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北师大版（2024）八年级下册 1.2 等腰三角形 题型专练
【题型1】等腰三角形与三角形内角和
【典例】如图，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=24°，∠EDC=12°，则∠DAE的度数为（　　）
A. 58° B. 60° C. 62° D. 64°
【强化训练1】如图，△ABC，△ADE中，C、D两点分别在AE，AB上，BC与DE相交于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC的度数为（　　）
A.114° B.123° C.132° D.147°
【强化训练2】在钝角三角形ABC中，若AB=AC，D是BC上一点，且AB=BD，AD=CD，则∠BAC的度数为 .
【强化训练3】“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠ODE=108°，则∠CDE的度数为_______．
【强化训练4】如图，已知∠BAC=70°，D是△ABC的边BC上的一点，且∠CAD=∠C，∠ADB=80°．求∠B的度数．
【题型2】等腰三角形与平行线性质
【典例】如图，在△ABC中，AB=AC，若AB∥CD，∠BCD=30°，则∠ACD的度数为（　　）
A.30° B.60° C.75° D.120°
【强化训练1】如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（　　）
A.55° B.45° C.35° D.65°
【强化训练2】如图，a∥b，∠ABC=50°，若AB=AC，则∠α= °.
【强化训练3】如图，△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：DF=EF．
【题型3】等腰三角形的三线合一
【典例】如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　）
A.BD=CD B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D.AB=2BD
【强化训练1】如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD为△ABC的中线，那么下列结论错误的是（ ）
A. △ABD≌△ACD B. AD为△ABC的高线 C. AD为△ABC的角平分线 D. △ABC是等边三角形
【强化训练2】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BE⊥AC，则下列结论不正确的是（　　）
A.BD=DC B.CE=AE C.∠BAD=∠CAD D.∠CBE=∠DAC
【强化训练3】等腰三角形的对称轴是 ．
【强化训练4】如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BD=5，则CD=__________．
【强化训练5】如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，AB＝AC.
(1)若△ABC的面积是20，且BC＝4，求AD的长；
(2)若∠CAD＝20°，求∠ACE的度数．
【强化训练6】如图①，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
【题型4】定义法判定等腰三角形
【典例】已知△ABC的三条边长分别为3，5，7，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）
A.5条 B.4条 C.3条 D.2条
【强化训练1】如果一个三角形一内角平分线垂直于对边，那么这个三角形一定是（　　）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形
【强化训练2】如图，D是△ABC内一点，DA=DB，AB=AC，现把△DAB绕点A旋转到△EAC的位置，连接DE，则图中等腰三角形的个数为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
【强化训练3】在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有 个．
【强化训练4】已知∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC.求证：AB＝AC.
【题型5】定义法与三角形三边关系
【典例】以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（　　）
A.2，3，4 B.5，5，10 C.2，2，1 D.1，2，3
【强化训练1】已知三角形的周长为13cm，且各边的长均为整数，那么这样的等腰三角形有（　　）
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【强化训练2】小明用19根火柴首尾顺次相接，恰好摆成一个三角形，若要求这个三角形是等腰三角形，则不同的摆法有（　　）
A.1种 B.4种 C.5种 D.9种
【强化训练3】已知三角形的周长为13cm，且各边的长均为整数，那么这样的等腰三角形有（　　）
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【强化训练4】以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（　　）
A.2，3，4 B.5，5，10 C.2，2，1 D.1，2，3
【题型6】定义法与平面直角坐标系
【典例】平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形且面积为16，满足条件的P点有（　　）
A. 4个 B. 8个 C. 10个 D. 12个
【强化训练1】如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1），点P在坐标轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为（　　）
A.5 B.6 C.8 D.9
【强化训练2】如图，直角坐标系中，点A（﹣2，2），B（0，1），点P在x轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【强化训练3】在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），在y轴上确定点B，使△AOB为等腰三角形，则符合条件的点B共有（　　）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
【题型7】等腰三角形的判定与三角形内角和
【典例】一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍．这个三角形是(　　)
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
【强化训练1】如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形的个数为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
【强化训练2】在△ABC中，∠A=100°，当∠B=　 　°时，△ABC是等腰三角形．
【强化训练3】如果一个三角形有两个角分别为80°，50°，则这个三角形是___________三角形．
【强化训练4】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
【题型8】等腰三角形判定与角平线、平行线综合
【典例】如图，若AD平分∠BAC，AD∥EC，则下列三角形中是等腰三角形的为(　　)
A.△ABD B.△ACD C.△ACE D.△ABC
【强化训练1】如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC，∠ACB的平分线交于O，OM∥AB，ON∥AC，则图中共有等腰三角形的个数为（　　）
A.5 B.6 C.7 D.8
【强化训练2】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，∠ADB=72°，DE平分∠ADB，则图中等腰三角形的个数是（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【强化训练3】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为________．
【强化训练4】如图，△ABC中，AB=7cm,BC=5cm,AC=6cm,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE//BC，分别交AB，AB于点D，E，求△ADE的周长.
【强化训练5】如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．
【题型9】等腰三角形的性质与判定
【典例】如图，在△ABC，∠A=36°，∠B=72°，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，则图中等腰三角形的个数为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
【强化训练1】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，△ABD的周长为a,BC=b,则△ABC的周长为（　　）
A.a+b B.2a-b C.2a-2b D.2a-3b
【强化训练2】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB垂直平分线交AC于D，交AB于E，给出下列结论：①∠C=72°，②BD是∠ABC的平分线，③BC=AD，④△ABC是等腰三角形．其中结论正确的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【强化训练3】如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD等于（ ）
A.3cm B.4cm C.1.5cm D.2cm
【强化训练4】如图，已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足.
求证：
(1)AC=AD；
(2)CF=DF．
【强化训练5】已知：如图，AB=AC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形．
【题型10】等边三角形的三条边相等
【典例】如图，阴影部分是边长为1的小等边三角形，A，B，C，D，E，F，G，H分别是8个等边三角形，则A和B的边长分别是（　　）
A.2，4 B.2.5，5 C.3，6 D.4，8
【强化训练1】边长是整数，周长不大于12的等边三角形的个数是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【强化训练2】如图，阴影部分是边长为1的小等边三角形，A，B，C，D，E，F，G，H分别是8个等边三角形，则A和B的边长分别是（　　）
A.2，4 B.2.5，5 C.3，6 D.4，8
【强化训练3】下图分别表示甲、乙、丙三人由A地到C地的路线图．已知甲的路线为：A→B→C，△ABC是等边三角形；乙的路线为：A→B→D→E→C，其中D为AC的中点，△ABD，△DEC都是等边三角形；丙的路线为：A→B→D→E→C，其中D在AC上（AD≠DC），△ABD，△DEC都是等边三角形；则三人行进的路程（　　）
A.甲最短 B.乙最短 C.丙最短 D.三人行进的路程相同
【强化训练4】等边三角形边长为1cm，则它周长为　 　cm．
【强化训练5】已知等边△ABC的周长为6，则它的边长等于　 　．
【强化训练6】如图，在边长为100米的等边三角形花坛的边上，甲、乙两人分别从两个顶点同时出发，按逆时针方向行走，已知甲的速度是42米/分，乙的速度是34米/分．出发后___________分钟，甲乙两人第一次走在同一条边上．
【强化训练7】已知等边△ABC的周长为6，则它的边长等于　 　．
【题型11】等边三角形的三个角都等于60°
【典例】已知如图，等边△ABC中，D是AB上一点，∠EDF=60°，则∠AED等于（　　）
A. ∠B B. ∠BFD C. ∠ADE D. ∠BDF
【强化训练1】如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE交AD于点F，则∠DFE的度数为 （ ）
A.45° B.55° C.60° D.75°
【强化训练2】如图，△ABC是等边三角形，则∠ABD=　 　度．
【强化训练3】三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=40°，则∠1+∠2=　 　°．
【强化训练4】如图，△ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q，∠BQM等于多少度？
【题型12】等边三角形中的三线合一
【典例】在等边△ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则∠BAC的平分线长等于（　　）
A.4 B.8 C.16 D.32
【强化训练1】在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD＝BF，则∠CDF的度数是(　　)
A.10° B.15° C.20° D.25°
【强化训练2】如图，等边△ABC周长是12，AD是∠BAC的平分线，则BD=　 　．
【强化训练3】如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE＝CD.求证：BD＝DE.
【题型13】等边三角形的性质与平行线的性质
【典例】已知，如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（　　）
A.60° B.45° C.40° D.30°
【强化训练1】如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DE∥BC，则△ADE的周长是(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
【强化训练2】如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠β=　 ．
【强化训练3】如图，等边△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC．求证：DE=DB．
【题型14】等边三角形的性质与垂直
【典例】如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【强化训练1】如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD．有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形．其中正确结论个数是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【强化训练2】如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC交AC于F，则∠EDF的度数为 ．
【强化训练3】如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB，BC分别作等边△ABD和等边△BCE，求证：BD⊥CE．
【强化训练4】如图，在等边三角形ABC中，点P是AB边上的任意一点（点P不与点A、点B重合），过点P作PD⊥AB，交直线BC于点D，作PE⊥AC，垂足为点F．求∠APE的度数.
