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昆明市第三中学高2028届高一年级上学期期末考试
数学试题卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．已知集合，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．命题“”的否定是（ ）
A．， B．，
C． D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知某放射性同位素的含量与时间的关系式为，其中为初始含量.则当该放射性同位素的含量为时，的值约为（ ）
附：.
A．33 B．45 C．67 D．78
5．已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．12
6．已知，，则（ ）
A． B．
C．5 D．
7．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，选对但不全的得部分，有选错或不选的得0分.
9．设，，，则（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．的最小值为8
D．的最小值为
10．定义域为的函数满足，，且时，，则（ ）
A．
B．在单调递增
C．
D．不等式的解集为
11．如图，点，，是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，，则（ ）
A．
B．
C．函数在上单调递减
D．若将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知，则
13．函数的定义域为.
14．已知函数，其中，若关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是.
四、计算题：共77分.
15．已知，，向量与的夹角为．
（1）求：；
（2）若，求实数的值．
16．已知函数，．
（1）求的最小正周期和对称中心；
（2）求在区间内的单调递增区间；
（3）当时，求的值域．
17．函数（且）是定义在上的奇函数．
（1）求的值，判断的单调性，并证明；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
18. 某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座“三线桥”连接三块陆地，如图1所示，点、是固定的，点在右边河岸上.把右边河岸近似地看成直线，如图2所示，经测量直线与直线平行，、两点距离及点、到直线的距离均为100米.为了节省成本和兼顾美观，某同学给出了以下设计方案，、、三条线在点处相交，，，设.
（1）若时，求的长；
（2）①若变化时，求桥面长（的值）的最小值；
②你能给出更优的方案，使桥面长更小吗？如果能，给出你的设计方案，并说明理由.
19. 已知，
（1）证明：为定值；
（2）函数在上只有一个零点，求的取值范围；
（3）证明：有唯一的正零点，并比较和的大小，说明理由.
1．B
2．D
3．A
4．C
5．B
6．D
7．B
8．D
9.ABD
10．
11．
12．
13．
14.
15.（I）；（II）。
（1），
又，
（2），，
即，
即，得
16.（1） ，；
（2） 和；
（3） .
（1），，的最小正周期为；
，解得，
则的中心对称点为；
（2），，
当时，即时，是单调递增函数；
当时，即时，是单调递增函数；
故的单调递增区间为和；
（3），，
当 时，即 时， 取最小值为 ，
则 取最小值为 ；
当 时，即 时， 取最大值为 ，
则 取最大值为 ；
故 ，即当 时， 的值域为 .
17.（1） ， 为 上的增函数，证明见解析
（2）
（1）由题意，得 ，解得 ，
当 时，，
则 ，
所以函数 为奇函数，符合题意，故 ，
函数 为 上的增函数，
证明如下：任取 ，且 ，
则 ，
因为 ，所以 ，即 ，又 ，，
所以 ，即 ，
所以函数 为 上的增函数；
（2）由（1）得 在 上单调递增，
所以当时，，
所以对任意恒成立，等价于
在上恒成立，
当时，令，则，
易知在上单调递增，
所以，即，
当且仅当时等号成立，
所以，即实数的取值范围为。
18.（1）米
（2）①时，取得最小值为米；②答案见解析
（1）中，，，，
则，，点到的距离为，
所以米；
（2）①中，，，
设点到的距离为，
则，则，
则，
所以，
设，，
，，
所以，
所以，
当时，即时，取得最小值为米.
②当点是中垂线上，且时，桥面长更小，
证明：记，则，，
记，
因为，而，
当且仅当时等号成立，此时由最小值.
19.（1）因为，，所以
，，
所以，即为定值；
（2），设，由得，
设，则在有且只有一个零点，
①时，不满足题意.
②解得，
③解得无解，
④时，即，此时，满足题意，
⑤时，，
检验，当时，，满足题意.
当时，，不满足题意.
综上所述：的取值范围为或.
方法二：，设，，
设，令，.
由对勾函数性质知，在单调递减，上单调递增
函数在单调递增，上单调递减.
当时，；，；，，
故的图象如图所示，
由图象可知的取值范围为或.
（3）方法一：依题意可得
，
因为，在上均单调递增，所以在上单调递增，
且，，即，
由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得，
可得有唯一的正零点，且，，
可得，两边同时取对数可得，
所以，
因为在上单调递增，
所以，
因此，可得.
方法二：依题意
因为，在上均单调递增，所以在上单调递增，
且，，即，
由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得，
可得有唯一的正零点，且，即，
所以，
因为，，
所以，即，
所以。

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