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北师大版（2024）八年级下册 1.1 三角形内角和定理 题型专练
【题型1】已知两角求第三角的大小
【典例】在△ABC中，已知∠A＝55°，∠B＝35°，则这个三角形是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【强化训练1】如图，已知∠A＝36°，∠ADC＝100°，BE⊥AC于点E．则∠B的度数为(　　)
A.46° B.44° C.40° D.36°
【强化训练2】如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得剩余两个角的度数为44°，68°，于是他很快判断这个三角形是(　　)
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
【强化训练3】如图，在△ABC中，点D为BC边延长线上的一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，若∠A＝40°，∠D＝50°，则∠ACB的度数为(　　)
A.80° B.90° C.100° D.105°
【强化训练4】在△ABC中，已知∠A＝55°，∠B＝35°，则这个三角形是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【强化训练5】在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为 　　．
【强化训练6】在△ABC中，若∠A＝43°，∠B＝47°，则这个三角形是 　 　．
【强化训练7】三角形三个内角度数之比为1:2:3，其中最大的角度数为 　　．
【强化训练8】如图，点E，D分别在AB，AC上．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠1+∠2＝　　°．
【题型2】已知两角或三角的数量关系求三角形内角
【典例】已知△ABC的三个内角度数之比为3:4:5，则此三角形是(　　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定
【强化训练1】在△ABC中，∠A+∠B＝141°，∠C+∠B＝165°，则△ABC的形状是(　　)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不存在这样的三角形
【强化训练2】若△ABC中一个内角是另外两个内角的差，则△ABC是 　 　．
【强化训练3】如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，且∠ABD＝∠A，∠C＝3∠A．
(1)求△ABC各内角的度数；
(2)求∠ADB的度数．
【强化训练4】在△ABC中，∠B＝3∠A，∠C＝∠B+40°，求△ABC的各内角度数．
【题型3】三角形内角和与平行线问题
【典例】如图，AB∥CD，∠D＝42°，∠CBA＝64°，则∠CBD的度数是(　　)
A.42° B.64° C.74° D.106°
【强化训练1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B＝50°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为(　　)
A.80° B.30° C.35° D.50°
【强化训练2】如图，在△ABC中，∠B＝40°，过点C作DE∥AB，∠ACD＝65°，则∠ACB的度数为(　　)
A.60° B.65° C.70° D.75°
【强化训练3】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B＝50°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为(　　)
A.80° B.30° C.35° D.50°
【强化训练4】如图，△DAF沿直线AD平移得到△CDE，CE，AF的延长线交于点B．若∠AFD＝111°，则∠CED的度数为(　　)
A.69° B.111° C.112° D.113°
【强化训练5】如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，点E在AC上，DE∥BC，若∠A＝62°，∠B＝74°，求∠EDC的度数．
【强化训练6】如图，D，E，F，G是△ABC边上的点，∠ABC＝∠ADE，∠DEB＝∠GFC．
(1)求证：BE∥GF；
(2)若BE平分∠ABC，∠BDE＝110°，∠C＝50°，求∠CGF的度数．
【题型4】与三角形高线，角平分线相关的问题
【典例】如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是(　　)
A.59° B.60° C.56° D.22°
【强化训练1】如图，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，若∠BDE＝50°，则∠A的度数是(　　)
A.40° B.50° C.60° D.70°
【强化训练2】如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F，∠EFC＝50°，则∠A的度数为 　 　．
【强化训练3】如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，∠A＝54°，∠B＝48°，求∠CDE的度数．
【题型5】三角形内角和的实际应用
【典例】如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇C在其北偏东62°的方向上，此时一艘客船在B处看见巡逻艇C在其北偏东13°的方向上．则此时在巡逻艇上看这两艘船的视角∠ACB的度数是(　　)
A.13° B.49° C.62° D.75°
【强化训练1】如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是(　　)
A.30° B.35° C.40° D.45°
【强化训练2】如图，某轮船上午8时在A处测得灯塔S在其北偏东60°的方向上，向东行驶至中午12时，在B处测得灯塔S在其北偏西30°的方向上(自己完成图形)，已知轮船行驶的速度为20 km/h，则∠ASB＝________，AB的长为________km.