【题型15】等边三角形的性质综合
【典例】如图，在等边三角形ABC中，D，E，F是边AB，BC，AC上的点，且都不是中点，若AD=BE=CF，连接AE，BF，CD构成一些三角形．如果三个全等的三角形组成“全等三角形组”，那么图中“全等三角形组”的组数是（　　）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【强化训练1】如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（　　）
A.△ABD≌△EBC
B.△NBC≌△MBD
C.DM=DC
D.∠ABD=∠EBC
【强化训练2】如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是_____________度．
【强化训练3】已知，如图，△ABC是等边三角形，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：BF=CF+CE．
【强化训练4】如图，△ABC，△ADE是等边三角形，B，C，D在同一直线上．
求证：（1）CE=AC+DC；
（2）∠ECD=60°．
【题型16】定义判定等边三角形
【典例】已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足（a﹣b）2+ +|c2﹣64|=0，则三角形的形状是（　　）
A.底和腰不相等的等腰三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
【强化训练1】三角形中任意一角的平分线都是这角对所边上的中线，对这个三角形最准确的判断是（　　）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【强化训练2】在8个点形成的格点图中，每一点与其相邻的点之间的距离都等于1，那么图中以格点为顶点的等边三角形的个数为　 　．
【强化训练3】如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BD于点D，E是AD延长线上的一点，且BC=BE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论．
【题型17】三个角都相等的三角形是等边三角形
【典例】有一个外角是120°，另外两个外角相等的三角形（　　）
A.可以是顶角不为60°等腰三角形
B.仅有等边三角形
C.一角为60°的非等腰三角形
D.不能确定
【强化训练1】在△ABC中，∠A+∠B=120°，∠C=∠A，则△ABC是（ ）
A.钝角三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
【强化训练2】△ABC中，AB=3，∠A=∠B=60°，那么BC=　 　．
【强化训练3】在△ABC中，∠A=60°，∠B=　 　度时，△ABC是等边三角形．
【强化训练4】如图，在△ABC中，D是AB上任意点，DE⊥AC点E，ED的延长线与CB的延长线交于点F，BD=BF，∠ABC=∠A，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【题型18】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
【典例】已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（　　）
A.等腰直角三角形
B.一般的等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰钝角三角形
【强化训练1】若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（　　）
A.钝角三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
【强化训练2】如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP=　 时，△AOP为等边三角形．
【强化训练3】如图，在△ABC中，∠B=60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE，DE，使EC=DE.求证：△ABC是等边三角形．
【强化训练4】已知，如图，△ABC中，点D是BC边上的一点，∠ADE=∠ABC=60°，DE交∠ABC的外角平分线于点E．求证：△ADE是等边三角形．
【题型19】等边三角形判定的综合应用
【典例】下列条件中，不能得到等边三角形的是（　　）
A.有两个内角是60°的三角形
B.三边都相等的三角形
C.有一个角是60°的等腰三角形
D.有两个外角相等的等腰三角形
【强化训练1】下列推理错误的是（　　）
A.在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC为等边三角形
B.在△ABC中，∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC为等边三角形
C.在△ABC中，∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形
D.在△ABC中，∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形
【强化训练2】以下关于等边三角形的判定：
①三条边相等的三角形是等边三角形；
②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
③有两个角为60°的三角形是等边三角形
④三个角相等的三角形是等边三角形
其中正确的是（　　）
A.只有①②③ B.只有①②④ C.只有①③④ D.①②③④
【强化训练3】△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对称轴的三角形是等边三角形；④有两个角是60°的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【题型20】等边三角形的性质和判定
【典例】如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.非等腰三角形
【强化训练1】如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ，则∠CPQ度数为（ ）
A.75° B.60° C.55° D.45°
【强化训练2】如图，△ABC是等边三角形，点D为 AC边上一点，以BD为边作等边△BDE，连接CE．若CD＝1，CE＝3，则BC＝_____________．
【强化训练3】如图，已知等边△ABC，P在AC延长线上一点，以PA为边作等边△APE，EC延长线交BP于M，连接AM.
求证：（1）BP=CE；
（2）EM﹣PM=AM．
【题型21】等边三角形和等腰三角形的性质
【典例】如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD，且AC=CD，则∠BAD的度数为（　　）
A.50° B.45° C.40° D.35°
【强化训练1】如图，△ABC中，AB=AC，以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，且∠EDC=40°，则∠ABC的度数为（　　）
A.75° B.80° C.70° D.85°
【强化训练2】将长为12的线段截成长为整数的三段，使它们成为一个三角形的三边，则构成的三角形（　　）
A.不可能是等腰三角形
B.不可能是等腰三角形
C.不可能是等边三角形
D.不可能是钝角三角形
【强化训练3】如图，已知点D，E是BC上的三等分点，△ADE是等边三角形，那么∠BAC的度数为　 ．
【强化训练4】如图，已知在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AD=AC，连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数．
【题型22】等边三角形的性质和等腰三角形的判定
【典例】如图，△ABC为等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，若△ABC的周长为18，BD=a，则△BDE的周长为（　 　）
A.9+a B.12+2a C.12+a D.9+2a
【强化训练1】如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（　　）
①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°．
A.1 B.2 C.3 D.4
【强化训练2】如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，则∠1的度数是　 ．
【强化训练3】已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出四个正确结论①　 　；②　 　；③　 ；④　 ．
【强化训练4】如图，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，E是AB延长线上的一点，且BE=BD．
（1）求∠BAD和∠BDE的度数；
（2）求证：AD=DE．
【强化训练5】如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，点E在AC的延长线上，且∠CDE=30°．若AD=5，求DE的长．
【题型23】含30°角的直角三角形的性质
【典例】某市在旧城绿化改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮优化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要(　　)
A.300a元 B.150a元 C.450a元 D.225a元
【强化训练1】若三角形的三个内角的比为1∶2∶3，则它的最短边与最长边的比为（ ）.
A.1∶3 B.1∶2 C.2∶3 D.1∶4
【强化训练2】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（　　）
A. ∠CAD=30° B. AD=BD C. BD=2CD D. CD=ED
【强化训练3】△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD的长度是_______．
【强化训练4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
【题型24】含30°角的直角三角形与等腰三角形
【典例】等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°
【强化训练1】如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线BC或射线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有(　　)
A.2个 B.4个 C.5个 D.6个
【强化训练2】如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【强化训练3】如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥AB，交BC于点D，且∠CAD=30°，CD=3，则BD= ．
【强化训练4】如图所示，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上的点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E，F，∠BAC=120°.求证：DE+DF=BC.
【强化训练5】如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB=30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？
【题型25】含30°角的直角三角形与等边三角形
【典例】如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，则AD的长是（　　）
A.7 B.6 C.5 D.4
【强化训练1】如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长为（ ）
A.2 B.3 C.1 D.8
【强化训练2】如图，在等边△ABC中，AD是它的角平分线，DE⊥AB于E，若AC=8，则BE等于（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
【强化训练3】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D，则AD=　 　．
【强化训练4】如图，已知，等边三角形ABC，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FE⊥BC，垂足为E，若三角形ABC的边长为4．则线段BE的长为________．
【强化训练5】如图，点P是等边△ABC的BC边上一点，PM⊥AB，PN⊥AC．试猜想△AMN与四边形BMNC的周长有什么关系？并说明理由．
【强化训练6】如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ=3，PE=1．
（1）求证：AD=BE；
（2）求AD的长．
【题型26】反证法
【典例】若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（　　）
A.至少有一个角是钝角或直角
B.没有一个角是锐角
C.没有一个角是钝角或直角
D.每一个角都是钝角或直角
【强化训练1】对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（　　）
A.∠α=60°，∠α的补角∠β=120°，∠β＞∠α
B.∠α=90°，∠α的补角∠β=90°，∠β=∠α
C.∠α=100°，∠α的补角∠β=80°，∠β＜∠α
D.两个角互为邻补角
【强化训练2】数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等”？老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：
如图1，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，那么∠EOB=∠EO'D”．
如图2，假设∠EOB≠∠EO′D，过点O作直线A′B′，使∠EOB′=∠EO′D．
依据（1） ，可得A′B′∥CD．
这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD，
这与基本事实（2） 矛盾，
说明∠EOB≠∠EO′D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO′D．
【强化训练3】用反证法证明命题“若a2＜4，则|a|＜2”时，应假设 ．
【强化训练4】阅读下列文字，回答问题．
题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．
证明：假设AC=BC，因为∠A≠45°，∠C=90°，所以∠A≠∠B．
所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC．
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．北师大版（2024）八年级下册 1.2 等腰三角形 题型专练（参考答案）
【题型1】等腰三角形与三角形内角和
【典例】如图，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=24°，∠EDC=12°，则∠DAE的度数为（　　）
A. 58° B. 60° C. 62° D. 64°
【答案】B
【解析】∵AB=AC，AD=DE，
∴∠B=∠C，∠DAE=∠DEA，
∵∠ADC=∠BAD+∠B，∠DEA=∠C+∠EDC，
∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=∠B+24°-12°=∠B+12°，
∠DEA=∠B+12°，
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°，
∴∠B+12°+∠B+12°+∠B+12°=180°，
∴∠DAE=∠B+12°=60°．
故选：B．
【强化训练1】如图，△ABC，△ADE中，C、D两点分别在AE，AB上，BC与DE相交于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC的度数为（　　）
A.114° B.123° C.132° D.147°
【答案】B
【解析】∵BD=CD=CE，∴∠B=∠DCB，∠E=∠CDE，
∵∠ADC+∠ACD=114°，∴∠B+∠DCB+∠E+
∠CDE=114°，∴∠DCB+∠CDE=57°，∴∠DFC=180°﹣57°=123°．故选B．
【强化训练2】在钝角三角形ABC中，若AB=AC，D是BC上一点，且AB=BD，AD=CD，则∠BAC的度数为 .
