。不计空气阻力,则(　　)
A.三次抛出小球后,小球在空中飞行的时间均不相同
B.小球落到A、B两点时,其速度的向不同
C.若小球落到A、C两点,则两次抛出时小球的速率之比为∶3
D.若小球落到B、C两点,则两次抛出时小球的速率之比为∶3
√
【解析】选C。根据h=gt2,得t=,由于小球落到B、C时下落的高度相同,则这两次小球飞行时间相同,大于落在A处时的飞行时间,故A错误;小球落在斜面上时,竖直向的位移和水平向的位移比值一定,即有tan45°====,故=2,因此小球落在斜面上时,速度向与水平向的夹角与初速度无关,则小球落在A、B两点处的速度向相同,故B错误;小球落到A、B两点,水平位移x=v0t=,根据P、A、B在水平向间隔相等可得,两次抛出时小球的速率之比为vA∶vB=1∶;小球落到B、C两点时,运动的时间相等,而P、A、B、C在水平向间隔相等,根据v0=可知,两次抛出时小球的速率之比为vB∶vC=2∶3,所以vA∶vC=∶3,故C正确,D错误。
2.横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起,固定在水平面上,如图所示。它们的竖直边长都是底边长的一半。现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛,最后落在斜面上,其落点分别是a、b、c。下列判断正确的是 (　　)
A.落在a点的小球落在斜面上时的速度向与斜面平行
B.三小球比较,落在c点的小球飞行时间最长
C.三小球比较,落在b点的小球飞行过速度变化最快
D.无论小球抛出时初速度多大,落到斜面上时的瞬时速度都不可能与斜面垂直
√
【解析】选D。设落在a点的小球落在斜面上的速度向与水平向夹角为θ,位移向与水平向夹角为α,根据平抛运动的推论可知,tanθ=2tanα,即落在a点的小球落在斜面上的速度向不可能与斜面平行,故A错误;根据平抛运动规律可知,三小球飞行时间t=,落在a点的小球竖直向下落距离最大,所以落在a点的小球飞行时间最长,故B错误;三小球都做平抛运动,速度变化快慢(加速度)均相同,故C错误;通过A项的分析可知,落在a点的小球速度不可能与斜面垂直,对于落在b点的小球而言,落在斜面上时竖直向分速度为gt,水平向分速度为v0,假设落到斜面上的瞬时速度能与斜面垂直,斜面倾角为β,则=tanβ=,对应的竖直向的位移为y=gt2,水平向的位移为x=v0t=(gt)t=y,显然这是不可能满足的,同理可知,落在C点的小球速度也不可能与斜面垂直,故D正确。
3.(2025·长沙高一检测)跑酷是以日常生活的环境为运动场所的极限运动。质量m=50 kg的跑酷运动员,在水平高台上水平向右跑到高台边缘,以v0的速度从上边缘的A点水平向右跳出,运动0.6 s后落在一倾角为53°的斜面上的B点,速度向与斜面垂直。此时运动员迅速转身并调整姿势,以v0的速度从B点水平向左蹬出,刚好落到斜面的底端C点。D点为平台的下边缘点,假设该运动员可视为质点,不计空气阻力,取g=10 m/s2,sin53°=0.8,cos53°=0.6。求:
(1)运动员从高台边缘跳出的水平速度v0的大小;
(2)水平高台AD的高度H;
(3)若运动员迅速转身以v1的速度从B点水平向左蹬出,
要使运动员落在地面CD上,求速度v1的最大值。
【解析】(1)根据题意可知,运动员落在斜面上时速度向与斜面垂直,由几何关系可得,此时速度与水平向的夹角为α=90°-53°=37°
由平抛运动规律有tan37°==
解得v0==8 m/s
(2)由平抛运动规律有tan53°==
解得t2=0.8 s
水平高台AD的高度H=h1+h2=g+g=5 m
(3)根据题意可知,BD的水平距离为x=v0t1=4.8 m,要使运动员落在地面CD上,速度最大时落在D点,则有x=v1t2
解得v1=6 m/s
