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(共23张PPT)
专题二　万有引力定律的应用
01
课堂合作探究
课标准 素养目标
1.理解卫星变轨的过。 2.了解卫星变轨前后运动特点。 3.理解双星模型的含义并能解决有关问题。 4.知道多星的特点和求解的一般思路。 1.深刻理解卫星变轨的特点和规律。知道双星、多星天体的概念。(物理观念)
2.会从动力学角度分析卫星变轨过。能利用动力学内容求解双星、多星问题。(科学思维)
01
课堂合作探究
主题一　 卫星的发射、变轨和追及问题
【生活情境】
【问题探究】
嫦娥一号卫星从发射到变成绕月球做圆周运动的星体,需要多次变轨;神舟飞船发射升空后,也要不断变轨,才能与天宫二号完成对接。变轨过可简化为如图所示:
(1)卫星从发射到转移至高轨道,是怎样进行变轨的
提示:人造卫星的发射过要经过多次变轨可到达预定
轨道,如题图所示。
①为了节省能量,在赤道上顺着地球自转向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
②在A点点火加速,由于速度变大,万有引力不足以提供向心力,卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
③在B点(远地点)再次点火加速进入圆轨道Ⅲ。
(2)在上述三轨道运行时,卫星的速度v、加速度a、周期T的大小有怎样的关系
提示:速度v:设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3,在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速,则vA>v1,在B点加速,则v3>vB,又因v1>v3,故有vA>v1>v3>vB。
加速度a:因为在A点,卫星只受到万有引力作用,故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点,卫星的加速度都相同,同理,经过B点时的加速度也相同。
周期T:设卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上的运行周期分别为T1、T2、T3,轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3,由开普勒第三定律=k可知T1【结论生成】
卫星变轨的规律
(1)特点:
(2)处理法:
由==mrω2=mr=ma,分析相应轨道上的v、ω、T、a。
(3)卫星、飞船做椭圆运动:
此时可以通过开普勒第二定律讨论卫星、飞船在同一椭圆轨道上不同位置的线速度大小,或可以通过开普勒第三定律讨论卫星、飞船在不同椭圆轨道上运动的周期大小,还可以通过关系式a=讨论椭圆轨道上距地心不同距离处的加速度大小。
(4)飞船对接问题:
两飞船实现对接前应处于高低不同的两轨道上,目标船处于较高轨道,在较低轨道上运动的对接船通过合理的加速,可以提升高度并追上目标船与其完成对接。
【典例示范】
(2025·德州高一检测)神舟十八号载人飞船的发射是中国航天事业发展的重要里碑,它承载着国家荣誉、民族梦想和人类探索未知世界的渴望。如图所示,神舟十八号载人飞船发射后先在近地圆形轨道Ⅰ上运动,到达轨道a点时变轨进入椭圆轨道Ⅱ,到达b点时再次变轨进入圆轨道Ⅲ,在轨道Ⅲ上时载人飞船离地球表面的距离为h,地球表面的重力加速度为g,地球的半径为R,引力常量为G,忽地球自转。
(1)试判断载人飞船在圆轨道Ⅰ由a点进入椭圆轨道Ⅱ时是
加速还是减速,并说明理由;
(2)求地球的质量M和平均密度ρ;
(3)求载人飞船在圆轨道Ⅲ上运行时的线速度v的大小。
【解析】(1)加速,载人飞船在a点经圆轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ要做离心运动,故要加速;
(2)根据万有引力与重力的关系G=mg
所以M=
则ρ==
(3)当飞船在圆轨道Ⅲ上运行时,有G=m
所以v=
答案:(1)见解析　(2)　　(3)
【探究训练】
1.(2024·贵州适应性测试)天宫空间站运行过中因稀薄气体阻力的影响,每经过一段时间要进行轨道修正,使其回到原轨道。修正前、后天宫空间站的运动均可视为匀速圆周运动,则与修正前相比,修正后天宫空间站运行的(　　)
A.轨道半径减小　　　　 B.速率减小
C.向心加速度增大 D.周期减小
√
【解析】选B。天宫空间站运行过中因稀薄气体阻力的影响,天宫空间站的机械能减小,天宫空间站的轨道高度降低,则与修正前相比,修正后天宫空间站运行的轨道半径增大,故A错误;根据万有引力提供向心力G=m,可得v=,修正后天宫空间站运行的轨道半径增大,则速率减小,故B正确;根据牛顿第二定律G=ma,可得a=,修正后天宫空间站运行的轨道半径增大,则向心加速度减小,故C错误;根据万有引力提供向心力G=mr,可得T=2π,修正后天宫空间站运行的轨道半径增大,则周期增大,故D错误。