【强化训练3】如图是一种躺椅及其侧面结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当OE⊥OF，且∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，求此时∠ANM的度数．北师大版（2024）八年级下册 1.1 三角形内角和定理 题型专练（参考答案）
【题型1】已知两角求第三角的大小
【典例】在△ABC中，已知∠A＝55°，∠B＝35°，则这个三角形是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【答案】B
【解析】∵∠A＝55°，∠B＝35°，
∴180°﹣35°﹣55°＝90°，
所以三角形是一个直角三角形．
故选：B．
【强化训练1】如图，已知∠A＝36°，∠ADC＝100°，BE⊥AC于点E．则∠B的度数为(　　)
A.46° B.44° C.40° D.36°
【答案】A
【解析】在△ACD中，∠A＝36°，∠ADC＝100°，
∴∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝180°﹣36°﹣100°＝44°．
在△BCE中，∠BCE＝44°，BE⊥AC于点E，
∴∠B＝90°﹣∠BCE＝90°﹣44°＝46°．
故选：A．
【强化训练2】如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得剩余两个角的度数为44°，68°，于是他很快判断这个三角形是(　　)
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
【答案】B
【解析】如图所示，
依题意得∠A＝44°，∠B＝68°，
由三角形的内角和定理得∠C＝180°﹣(∠A+∠C)＝180°﹣(44°+68°)＝68°，
∴∠B＝∠C＝68°．
∴△ABC为等腰三角形．
故选：B．
【强化训练3】如图，在△ABC中，点D为BC边延长线上的一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，若∠A＝40°，∠D＝50°，则∠ACB的度数为(　　)
A.80° B.90° C.100° D.105°
【答案】C
【解析】∵DF⊥AB，
∴∠BFD＝90°．
∵∠BFD+∠D+∠B＝180°，
∴∠B＝40°．
∵∠ACB+∠A+∠B＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
故选：C．
【强化训练4】在△ABC中，已知∠A＝55°，∠B＝35°，则这个三角形是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【答案】B
【解析】∵∠A＝55°，∠B＝35°，
∴180°﹣35°﹣55°＝90°，
所以三角形是一个直角三角形．
故选：B．
【强化训练5】在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为 　　．
【答案】60°
【解析】∵∠B＝40°，∠C＝80°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°．
故答案为：60°．
【强化训练6】在△ABC中，若∠A＝43°，∠B＝47°，则这个三角形是 　 　．
【答案】直角三角形
【解析】∵∠A＝43°，∠B＝47°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形.
故答案为：直角三角形．
【强化训练7】三角形三个内角度数之比为1:2:3，其中最大的角度数为 　　．
【答案】90°
【解析】若三角形三个内角度数的比为1:2:3，
设一个角是x度，则另两角分别是2x度，3x度．
根据三角形内角和定理得到x+2x+3x＝180，
解得x＝30．
则最大的角是3x＝90．
故答案为：90°．
【强化训练8】如图，点E，D分别在AB，AC上．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠1+∠2＝　　°．
【答案】80
【解析】∵∠1+∠2+∠A＝180°，∠B+∠C+∠A＝180°，
∴∠1+∠2＝∠B+∠C，
∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠1+∠2＝∠B+∠C＝30°+50°＝80°．
故答案为：80．
【题型2】已知两角或三角的数量关系求三角形内角
【典例】已知△ABC的三个内角度数之比为3:4:5，则此三角形是(　　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定
【答案】A
【解析】∵△ABC的三个内角度数之比为3:4:5，
∴设三角的度数分别为3x°，4x°，5x°，
∴3x+4x+5x＝180，
解得x＝15，
∴三个内角的度数分别为45°，60°，75°，
∴此三角形为锐角三角形．
故选：A．
【强化训练1】在△ABC中，∠A+∠B＝141°，∠C+∠B＝165°，则△ABC的形状是(　　)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不存在这样的三角形
【答案】C
【解析】由题意，得，
③﹣①，得∠C＝39°，
③﹣②，得∠A＝15°，
∴∠B＝126°．
∴该三角形是钝角三角形．
故选：C．
【强化训练2】若△ABC中一个内角是另外两个内角的差，则△ABC是 　 　．
【答案】直角三角形
【解析】在△ABC中，设∠A＝∠B﹣∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C＝∠B﹣∠C+∠B+∠C＝2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【强化训练3】如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，且∠ABD＝∠A，∠C＝3∠A．
(1)求△ABC各内角的度数；
(2)求∠ADB的度数．
【答案】解：(1)∵BD是∠ABC的平分线，∠ABD＝∠A，
∴∠CBD＝∠ABD＝∠A，
∴∠ABC＝∠CBD+∠ABD＝2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠A+2∠A+3∠A＝180°，
∴∠A＝30°，
∴∠ABC＝2∠A＝60°，∠C＝3∠A＝90°.