即速度v1的最大值为6 m/s。
答案:(1)8 m/s　 (2)5 m　 (3)6 m/s专题一　曲线运动的典型问题
课标准 素养目标
1.进一步加深理解合运动、分运动的概念及它们之间的关系。 2.理解运动的合成与分解,知道其遵循的规律是平行四边形定则。 3.会运用运动的合成与分解解决小船渡河及关联速度问题。 1.曲线运动、合运动和分运动的概念。 (物理观念) 2.运动的合成与分解的法——平行四边形定则。 (科学思维) 3.会用数学知识求解合位移、分位移、合速度、分速度。 (科学探究) 4.会应用合成与分解的法解决小船渡河问题及关联速度问题。 (科学态度与责任)
课堂合作探究
主题一　小船渡河问题
【生活情境】
如图游客坐小船渡过一条大江,江水水流湍急。
【问题探究】
(1)小船的航行路线是沿着船头所指的向吗 为什么
提示:不是,小船同时参与了沿水流向的运动和沿船头所指向的运动。
(2)在小船渡河中涉及哪三种速度
提示:v船(船在静水中的速度)、v水(水的流速)、v合(船的实际速度)。
(3)要想最短时间渡河应该怎么渡
提示:如图所示　
当船头垂直河岸时,渡河时间最短,最短时间tmin=。
(4)要想最短位移过河应该怎么渡
提示:①当v水②当v水>v船时,如果船头向(即v船向)与合速度向垂直,渡河位移最短,最短渡河位移为xmin=,如图。
【结论生成】
1.小船渡河问题中分运动和合运动的向:
(1)船的划行向即船头指向为分运动向。
(2)船的运动向即船的实际运动向为合运动向。
2.小船渡河问题运动分解的基本法:
按实际效果分解,一般用平行四边形定则按水流向和船头指向分解。
3.渡河时间:
只与垂直河岸的船的分速度有关,与水流速度的大小无关。
4.求最短渡河位移的法:
根据船速v船与水流速度v水的大小情况用三角形法则求极值的法处理。
[特别提醒]小船在有一定流速的水中渡河时,实际上参与了两个向的分运动,即随水流的运动(水冲船的运动速度v水)和船相对于水的运动(即船在静水中的速度v船),船的实际运动是合运动(v合)。
【典例示范】
(2025·潍坊高一检测)2024年9月27日,2024“运河争辉”绍兴乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行,水乡绍兴以这种特殊的活动式庆祝中华人民共和国成立75周年,同时也纪念中国大运河申遗成功10周年。已知小船在静水中的速度为4 m/s,现让船渡过某条河,若此河的两岸是理想的平行线,河宽为d=200 m,水流速度为3 m/s,向与河岸平行。
(1)欲使小船以最短时间渡河,最短时间是多少 小船的位移多大
(2)欲使小船以最短位移渡河,渡河所用时间是多少
(3)若河水因涨水导致水流速度变为6 m/s,小船在静水中的速度为4 m/s不变,此种情况下渡河最短位移及渡河时间分别为多少
【思维流】
【解析】(1)当船以静水中的速度垂直于河岸过河时,渡河时间最短,如图所示
最短时间为tmin== s=50 s
这时小船的合速度为v== m/s=5 m/s
此种情况下小船过河的位移为l=vtmin=5×50 m=250 m。
(2)船在静水的速度大于水流速度,那么最短位移为河宽,如图所示
这种情况下,小船的合速度为v'== m/s= m/s
当过河位移最短时过河的时间为t'== s= s。
(3)若水流速度为v水'=6 m/s
则v船此种情况下过河如图所示
当船头向(即v船向)与合速度向垂直时,渡河位移最短,大小为l'== m=300 m
这种情况下,小船的合速度为v″== m/s=2 m/s
过河时间为t″== s=30 s
答案:(1)50 s　250 m　 (2) s　(3)300 m　30 s
[规律法]小船过河问题分析思路
主题二　关联速度问题
【生活情境】
如图所示,岸上的工作人员用绳子拉船,使船靠岸。
【问题探究】
