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北师大版（2024）八年级下册 1.3 直角三角形 题型专练（参考答案）
【题型1】直角三角形的性质
【典例】如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A=56°，则∠DCB的度数是（　　）
A.30° B.45° C.56° D.60°
【答案】C
【解析】∵CD⊥AB，AC⊥BC，
∴∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°，
∵∠A=56°，
∴∠ACD=90°-56°=34°，
∴∠DCB=90°-34°=56°，
故选：C．
【强化训练1】如图，直线a∥b,△ABC是直角三角形，∠C=90°，顶点A在直线b上，边AB交直线a于点D，边BC交直线a于点E，若∠1=20°，则∠2的度数（　　）
A. 100° B. 105° C. 110° D. 120°
【答案】C
【解析】延长BC交直线b于点F，如图所示：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF=90°，
∵∠1=20°，
∴∠AFC=90°-∠1=70°，
∵直线a∥b,
∴∠DEC+∠AFC=180°，
∴∠DEC=180°-70°=110°，
∴∠2=∠DEC=110°，
故选：C．
【强化训练2】直角三角形中，若其中一个锐角为50°，则另一个锐角为 ．
【答案】40°
【解析】因为直角三角形中一个锐角是50°，
所以另一个锐角是90°-50°=40°．
故答案为：40°．
【强化训练3】在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°）”为主题开展数学活动．
（1）如图1，若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2=2∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系；
（3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上，请你探索并说明∠AEG与∠CFG间的数量关系．
【答案】解 （1）∵AB∥CD，
∴∠1=∠EGD，
∵∠2+∠FGE+∠EGD=180°，∠2=2∠1，
∴2∠1+60°+∠1=180°，
解得∠1=40°．
（2）∠AEF+∠FGC=90°，理由如下：
如图，过点F作FP∥AB，
∵CD∥AB，
∴FP∥AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFP，∠FGC=∠GFP，
∴∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG，
∵∠EFG=90°，
∴∠AEF+∠FGC=90°．
（3）∠AEG+∠CFG=300°．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴∠AEG-∠FEG+∠CFG-∠EFG=180°，
∵∠FEG=30°，∠EFG=90°，
∴∠AEG-30°+∠CFG-90°=180°，
∴∠AEG+∠CFG=300°．
【强化训练4】如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=152°，求∠EDF．
【答案】解 ∵∠AFD=152°，
∴∠DFC=28°，
∵∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠EDB=∠DFC=28°，
∴∠EDF=180°-∠EDB-∠FDC=180°-90°-28°=62°．
【题型2】勾股定理
【典例】如图，AD是△ABC的高，分别以线段AB，BD，DC，CA为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝15﹣6＝9，
∴CD2＝AC2﹣AD2＝12﹣9＝3，
∴第四个正方形的面积为3，
故选：C．
【强化训练1】有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　）
A.22023 B.22024 C.2023 D.2024
【答案】D
【解析】由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积＝1，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2024，
故选：D．
【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝12，AD＝16，BC＝15，则AB等于（　　）
A.20 B.25 C.35 D.30
【答案】B
【解析】在Rt△ADC中，AD＝16，CD＝12，
∴AC＝＝＝20，
在Rt△ACB中，
AB＝＝＝25，
故选：B．
【强化训练3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE．若△ACD的面积为S1，△BCE的面积为S2，则S1+S2的结果为 　 　．
【答案】
【解析】∵分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE．△ACD的面积为S1，△BCE的面积为S2，
∴＝= S1，＝=S2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AC2+BC2＝AB2＝25，
∴S1+S2＝＝，