2.2024年11月4日1时24分,神舟十八号载人飞船舱在东风着陆场成功着陆,神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功。简化其地球过如图所示,飞船先在轨道Ⅲ上做匀速圆周运动,经过B点时通过点火变轨到轨道Ⅱ,稳定运行后,经过A点时再次变轨到轨道Ⅰ。则下列说法正确的是(　　)
A.从轨道Ⅲ变轨到轨道Ⅱ需要点火加速
B.轨道Ⅱ上经过A点的向心加速度等于轨道Ⅰ上经过A点的向心加速度
C.轨道Ⅱ上经过B点的速度大于轨道Ⅲ上经过B点的速度
D.轨道Ⅱ的周期T2与轨道Ⅲ的周期T3之比等于
√
【解析】选B。轨道Ⅲ高于轨道Ⅱ,因此,从轨道Ⅲ变轨到轨道Ⅱ需要减速,做近心运动,A错误;根据万有引力提供向心力,结合牛顿第二定律可得G=ma,解得a=,故轨道Ⅱ上经过A点的向心加速度等于轨道Ⅰ上经过A点的向心加速度,B正确;飞船在轨道Ⅲ运动,在B点时通过点火减速变轨到轨道Ⅱ,故轨道Ⅱ上经过B点的速度小于轨道Ⅲ上经过B点的速度,C错误;根据开普勒第三定律可知=,其中a=,联立解得=,D错误。
主题二　双星问题
天体情境
【问题探究】
问题:双星系统是常见的一种天体结构:指由两颗恒星组成,相距其他恒星很远,二者组成的系统相对独立,其他天体影响可以忽。
(1)双星在做圆周运动时,向心力由谁提供
提示:各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供,即=m1r1,
=m2r2。
(2)两星体的周期及角速度具有怎样的关系
提示:两颗星的周期及角速度都相同,即T1=T2,ω1=ω2。
(3)两星体做圆周运动的半径与两星体间的距离有怎样的关系
提示:两颗星的运动半径与它们之间的距离关系为:r1+r2=L。
【结论生成】
双星模型
(1)定义:绕公共圆心转动的两个星体组成的系统,我们称之为
双星系统,如图所示。
(2)特点:
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供,即=m1r1,
=m2r2。
②两颗星的周期及角速度都相同,即T1=T2,ω1=ω2。
③两颗星的运动半径与它们之间的距离关系为:r1+r2=L。
(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比,即=,星体运动的线速度与星体质量成反比,即=。
【典例示范】
科学家在地球上用望远镜观测一个由两颗小行星组成的双星系统,可观测到一个亮度周期性变化的光点,这是因为其中一个小行星挡住另一个小行星时,光点亮度会减弱。现科学家用一航天器去撞击双星系统中的一颗小行星,撞击后,科学家观测到系统光点明暗变化的时间间隔变短。若不考虑撞击引起的小行星质量变化,且撞击后该双星系统仍能稳定运行,则被航天器撞击后(　　)
A.该双星系统的运动周期不变
B.两颗小行星中心连线的距离不变
C.两颗小行星的向心加速度均变小
D.两颗小行星做圆周运动的半径之比不变
√
【解析】选D。撞击后,科学家观测到系统光点明暗变化的时间间隔变短,可知该双星系统的运动周期变小,A错误;设双星之间的距离为L,根据万有引力提供向心力可得G=MR=mr,其中R+r=L,联立解得=, T2=,可知两颗小行星中心连线的距离减小,两颗小行星做圆周运动的半径之比不变,B错误,D正确;根据牛顿第二定律G=Ma1=ma2,两颗小行星中心连线的距离减小,两颗小行星的向心加速度均变大,C错误。
【探究训练】
(多选)宇宙中有一种恒星被人们称为“吸血鬼恒星”,如图所示,所谓“吸血鬼恒星”是指一个双星系统中,体积较小的恒星通过“吸食”另一颗恒星(伴星)的物质而“返老还童”。假设两恒星中心之间的距离保持不变,忽因热核反应和辐射等因素导致的质量亏损,经过一段时间演化后,则(　　)
A.吸血鬼恒星做圆周运动的周期不变
B.两恒星之间万有引力大小保持不变
C.吸血鬼恒星的线速度增大
D.伴星的线速度增大
√
√
【解析】选A、D。假设在演化开始时,吸血鬼恒星的质量为m1,伴星的质量为m2,两者之间的中心距离为L,根据双星运动的特点,对于吸血鬼恒星有G=m1()2r1同理对于伴星G=m2()2r2,又有r1+r2=L,联立解得T=,由题意知两恒星的总质量不变,L也不变,则周期不变,故A正确;由A中分析,联立可解得r1=L, r2=L,根据题意可知,m1增大,m2减小,故r1减小,r2增大,又有v=,则吸血鬼恒星的线速度减小,伴星的线速度增大,故C错误,D正确;根据万有引力公式可知,两恒星的万有引力为F=G=G,其中M为两星的总质量,可以判断出当m1变化时,F值是变化的,故B错误。(共27张PPT)
单元复习课
01
02
思维脉图构建
核心考点突破
01
思维脉图构建
【答案速填】