(1)人拉绳子的速度和船航行的速度相同吗
提示:不相同,用绳、杆相连的物体,在运动过中,两个物体的速度通常不同,但物体沿绳或杆向的速度分量大小相等。
(2)如果知道人拉绳子的速度,如何求解船的速度
提示:把人的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量,根据沿绳(杆)向的分速度大小相等求解。
【结论生成】
1.解决关联速度问题的思路:
(1)明确合运动即物体的实际运动速度。
(2)明确分运动。一般情况下,分运动表现在:
①沿绳向的伸长或收缩运动;
②垂直于绳向的旋转运动。
解题的原则:速度的合成遵循平行四边形定则。
2.常见的模型如图所示:
[特别提醒]用绳、杆等连接的两个物体在运动过中,其速度通常是不一样的,但两个物体沿绳或杆向的速度大小相等。
【典例示范】
(多选)如图所示,物体A和B的质量均为m,且分别用轻绳连接并跨过定滑轮(不计绳子与滑轮、滑轮与轴之间的摩擦)。在用水平变力F拉物体B沿水平向向右做匀速直线运动的过中 (　　)
A.物体A也做匀速直线运动
B.绳子的拉力始终大于物体A所受的重力
C.物体A的速度小于物体B的速度
D.地面对物体B的支持力逐渐增大
【解析】选B、C、D。
将B的运动沿绳子向和垂直于绳子向分解,沿绳子向上的分速度等于A物体的速度,根据平行四边形定则求出A的速度与B的速度的关系。以绳子与物体B的结点为研究对象,将B的速度分解成绳子伸长的速度v1和垂直绳子向的速度v2,如图所示。
v1=vcosθ,绳子伸长的速度等于物体A上升的速度,即vA=v1=vcosθ,物体B向右运动时θ减小,所以vA增大,物体B匀速向右运动则物体A加速上升,处于超重状态,绳子拉力始终大于物体A所受的重力;θ减小并无限趋近于0,则物体A无限趋近于匀速运动,故物体A上升的加速度在减小,所以绳子的拉力FT减小,地面对B的支持力FNB=mBg-FTsinθ逐渐增大。故选B、C、D。
[规律法]绳(或杆)端速度分解法
(1)确定绳(或杆)端的定点。绳(或杆)两端物体运动时,绳(或杆)在转动,若绳(或杆)的一端不动,另一端运动,则不动的一端为定点;若绳(或杆)的两端均在运动,则欲分解的速度对应的物体端为动点,另一端为等效定点。本例中滑轮右侧这段绳的上端为定点,与B相连的下端为动点。
(2)速度分解的向。确定定点之后,动点(研究对象)的速度可分解为沿绳(或杆)伸长(或缩短)的向和垂直绳(或杆)使绳(或杆)绕定点转动的向。牢牢记住实际速度是合速度。
(3)绳(或杆)两端物体均在运动,则沿绳(或杆)的向(弹力向)速度相等。
【母题追问】
如果【【典例示范】】中其他条件不变,要想让物体A匀速上升,那物体B应沿水平向做什么运动
提示:将B的运动沿绳子向和垂直于绳子向分解,沿绳子向上的分速度v1等于A物体的速度vA,可得vA=v1=vcosθ,物体B向右运动时θ减小,cosθ变大,要让vA不变则要v减小,故B应做减速运动。
课时巩固 请使用　课时素养检测 三单元复习课
思维脉图构建
【答案速填】
①重力　　　②匀速　　　③水平　　　④竖直　　　⑤轨迹　　　⑥分解
⑦四边　　⑧曲线　　⑨直线　　⑩合外　　 实际　　 等时
核心考点突破
一、 运动的合成与分解
【典例1】(2025·安康高一检测)如图甲所示,近年来无人机已越来越频繁应用在物流配送场景,包括应急救援、冷链、物资运送。某次配送物资的无人机在飞行过中,水平向的速度vx及竖直向的速度vy与飞行时间t的关系图像分别如图乙、图丙所示。关于该无人机的运动,下列说法正确的是 (　　)
A.在0~2 s内,无人机做匀变速曲线运动
B.在第2 s末,无人机运动到最高点
C.在第4 s末,无人机的速度大小为7 m/s
D.在2~6 s内,无人机做匀变速曲线运动