故答案为：．
【强化训练4】如图，把长方形ABCD放在数轴上，BC＝4，CD＝1，以点B为圆心，BD长为半径画弧交数轴于点E，则点E表示的数为 　 　．
【答案】﹣3
【解析】在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝1，
∴BD＝＝＝，
∵以B为圆心，BD为半径画弧交数轴于点E，
∴BE＝BD＝，
∴E点表示的数为﹣3，
故答案为：﹣3．
【强化训练5】如图：已知AB⊥BC，DC⊥BC，AE⊥DE，且AE＝12，CD＝3，CE＝4，求AD的长．
【答案】解 ∵DC⊥BC，AE⊥DE，
∴∠C＝∠AED＝90°，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，DE＝＝＝5，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，AD＝＝＝13，
即AD的长为13．
【题型3】最短路径问题
【典例】如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（　　）m．
A.8 B.5 C.20 D.10
【答案】C
【解析】如图，线段AB即为所需彩带最短，
由图可知AC＝3×4＝12，BC＝16，
∴由勾股定理得，AB=，
故选：C．
【强化训练1】小彬用3D打印机制作了一个底面周长为18cm、高为12cm的圆柱粮仓模型（如图1）．如图2，BC是底面直径，AB是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　）
A.20cm B.25cm C.30cm D.35cm
【答案】C
【解析】如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC＝A'C，且点C为BB'的中点，
∵AB＝12，BC＝18＝9，
∴装饰带的长度＝2AC＝2×＝30（cm），
故选：C．
【强化训练2】如图所示，有一个高16cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底2cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处2cm的点F处有一滴凝固的蜂蜜，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度是（　　）cm．
A.12 B.20 C.24 D.28
【答案】B
【解析】如图所示，作点F关于AB的对称点F′，连接SF′，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度＝SF′的长度，
过S作SE⊥F′F于E，
在Rt△SEF′中，∵SE＝×24＝12（cm），EF＝16﹣2+2＝16（cm），
∴SF'＝＝20（cm）．
故选：B．
【强化训练3】如图，已知圆柱的底面周长18cm，高为12cm，蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是　 　cm．
【答案】15
【解析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，
∵AC＝9cm，BC＝12cm，
∴AB＝＝15cm，
故答案为：15．
【强化训练4】如图，长方体的底面是边长为2cm的正方形，高是6cm．
（1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面围绕一圈到达点B．那么所用的细线最短长度是多少厘米？
（2）如果从A点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短长度是多少厘米？
【答案】解 （1）如图1所示，连接AB′，则AB′即为所用的最短细线长，
AA′＝8cm，A′B′＝AB＝6cm，
由勾股定理得AB′2＝AA′2+A′B′2＝62+82＝100，
则AB′＝10cm，
答：所用的细线最短长度是10cm．
（2）如图2所示，将长方体的侧面沿AB展开，取A′B′的中点C，取AB的中点C′，连接B′C′，AC，
则AC+B′C′为所求的最短细线长，
AC2＝AA′2+A′C2，AC＝cm，
B′C′2＝BB′2+C′B2＝73，
B′C′＝（cm），
AC+B′C′＝2（cm），
答：所用细线最短长度是2cm．
【强化训练5】如图所示，一个无盖四棱柱容器，其底面是一个边长为3cm的正方形，高为20cm．现有一根彩带，从底面A点开始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达B点（假设彩带完美贴合四棱柱）．
（1）请问彩带的长度是多少？
（2）如图所示，一只蚂蚁在容器外A点发现容器的内部距离顶部2cm处有一滴蜂蜜，它想以最短的路程到达C处．请问蚂蚁走的最短路程是多少呢？
（注：以上两问均要画出平面展开示意图，再解答）
【答案】解 （1）如图，
将长方体的侧面沿AB展开，取A′B′的四等分点C，D，E，取AB的四等分点C′，D′，E′，连接B′E′，D′E，C′D，AC，
则AC+C′D+D′E+E′B′＝4AC为所求的最短彩带长，
∵AC2＝AA′2+A′C2，AC＝＝13，
∴4AC＝52，
答：彩带的长度是52cm．
（2）如图，
将四棱柱展开，找到C的对称点C′，连接AC′，则AC′即为蚂蚁走的最段路程，
在直角△AMC′中，AM＝6cm，MC′＝20+（20﹣18）＝22cm，
由勾股定理得AC′2＝AM2+MC′2＝62+222＝520，
则AC′＝2cm，
答：蚂蚁走的最短路程是2cm．
【题型4】勾股定理的逆定理