【答案】108°
【解析】设∠ABC为x，则∠C=x.∵AD=CD，∴∠ADB=2x，
又AB=BD，∴∠BAD=∠ADB=2x，
∴x+2x+2x=180°，解得x=36°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=2x+x=3x=3×36°=108°．
【强化训练3】“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠ODE=108°，则∠CDE的度数为_______．
【答案】84°
【解析】∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，
∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=180°-108°=72°，
∴∠ODC=24°，
∵∠CDE+∠ODC=108°，
∴∠CDE=108°-∠ODC=108°-24°=84°．
【强化训练4】如图，已知∠BAC=70°，D是△ABC的边BC上的一点，且∠CAD=∠C，∠ADB=80°．求∠B的度数．
【答案】解 ∵∠CAD=∠C，∠ADB=∠CAD+∠C=80°，
∴∠C=40°，∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠C=70°．
【题型2】等腰三角形与平行线性质
【典例】如图，在△ABC中，AB=AC，若AB∥CD，∠BCD=30°，则∠ACD的度数为（　　）
A.30° B.60° C.75° D.120°
【答案】B
【解析】∵AB∥CD，∠BCD=30°，
∴∠B=∠BCD=30°．
∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=30°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=30°+30°=60°．故选B．
【强化训练1】如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（　　）
A.55° B.45° C.35° D.65°
【答案】A
【解析】∵∠1=125°，∴∠ADE=180°﹣125°=55°，∵DE∥BC，AB=AC，
∴∠B=∠ADE=55°，∠C=∠B，
∴∠C=55°．故选A．
【强化训练2】如图，a∥b，∠ABC=50°，若AB=AC，则∠α= °.
【答案】130
【解析】∵AB=AC，∠ABC=50°，∴∠ACB=∠ABC=50°，∵a∥b，∴∠α=130°．故答案为130．
【强化训练3】如图，△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：DF=EF．
【答案】证明 过点D作DM∥AC交BC于M，∴∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DMB，∴BD=MD，∵BD=CE，∴MD=CE，在△DMF和△ECF中，∠MDF=∠E，∠MFD=∠CFE，MD=CE，∴△DMF≌△ECF（AAS），∴DF=EF．
【题型3】等腰三角形的三线合一
【典例】如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　）
A.BD=CD B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D.AB=2BD
【答案】D
【解析】∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点，
∴BD=CD（故A正确），AD⊥BC（故B正确），∠BAD=∠CAD（故C正确），无法得到AB=2BD（故D不正确）．故选D．
【强化训练1】如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD为△ABC的中线，那么下列结论错误的是（ ）
A. △ABD≌△ACD B. AD为△ABC的高线 C. AD为△ABC的角平分线 D. △ABC是等边三角形
【答案】D
【解析】∵∠B=∠C，∴AB=AC，∵AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
即AD是△ABC的高，AD为△ABC的角平分线，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠ADC=∠ADB，AD=AD，∴△ABD≌△ACD，
即选项A，B，C都正确，
根据已知只能推出AC=AB，不能推出AC，AB和BC的关系，
即不能得出△ABC是等边三角形，选项D错误．故选D．
【强化训练2】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BE⊥AC，则下列结论不正确的是（　　）
A.BD=DC B.CE=AE C.∠BAD=∠CAD D.∠CBE=∠DAC
【答案】B
【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD，故A，C正确；∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠CBE=90°﹣∠C，∠DAC=90°﹣∠C，∴∠CBE=∠DAC，故D正确；∵AB≠BC，AD⊥BC，∴CE≠AE．故选B．
【强化训练3】等腰三角形的对称轴是 ．
【答案】底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在直线
【解析】根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在直线．故填底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在直线．
【强化训练4】如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BD=5，则CD=__________．
【答案】5
【解析】∵AB=AC，∴∠ABD=∠ACD，∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∴CD=BD=5．故填5．
【强化训练5】如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，AB＝AC.
(1)若△ABC的面积是20，且BC＝4，求AD的长；
(2)若∠CAD＝20°，求∠ACE的度数．
【答案】解 (1)∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∵△ABC的面积是20，且BC＝4，
∴BC·AD＝20，
∴×4×AD＝20，
∴AD＝10.
(2)∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°，
∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝ (180°－∠CAB)＝70°.
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°.
【强化训练6】如图①，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
【答案】证明 (1)如图，过点A作AG⊥BC于点G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE.
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，
∴AF⊥BC.
【题型4】定义法判定等腰三角形
【典例】已知△ABC的三条边长分别为3，5，7，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）
A.5条 B.4条 C.3条 D.2条
【答案】B
【解析】如图所示，当AB=AF=3，BA=BD=3，AB=AE=3，BG=AG，都能得到符合题意的等腰三角形．故选B．
【强化训练1】如果一个三角形一内角平分线垂直于对边，那么这个三角形一定是（　　）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形
【答案】C
【解析】如图，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC，由AD=AD，∴△ADB≌△ADC（ASA），∴AB=AC．即这个三角形一定是等腰三角形．故选C．
【强化训练2】如图，D是△ABC内一点，DA=DB，AB=AC，现把△DAB绕点A旋转到△EAC的位置，连接DE，则图中等腰三角形的个数为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】由题意知△ABD≌△ACE，所以AE=AD=DB=EC，又AB=AC，所以△ABD，△ACE，△ABC，△ADE均为等腰三角形，所以共有4个．故选C．
【强化训练3】在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有 个．
【答案】3
【解析】第一图，由作图可知CA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确．
第二图，由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，故错误．
第三图，由作图可知BA=BD可推出BD=CD=AD，即△ADC是等腰三角形，故正确．
第四图，由作图可知DA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确．
故答案为3
【强化训练4】已知∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC.求证：AB＝AC.
【答案】证明 ∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B(两直线平行，同位角相等)，
∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等)．
而已知∠1＝∠2，
∴∠B＝∠C.
∴AB＝AC(等角对等边)．
【题型5】定义法与三角形三边关系
【典例】以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（　　）
A.2，3，4 B.5，5，10 C.2，2，1 D.1，2，3
【答案】C
【解析】A．∵2≠3≠4，∴本组数据不可以构成等腰三角形，故本选项错误；
B．∵5+5=10，∴本组数据不可以构成三角形，故本选项错误；
C．∵1+2＞2，∴本组数据可以构成等腰三角形，故本选项正确；
D．∵1+2=3，∴本组数据不可以构成三角形，故本选项错误.故选C．
【强化训练1】已知三角形的周长为13cm，且各边的长均为整数，那么这样的等腰三角形有（　　）
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【答案】C
【解析】周长为13cm，边长为整数的等腰三角形的边长只能为3 cm，5 cm，5 cm；或4 cm，4 cm，5 cm；或6 cm，6 cm，1 cm，共三组．故选C．
【强化训练2】小明用19根火柴首尾顺次相接，恰好摆成一个三角形，若要求这个三角形是等腰三角形，则不同的摆法有（　　）
A.1种 B.4种 C.5种 D.9种
【答案】C
【解析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，设底边长为x（x为整数），则x＜192，∴x的值可以是9，7，5，3，1，∴不同的摆法有5种．故选C．
【强化训练3】已知三角形的周长为13cm，且各边的长均为整数，那么这样的等腰三角形有（　　）
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【答案】C
【解析】周长为13cm，边长为整数的等腰三角形的边长只能为3 cm，5 cm，5 cm；或4 cm，4 cm，5 cm；或6 cm，6 cm，1 cm，共三组．故选C．
【强化训练4】以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（　　）
A.2，3，4 B.5，5，10 C.2，2，1 D.1，2，3
【答案】C
【解析】A．∵2≠3≠4，∴本组数据不可以构成等腰三角形，故本选项错误；
B．∵5+5=10，∴本组数据不可以构成三角形，故本选项错误；
C．∵1+2＞2，∴本组数据可以构成等腰三角形，故本选项正确；
D．∵1+2=3，∴本组数据不可以构成三角形，故本选项错误.故选C．
【题型6】定义法与平面直角坐标系
【典例】平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形且面积为16，满足条件的P点有（　　）
A. 4个 B. 8个 C. 10个 D. 12个
【答案】C
【解析】∵A（8，0），∴OA=8，设△AOP的边OA上的高是h，则×8×h=16，解得h=4，
在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图，
①以A为圆心，以8为半径画弧，交直线a 和直线b分别有两个点，即共4个点符合；
②以O为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合；
③作AO的垂直平分线分别交直线a，b于一点，即共2个点符合，4+4+2=10．
故选C．
【强化训练1】如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1），点P在坐标轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为（　　）
A.5 B.6 C.8 D.9
【答案】C
【解析】如图，以点O，A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的交点有6个，OA的垂直平分线与坐标轴的交点有2个，综上所述，满足条件的点P有8个．故选C．
【强化训练2】如图，直角坐标系中，点A（﹣2，2），B（0，1），点P在x轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】如图，点A（﹣2，2），B（0，1），
①以A为圆心，AB为半径画圆，交x轴有二点P1（﹣1，0），P2（﹣3，0），此时AP=AB；
②以B为圆心，BA为半径画圆，交x轴有二点P3（﹣2，0）（2，0）不能组成△ABP，故舍去），此时BP=AB；
③AB的垂直平分线交x轴一点P4（PA=PB），此时AP=BP；∴符合条件的点有4个．
故选D．
【强化训练3】在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），在y轴上确定点B，使△AOB为等腰三角形，则符合条件的点B共有（　　）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
【答案】B
【解析】因为△AOP为等腰三角形，所以可分成三类讨论：
①AO=AP（有一个），此时只要以A为圆心，AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是P；
②AO=OP（有两个），此时只要以O为圆心，AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P（AO=OP=R）；
③AP=OP（有一个），作AO的中垂线，与y轴有一个交点，该交点就是点P的最后一种选择（利用中垂线性质）．
综上所述，共有4个．故选B.