【解析】选D。根据图像可知,在0~2 s时间内,无人机在水平向与竖直向上均做初速度为0的匀加速直线运动,则合运动为匀加速直线运动,故A错误;根据图像可知,0~6 s时间内,无人机竖直向的速度一直为正值,即一直向上运动,可知,在第2 s末无人机没有运动到最高点,故B错误;根据图像可知,2~6 s时间内,无人机在水平向上做匀速直线运动,vx=4 m/s,竖直向上做匀减速直线运动,通过图像可知,第4 s末速度为vy=3 m/s,合速度为v==5 m/s,无人机做匀变速曲线运动,故C错误,D正确。
[法技巧]合运动性质的判断
(1)思路:分析两个直线运动的合运动性质时,应先根据平行四边形定则,求出合运动的合初速度v和合加速度a,然后进行判断。
(2)是否为匀变速运动的判断法:
加速度或合力
(3)物体做曲线运动和直线运动的判断法:
加速度或合力与速度向
【对点训练】
1.图甲为发动机活塞连杆组,图乙为连杆组的结构简图,连杆组在竖直平面内,且OA正好在竖直向上,连杆一端连接A处活塞,另一端与曲柄上B点相连,活塞沿OA直线往复运动并带动连杆使B点绕圆心O沿顺时针向做圆周运动,某时刻OB刚好水平,∠OAB=θ,活塞的速率为vA,曲柄上B点的速率为vB,则此时 (　　)
A.vA·cosθ=vB　　　 B.vB·cosθ=vA
C.vA=vB D.vA·sinθ=vB
【解析】选C。活塞的实际运动沿竖直向,曲柄上B点的实际运动沿虚线圆的切线向,
当OB刚好水平,曲柄上B点的速率向刚好竖直时,将vA、vB沿连杆向和垂直于连杆向分解如图,则有v1=vAcosθ=vBcosθ,可得vA=vB,故A、B、D错误,C正确。
2.(多选)(2025·聊城高一检测)如图所示是儿童很喜欢的玩具坦克车,可以遥控坦克车行驶并在水平面的任意向发射弹丸。该坦克车以速度v1沿直线AB匀速行驶,并用弹丸射击直线AB外侧附近的固定靶。坦克车静止时射出的弹丸速度大小为v2,且v2>v1,固定靶离直线AB的最近距离lAO的大小为d,忽弹丸受到的空气阻力和竖直向的下落高度,并且发射时炮口离地高度与靶心高度相同,不计弹丸发射对坦克速度的影响。下列说法正确的是 (　　)
A.弹丸命中固定靶飞行的最短位移为
B.弹丸命中固定靶飞行的最短时间为
C.要命中固定靶且弹丸在空中飞行时间最短,坦克发射处离固定靶的距离为
D.若坦克车到达距离固定靶最近时再发射,无论炮口怎么调整,弹丸都无法射中目标
【解析】选B、C。因v2>v1,发射弹丸相当于小船渡河模型,则发射速度斜向上游,合位移沿着AO向,则最短位移为d,故A错误;要命中固定靶且弹丸在空中飞行时间最短,则在A点之前发射,速度沿AO向,最短时间为t=,坦克发射处离固定靶的距离为s==,故B、C正确;由于v2>v1,若坦克车到达距离固定靶最近时再发射,应调整炮口至左上,可能射中目标,故D错误。
二、解决平抛运动问题的三个突破口
【典例2】足球比赛时,在罚球区的本队员故意犯规,判由对队员罚点球。如图为某运动员罚点球。已知球门框ABCD,球门AB宽l=5 m,AD高h=2 m,点球点O距球门线中点垂直距离为8 m,一球员将足球以斜向上的初速度从O点踢出,到达球门横梁E点反弹,且速度向恰好在水平面内,DE=2 m,反弹后落到地面上的F点,AF恰好垂直于球门线AB,AF=4 m,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2(计算结果可带根号)。求:
(1)足球从E点反弹至第一次落地的时间t;
(2)足球第一次落地时速度v的大小。
【解析】(1)足球反弹后做平抛运动,竖直向h=gt2
得t= s
(2)设足球反弹后速度为v0,落地时竖直向的速度为vy,设E点在AB上对应的投影点为G,
vy=gt,v0=其中GF=,v=得v=3 m/s
答案:(1) s　(2)3 m/s
[法技巧]解决平抛运动问题的三个突破口