【典例】如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是
（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，
∵AB＝6，AC＝8，
∴CD≤8，
∴当CD与AC重合时，CD最长为8，
此时，∠BAC＝90°，△ABC的面积最大，
∴BC＝＝10，
∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10，
故选：C．
【强化训练1】下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（　　）
A.7，14，15 B.6，8，10 C.5，12，13 D.8，15，17
【答案】A
【解析】A.∵72+142≠152，∴不能构成直角三角形；
B.∵62+82＝102，∴能构成直角三角形；
C.∵52+122＝132，∴能构成直角三角形；
D.∵82+152＝172，∴能构成直角三角形．
故选：A．
【强化训练2】下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
B.∠A﹣∠B＝∠C
C.AB∶BC∶AC＝1∶2∶
D.AB＝0.7，BC＝2.4，AC＝2.5
【答案】A
【解析】A.根据∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，可得，∠C＝×180°＝75°，△ABC是锐角三角形，符合题意；
B.∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
C.∵AB∶BC∶AC＝1∶2∶，12+（）2＝4＝22，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
D.由AB＝0.7，BC＝2.4，AC＝2.5得，AB2+BC2＝AC2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
故选：A．
【强化训练3】如图，点D，C，E在直线l上，点A，B在l的同侧，AC⊥BC，若AD＝AC＝BC＝BE＝5，CD＝6，则CE的长为 　 　．
【答案】8
【解析】过点A作AM⊥CD于点M，BN⊥CE于点N，如图所示，
则∠AMD＝∠AMC＝∠BNC＝90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠BCN＝∠BCN+∠CBN＝90°，
∴∠ACM＝∠CBN，
∵AC＝BC，∠AMC＝∠BNC＝90°，
∴△ACM≌△CBN，
∴AM＝CN，BN＝CM，
∵AD＝AC，AM⊥CD，
∴DM=CM= =3，
∴AM=，
∴CN＝AM＝4，
∵BC＝BE，BN⊥CE，
∴EN=CN=，
∴CE＝2CN＝8，
故答案为：8．
【强化训练4】如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝6cm，AB＝8cm，BC＝26cm，DC＝24cm，求四边形ABCD的面积．
【答案】解 连接BD，
∵AB⊥AD，
∴∠A＝90°，
∴△ABD为直角三角形，
∵BD2＝AB2+BD2＝82+62＝102，
∴BD＝10cm，
在△BCD中，BC＝26cm，CD＝24cm，
∵DC2+BD2＝BC2，
∴△BCD为直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△BCD﹣S△ABD＝×10×24﹣×6×8＝96（cm2）．
【强化训练5】如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．
（1）试说明△ABC为直角三角形；
（2）求CE的长．
【答案】（1）证明 ∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形．
（2）解 设CE长为xcm，则BE＝（8﹣x）cm．
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE＝8﹣x．
在Rt△ACE中，由勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2，
解得x=，所以CE的长为．
【题型5】勾股数
【典例】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）
A.2，3，4 B.4，5，6 C.7，8，9 D.6，8，10
【答案】D
【解析】A.22+32≠42，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
B.42+52≠62，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
C.72+82≠92，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
D.82+62＝102，故是勾股数，故本选项符合题意．
故选：D．
【强化训练1】有下列说法：
①∵0.6，0.8，1不是勾股数，∴三边长分别为0.6，0.8，1的三角形不是直角三角形；
②∵三边长分别为1，2，的三角形是直角三角形，∴1，2，是勾股数；
③若整数a，整数b，整数c分别是直角三角形的三边长，则0.1a，0.1b，0.1c必定不是勾股数．
其中错误的有（　　）
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
【答案】A
【解析】①虽然0.6，0.8，1不是勾股数，但是0.62+0.82＝12，所以以0.6，0.8，1为边的三角形是直角三角形，故①说法错误；