【题型7】等腰三角形的判定与三角形内角和
【典例】一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍．这个三角形是(　　)
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
【答案】C
【强化训练1】如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形的个数为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】D
【强化训练2】在△ABC中，∠A=100°，当∠B=　 　°时，△ABC是等腰三角形．
【答案】40
【解析】∵△ABC是等腰三角形，∠A=100°，∴∠B=(180°-100°)÷2=40°．故答案为：40．
【强化训练3】如果一个三角形有两个角分别为80°，50°，则这个三角形是___________三角形．
【答案】等腰
【解析】三角形有两个角分别为80°，50°，那么第三个角为180°-80°-50°=50°，所以有两个角相等，这个三角形是等腰三角形.
【强化训练4】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
【答案】证明 ∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠EAC+∠CEF=90°，
∵CD是AB边上的高，∴∠BAE+∠DFA=90°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=∠EAC，
∴∠CEF=∠DFA，即∠CEF=∠CFE，∴CE=CF，
∴△CEF是等腰三角形．
【题型8】等腰三角形判定与角平线、平行线综合
【典例】如图，若AD平分∠BAC，AD∥EC，则下列三角形中是等腰三角形的为(　　)
A.△ABD B.△ACD C.△ACE D.△ABC
【答案】C
【解析】∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∵AD∥EC，∴∠AEC=∠BAD，∠ACE=∠DAC，∴∠AEC=∠ACE，∴AE=AC，∴△ACE是等腰三角形．故选C．
【强化训练1】如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC，∠ACB的平分线交于O，OM∥AB，ON∥AC，则图中共有等腰三角形的个数为（　　）
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】C
【解析】∵AB=AC，∠A=36°，∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB=(180°-36°)÷2=72°，∵∠ABC，∠ACB的平分线交于O，∴∠OBC=∠OCB=∠ACO=∠ABO=36°，∴OB=OC，△OBC是等腰三角形，∵OM∥AB，∴∠OMN=∠ABC=72°，∠BOM=∠ABO=36°，∵ON∥AC，∴∠ONM=∠ACB=72°，∠NOC=∠ACO=36°，∴OM=ON，△OMN是等腰三角形，∴OM=BM，△OMB是等腰三角形，ON=NC，△ONC是等腰三角形，∵∠BON=180°﹣72°﹣36°=72°=∠ONB，∴OB=BN，△BNO是等腰三角形，同理△OMC也是等腰三角形，共7个等腰三角形．故选C．
【强化训练2】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，∠ADB=72°，DE平分∠ADB，则图中等腰三角形的个数是（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】∵AB=BA，∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠B=(180°-108°)÷2=36°，∴∠BAD=180°﹣∠B﹣∠ADB=180°﹣36°﹣72°=72°=∠ADB，∴AB=BD，∴△ADB是等腰三角形，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=108°﹣72°=36°=∠C，∴CD=AD，∴△ACD是等腰三角形，∵DE平分∠ADB，∴∠BDE=∠ADE=36°=∠B，∴BE=ED，∴△EBD是等腰三角形，∠AED=180°﹣72°﹣36°=72°=∠EAD，∴ED=AD，∴△AED是等腰三角形，∴共有5个等腰三角形．故选C．
【强化训练3】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为________．
【答案】9
【强化训练4】如图，△ABC中，AB=7cm,BC=5cm,AC=6cm,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE//BC，分别交AB，AB于点D，E，求△ADE的周长.
【答案】解 ∵BO平分∠ABC，
∴∠DBO=∠CBO，
∵DE∥BC，
∴∠CBO=∠DOB，
∴∠DBO=∠DOB，
∴BD=DO，
同理OE=EC，
∴△ADE的周长=AD+AE+ED=AB+AC=7+6=13cm.
【强化训练5】如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．
【答案】（1）证明 ∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△DBE和△ECF中，
∴△DBE≌△ECF（SAS），
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形．
（2）解 ∵△DBE≌△ECF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=×（180°-40°）=70°，
∴∠1+∠2=110°，
∴∠3+∠2=110°，
∴∠DEF=70°．
【题型9】等腰三角形的性质与判定
【典例】如图，在△ABC，∠A=36°，∠B=72°，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，则图中等腰三角形的个数为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】∵∠A=36°，∠B=72°，∴∠ACB=180°﹣36°﹣72°=72°，∴∠ACB=∠B，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，∴△ACE是等腰三角形，∴∠AEC=180°﹣36°﹣36°=108°，∴∠BEC=72°．∴∠BEC=∠B，∴CE=BC．∴△BEC是等腰三角形，∴等腰三角形有△ABC，△ACE，△BEC．故选：B．
【强化训练1】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，△ABD的周长为a,BC=b,则△ABC的周长为（　　）
A.a+b B.2a-b C.2a-2b D.2a-3b
【答案】D
【解析】∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C==72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD，
∵∠BDC是△ABD的一个外角，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC=b,
∵△ABD的周长为a,
∴AB=a-AD-BD=a-2b,
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=2（a-2b）+b=2a-4b+b=2a-3b．
故选：D．
【强化训练2】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB垂直平分线交AC于D，交AB于E，给出下列结论：①∠C=72°，②BD是∠ABC的平分线，③BC=AD，④△ABC是等腰三角形．其中结论正确的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】∵AB=AC，∠A=36°，∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C=(180°-36°)÷2=72°，∵AB垂直平分线交AC于D，交AB于E，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=36°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°，∴BD平分∠ABC，∴∠BDC=180°﹣∠C﹣∠DBC=180°﹣72°﹣36°=72°，∴BD=BC，∴BC=AD．∴这四个命题都正确．故选D．
【强化训练3】如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD等于（ ）
A.3cm B.4cm C.1.5cm D.2cm
【答案】A
【解析】由题意可知∠C=∠COD, 所以CD=OD=3cm.
【强化训练4】如图，已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足.