(1)把平抛运动的时间作为突破口:平抛运动规律中,各物理量都与时间有联系,所以只要求出抛出时间,其他的物理量都可轻松解出。
(2)把平抛运动的偏转角作为突破口:
如图所示可得tanθ==(推导:tanθ====),tanα=,所以有tanθ=2tanα。从以上各式可以看出偏转角和其他各物理量都有关联,通过偏转角可以确定其他的物理量。
(3)把平抛运动的一段轨迹作为突破口:
平抛运动的轨迹是一条抛物线,已知抛物线上的任意一段,就可求出水平初速度和抛出点,其他物理量也就迎刃而解了。
设图为某小球做平抛运动的一段轨迹,在轨迹上任取两点A和B,E为AB的中间时刻对应的点(如图所示)。
设tAE=tEB=T,由竖直向上的匀变速直线运动得FC-AF=gT2,所以T==;
由水平向上的匀速直线运动得v0==EF。
【对点训练】
(2025·曲靖高一检测)某次飞镖比赛中,选手投掷飞镖出手点与靶的水平距离为L=2.4 m,靶心距离飞镖出手点竖直向的距离为h=0.2 m,设每次出手都将飞镖以水平向垂直于靶面扔出,不计空气阻力,取g=10 m/s2。
(1)若掷出的飞镖恰好可以命中靶心,求:
①飞镖的飞行时间;
②飞镖的出手速度大小;
(2)调整靶到选手的距离后,选手以某速度第一次掷出的飞镖扎在靶上时,与靶面向夹角为60°,将靶后移40 cm后,再以同样速度出手后,飞镖扎在靶上时与靶面的夹角变为45°,求飞镖出手的速度大小。
【解析】(1)①由题意,飞镖做平抛运动,根据h=gt2可得,飞镖的飞行时间t==0.2 s。
②根据L=v0t,可得飞镖的出手速度大小为v0==12 m/s。
(2)设飞镖出手的速度大小为v'0,选手第一次掷出的飞镖扎在靶上时,与靶面向夹角为 60°,则有tan60°=,将靶后移40 cm后,再以同样速度出手后,飞镖扎在靶上时与靶面的夹角变为45°,则有tan45°=,结合x=v'0t,vy=gt, x+0.4 m=v'0(t+Δt),v'y=g(t+Δt),联立求得v'0= m/s。
答案: (1)①0.2 s　②12 m/s　 (2) m/s
三、与斜面结合的平抛运动
【典例3】A、D分别是斜面的顶端、底端,B、C是斜面上的两个点,AB=BC=CD,E点在D点的正上,与A等高,从E点水平抛出质量相等的两个小球,球1落在B点,球2落在C点,忽空气阻力。关于球1和球2从抛出到落在斜面上的运动过,下列说法正确的是 (　　)
A.球1和球2运动的时间之比为2∶1
B.球1和球2运动的时间之比为1∶2
C.球1和球2抛出时初速度之比为2∶1
D.球1和球2运动时单位时间内速度变化量之比为1∶1
【解析】选D。因为AC=2AB,所以球2的竖直位移是球1竖直位移的2倍,根据h=gt2得t=,解得运动的时间之比为t1∶t2=1∶,故A、B错误;因为BD=2CD,所以球1的水平位移是球2水平位移的2倍,根据x=v0t得v0=x,解得初速度之比为v01∶v02=2∶1,故C错误;单位时间内速度变化量即为加速度,而平抛运动的加速度都为g,相同,故D正确。
[法技巧]求解平抛运动与斜面相结合问题的法
(1)对于垂直打在斜面上的平抛运动,画出速度分解图;对于从斜面抛出,又落在斜面上的平抛运动,画出位移分解图。
(2)确定合速度(或合位移)与水平向的夹角,利用夹角确定分速度(或分位移)的关系。
(3)结合平抛运动在水平向和竖直向的位移公式或速度公式列式求解。
【对点训练】
1.如图所示,将小球从倾角为45°的斜面上的P点先后以不同速度向右水平抛出,小球分别落在斜面上的A点、B点以及水平面上的C点。已知B点为斜面底端点,P、A、B、C在水平向间隔相等。不计空气阻力,则 (　　)
A.三次抛出小球后,小球在空中飞行的时间均不相同
B.小球落到A、B两点时,其速度的向不同
C.若小球落到A、C两点,则两次抛出时小球的速率之比为∶3
D.若小球落到B、C两点,则两次抛出时小球的速率之比为∶3