(2)由(1)可知∠ABD＝∠A＝30°，
∵∠ADB+∠ABD+∠A＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣(∠ABD+∠A)＝120°．
【强化训练4】在△ABC中，∠B＝3∠A，∠C＝∠B+40°，求△ABC的各内角度数．
【答案】解：∵∠B＝3∠A，∠C＝∠B+40°，
∴∠C＝3∠A+40°．
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+3∠A+3∠A+40°＝180°，
∴7∠A＝140°，
∴∠A＝20°，
∴∠B＝3∠A＝60°，∠C＝∠B+40°＝100°．
【题型3】三角形内角和与平行线问题
【典例】如图，AB∥CD，∠D＝42°，∠CBA＝64°，则∠CBD的度数是(　　)
A.42° B.64° C.74° D.106°
【答案】C
【强化训练1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B＝50°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为(　　)
A.80° B.30° C.35° D.50°
【答案】C
【解析】∵∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC＝35°，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠DAC＝35°.
故选：C．
【强化训练2】如图，在△ABC中，∠B＝40°，过点C作DE∥AB，∠ACD＝65°，则∠ACB的度数为(　　)
A.60° B.65° C.70° D.75°
【答案】D
【强化训练3】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B＝50°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为(　　)
A.80° B.30° C.35° D.50°
【答案】C
【解析】∵∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC＝35°，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠DAC＝35°.
故选：C．
【强化训练4】如图，△DAF沿直线AD平移得到△CDE，CE，AF的延长线交于点B．若∠AFD＝111°，则∠CED的度数为(　　)
A.69° B.111° C.112° D.113°
【答案】B
【解析】∵△DAF沿直线AD平移得到△CDE，
∴∠CED＝∠AFD＝111°.
故选：B．
【强化训练5】如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，点E在AC上，DE∥BC，若∠A＝62°，∠B＝74°，求∠EDC的度数．
【答案】解：在△ABC中，∠A＝62°，∠B＝74°，
∴∠ACB＝180°﹣62°﹣74°＝44°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝22°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝22°．
【强化训练6】如图，D，E，F，G是△ABC边上的点，∠ABC＝∠ADE，∠DEB＝∠GFC．
(1)求证：BE∥GF；
(2)若BE平分∠ABC，∠BDE＝110°，∠C＝50°，求∠CGF的度数．
【答案】(1)证明：∵∠ABC＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠BED＝∠EBC，
∵∠DEB＝∠GFC，
∴∠EBC＝∠GFC，
∴BE∥GF.
(2)解：∵DE∥BC，
∴∠BDE+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BDE＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABC＝35°，
∵BE∥GF，
∴∠GFC＝∠EBC＝35°，
∵∠C+∠GFC+∠CGF＝180°，
∴∠CGF＝180°﹣∠C﹣∠GFC＝95°．
【题型4】与三角形高线，角平分线相关的问题
【典例】如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是(　　)
A.59° B.60° C.56° D.22°
【答案】A
【解析】∵BE为△ABC的高，
∴∠AEB＝90°.