求证：
(1)AC=AD；
(2)CF=DF．
【答案】证明 (1)∵AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC=AD，
(2)∵AF⊥CD，AC=AD．∴CF=FD（三线合一性质）．
【强化训练5】已知：如图，AB=AC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形．
【答案】证明 ∵DE∥AC，
∴∠C=∠DEB．
∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∴∠B=∠DEB．
∴△DBE是等腰三角形．
【题型10】等边三角形的三条边相等
【典例】如图，阴影部分是边长为1的小等边三角形，A，B，C，D，E，F，G，H分别是8个等边三角形，则A和B的边长分别是（　　）
A.2，4 B.2.5，5 C.3，6 D.4，8
【答案】C
【解析】如图，设A的边长为x，则H和G的边长都为x，B的边长为2x，∵阴影部分是边长为1的小等边三角形，∴C的边长为2x﹣1，F和E的边长为x+1，∴D的边长为2x﹣1或x+2，∴2x﹣1=x+2，解得x=3，∴A和B的边长分别3和6．故选C．
【强化训练1】边长是整数，周长不大于12的等边三角形的个数是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】设边长为x，周长为3x，则3x≤12，∴x≤4∵小于等于4的整数有1，2，3，4，共四个，∴选D．
【强化训练2】如图，阴影部分是边长为1的小等边三角形，A，B，C，D，E，F，G，H分别是8个等边三角形，则A和B的边长分别是（　　）
A.2，4 B.2.5，5 C.3，6 D.4，8
【答案】C
【解析】如图，设A的边长为x，则H和G的边长都为x，B的边长为2x，∵阴影部分是边长为1的小等边三角形，∴C的边长为2x﹣1，F和E的边长为x+1，∴D的边长为2x﹣1或x+2，∴2x﹣1=x+2，解得x=3，∴A和B的边长分别3和6．故选C．
【强化训练3】下图分别表示甲、乙、丙三人由A地到C地的路线图．已知甲的路线为：A→B→C，△ABC是等边三角形；乙的路线为：A→B→D→E→C，其中D为AC的中点，△ABD，△DEC都是等边三角形；丙的路线为：A→B→D→E→C，其中D在AC上（AD≠DC），△ABD，△DEC都是等边三角形；则三人行进的路程（　　）
A.甲最短 B.乙最短 C.丙最短 D.三人行进的路程相同
【答案】D
【解析】设等边三角形ABC的边长是a，则乙图中等边△ADB，△DEC的边长是a，丙图中等边三角形的边长AB+DE=a，∴甲：a+a=2a，乙：4×a=2a，丙：2（AB+DE）=2a．故选D．
【强化训练4】等边三角形边长为1cm，则它周长为　 　cm．
【答案】3
【解析】因为等边三角形的三边相等，所以周长为1×3=3．故答案为3．
【强化训练5】已知等边△ABC的周长为6，则它的边长等于　 　．
【答案】2
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA，∵等边△ABC的周长为6，∴AB+BC+CA=6，∴3AB=6，∴AB=2，故等边三角形的边长为2，故答案为2．
【强化训练6】如图，在边长为100米的等边三角形花坛的边上，甲、乙两人分别从两个顶点同时出发，按逆时针方向行走，已知甲的速度是42米/分，乙的速度是34米/分．出发后___________分钟，甲乙两人第一次走在同一条边上．
【答案】
【解析】∵如图所示的三角形是等边三角形，∴AC=BC=100米．∵甲的速度是42米/分，乙的速度是34米/分，∴当甲走完线段BC的长时，甲乙两人第一次走在同一条边上，∴t==（分）．故答案为：．
【强化训练7】已知等边△ABC的周长为6，则它的边长等于　 　．
【答案】2
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA，∵等边△ABC的周长为6，∴AB+BC+CA=6，∴3AB=6，∴AB=2，故等边三角形的边长为2，故答案为2．
【题型11】等边三角形的三个角都等于60°
【典例】已知如图，等边△ABC中，D是AB上一点，∠EDF=60°，则∠AED等于（　　）
A. ∠B B. ∠BFD C. ∠ADE D. ∠BDF
【答案】D
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵∠EDF+∠BDF+ADE=180°，∠B+∠BDF+∠BFD=180°，
∴60°+∠BDF+∠ADE=60°+∠BDF+∠BFD，
∴∠ADE=∠BFD，
∵∠A+∠ADE+∠AED=∠B+∠BFD+∠BDF=180°，∵∠A=∠B=60°，
∴∠AED=∠BDF．故选D．
【强化训练1】如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE交AD于点F，则∠DFE的度数为 （ ）
A.45° B.55° C.60° D.75°
【答案】D
【解析】∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠BAE=90°+60°=150°，∵AB=AE，
∴∠AEB=×（180°-150°）=15°，
∴∠DFE=∠AEB+∠EAF=15°+60°=75°．故选D．
【强化训练2】如图，△ABC是等边三角形，则∠ABD=　 　度．
【答案】120
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，则∠ABD=120°．故答案为：120．
【强化训练3】三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=40°，则∠1+∠2=　 　°．
【答案】140
【解析】∵图中是三个等边三角形，∠3=40°，∴∠ABC=180°﹣60°﹣40°=80°，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，∠BAC=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴80°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）=180°，∴∠1+∠2=140°．故答案为：140
【强化训练4】如图，△ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q，∠BQM等于多少度？
【答案】解 ∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
在△AMB和△BNC中，
∴△AMB≌△BNC(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
【题型12】等边三角形中的三线合一
【典例】在等边△ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则∠BAC的平分线长等于（　　）
A.4 B.8 C.16 D.32
【答案】C
【解析】∵在等边△ABC中，AD是BC边上的中线，∴AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC的平分线长为16．故选C．
【强化训练1】在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD＝BF，则∠CDF的度数是(　　)
A.10° B.15° C.20° D.25°
【答案】B
【强化训练2】如图，等边△ABC周长是12，AD是∠BAC的平分线，则BD=　 　．
【答案】2
【解析】∵△ABC是等边三角形，AD是∠BAC的平分线，∴AB=BC=CA，BD=CD，∵等边△ABC周长是12，∴BC=4，∴BD=2．故答案为2．
【强化训练3】如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE＝CD.求证：BD＝DE.
【答案】证明 ∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°.
又CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED.
又∠BCD＝∠CDE＋∠CED，
∴∠CDE＝∠CED＝30°.
∴∠DBC＝∠DEC.
∴BD＝DE(等角对等边)．
【题型13】等边三角形的性质与平行线的性质
【典例】已知，如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（　　）
A.60° B.45° C.40° D.30°
【答案】C
【解析】过C作CE∥直线m，∵l∥m，∴l∥m∥CE，∴∠ACE=∠α，∠BCE=20°，∵等边△ABC，∴∠ACB=60°，∴∠α+20°=∠ACB=60°，∴∠α=40°．故选C．
【强化训练1】如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DE∥BC，则△ADE的周长是(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】C
【强化训练2】如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠β=　 ．
【答案】20°
【解析】过点A作AD∥l1，如图，则∠BAD=∠β．∵l1∥l2，∴AD∥l2，∵∠DAC=∠α=40°．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠β=∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=60°﹣40°=20°．故答案为20°．
【强化训练3】如图，等边△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC．求证：DE=DB．
【答案】证明 ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠B=60°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=CE，
∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，∴∠AED=∠ADE，∴AE=AD，∵AB=AC，∴BD=CE，∴DE=DB．
【题型14】等边三角形的性质与垂直
【典例】如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】D
【解析】∵△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，∴BP=CP，AP=DP，∠ABP=∠APB=∠CPD=60°，∵PA⊥PD，∴∠BPC=360°﹣90°﹣60°×2=150°，∴∠PBC=∠PCB=15°，故①正确；
∵PA⊥PD，∴△APD是等腰直角三角形，∴∠PAD=45°，∴∠BAD+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，∴AD∥BC，故②正确；
∵∠ABC+∠PCB=60°+15°+15°=90°，∴直线PC与AB垂直，故③正确；
综上所述，正确的有①②③共3个．故选D．
【强化训练1】如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD．有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形．其中正确结论个数是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】∵△ABP≌△CDP，∴AB=CD，AP=DP，BP=CP．又∵△ABP与△CDP是两个等边三角形，
∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°．
①根据题意，∠BPC=360°﹣60°×2﹣90°=150°，∵BP=PC，∴∠PBC=（180°﹣150°）÷2=15°，故本选项正确；
②∵∠ABC=60°+15°=75°，∵AP=DP，∴∠DAP=45°，∵∠BAP=60°，∴∠BAD=∠BAP+∠DAP=60°+45°=105°，∴∠BAD+∠ABC=105°+75°=180°，∴AD∥BC；故本选项正确；
③延长CP交于AB于点O．∠APO=180°﹣（∠APD+∠CPD）=180°﹣（90°+60°）=180°﹣150°=30°，∵∠PAB=60°，∴∠AOP=30°+60°=90°，故本选项正确；
④根据题意可得四边形ABCD是轴对称图形，故本选项正确．综上所述，4个命题都正确．故选D．
【强化训练2】如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC交AC于F，则∠EDF的度数为 ．
【答案】60°
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°．∵DE⊥BC，DF⊥AC，∴∠BDE=∠AFD=90°．∵∠AED是△BDE的外角，
∴∠AED=∠B+∠BDE=60°+90°=150°，∴∠EDF=360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=360°﹣60°﹣150°﹣90°=60°．故答案为：60°．
【强化训练3】如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB，BC分别作等边△ABD和等边△BCE，求证：BD⊥CE．
【答案】证明 ∵△BCE和△ABD是等边三角形，
∴∠ECB=∠ABD=60°，作BF∥CE交AC于F，
∴∠CBF=∠ECB=60°，∵∠ABC=90°，∴∠ABF=30°，
∴∠DBF=∠ABF+∠ABD=30°+60°=90°，∴BD⊥BF，∵BF∥CE，∴BD⊥CE．
【强化训练4】如图，在等边三角形ABC中，点P是AB边上的任意一点（点P不与点A、点B重合），过点P作PD⊥AB，交直线BC于点D，作PE⊥AC，垂足为点F．求∠APE的度数.