①=k　 ②F=G　　　
③F=G　　　
④6.67×10-11 N·m2/kg2
⑤　　⑥　　
⑦海王星
⑧7.9 km/s
02
核心考点突破
一、万有引力定律的理解和计算
【典例1】(2025·济南高一检测)如图所示,一个质量为M的匀质实心球,半径为R。如果从球的正中心挖去一个直径为R的球,放在相距为d的地。已知引力常量为G,求两球之间的引力大小。
【解析】根据m=ρ·πr3可知,挖去部分的小球是整个实心球质量的;即挖去部分的质量为m=,
设没挖去前,对小球的引力为F,则F==,而挖去部分对小球的引力为F1==
则剩余部分对小球的引力大小为F2=F-F1=
答案:
[法技巧]
万有引力定律应用技巧
(1)万有引力定律公式只适用于计算质点间的相互作用,故求一般物体间的万有引力时,应把物体进行分割,使之能视为质点后再用F=G求质点间的各个作用力,最后求其合力。
(2)对于两个质量分布均匀的球体间的相互作用,可用万有引力定律的公式来计算,式中的r是两个球体球心间的距离;一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也可用公式F=G计算,式中r是球体球心到质点的距离。
(3)对于一般情况物体间的万有引力中学阶段无法求解,但某些特殊情况下我们应用“补偿法”可以求出其万有引力的大小。
【对点训练】
1.从“玉兔”登月到“祝融”探火,我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍,半径约为月球的2倍,“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前,“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过。悬停时,“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为(　　)
A.9∶1 B.9∶2
C.36∶1 D.72∶1
√
【解析】选B。悬停时所受平台的作用力等于万有引力,根据F=G
可得 =G:G=×2=,则B正确,A、C、D错误。
2.如图所示,空间有一半径为R、质量分布均匀的球体,球的右侧有一质量为m的可视为质点的物体,物体与球体球心O之间的距离为2R,O与物体的连线在同一水平线上,球对物体的引力大小为F1。现从球中挖走两个半径为的小球,小球的球心O1、O2与O点的连线在同一竖直线上。则剩余部分对物体的引力大小为F2。则F1∶F2为(　　)
A.34∶16　　　 B.34∶(34-16)
C.17∶16 D.17∶(17-16)
√
【解析】选D。假设大球的质量为M,则该球对物体的引力大小为F1==,挖走的一个小球质量为M'=M=,挖走的小球与物体之间的距离为r==R,挖走的一个小球与物体之间的引力大小为F=,整理得F=,设O1与物体的连线与水平向的夹角为θ,则挖走的两个小球与物体之间的引力为F0=2Fcosθ=2×=,解得F1∶F0=17∶16,F2=F1-F0,得F1∶F2=17∶(17-16),故D正确。
二、天体质量和密度的计算
【典例2】(2025·东营高一检测)科学家发现太阳系外某星系有一恒星A和一行星B,并测得行星B围绕该恒星A运动的周期是地球绕太阳运动周期的800倍,行星B与该恒星A间的距离为地球到太阳距离的90倍。假定该行星B绕恒星A运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆轨道,仅利用以上两个数据可以求出的量是(　　)
A.恒星A与太阳的质量之比
B.恒星A与太阳的密度之比
C.行星B与地球的质量之比
D.行星B表面与地球表面的重力加速度之比
√
【解析】选A。根据万有引力提供向心力可得=m()2r,解得M=,由题中已知条件,可求得恒星A和太阳的质量之比,A正确;由A项分析可求出恒星A与太阳质量之比,因为不知道恒星A与太阳的半径之比,所以不能求出恒星A与太阳的密度之比,B错误;根据关系式M=,解得的M是中心天体的质量,所以不能求出行星B与地球的质量之比,C错误;根据公式m'g=,可知g=,由于不知道行星B与地球的半径及质量关系,所以不能求出行星B表面与地球表面的重力加速度之比,D错误。
[法技巧]估算中心天体的质量和密度的两条思路
(1)测出中心天体表面的重力加速度g,
由G=mg求出M,进而求得ρ===。
(2)利用环绕天体的轨道半径r、周期T,
由G=mr可得出M=。
若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时,轨道半径r=R,则ρ==。
【对点训练】