②因勾股数必须都是整数，故②说法错误；
③若整数a，整数b，整数c分别是直角三角形的三边长，则0.1a，0.1b，0.1c有可能是勾股数，故③说法错误．
故选：A．
【强化训练2】若3，a，5是一组勾股数，则a的值为（　　）
A. B.4 C.或4 D.2
【答案】B
【解析】∵3，a，5是勾股数，
∴a＝＝4，或a＝＝（舍去）．
故选：B．
【强化训练3】观察以下几组勾股数，并寻找规律：请你写出有以上规律的第⑨组勾股数：　 　．
①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41．
【答案】19，180，181．
【解析】∵①3＝2×1+1，4＝2×1×（1+1），5＝2×1×（1+1）+1，
②5＝2×2+1，12＝2×2×（2+1），13＝2×2×（2+1）+1，
③7＝2×3+1，24＝2×3×（3+1），25＝2×3×（3+1）+1，…，
∴第n组勾股数为：
a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1，
∴第⑨组勾股数为a＝2×9+1＝19，b＝2×9×（9+1）＝180，c＝2×9×（9+1）+1＝181，即19，180，181．
故答案为：19，180，181．
【强化训练4】材料阅读：给定三个数a，b，c，若它们满足a2+b2＝c2，则称a，b，c这三个数为“勾股数”．例如：
①32＝9，42＝16，52＝25，∵9+16＝25，即32+42＝52，∴3，4，5这三个数为勾股数．
②52＝25，122＝144，132＝196，∵25+144+169，即52+122＝132，∴5，12，13这三个数为勾股数．
若三角形的三条边a，b，c满足勾股数，即a2+b2＝c2，则这个三角形为直角三角形，且a，b分别为直角的两条邻边．（如题图所示）
根据以上信息，解答下列问题：
（1）试判断8，15，17是否为勾股数；
（2）若某三角形的三边长分别为7，24，25，求其面积；
（3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长．
【答案】解 （1）因为82+152＝172，且8，15，17都是正整数，
故8，15，17是为勾股数．
（2）∵72+242＝252，
∴该三角形是直角三角形，
∴其面积＝×7×24＝84．
（3）当8是直角边时，则另一条边＝＝10，周长为6+8+10＝24；
当8是斜边时，则另一条边＝＝2，周长为6+8+2＝14+2．
故其周长为24或14+2．
【强化训练5】清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”．
（1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　 　（最大数不超过18）；
（2）用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明．
【答案】解 （1）当k＝4时，这一组勾股数是3，4，5．
故答案为：3，4，5．
（2）当k大于2时，k2+[（k）2﹣1]2＝[（k）2+1]2．
证明：∵左边＝k2+[（k）2﹣1]2＝k2+[k2﹣1]2
＝k2+k4+1﹣k2
＝k4+k2+1；
右边＝[（k）2+1]2＝[k2+1]2＝k4+k2+1．
∴左边＝右边，
∴等式成立．
【题型6】互逆命题与互逆定理
【典例】下列命题中，逆命题是真命题的是（　　）
A.对顶角相等
B.如果两个数是偶数，那么它们的和是偶数
C.两直线平行，内错角相等
D.如果a=b,那么a2=b2
【答案】C
【解析】A.对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；
B.如果两个数是偶数，那么它们的和是偶数的逆命题是如果两个数的和是偶数，那么这两个数是偶数，是假命题，不符合题意；
C.两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；
D.如果a=b,那么a2=b2的逆命题是如果a2=b2，那么a=b,是假命题，不符合题意．
故选：C．
【强化训练1】已知命题：如果a=b,那么|a|=|b|．该命题的逆命题是（　　）
A.如果a=b,那么|a|=|b|
B.如果|a|=|b|，那么a=b
C.如果a≠b,那么|a|≠|b|
D.如果|a|≠|b|，那么a≠b
【答案】B
【解析】已知本题中命题的题设是a=b,结论是|a|=|b|，
所以它的逆命题中的题设是|a|=|b|，结论是a=b,
所以本题中的逆命题是如果|a|=|b|，那么a=b.
故选：B．
【强化训练2】定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（　　）
A.有两个角相等的三角形是等腰三角形
B.有两个底角相等的三角形是等腰三角形
C.有两个角不相等的三角形不是等腰三角形
D.不是等腰三角形的两个角不相等
【答案】A
【解析】定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是有两个角相等的三角形是等腰三角形，
故选：A．
【强化训练3】命题“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是 .这个逆命题是 命题．（填真或假）
【答案】三个角都相等的三角形是等边三角形 真
【强化训练4】说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
(1)四边形是多边形；
(2)两直线平行，同旁内角互补；
(3)如果ab=0,那么a=0,b=0.