【答案】解 ∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵PE⊥AC，∴∠AEP=90°，∴∠APE=180°﹣∠A﹣∠AEP=180°﹣60°﹣90°=30°.
【题型15】等边三角形的性质综合
【典例】如图，在等边三角形ABC中，D，E，F是边AB，BC，AC上的点，且都不是中点，若AD=BE=CF，连接AE，BF，CD构成一些三角形．如果三个全等的三角形组成“全等三角形组”，那么图中“全等三角形组”的组数是（　　）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】B
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=AC，∵AD=BE=CF，∴△ABE≌△BCF≌△CAD，∴∠BAE=∠CBF=∠ACD，∠ADC=∠AEB=∠BFC，∵AD=BE=CF，∴△ADQ≌△BEM≌△CFN，∴AQ=BM=CN，∵∠ABC=∠BAC=∠ACB，∠BAE=∠CBF=∠ACD，∴∠QAC=∠NCB=∠MBA，∵AB=BC=AC，BM=CN=AQ，∴△AMB≌△CQA≌△BNC，∵AB=AC=BC，AD=BE=CF，∴BD=CE=AF，∵∠BAC=∠ACB=∠ABC，AB=CB=AC，∴△ABF≌△CAE≌△BCD，∵AM=BN=CQ，∠FAM=∠ECQ=∠DBN，BD=AF=CE，∴△AMF≌△CQE≌△BND，∴共5组，故选B．
【强化训练1】如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（　　）
A.△ABD≌△EBC
B.△NBC≌△MBD
C.DM=DC
D.∠ABD=∠EBC
【答案】C
【解析】A.可以利用SAS验证，正确；
B.可以利用AAS验证，正确；
C.可证∠MBN=60°，若DM=DC=DB，则△DMB为等边三角形，即∠BDM=60°∵∠EAB=∠DBC，∴AE∥BD．∴∠BDM=∠EAD=60°．与已知不符，错误；
D.可由∠ABE，∠DBC同加一个∠DBE得到，正确．所以错误的是第三个．故选C．
【强化训练2】如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是_____________度．
【答案】60
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABD=∠C，AB=BC，在△ABD与△BCE中，AB=BC，∠ABD=∠C，BD=CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，∵∠ABE+∠EBC=60°，∴∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=60°．故答案为：60．
【强化训练3】已知，如图，△ABC是等边三角形，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：BF=CF+CE．
【答案】证明 过点D作DM∥AC交BC于M，
则△BDM∽△BAC，
∵△ABC是等边三角形，∴△BDM是等边三角形，
∴BD=BM=DM，
∵BD=CE，
∴BM=DM=CE，∵DM∥AC，
∴∠MDF=∠E，
在△DMF和△ECF中，∠MDF=∠E，∠DFM=∠EFC，DM=EC，
∴△DMF≌△ECF（AAS），∴FM=CF，
∴BF=BM+FM=CF+CE．
【强化训练4】如图，△ABC，△ADE是等边三角形，B，C，D在同一直线上．
求证：（1）CE=AC+DC；
（2）∠ECD=60°．
【答案】证明 （1）∵△ABC，△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，BC=AC=AB，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，∴BD=EC，
∵BD=BC+CD=AC+CD，
∴CE=BD=AC+DC．
（2）由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠ABD=60°，
∴∠ECD=180°﹣∠ACB﹣∠ACE=60°．
【题型16】定义判定等边三角形
【典例】已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足（a﹣b）2+ +|c2﹣64|=0，则三角形的形状是（　　）
A.底和腰不相等的等腰三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
【答案】B
【解析】由（a﹣b）2++|c2﹣64|=0得a﹣b=0，b﹣8=0，c2﹣64=0，又a，b，c是三角形的三边长，∴a=8，b=8，c=8，所以三角形的形状是等边三角形．故选：B．
【强化训练1】三角形中任意一角的平分线都是这角对所边上的中线，对这个三角形最准确的判断是（　　）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【答案】C
【解析】如图，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF．∵AD是中线，∴BD=CD．∴Rt△BDE≌Rt△CDF．∴∠B=∠C．∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．等边三角形是一特殊的等腰三角形，所以等边三角形中任意一角的平分线都是这角所对边上的中线．故选：C．
【强化训练2】在8个点形成的格点图中，每一点与其相邻的点之间的距离都等于1，那么图中以格点为顶点的等边三角形的个数为　 　．
【答案】8
【解析】连接相邻的点，图中等边三角形有△ABD，△BCE，△BDE，△DFG，△DEG，△EGH， △BFH，△ACG，共8个，故答案为8．
【强化训练3】如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BD于点D，E是AD延长线上的一点，且BC=BE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论．
【答案】解 △BCE是等边三角形，
理由如下：∵AB =AC，AD⊥BC，∴BD=DC，
∵AD⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°，
又∵ED为公共边，
∴△BDE≌△CDE，∴BE=CE，
∵BC=BE，∴BC=CE=BE，
∴△BCE是等边三角形．
【题型17】三个角都相等的三角形是等边三角形
【典例】有一个外角是120°，另外两个外角相等的三角形（　　）
A.可以是顶角不为60°等腰三角形
B.仅有等边三角形
C.一角为60°的非等腰三角形
D.不能确定
【答案】B
【解析】∵有一个外角是120°，∴该角对应的角为60°，又∵另外两个外角相等，∴另外两个外角对应的内角也相等，∵有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，∴该三角形一定为等边三角形．故选B．
【强化训练1】在△ABC中，∠A+∠B=120°，∠C=∠A，则△ABC是（ ）
A.钝角三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
【答案】D
【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，且∠A+∠B=120°，∴∠C=60°；而∠C=∠A，∴∠A=60°，△ABC是等边三角形．故选D．
【强化训练2】△ABC中，AB=3，∠A=∠B=60°，那么BC=　 　．
【答案】3
【解析】∵△ABC中，∠A=∠B=60°，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC=AB=3．故答案为：3．
【强化训练3】在△ABC中，∠A=60°，∠B=　 　度时，△ABC是等边三角形．
【答案】60
【解析】因为三个内角都相等的三角形是等边三角形，即每个角均为60°，所以∠B=60°．
【强化训练4】如图，在△ABC中，D是AB上任意点，DE⊥AC点E，ED的延长线与CB的延长线交于点F，BD=BF，∠ABC=∠A，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】解 △ABC是等边三角形，
理由如下：∵DE⊥AC，
∴∠AED=∠CEF=90°，
∴∠A+∠ADE=90°，∠C+∠F=90°，
∵BD=BF，
∴∠BDF=∠F，
∵∠ADE=∠BDF，
∴∠ADE=∠F，∴∠A=∠C，
又∵∠ABC=∠A，
∴∠ABC=∠A=∠C，
∴△ABC是等边三角形．
【题型18】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
【典例】已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（　　）
A.等腰直角三角形
B.一般的等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰钝角三角形
【答案】C
【解析】①120°的角为顶角的外角，则顶角为180°﹣120°=60°，底角为（180°﹣60°）÷2=60°，三角形为等边三角形；
②120°的角为底角的外角，则底角为180°﹣120°=60°，顶角为180°﹣60°×2=60°，三角形为等边三角形．故选C．
【强化训练1】若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（　　）
A.钝角三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
【答案】D
【解析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为等边三角形．故选D．
【强化训练2】如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP=　 时，△AOP为等边三角形．
【答案】a
【解析】∵∠AON=60°，∴当OA=OP=a时，△AOP为等边三角形．
【强化训练3】如图，在△ABC中，∠B=60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE，DE，使EC=DE.求证：△ABC是等边三角形．
【答案】证明 如图，延长BD至F，使DF=BC，连接EF，∵EC=ED，∴∠ECD=∠EDC，∴∠ECB=∠EDF，∴△ECB≌△EDF（SAS），∴BE=EF，∠B=60°，∴△BEF为等边三角形，∴BE=BF，∵AE=BD，∵BC=DF，∴AE=CF，∴AB=BC，∴△ABC是等边三角形．
【强化训练4】已知，如图，△ABC中，点D是BC边上的一点，∠ADE=∠ABC=60°，DE交∠ABC的外角平分线于点E．求证：△ADE是等边三角形．
【答案】证明 如图，在线段BA上截取BM，
使BM=BD．∵∠ABC=60°，∴△BDM为等边三角形，∠ABF=120°，
∴DM=DB，∠BDM=∠BMD=60°，∠AMD=120°，
又∵BE平分∠ABF，
∴∠DBE=120°，
∴∠AMD=∠DBE，
∵∠ADE =∠BDM =60°，∴∠1=∠2，
∴△ADM≌△EDB（ASA）．∴AD=ED．∴△ADE为等边三角形．
【题型19】等边三角形判定的综合应用
【典例】下列条件中，不能得到等边三角形的是（　　）
A.有两个内角是60°的三角形
B.三边都相等的三角形
C.有一个角是60°的等腰三角形
D.有两个外角相等的等腰三角形
【答案】D
【解析】根据等边三角形的定义可知，满足三边相等、有一内角为60°且两边相等或有两个内角为60°中任意一个条件的三角形都是等边三角形．故选D．