1.(2025·青岛高一检测)三位科学家因在银河系中心发现一个超大质量的黑洞而获得了诺贝尔物理学奖,他们对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测,给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU (太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆,若认为S2所受的作用力主要为该超大质量黑洞的引力,设太阳的质量为M,可以推测出(　　)
A.黑洞质量约为4×104M
B.黑洞质量约为4×106M
C.恒星S2质量约为4×104M
D.恒星S2质量约为4×106M
√
【解析】选B。设地球的质量为m,地球到太阳的距离为r=1 AU,地球的公转周期为T=1年;由万有引力提供向心力可得G=mr,解得M=。对于S2受到黑洞的作用力,椭圆轨迹半长轴R=1 000 AU,根据图中数据结合图像可以得到S2运动的半周期为(2 002-1 994)年=8年,则周期为T'=16年,根据开普勒第三定律结合万有引力公式可以得出M黑=,其中R为S2的轨迹半长轴,因此有M黑=M,代入数据解得M黑≈4×106M,根据题中条件无法求解恒星S2的质量。
2.若地球为密度均匀的球体,其半径为R,今以地心为坐标原点,则各处重力加速度大小g与位置r的关系图为 (　　)

【解析】选D。根据万有引力与重力的关系,在地球外部G=mg,可得在地球外部重力加速度为g=∝,在地球内部G=mg,且M'=πρr3,可得在地球内部重力加速度为g==πr3=r∝r,故D正确。
√
三、天体运动与人造卫星
【典例3】(2025·邢台高一检测)中国的空间站项目是一个重要的航天工项目,展示了中国在航天技术领域的显著进步。空间站的环绕半径为某卫星环绕半径的,则下列说法正确的是(　　)
A.空间站的运行速度是该卫星运行速度的9倍
B.空间站的运行周期是该卫星运行周期的27倍
C.空间站的运行角速度是该卫星运行角速度的27倍
D.空间站的运行向心加速度是该卫星运行向心加速度的9倍
√
【解析】选C。设地球质量为M,绕地做匀速圆周运动的物体质量为m,其环绕半径为r,线速度为v,周期为T,角速度为ω,加速度为a,则由万有引力提供向心力得=m=mr=mω2r=ma,解得v=,T=2π,ω=,a=,由于空间站的环绕半径为某卫星环绕半径的,可得=,=,=,=。
[法技巧]
1.卫星的各物理量随轨道半径变化的规律:
G=越高越慢
2.宇宙多星模型的规律:
(1)“双星”模型。
①两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的,故两行星做匀速圆周运动的向心力大小相等。
②两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动,因此它们的运行周期和角速度是相等的。
③两颗行星做匀速圆周运动的半径r1和r2与两行星间距L的大小关系: r1+r2=L。
(2)“三星”模型。
①如图所示,三颗质量相等的行星,一颗行星位于中心位置不动,另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上,中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力:+=ma
两行星转动的向相同,周期、角速度、线速度的大小相等。
②如图所示,三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处,都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。
×2×cos30°=ma
其中L=2rcos30°。
三颗行星转动的向相同,周期、角速度、线速度的大小相等。
【对点训练】
1.“天通一号”系列卫星均位于36 000千米的地球同步轨道,单颗卫星可以覆盖地球面积的三分之一,其离地高度约为地球半径的5倍。关于该系列卫星,下列说法正确的是(　　)
A.“天通一号”系列卫星速率大于7.9 km/s
B.“天通一号”系列卫星质量越大速率越小
C.为了实现球通信,至少需要部署三颗卫星
D.“天通一号”系列卫星的向心加速度约为地表重力加速度的
√
【解析】选C。根据=m,解得v=,7.9 km/s是近地卫星的线速度,也是卫星最大的环绕速度,可知“天通一号”系列卫星速率小于7.9 km/s,A错误;由A选项分析,可知“天通一号”系列卫星速率与轨道的高度有关,与其质量无关,B错误;依题意,单颗卫星可以覆盖地球面积的三分之一,为了实现球通信,至少需要部署三颗卫星,C正确;根据=mg,=ma,可得=,即“天通一号”系列卫星的向心加速度约为地表重力加速度的,故D错误。
2.某双星系统由两颗质量近似相等的恒星组成,科学家发现,该双星系统周期的理论计算值是实际观测周期的k倍(k>1)。科学家推测该现象是由两恒星连线中点的一个黑洞造成的,则该黑洞的质量与该双星系统中一颗恒星质量的比值为 (　　)