【答案】解 （1）命题“四边形是多边形”的逆命题是“多边形是四边形”，原命题是真命题，逆命题是假命题.
（2）命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，原命题是真命题，逆命题也是真命题.
（3）命题“如果ab=0，那么a=0，b=0”的逆命题是“如果a=0，b=0，那么ab=0”，原命题是假命题，逆命题是真命题.
【题型7】用HL判定三角形全等
【典例】如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）
A.AB=AC B.∠BAC=90° C.BD=AC D.∠B=45°
【答案】A
【解析】添加AB=AC，符合判定定理HL； 添加BD=DC，符合判定定理SAS； 添加∠B=∠C，符合判定定理AAS； 添加∠BAD=∠CAD，符合判定定理ASA； 选其中任何一个均可．故选A．
【强化训练1】如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　）
A.AE=DF B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AB=DC
【答案】D
【解析】条件是AB=CD，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD=∠AEB=90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故选D．
【强化训练2】如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是 .
【答案】AB=CD
【解析】要使△ABP≌△CDP，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，即一角一边，则我们增加斜边AB=CD，利用HL判定其全等．
【强化训练3】如图，AB⊥CF，垂足为B，AB∥DE，点E在CF上，CE=FB，AC=DF，依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的方法，可以简写为 .
【答案】HL
【解析】∵AB⊥CF，AB∥DE，∴△ABC和△DEF都是直角三角形．∵CE=FB，BE为公共部分，∴CB=EF，又∵AC=DF，∴由HL定理可判定△ABC≌△DEF．故填HL．
【强化训练4】如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时，△ABC才能和△APQ全等？
【答案】解 根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP=BC时，∵∠C=∠QAP=90°， 在Rt△ABC与Rt△QPA中，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP=BC=5cm；②当P运动到与C点重合时，AP=AC，在Rt△ABC与Rt△QPA中，∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），即AP=AC=10cm，∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．综上所述，当P运动到AP=BC，点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．
【强化训练5】如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，EA⊥AB，FD⊥AD，AB=CD，若用“HL”证明Rt△AEC≌Rt△DFB，需添加什么条件？并写出你的证明过程．
【答案】解 条件是EC=BF，证明：∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
∴AC=BD，∵EA⊥AB，FD⊥AD，
∴∠A=∠D=90°，
在Rt△AEC和Rt△DFB中
∴Rt△AEC≌△Rt△DFB（HL）．
【题型8】用HL证明边或角相等
【典例】如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC=DB，则下列结论中不正确的是（　　）
A.∠A=∠D B.∠ABC=∠DCB C.OB=OD D.OA=OD
【答案】C
【解析】用HL证明边或角相等.
∵AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，∴∠A=∠D=90°（A正确）．
又∵AC=DB，BC=BC，∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC=∠DCB（B正确），
∴AB=CD．又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△DOC，∴OA=OD（D正确）．
C中OD，OB不是对应边，不相等．故选C．
【强化训练1】如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝135°，则∠EDF的度数为(　　)
A.55° B.45° C.35° D.65°
【答案】B
【解析】∵∠AFD＝135°，∴∠CFD＝45°，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠FDC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CFD中，
∴Rt△BDE≌Rt△CFD(HL)，
∴∠BDE＝∠CFD＝45°，
∴∠EDF＝180°－∠FDC－∠BDE＝45°.
【强化训练2】如图，AB⊥BC于B，AD⊥CD于D，若CB=CD，且∠BAC=30°，则∠BAD的度数是（　　）
A.15° B.30° C.60° D.90°
【答案】C
【解析】∵AB⊥BC于B，AD⊥CD于D，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
又∵CB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（HL），
∴∠BAC=∠DAC=30°，
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=60°．
故选C．
【强化训练3】如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2等于（　　）
A.40° B.50° C.60° D.75°
【答案】B
【解析】∵∠B=∠D=90°,
在Rt△ABC和Rt△ADC中
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）,
∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．
故选B．
【强化训练4】如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝135°，则∠EDF的度数为(　　)
A.55° B.45° C.35° D.65°
【答案】B
【解析】∵∠AFD＝135°，∴∠CFD＝45°，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠FDC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CFD中，
∴Rt△BDE≌Rt△CFD(HL)，
∴∠BDE＝∠CFD＝45°，
∴∠EDF＝180°－∠FDC－∠BDE＝45°.
