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云南省文山州学年高一上学期期末数学试题
【考试时间：2026年1月30日15：00～17：00】
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟．
第I卷（选择题，共58分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚．
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知扇形的半径为1，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的大致图象为（ ）
6．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系.设时针长为1，若某时刻时针指向9点到12点之间，且针尖所在点的纵坐标为，则在经过4小时后，时针针尖所在点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
8. 已知函数的定义域为，满足，且当时，.若关于的方程在区间上共有6个实根，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期是
B. 的图象关于对称
C. 在区间上单调递增
D. 可由函数向右平移个单位（纵坐标不变）得到
10. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知定义域为的函数满足对任意的，都有，且当时，，则（ ）.
A.
B. 对任意，总有
C. 是偶函数
D. 的解集为
第II卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 由单词“deepseek”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有_______个.
13. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是_____.
14. 已知函数在区间上恰有3条对称轴，则的取值范围是______.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
16. 文山红果参是一种药食同源特色水果.红果参为草本植物，果实成熟后呈紫黑色，果肉红润酸甜，口感沙脆带青草味，可连皮带籽食用.文山州马关县凭借海拔1500米以下的独特自然条件，已成为全国最大的红果参种植基地. 某地区为了激发果农种植热情，制定了如下的补贴方案：
（i）规定补贴金额（单位：万元）是销售额（单位：万元）的函数，且函数的部分图象如图所示；
（ii）当销售额为2万元时，补贴金额为0.3万元；当销售额为12万元时，补贴金额为1.4万元.
现有以下三个函数模型供选择：①；②；
③.
（1）请你从中选择一个最合适的函数模型（无需说明理由），并求出你选择的函数模型的解析式；
（2）假设某果农2025年销售额为23.5万元，则他应得多少补贴金？
（参考数据：，，，结果保留1位小数）
17. 已知函数.
（1）若，求的最小值；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围.
18. 密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学，未加密前的原文称为明文，加密后的文字称为密文.小明是一位密码学爱好者，他设计了如下的加密算法：
，该算法的意义是将明文在加密数阵的作用下变换成密文.
（1）求明文加密数阵的作用下变换成的密文；
（2）若；
（i）求的解析式及的最小正周期；
（ii）设，求的所有零点之和.
19. 我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数，即.已知函数.
（1）求，，判断并证明函数的单调性；
（2）求证：函数的图象关于点成中心对称图形；
（3）若对，且，恒有成立，求实数的取值范围.
1．C
2．D
3．B
4．C
5．B
6.A
7.C
8.A
9．ABC
10．ACD
11.ACD
12.5
13.
14.
15.(1)
（2）
（1）原式
代入，得原式
（2）原式
将分子分母同时除以得
所以原式
.
16.（1）
(2)
（1）模型①是一次函数，是一条直线，不符合题意；
模型②是指数型函数，当时，函数图象下凹，不符合题意，
当时，函数为减函数，不合题意，
故考虑模型③：
代入点 和 ：
解得：，
因此函数解析式为：.
（2）2025年销售额 万元，代入解析式：
，
，
把，，，代入得：
，
因此：（万元），
该果农应得补贴金约2.6万元.
17.(1)0
（2）
（1），即，
令，则，，
因为，
所以当时，函数有最小值0，
所以当时，函数有最小值0；
（2），
因为，
所以，
，当且仅当时取等号，
即当且仅当时，有最小值1.
要想存在，使得成立，
只需，
所以的取值范围为.
18.（1）该算法是将明文在加密数阵的作用下变换成密文，
所以明文加密数阵的作用下变换成的密文，
即密文为；
（2）（i）该算法是将明文在加密数阵的作用下变换成密文，
所以，
所以
，
所以的最小正周期为，
所以的解析式是，的最小正周期为；
（ii）
，
因为，所以，
所以方程，在时，所求解的和问题，
转化为直线与曲线在时交点的横坐标之和问题，
由图象可知：一共有个交点， 其中，关于直线对称，
，关于直线对称，，关于直线对称，
所以的所有零点之和为。
19.（1）由题意可得 ， ，
函数上单调递增，证明如下：
因为 ，
任取 且 ，
则\（ ，
， ，， ，
，即 ，
上单调递增；
（2）证明：， ，
，
成中心对称图形；
(3)，，上单调递增，
，
又由（2）可知，即，
，即，
又因为，，
所以实数

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