【解析】选C。根据h=gt2,得t=,由于小球落到B、C时下落的高度相同,则这两次小球飞行时间相同,大于落在A处时的飞行时间,故A错误;小球落在斜面上时,竖直向的位移和水平向的位移比值一定,即有tan45°====,故=2,因此小球落在斜面上时,速度向与水平向的夹角与初速度无关,则小球落在A、B两点处的速度向相同,故B错误;小球落到A、B两点,水平位移x=v0t=,根据P、A、B在水平向间隔相等可得,两次抛出时小球的速率之比为vA∶vB=1∶;小球落到B、C两点时,运动的时间相等,而P、A、B、C在水平向间隔相等,根据v0=可知,两次抛出时小球的速率之比为vB∶vC=2∶3,所以vA∶vC=∶3,故C正确,D错误。
2.横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起,固定在水平面上,如图所示。它们的竖直边长都是底边长的一半。现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛,最后落在斜面上,其落点分别是a、b、c。下列判断正确的是 (　　)
A.落在a点的小球落在斜面上时的速度向与斜面平行
B.三小球比较,落在c点的小球飞行时间最长
C.三小球比较,落在b点的小球飞行过速度变化最快
D.无论小球抛出时初速度多大,落到斜面上时的瞬时速度都不可能与斜面垂直
【解析】选D。设落在a点的小球落在斜面上的速度向与水平向夹角为θ,位移向与水平向夹角为α,根据平抛运动的推论可知,tanθ=2tanα,即落在a点的小球落在斜面上的速度向不可能与斜面平行,故A错误;根据平抛运动规律可知,三小球飞行时间t=,落在a点的小球竖直向下落距离最大,所以落在a点的小球飞行时间最长,故B错误;三小球都做平抛运动,速度变化快慢(加速度)均相同,故C错误;通过A项的分析可知,落在a点的小球速度不可能与斜面垂直,对于落在b点的小球而言,落在斜面上时竖直向分速度为gt,水平向分速度为v0,假设落到斜面上的瞬时速度能与斜面垂直,斜面倾角为β,则=tanβ=,对应的竖直向的位移为y=gt2,水平向的位移为x=v0t=(gt)t=y,显然这是不可能满足的,同理可知,落在C点的小球速度也不可能与斜面垂直,故D正确。
3.(2025·长沙高一检测)跑酷是以日常生活的环境为运动场所的极限运动。质量m=50 kg的跑酷运动员,在水平高台上水平向右跑到高台边缘,以v0的速度从上边缘的A点水平向右跳出,运动0.6 s后落在一倾角为53°的斜面上的B点,速度向与斜面垂直。此时运动员迅速转身并调整姿势,以v0的速度从B点水平向左蹬出,刚好落到斜面的底端C点。D点为平台的下边缘点,假设该运动员可视为质点,不计空气阻力,取g=10 m/s2,sin53°=0.8,cos53°=0.6。求:
(1)运动员从高台边缘跳出的水平速度v0的大小;
(2)水平高台AD的高度H;
(3)若运动员迅速转身以v1的速度从B点水平向左蹬出,要使运动员落在地面CD上,求速度v1的最大值。
【解析】(1)根据题意可知,运动员落在斜面上时速度向与斜面垂直,由几何关系可得,此时速度与水平向的夹角为α=90°-53°=37°
由平抛运动规律有tan37°==
解得v0==8 m/s
(2)由平抛运动规律有tan53°==
解得t2=0.8 s
水平高台AD的高度H=h1+h2=g+g=5 m
(3)根据题意可知,BD的水平距离为x=v0t1=4.8 m,要使运动员落在地面CD上,速度最大时落在D点,则有x=v1t2
解得v1=6 m/s
即速度v1的最大值为6 m/s。
答案:(1)8 m/s　 (2)5 m　 (3)6 m/s
阶段诊断 请使用　单元素养检测(一)

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