【强化训练1】下列推理错误的是（　　）
A.在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC为等边三角形
B.在△ABC中，∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC为等边三角形
C.在△ABC中，∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形
D.在△ABC中，∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形
【答案】B
【解析】A.三角形的三个内角都相等，根据三角形内角和定理，那么三个内角的度数都是60°，因此△ABC是等边三角形；
B.AB=AC，那么∠B=∠C，但是无法证明AB=AC=BC，因此△ABC是等腰三角形，而不一定是等边三角形；
C.三角形中有两个角是60°，那么另外的一个一定是60°，三内角相等那么此三角形一定是等边三角形；
D.AB=AC，那么∠B=∠C=60°，那么三角形的另一个内角也一定是60°，因此此三角形一定是等边三角形．故选B．
【强化训练2】以下关于等边三角形的判定：
①三条边相等的三角形是等边三角形；
②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
③有两个角为60°的三角形是等边三角形
④三个角相等的三角形是等边三角形
其中正确的是（　　）
A.只有①②③ B.只有①②④ C.只有①③④ D.①②③④
【答案】D
【强化训练3】△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对称轴的三角形是等边三角形；④有两个角是60°的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【题型20】等边三角形的性质和判定
【典例】如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.非等腰三角形
【答案】C
【解析】∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∠ACB=∠ECD=60°．∴∠BCE=∠ACD．
∴△BCE≌△ACD．
∴∠CBE=∠CAD，BE=AD．
又点P与点M分别是线段BE和AD的中点，
∴BP=AM．∴△BCP≌△ACM．
∴PC=MC，∠BCP=∠ACM．
∴∠PCM=∠ACB=60°．
∴△CPM是等边三角形．故选：C．
【强化训练1】如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ，则∠CPQ度数为（ ）
A.75° B.60° C.55° D.45°
【答案】B
【解析】∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，在△ACP和△BCQ中，∠CAD=∠CBE，AC=BC，∠ACP=∠BCQ=60°，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴CP=CQ，∴△PCQ为等边三角形，∴∠CPQ度数为60°．故选B．
【强化训练2】如图，△ABC是等边三角形，点D为 AC边上一点，以BD为边作等边△BDE，连接CE．若CD＝1，CE＝3，则BC＝_____________．
【答案】4
【解析】如图，在CB上取一点G使得CG=CD，由∠ACB=60°得△CDG是等边三角形，∴CD=DG=CG，∴∠BDE=∠CDG=60°，∴∠BDG=∠EDC，∴△BDG≌△EDC，∴BG=CE，∴BC=BG+CG=CE+CD=4．
【强化训练3】如图，已知等边△ABC，P在AC延长线上一点，以PA为边作等边△APE，EC延长线交BP于M，连接AM.
求证：（1）BP=CE；
（2）EM﹣PM=AM．
【答案】证明 （1）∵△ABC，△APE是等边三角形，
∴AE=AP，AC=AB，∠EAC=∠PAB=60°，
在△EAC与△PAB中，∵ AE=AP，∠EAC=∠PAB，AC=AB，
∴△EAC≌△PAB（SAS），∴BP=CE．
（2）∵△EAC≌△PAB，∴∠AEM=∠APB．
在EM上截取EN=PM，连接AN．
在△AEN与△APM中，∵AE=AP，∠AEM=∠APB，EN=PM，
∴△AEN≌△APM（SAS），
∴AN=AM；
∠EAN=∠PAM．
则∠PAM+∠PAN=∠EAN+∠PAN=60°，即△ANM为等边三角形，
∴MN=AM．
∴EM﹣PM=EM﹣EN=MN=AM．
【题型21】等边三角形和等腰三角形的性质
【典例】如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD，且AC=CD，则∠BAD的度数为（　　）
A.50° B.45° C.40° D.35°
【答案】B
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∵BC⊥CD，∴∠BCD=90°，∴∠ACD=60°+90°=150°，∵AC=CD，∴∠DAC=(180°-150°)÷2=15°，∴∠BAD=60°﹣15°=45°．故选B．
【强化训练1】如图，△ABC中，AB=AC，以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，且∠EDC=40°，则∠ABC的度数为（　　）
A.75° B.80° C.70° D.85°
【答案】B
【解析】∵AB=AC，以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，∴∠ABC=∠ACB，AE=AD，∠AEB=∠ADC=60°，∠3=∠4=60°，∵∠EDC=40°，∴∠1=∠2=40°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠ABC=360°，∴2∠ABC=360°﹣40°﹣40°﹣60°﹣60°=160°，∴∠ABC的度数为80°．故选：B．
【强化训练2】将长为12的线段截成长为整数的三段，使它们成为一个三角形的三边，则构成的三角形（　　）
A.不可能是等腰三角形
B.不可能是等腰三角形
C.不可能是等边三角形
D.不可能是钝角三角形
【答案】D
【解析】设三角形两边长为a，b，三角形周长为12，则第三边为12﹣a﹣b，根据三角形三边关系a+b＞12﹣a﹣b，a﹣b＜12﹣a﹣b，∴a+b＞6，a＜6，同理a，b，c均小于6，当a=1时，则b，c取值均不符合题意，当a=2时，则b，c可能取值为b=c=5，则三角形为等腰三角形，当a=3时，则b，c可能取值为b=4，c=5或b=5、c=4，则三角形为直角三角形，当a=4时，则b，c可能取值为b=3、c=5或b=c=4或b=5，c=3，故三角形为直角三角形或等边三角形，当a=5时，则b、c可能取值为b=3，c=4或b=4，c=3或b=2，c=5或b=5，c=2，则三角形为等腰三角形或直角三角形，故三角形为直角三角形或等边三角形或等腰三角形，故A，B，C选项错误，故选D．
【强化训练3】如图，已知点D，E是BC上的三等分点，△ADE是等边三角形，那么∠BAC的度数为　 ．
【答案】120°
【解析】∵E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，∴BD=DE=EC=AD=AE，∠ADE=∠AED=60°，∴∠B=∠BAD=∠C=∠EAC=30°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=120°．故答案为：120°．
【强化训练4】如图，已知在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AD=AC，连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数．
【答案】解 ∵在等边三角形ABC中，
∴AB=AC（等边三角形的意义），
∵AD⊥BC（已知），
∴∠CAD=∠BAC（等腰三角形三线合一），
∵∠BAC=60°（等边三角形的性质），
∴∠CAD=30°（等量代换），
∵AD=AC（已知），
∴∠ACD=∠ADC（等边对等角），
∵在△ACD中，∠ACD+∠ADC+∠CAD=180°（三角形的内角和等于180度），
∴∠ACD=75°（等式的性质），
∵在△ACE中，∠EAC+∠ACE+∠E=180°（三角形的内角和等于180度），
∴∠E=45°（等式的性质）．
【题型22】等边三角形的性质和等腰三角形的判定
【典例】如图，△ABC为等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，若△ABC的周长为18，BD=a，则△BDE的周长为（　 　）
A.9+a B.12+2a C.12+a D.9+2a
【答案】D
【解析】∵△ABC的周长为18，∴BC=AC=18÷3=6，∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴CD=AC=×6=3，∠CBD=×60°=30°，∵CE=CD，∴∠E=∠CDE=×60°=30°，∴∠CBD=∠E，∴BD=DE，∴△BDE的周长=6+3+a+a=9+2A．故选D．
【强化训练1】如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（　　）
①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°．
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】∵△ABC是等边三角形，BD是AC上的中线，∴BD平分∠ABC，BD⊥AC；∵∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，又CD=CE，∴∠CDE=∠DEC=30°，∴∠CBD=∠DEC，∴DB=DE．∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°，
∴这四项都是正确的．故选：D．
【强化训练2】如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，则∠1的度数是　 ．
【答案】75°
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∵BD=BC，∴AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵∠CBD=90°，∴∠ABD=90°+60°=150°，∴∠BDA=15°，∴∠1=90°-15°=75°．故答案为75°．
【强化训练3】已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出四个正确结论①　 　；②　 　；③　 ；④　 ．
【答案】①DB=DE　②BD⊥AC　③∠DBC=∠DEC=30°　④△ABD≌△CBD　⑤△DCE∽△BDE　⑥∠CDE=30°　⑦BD平分∠ABC（任写其中四个都可以）
【强化训练4】如图，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，E是AB延长线上的一点，且BE=BD．
（1）求∠BAD和∠BDE的度数；
（2）求证：AD=DE．
【答案】（1）解 ∵等边三角形三线合一，
∴BD为∠ABC的角平分线，
∴∠BAD=30°，∠ABD=60°，
∵BE=BD，∴∠BDE=∠BED，
∵∠BDE+∠BED=∠ABD，
∴∠BED=∠BDE=30°，
∴∠BAD=∠BDE=30°．
（2）证明 ∵∠BAD=∠BDE=30°，
∴AD=DE.