A.　　B.　　C.　　D.
√
【解析】选A。设两恒星的质量均为m,两恒星之间的距离为l,根据万有引力提供向心力,则有=m·,解得T理论=πl;设黑洞的质量为m',同理有+=m·,解得T观测=πl,又因为T理论=kT观测,联立解得=,故A正确,B、C、D错误。专题二　万有引力定律的应用
课标准 素养目标
1.理解卫星变轨的过。 2.了解卫星变轨前后运动特点。 3.理解双星模型的含义并能解决有关问题。 4.知道多星的特点和求解的一般思路。 1.深刻理解卫星变轨的特点和规律。知道双星、多星天体的概念。 (物理观念) 2.会从动力学角度分析卫星变轨过。能利用动力学内容求解双星、多星问题。 (科学思维)
课堂合作探究
主题一　 卫星的发射、变轨和追及问题
【生活情境】
【问题探究】
嫦娥一号卫星从发射到变成绕月球做圆周运动的星体,需要多次变轨;神舟飞船发射升空后,也要不断变轨,才能与天宫二号完成对接。变轨过可简化为如图所示:
(1)卫星从发射到转移至高轨道,是怎样进行变轨的
提示:人造卫星的发射过要经过多次变轨可到达预定轨道,如题图所示。
①为了节省能量,在赤道上顺着地球自转向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
②在A点点火加速,由于速度变大,万有引力不足以提供向心力,卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
③在B点(远地点)再次点火加速进入圆轨道Ⅲ。
(2)在上述三轨道运行时,卫星的速度v、加速度a、周期T的大小有怎样的关系
提示:速度v:设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3,在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速,则vA>v1,在B点加速,则v3>vB,又因v1>v3,故有vA>v1>v3>vB。
加速度a:因为在A点,卫星只受到万有引力作用,故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点,卫星的加速度都相同,同理,经过B点时的加速度也相同。
周期T:设卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上的运行周期分别为T1、T2、T3,轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3,由开普勒第三定律=k可知T1【结论生成】
卫星变轨的规律
(1)特点:
(2)处理法:
由==mrω2=mr=ma,分析相应轨道上的v、ω、T、a。
(3)卫星、飞船做椭圆运动:
此时可以通过开普勒第二定律讨论卫星、飞船在同一椭圆轨道上不同位置的线速度大小,或可以通过开普勒第三定律讨论卫星、飞船在不同椭圆轨道上运动的周期大小,还可以通过关系式a=讨论椭圆轨道上距地心不同距离处的加速度大小。
(4)飞船对接问题:
两飞船实现对接前应处于高低不同的两轨道上,目标船处于较高轨道,在较低轨道上运动的对接船通过合理的加速,可以提升高度并追上目标船与其完成对接。
【典例示范】
(2025·德州高一检测)神舟十八号载人飞船的发射是中国航天事业发展的重要里碑,它承载着国家荣誉、民族梦想和人类探索未知世界的渴望。如图所示,神舟十八号载人飞船发射后先在近地圆形轨道Ⅰ上运动,到达轨道a点时变轨进入椭圆轨道Ⅱ,到达b点时再次变轨进入圆轨道Ⅲ,在轨道Ⅲ上时载人飞船离地球表面的距离为h,地球表面的重力加速度为g,地球的半径为R,引力常量为G,忽地球自转。
(1)试判断载人飞船在圆轨道Ⅰ由a点进入椭圆轨道Ⅱ时是加速还是减速,并说明理由;
(2)求地球的质量M和平均密度ρ;
(3)求载人飞船在圆轨道Ⅲ上运行时的线速度v的大小。
【解析】(1)加速,载人飞船在a点经圆轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ要做离心运动,故要加速;
(2)根据万有引力与重力的关系G=mg
所以M=
则ρ==
(3)当飞船在圆轨道Ⅲ上运行时,有G=m
所以v=
答案:(1)见解析　(2)　　(3)
【探究训练】
1.(2024·贵州适应性测试)天宫空间站运行过中因稀薄气体阻力的影响,每经过一段时间要进行轨道修正,使其回到原轨道。修正前、后天宫空间站的运动均可视为匀速圆周运动,则与修正前相比,修正后天宫空间站运行的 (　　)
A.轨道半径减小　　　　 B.速率减小
C.向心加速度增大 D.周期减小
【解析】选B。天宫空间站运行过中因稀薄气体阻力的影响,天宫空间站的机械能减小,天宫空间站的轨道高度降低,则与修正前相比,修正后天宫空间站运行的轨道半径增大,故A错误;根据万有引力提供向心力G=m,可得v=,修正后天宫空间站运行的轨道半径增大,则速率减小,故B正确;根据牛顿第二定律G=ma,可得a=,修正后天宫空间站运行的轨道半径增大,则向心加速度减小,故C错误;根据万有引力提供向心力G=mr,可得T=2π,修正后天宫空间站运行的轨道半径增大,则周期增大,故D错误。