【强化训练5】如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△OAB是等腰三角形．
【答案】证明 ∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠D=∠C=90°，
在Rt△ABD和Rt△BAC中，AC=BD，
AB=BA∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），
∴∠DBA=∠CAB，
∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形．
【强化训练6】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为斜边BC上一点，且BD=BA，过点D作BC的垂线交AC于点E．求证：点E在∠ABC的角平分线上．
【答案】证明 连接BE，∵ED⊥BC，∴∠BDE=∠A=90°．
在Rt△ABE和Rt△DBE中∵
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）．
∴∠ABE=∠DBE．∴点E在∠ABC的角平分线上．
【题型9】HL的应用
【典例】如图，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向上的长度DF相等，若∠ABC=32°，则∠DFE的度数为（　　）
A.32° B.28° C.58° D.45°
【答案】C
【解析】在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠DEF=∠ABC，
∵∠ABC=32°，
∴∠DFE=90°-32°=58°．故选C．
【强化训练1】如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小间的关系是（　　）
A.∠ABC=∠DFE
B.∠ABC＞∠DFE
C.∠ABC＜∠DFE
D.∠ABC+∠DFE=90°
【答案】D
【解析】∵BC=EF，AC=DF，∠CAB=∠FDE=90°，
∴△ABC≌△DEF（HL），
∴∠BCA=∠DFE．
又∵在Rt△ABC中∠ABC+∠BCA=90°，
∴∠ABC+∠DFE=90°．故选D.
【强化训练2】如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF中正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
【答案】C
【解析】∵在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
则（1）AB=DE，正确；
（2）∠ABC+∠DFE=90°，正确；
（3）∠ABC=∠DEF．故选 C．
【强化训练3】如图，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向上的长度DF相等，若∠ABC=32°，则∠DFE的度数为（　　）
A.32° B.28° C.58° D.45°
【答案】C
【解析】在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠DEF=∠ABC，
∵∠ABC=32°，
∴∠DFE=90°-32°=58°．故选C．
【强化训练4】一个风筝如图所示，两翼AB=AC，横骨BF⊥AC，CE⊥AB，问其中骨AD能平分∠BAC吗？为什么？
【答案】解 中骨AD能平分∠BAC．
理由如下：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AFB=∠AEC=90°，
又∵AB=AC，∠BAF=∠CAE，
∴△BAF≌△CAE，
∴AF=AE．
在Rt△AED和Rt△AFD中，AD=AD，AE=AF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD，
∴∠EAD=∠FAD，
答：中骨AD能平分∠BAC．
【强化训练5】如图，这是建筑物上的人字架，已知：AB=AC，AD⊥BC，则BD与CD相等吗？为什么？
【答案】解 BD=CD，
理由：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°（垂直定义），
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
∴BD=CD（全等三角形的对应边相等）
【题型10】求高度或距离
【典例】如图，OA＝6，OB＝8，AB＝10，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（　　）
A.北偏东40° B.北偏东50° C.东偏北60° D.东偏北70°
【答案】B
【解析】∵OA＝6，OB＝8，AB＝10，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
由题意得，90°﹣40°＝50°，
∴点B在点O的北偏东50°方向，
故选：B．
【强化训练1】民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于（　　）
A.1.0米 B.1.2米 C.1.25米 D.1.5米
【答案】A
【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.4米，BE＝CD＝1.8米，ED＝BC＝0.8米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.4﹣1.8＝0.6（米），
在Rt△ADE中，由勾股定理得到，
AD＝＝＝1.0（米），
故选：A．
【强化训练2】某会展中心在会展期间准备将高5米、长13米、宽2米的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　 　元．
【答案】680
【解析】由勾股定理得AB＝＝＝12（米），
则地毯总长为12+5＝17（米），
则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）．
故答案为：680．
【强化训练3】如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号）
（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？