∵∠C＝70°，∠ABC＝48°，
∴∠CAB＝62°，
∵AF是角平分线，
∴∠1＝∠CAB＝31°，
在△AEF中，∠EFA＝180°﹣31°﹣90°＝59°．
∴∠3＝∠EFA＝59°.
故选：A．
【强化训练1】如图，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，若∠BDE＝50°，则∠A的度数是(　　)
A.40° B.50° C.60° D.70°
【答案】B
【解析】∵DE∥AB，∠BDE＝50°，
∴∠ABD＝∠BDE＝50°，
而BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD＝100°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣100°﹣30°＝50°．
故选：B．
【强化训练2】如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F，∠EFC＝50°，则∠A的度数为 　 　．
【答案】80°
【解析】∵∠EFC＝50°，
∴∠BFC＝180°﹣∠EFC＝130°，
∴∠FBC+∠FCB＝180°﹣∠BFC＝50°，
∵∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F，
∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠ABC+∠ACB＝2(∠FBC+∠FCB)＝100°，
∴∠A＝180°﹣(∠ABC+∠ACB)＝80°．
故答案为：80°．
【强化训练3】如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，∠A＝54°，∠B＝48°，求∠CDE的度数．
【答案】解：∵∠A＝54°，∠B＝48°，
∴∠ACB＝180°﹣54°﹣48°＝78°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD＝39°．
【题型5】三角形内角和的实际应用
【典例】如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇C在其北偏东62°的方向上，此时一艘客船在B处看见巡逻艇C在其北偏东13°的方向上．则此时在巡逻艇上看这两艘船的视角∠ACB的度数是(　　)
A.13° B.49° C.62° D.75°
【答案】B
【解析】由题意得，∠CAB＝90°﹣62°＝28°，∠ABC＝90°+13°＝103°，
∴∠ACB＝180° ∠CAB﹣∠ABC＝49°．
故选：B．
【强化训练1】如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是(　　)
A.30° B.35° C.40° D.45°
【答案】C
【解析】如图，
由题意得∠5＝180°﹣(∠1+∠2)＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣(∠3+∠4)＝180°﹣2∠3，
∵∠α＝70°，
∴∠2+∠3＝180°﹣∠α＝110°，
∵∠β＝180°﹣(∠5+∠6)
∴∠β＝180°﹣(180°﹣2∠2+180°﹣2∠3)
＝2(∠2+∠3)﹣180°
＝2×110°﹣180°
＝220°﹣180°
＝40°．
故选：C．
【强化训练2】如图，某轮船上午8时在A处测得灯塔S在其北偏东60°的方向上，向东行驶至中午12时，在B处测得灯塔S在其北偏西30°的方向上(自己完成图形)，已知轮船行驶的速度为20 km/h，则∠ASB＝________，AB的长为________km.
【答案】90°；80
【解析】由图可知，
∠SAB＝90°－∠SAD＝90°－60°＝30°，∠SBA＝90°－∠SBC＝90°－30°＝60°，
∴∠ASB＝180°－∠SAB－∠SBA＝180°－30°－60°＝90°，
∴AB＝20×(12－8)＝80(km)．
故答案为：90°；80.
【强化训练3】如图是一种躺椅及其侧面结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当OE⊥OF，且∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，求此时∠ANM的度数．
【答案】解：因为OE⊥OF，
所以∠GOD＝90°，(垂直的定义)
因为∠ODC＝32°，
所以∠OGD＝180°﹣∠GOD﹣∠ODC，(三角形三个内角的和等于180°)
所以∠OGD＝180°﹣90°﹣32°＝58°，
由题意，知AB∥CD，
所以∠AOE＝∠OGD＝58°，(两直线平行，内错角相等)
由题意，知DM∥OE，
所以∠AND＝∠AOE＝58°，(两直线平行，同位角相等)
所以∠ANM＝180°-∠AND =122°．(平角的定义)

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