2.2024年11月4日1时24分,神舟十八号载人飞船舱在东风着陆场成功着陆,神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功。简化其地球过如图所示,飞船先在轨道Ⅲ上做匀速圆周运动,经过B点时通过点火变轨到轨道Ⅱ,稳定运行后,经过A点时再次变轨到轨道Ⅰ。则下列说法正确的是(　　)
A.从轨道Ⅲ变轨到轨道Ⅱ需要点火加速
B.轨道Ⅱ上经过A点的向心加速度等于轨道Ⅰ上经过A点的向心加速度
C.轨道Ⅱ上经过B点的速度大于轨道Ⅲ上经过B点的速度
D.轨道Ⅱ的周期T2与轨道Ⅲ的周期T3之比等于
【解析】选B。轨道Ⅲ高于轨道Ⅱ,因此,从轨道Ⅲ变轨到轨道Ⅱ需要减速,做近心运动,A错误;根据万有引力提供向心力,结合牛顿第二定律可得G=ma,解得a=,故轨道Ⅱ上经过A点的向心加速度等于轨道Ⅰ上经过A点的向心加速度,B正确;飞船在轨道Ⅲ运动,在B点时通过点火减速变轨到轨道Ⅱ,故轨道Ⅱ上经过B点的速度小于轨道Ⅲ上经过B点的速度,C错误;根据开普勒第三定律可知=,其中a=,联立解得=,D错误。
主题二　双星问题
天体情境
【问题探究】
问题:双星系统是常见的一种天体结构:指由两颗恒星组成,相距其他恒星很远,二者组成的系统相对独立,其他天体影响可以忽。
(1)双星在做圆周运动时,向心力由谁提供
提示:各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供,即=m1r1,=m2r2。
(2)两星体的周期及角速度具有怎样的关系
提示:两颗星的周期及角速度都相同,即T1=T2,ω1=ω2。
(3)两星体做圆周运动的半径与两星体间的距离有怎样的关系
提示:两颗星的运动半径与它们之间的距离关系为:r1+r2=L。
【结论生成】
双星模型
(1)定义:绕公共圆心转动的两个星体组成的系统,我们称之为双星系统,如图所示。
(2)特点:
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供,即=m1r1,=m2r2。
②两颗星的周期及角速度都相同,即T1=T2,ω1=ω2。
③两颗星的运动半径与它们之间的距离关系为:r1+r2=L。
(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比,即=,星体运动的线速度与星体质量成反比,即=。
【典例示范】
科学家在地球上用望远镜观测一个由两颗小行星组成的双星系统,可观测到一个亮度周期性变化的光点,这是因为其中一个小行星挡住另一个小行星时,光点亮度会减弱。现科学家用一航天器去撞击双星系统中的一颗小行星,撞击后,科学家观测到系统光点明暗变化的时间间隔变短。若不考虑撞击引起的小行星质量变化,且撞击后该双星系统仍能稳定运行,则被航天器撞击后 (　　)
A.该双星系统的运动周期不变
B.两颗小行星中心连线的距离不变
C.两颗小行星的向心加速度均变小
D.两颗小行星做圆周运动的半径之比不变
【解析】选D。撞击后,科学家观测到系统光点明暗变化的时间间隔变短,可知该双星系统的运动周期变小,A错误;设双星之间的距离为L,根据万有引力提供向心力可得G=MR=mr,其中R+r=L,联立解得=,T2=,可知两颗小行星中心连线的距离减小,两颗小行星做圆周运动的半径之比不变,B错误,D正确;根据牛顿第二定律G=Ma1=ma2,两颗小行星中心连线的距离减小,两颗小行星的向心加速度均变大,C错误。
【探究训练】
(多选)宇宙中有一种恒星被人们称为“吸血鬼恒星”,如图所示,所谓“吸血鬼恒星”是指一个双星系统中,体积较小的恒星通过“吸食”另一颗恒星(伴星)的物质而“返老还童”。假设两恒星中心之间的距离保持不变,忽因热核反应和辐射等因素导致的质量亏损,经过一段时间演化后,则 (　　)
A.吸血鬼恒星做圆周运动的周期不变
B.两恒星之间万有引力大小保持不变
C.吸血鬼恒星的线速度增大
D.伴星的线速度增大
【解析】选A、D。假设在演化开始时,吸血鬼恒星的质量为m1,伴星的质量为m2,两者之间的中心距离为L,根据双星运动的特点,对于吸血鬼恒星有G=m1()2r1同理对于伴星G=m2()2r2,又有r1+r2=L,联立解得T=,由题意知两恒星的总质量不变,L也不变,则周期不变,故A正确;由A中分析,联立可解得r1=L,r2=L,根据题意可知,m1增大,m2减小,故r1减小,r2增大,又有v=,则吸血鬼恒星的线速度减小,伴星的线速度增大,故C错误,D正确;根据万有引力公式可知,两恒星的万有引力为F=G=G,其中M为两星的总质量,可以判断出当m1变化时,F值是变化的,故B错误。
课时巩固 请使用　课时素养检测 十五单元复习课
思维脉图构建
【答案速填】
①=k　　　②F=G　　　③F=G　　　④6.67×10-11 N·m2/kg2