【答案】解 （1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米，
∴AC=（米），
∵BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米），
∴BC=（米），
∴CE＝AC﹣BC＝（25﹣）米，
答：此人需向右移动的距离为（）米．
（2）∵需收绳绳长AC﹣CF＝25﹣7＝18（米），
且此人以0.5米每秒的速度收绳，
∴收绳时间，
答：该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置．
【强化训练4】学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）．
根据以上信息，求旗杆AB的高度．
【答案】解 设AB＝x，则AE＝x﹣1，AC＝x+2，根据题意得，
在Rt△ACE中，根据勾股定理得，AC2＝AE2+CE2，
∴（x+2）2＝（x﹣1）2+92，
∴x＝13．
答：旗杆AB的高度为13米．
【题型11】水杯中的筷子问题
【典例】如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（　　）
A.6cm B.5cm C.3cm D.2cm
【答案】C
【解析】根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，
在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），
所以18﹣15＝3（cm）．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．
故选：C．
【强化训练1】如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（　　）
A.5≤a≤12 B.12≤a≤3 C.12≤a≤4 D.12≤a≤13
【答案】D
【解析】最短距离就是牛奶盒的高度，即最短为12，
由题意知，牛奶盒底面对角长为＝5，
当吸管、牛奶盒的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最长，则吸管长度为＝13，
即吸管在盒内部分a的长度范围是12≤a≤13，
故选：D．
【强化训练2】如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（　　）
A.5≤a≤12 B.12≤a≤3 C.12≤a≤4 D.12≤a≤13
【答案】D
【解析】最短距离就是牛奶盒的高度，即最短为12，
由题意知，牛奶盒底面对角长为＝5，
当吸管、牛奶盒的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最长，则吸管长度为＝13，
即吸管在盒内部分a的长度范围是12≤a≤13，
故选：D．
【强化训练3】如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（　　）
A.6cm B.5cm C.3cm D.2cm
【答案】C
【解析】根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，
在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），
所以18﹣15＝3（cm）．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．
故选：C．
【题型12】与梯子滑落相关问题
【典例】如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2米．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（　　）
A.2.5米 B.3米 C.1.5米 D.3.5米
【答案】A
【解析】设BO＝x米，
依题意得，AC＝0.5米，BD＝0.5米，AO＝2米．
在Rt△AOB中，根据勾股定理得，AB2＝AO2+OB2＝22+x2，
在Rt△COD中，根据勾股定理得，CD2＝CO2+OD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，
∴22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，
解得，x＝1.5，
∴AB＝＝2.5（米），
即梯子的长度AB为2.5米，
故选：A．
【强化训练1】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　）
A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米
【答案】C
【解析】如图，∠ACB＝∠BDE＝90°，CB＝0.7m，AC＝2.5m，DE＝2m．
在Rt△ABC中，AB＝＝＝2.5（m）．
∵AB＝BE，
∴BE＝2.5（m），
∴BD＝＝＝1.5（m），
∴CD＝CB+BD＝0.7+1.5＝2.2（m），即小巷的宽度为2.2米．
故选：C．
【强化训练2】如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（　　）
A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8
【答案】D
【解析】∵AB＝2.5米，AC＝0.7米，
∴BC＝＝2.4（米），
∵梯子的顶部下滑0.4米，
∴BE＝0.4米，
∴EC＝BC﹣0.4＝2（米），
∴DC＝＝1.5（米）．
∴梯子的底部向外滑出AD＝1.5﹣0.7＝0.8（米）．
故选：D．
【强化训练3】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　）
A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米
【答案】C
【解析】如图，∠ACB＝∠BDE＝90°，CB＝0.7m，AC＝2.5m，DE＝2m．
在Rt△ABC中，AB＝＝＝2.5（m）．
∵AB＝BE，
∴BE＝2.5（m），
∴BD＝＝＝1.5（m），
∴CD＝CB+BD＝0.7+1.5＝2.2（m），即小巷的宽度为2.2米．
故选：C．
【强化训练4】如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（　　）