【强化训练5】如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，点E在AC的延长线上，且∠CDE=30°．若AD=5，求DE的长．
【答案】解 ∵△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠DAC=30°，
∵点E在AC的延长线上，且∠CDE=30°，
∴AD=DE，∵AD=5，∴DE=5.
【题型23】含30°角的直角三角形的性质
【典例】某市在旧城绿化改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮优化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要(　　)
A.300a元 B.150a元 C.450a元 D.225a元
【答案】B
【解析】延长CA且过点B作CA延长线的垂线，垂中为点D.
当∠CAB=150°时，∠BAD=30°，
在△BDC中，∠D=90°，∠BAD=30°， ∴BD=AB=×20=10（m），
∴×10×30=150(m2)，
∵每平米售价a元，所以共售价为150a元.∴选B.
【强化训练1】若三角形的三个内角的比为1∶2∶3，则它的最短边与最长边的比为（ ）.
A.1∶3 B.1∶2 C.2∶3 D.1∶4
【答案】B
【解析】因为三角形的三个内角的比为1∶2∶3，所以这个三角形三个内角分别为30°，60°，90°，因此30°角所对直角边最短，斜边最长，根据“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”可知它的最短边与最长边的比为1∶2.
【强化训练2】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（　　）
A. ∠CAD=30° B. AD=BD C. BD=2CD D. CD=ED
【答案】D
【解析】在△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=30°，∴∠CAD=∠BAD=∠B，∴AD=BD，AD=2CD，∴BD=2CD，
根据已知不能推出CD=DE，只有D错误，
选项A，B，C的答案都正确．故选D．
【强化训练3】△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD的长度是_______．
【答案】1
【解析】∵∠B=∠ACB=15°，∴∠DAC=30°，AB=AC．∵CD⊥AB，∴CD=AC=AB=1．故CD的长度是1．
【强化训练4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】解 CD＝DB.
理由：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°.
∵DE是∠ADB的平分线，
∴∠ADE＝∠BDE.
又DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠C=90°，∴∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，
∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.
【题型24】含30°角的直角三角形与等腰三角形
【典例】等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°
【答案】C
【解析】①如图，∵BD是△ABC的高，AB=AC，BD=AB，∴∠A=30°，
②如图，∵CD是△ABC边BA 上的高，DC=AC，∴∠DAC=30°，
∴∠BAC=180°﹣30°=150°，
综上所述，这个等腰三角形的顶角等于30°或150°．故选C．
【强化训练1】如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线BC或射线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有(　　)
A.2个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】C
【解析】根据等腰三角形性质，结合构造等腰三角形的方法，分三种情况：①构造AB的中垂线；②以B为圆心，BA长为半径作圆；③以A为圆心，AB长为半径作圆；他们与直线BC或射线AC的交点即是点P，故符合条件的点P有5个．
【强化训练2】如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】如图，过点P作PD⊥MN，交MN于点D，
在Rt△OPD中，∠AOB＝60°，OP＝8，
∴∠OPD＝30°，
∴OD＝OP＝×8＝4，
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，
∴MD＝ND＝MN＝×2＝1，
∴OM＝OD－MD＝4－1＝3.
【强化训练3】如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥AB，交BC于点D，且∠CAD=30°，CD=3，则BD= ．
【答案】6
【解析】∠CAD=30°，AD⊥AB，可得∠CAB=120°；由AB=AC可得∠B=∠C=30°，所以∠CAD=∠C=30°．所以CD=AD=3，在Rt△ABD中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2AD=6．
【强化训练4】如图所示，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上的点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E，F，∠BAC=120°.求证：DE+DF=BC.
【答案】证明 ∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C= (180°-120°)=30°.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.
在Rt△BDE中，∵∠B=30°,
∴DE=BD.
同理在Rt△CDF中，DF=CD.
∴DE+DF=BD+CD= (BD+CD)= BC.
【强化训练5】如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB=30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？
【答案】解 ∵∠ADB=30°，∠ACB=15°，
∴∠CAD=∠ADB﹣∠ACB=15°，
∴∠ACB=∠CAD，
∴AD=CD=20米，
又∵∠ABD=90°，
∴AB=AD=10米，
∴树的高度为10米．
【题型25】含30°角的直角三角形与等边三角形
【典例】如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，则AD的长是（　　）
A.7 B.6 C.5 D.4
【答案】A
【解析】∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；又∵AE=CD，在△ABE和△CAD中，AB=CA，∠BAE=∠ACD，AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）；∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°﹣60°=30°；∵PQ=3，∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；又∵PE=1，∴AD=BE=BP+PE=7．故选A．
【强化训练1】如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长为（ ）
A.2 B.3 C.1 D.8
【答案】A
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC．∠BAC=∠C．
又∵AD=CE，
∴△ABD≌△CAE（SAS）．
∴∠ABD=∠CAE．
∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°．
∴∠BPF=∠APD=60°．
∵∠BFP=90°，∠BPF=60°，∴∠PBF=30°．
∴PF=PB=×4=2．
故选A．
【强化训练2】如图，在等边△ABC中，AD是它的角平分线，DE⊥AB于E，若AC=8，则BE等于（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】C
【解析】∵△ABC是等边三角形，AD是它的角平分线，∴BD=BC=×8=4，∠B=60°．∵DE⊥AB，∴∠BDE=30°，∴BE=BD=2．故选C．
【强化训练3】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D，则AD=　 　．
【答案】2
【解析】由△ABC是等边三角形得，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，又∵DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，∴∠EDF=∠EFD=∠DEF=60°，∴△DEF为等边三角形，∴△ADF≌△DEB≌△EFC，∴AD=BE=CF，∵FD⊥AB，∠AFD=30°，∴AD=AF÷2=(AC-CF)÷2=(6-AD)÷2，解得AD=2．故答案为：2．
【强化训练4】如图，已知，等边三角形ABC，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FE⊥BC，垂足为E，若三角形ABC的边长为4．则线段BE的长为________．
【答案】
【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠C=60°，AB=AC=4，∵DF⊥AC，FE⊥BC，∴∠AFD=∠CEF=90°，∴∠ADF=∠CFE=30°，∴AF=AD，CE=CF，∵点D是AB的中点，∴AD=2，∴AF=1，CF=3，CE=，∴BE=．故答案为．
【强化训练5】如图，点P是等边△ABC的BC边上一点，PM⊥AB，PN⊥AC．试猜想△AMN与四边形BMNC的周长有什么关系？并说明理由．
【答案】解 △AMN与四边形BMNC的周长相等.证明:∵△ABC是等边三角形,PM⊥AB,PN⊥AC,∴AB=AC=BC，∠BPM=30°,∠CPM=30°,∴BM=BP,CN=CP,∴四边形BMNC的周长=BC＋BC＋MN=BC＋MN,△AMN的周长=(AB－BM)＋MN＋(AC－CN)= BC＋MN,∴△AMN与四边形BMNC的周长相等.
【强化训练6】如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ=3，PE=1．
（1）求证：AD=BE；
（2）求AD的长．
【答案】（1）证明 ∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CA=BC，∠BAE=∠ACD=60°；
在△ABE和△CAD中，AB=CA，∠BAE=∠ACD，AE=CD，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴AD=BE．
（2）解 ∵△ABE≌△CAD，
∴∠CAD=∠ABE，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB=90°，
∴∠PBQ=90°﹣60°=30°，
∵PQ=3，
∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6，又∵PE=1，
∴AD=BE=BP+PE=6+1=7．
【题型26】反证法
【典例】若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（　　）
A.至少有一个角是钝角或直角
B.没有一个角是锐角
C.没有一个角是钝角或直角
D.每一个角都是钝角或直角
【答案】C
【强化训练1】对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（　　）
A.∠α=60°，∠α的补角∠β=120°，∠β＞∠α
B.∠α=90°，∠α的补角∠β=90°，∠β=∠α
C.∠α=100°，∠α的补角∠β=80°，∠β＜∠α
D.两个角互为邻补角
【答案】C
【强化训练2】数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等”？老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：
如图1，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，那么∠EOB=∠EO'D”．
如图2，假设∠EOB≠∠EO′D，过点O作直线A′B′，使∠EOB′=∠EO′D．
依据（1） ，可得A′B′∥CD．
这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD，
这与基本事实（2） 矛盾，
说明∠EOB≠∠EO′D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO′D．
【答案】（1）同位角相等，两直线平行　
（2）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【强化训练3】用反证法证明命题“若a2＜4，则|a|＜2”时，应假设 ．
【答案】|a|≥2
【强化训练4】阅读下列文字，回答问题．
题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．
证明：假设AC=BC，因为∠A≠45°，∠C=90°，所以∠A≠∠B．
所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC．
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．
【答案】解 有错误．改正：
假设AC=BC，则∠A=∠B，又∠C=90°，
所以∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾，
所以AC=BC不成立，
所以AC≠BC．

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