⑤　　⑥　　⑦海王星 　　⑧7.9 km/s
核心考点突破
一、万有引力定律的理解和计算
【典例1】(2025·济南高一检测)如图所示,一个质量为M的匀质实心球,半径为R。如果从球的正中心挖去一个直径为R的球,放在相距为d的地。已知引力常量为G,求两球之间的引力大小。
【解析】根据m=ρ·πr3可知,挖去部分的小球是整个实心球质量的;即挖去部分的质量为m=,
设没挖去前,对小球的引力为F,则F==,而挖去部分对小球的引力为F1==
则剩余部分对小球的引力大小为F2=F-F1=
答案:
[法技巧]
万有引力定律应用技巧
(1)万有引力定律公式只适用于计算质点间的相互作用,故求一般物体间的万有引力时,应把物体进行分割,使之能视为质点后再用F=G求质点间的各个作用力,最后求其合力。
(2)对于两个质量分布均匀的球体间的相互作用,可用万有引力定律的公式来计算,式中的r是两个球体球心间的距离;一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也可用公式F=G计算,式中r是球体球心到质点的距离。
(3)对于一般情况物体间的万有引力中学阶段无法求解,但某些特殊情况下我们应用“补偿法”可以求出其万有引力的大小。
【对点训练】
1.从“玉兔”登月到“祝融”探火,我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍,半径约为月球的2倍,“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前,“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过。悬停时,“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为 (　　)
A.9∶1 B.9∶2
C.36∶1 D.72∶1
【解析】选B。悬停时所受平台的作用力等于万有引力,根据F=G
可得 =G:G=×2=,则B正确,A、C、D错误。
2.如图所示,空间有一半径为R、质量分布均匀的球体,球的右侧有一质量为m的可视为质点的物体,物体与球体球心O之间的距离为2R,O与物体的连线在同一水平线上,球对物体的引力大小为F1。现从球中挖走两个半径为的小球,小球的球心O1、O2与O点的连线在同一竖直线上。则剩余部分对物体的引力大小为F2。则F1∶F2为 (　　)
A.34∶16　　　 B.34∶(34-16)
C.17∶16 D.17∶(17-16)
【解析】选D。假设大球的质量为M,则该球对物体的引力大小为F1==,挖走的一个小球质量为M'=M=,挖走的小球与物体之间的距离为r==R,挖走的一个小球与物体之间的引力大小为F=,整理得F=,设O1与物体的连线与水平向的夹角为θ,则挖走的两个小球与物体之间的引力为F0=2Fcosθ=2×=,解得F1∶F0=17∶16,F2=F1-F0,得F1∶F2=17∶(17-16),故D正确。
二、天体质量和密度的计算
【典例2】(2025·东营高一检测)科学家发现太阳系外某星系有一恒星A和一行星B,并测得行星B围绕该恒星A运动的周期是地球绕太阳运动周期的800倍,行星B与该恒星A间的距离为地球到太阳距离的90倍。假定该行星B绕恒星A运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆轨道,仅利用以上两个数据可以求出的量是 (　　)
A.恒星A与太阳的质量之比
B.恒星A与太阳的密度之比
C.行星B与地球的质量之比
D.行星B表面与地球表面的重力加速度之比
【解析】选A。根据万有引力提供向心力可得=m()2r,解得M=,由题中已知条件,可求得恒星A和太阳的质量之比,A正确;由A项分析可求出恒星A与太阳质量之比,因为不知道恒星A与太阳的半径之比,所以不能求出恒星A与太阳的密度之比,B错误;根据关系式M=,解得的M是中心天体的质量,所以不能求出行星B与地球的质量之比,C错误;根据公式m'g=,可知g=,由于不知道行星B与地球的半径及质量关系,所以不能求出行星B表面与地球表面的重力加速度之比,D错误。
[法技巧]估算中心天体的质量和密度的两条思路
(1)测出中心天体表面的重力加速度g,
由G=mg求出M,进而求得ρ===。
(2)利用环绕天体的轨道半径r、周期T,
由G=mr可得出M=。
若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时,轨道半径r=R,则ρ==。
【对点训练】
1.(2025·青岛高一检测)三位科学家因在银河系中心发现一个超大质量的黑洞而获得了诺贝尔物理学奖,他们对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测,给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆,若认为S2所受的作用力主要为该超大质量黑洞的引力,设太阳的质量为M,可以推测出 (　　)
A.黑洞质量约为4×104M
B.黑洞质量约为4×106M
C.恒星S2质量约为4×104M
D.恒星S2质量约为4×106M
【解析】选B。设地球的质量为m,地球到太阳的距离为r=1 AU,地球的公转周期为T=1年;由万有引力提供向心力可得G=mr,解得M=。对于S2受到黑洞的作用力,椭圆轨迹半长轴R=1 000 AU,根据图中数据结合图像可以得到S2运动的半周期为(2 002-1 994)年=8年,则周期为T'=16年,根据开普勒第三定律结合万有引力公式可以得出M黑=,其中R为S2的轨迹半长轴,因此有M黑=M,代入数据解得M黑≈4×106M,根据题中条件无法求解恒星S2的质量。
2.若地球为密度均匀的球体,其半径为R,今以地心为坐标原点,则各处重力加速度大小g与位置r的关系图为 (　　)
【解析】选D。根据万有引力与重力的关系,在地球外部G=mg,可得在地球外部重力加速度为g=∝,在地球内部G=mg,且M'=πρr3,可得在地球内部重力加速度为g==πr3=r∝r,故D正确。
三、天体运动与人造卫星
【典例3】(2025·邢台高一检测)中国的空间站项目是一个重要的航天工项目,展示了中国在航天技术领域的显著进步。空间站的环绕半径为某卫星环绕半径的,则下列说法正确的是 (　　)
A.空间站的运行速度是该卫星运行速度的9倍
B.空间站的运行周期是该卫星运行周期的27倍
C.空间站的运行角速度是该卫星运行角速度的27倍
D.空间站的运行向心加速度是该卫星运行向心加速度的9倍
【解析】选C。设地球质量为M,绕地做匀速圆周运动的物体质量为m,其环绕半径为r,线速度为v,周期为T,角速度为ω,加速度为a,则由万有引力提供向心力得=m=mr=mω2r=ma,解得v=,T=2π,ω=,a=,由于空间站的环绕半径为某卫星环绕半径的,可得=,=,=,=。
[法技巧]
1.卫星的各物理量随轨道半径变化的规律:
G=越高越慢
2.宇宙多星模型的规律:
(1)“双星”模型。
①两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的,故两行星做匀速圆周运动的向心力大小相等。
②两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动,因此它们的运行周期和角速度是相等的。
③两颗行星做匀速圆周运动的半径r1和r2与两行星间距L的大小关系:r1+r2=L。
(2)“三星”模型。
①如图所示,三颗质量相等的行星,一颗行星位于中心位置不动,另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上,中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力:+=ma
两行星转动的向相同,周期、角速度、线速度的大小相等。
②如图所示,三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处,都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。
×2×cos30°=ma
其中L=2rcos30°。
三颗行星转动的向相同,周期、角速度、线速度的大小相等。
【对点训练】
1.“天通一号”系列卫星均位于36 000千米的地球同步轨道,单颗卫星可以覆盖地球面积的三分之一,其离地高度约为地球半径的5倍。关于该系列卫星,下列说法正确的是 (　　)
A.“天通一号”系列卫星速率大于7.9 km/s
B.“天通一号”系列卫星质量越大速率越小
C.为了实现球通信,至少需要部署三颗卫星
D.“天通一号”系列卫星的向心加速度约为地表重力加速度的
【解析】选C。根据=m,解得v=,7.9 km/s是近地卫星的线速度,也是卫星最大的环绕速度,可知“天通一号”系列卫星速率小于7.9 km/s,A错误;由A选项分析,可知“天通一号”系列卫星速率与轨道的高度有关,与其质量无关,B错误;依题意,单颗卫星可以覆盖地球面积的三分之一,为了实现球通信,至少需要部署三颗卫星,C正确;根据=mg,=ma,可得=,即“天通一号”系列卫星的向心加速度约为地表重力加速度的,故D错误。
2.某双星系统由两颗质量近似相等的恒星组成,科学家发现,该双星系统周期的理论计算值是实际观测周期的k倍(k>1)。科学家推测该现象是由两恒星连线中点的一个黑洞造成的,则该黑洞的质量与该双星系统中一颗恒星质量的比值为 (　　)
A.　　B.　　C.　　D.
【解析】选A。设两恒星的质量均为m,两恒星之间的距离为l,根据万有引力提供向心力,则有=m·,解得T理论=πl;设黑洞的质量为m',同理有+=m·,解得T观测=πl,又因为T理论=kT观测,联立解得=,故A正确,B、C、D错误。
阶段诊断 请使用　单元素养检测(三)

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