A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8
【答案】D
【解析】∵AB＝2.5米，AC＝0.7米，
∴BC＝＝2.4（米），
∵梯子的顶部下滑0.4米，
∴BE＝0.4米，
∴EC＝BC﹣0.4＝2（米），
∴DC＝＝1.5（米）．
∴梯子的底部向外滑出AD＝1.5﹣0.7＝0.8（米）．
故选：D．北师大版（2024）八年级下册 1.3 直角三角形 题型专练
【题型1】直角三角形的性质
【典例】如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A=56°，则∠DCB的度数是（　　）
A.30° B.45° C.56° D.60°
【强化训练1】如图，直线a∥b,△ABC是直角三角形，∠C=90°，顶点A在直线b上，边AB交直线a于点D，边BC交直线a于点E，若∠1=20°，则∠2的度数（　　）
A. 100° B. 105° C. 110° D. 120°
【强化训练2】直角三角形中，若其中一个锐角为50°，则另一个锐角为 ．
【强化训练3】在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°）”为主题开展数学活动．
（1）如图1，若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2=2∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系；
（3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上，请你探索并说明∠AEG与∠CFG间的数量关系．
【强化训练4】如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=152°，求∠EDF．
【题型2】勾股定理
【典例】如图，AD是△ABC的高，分别以线段AB，BD，DC，CA为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【强化训练1】有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　）
A.22023 B.22024 C.2023 D.2024
【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝12，AD＝16，BC＝15，则AB等于（　　）
A.20 B.25 C.35 D.30
【强化训练3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE．若△ACD的面积为S1，△BCE的面积为S2，则S1+S2的结果为 　 　．
【强化训练4】如图，把长方形ABCD放在数轴上，BC＝4，CD＝1，以点B为圆心，BD长为半径画弧交数轴于点E，则点E表示的数为 　 　．
【强化训练5】如图：已知AB⊥BC，DC⊥BC，AE⊥DE，且AE＝12，CD＝3，CE＝4，求AD的长．
【题型3】最短路径问题
【典例】如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（　　）m．
A.8 B.5 C.20 D.10
【强化训练1】小彬用3D打印机制作了一个底面周长为18cm、高为12cm的圆柱粮仓模型（如图1）．如图2，BC是底面直径，AB是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　）
A.20cm B.25cm C.30cm D.35cm
【强化训练2】如图所示，有一个高16cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底2cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处2cm的点F处有一滴凝固的蜂蜜，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度是（　　）cm．
A.12 B.20 C.24 D.28
【强化训练3】如图，已知圆柱的底面周长18cm，高为12cm，蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是　 　cm．
【强化训练4】如图，长方体的底面是边长为2cm的正方形，高是6cm．
（1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面围绕一圈到达点B．那么所用的细线最短长度是多少厘米？
（2）如果从A点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短长度是多少厘米？
【强化训练5】如图所示，一个无盖四棱柱容器，其底面是一个边长为3cm的正方形，高为20cm．现有一根彩带，从底面A点开始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达B点（假设彩带完美贴合四棱柱）．
（1）请问彩带的长度是多少？
（2）如图所示，一只蚂蚁在容器外A点发现容器的内部距离顶部2cm处有一滴蜂蜜，它想以最短的路程到达C处．请问蚂蚁走的最短路程是多少呢？
（注：以上两问均要画出平面展开示意图，再解答）
【题型4】勾股定理的逆定理
【典例】如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是
（　　）
A. B. C. D.
【强化训练1】下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（　　）
A.7，14，15 B.6，8，10 C.5，12，13 D.8，15，17
【强化训练2】下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
B.∠A﹣∠B＝∠C
C.AB∶BC∶AC＝1∶2∶
D.AB＝0.7，BC＝2.4，AC＝2.5
【强化训练3】如图，点D，C，E在直线l上，点A，B在l的同侧，AC⊥BC，若AD＝AC＝BC＝BE＝5，CD＝6，则CE的长为 　 　．
【强化训练4】如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝6cm，AB＝8cm，BC＝26cm，DC＝24cm，求四边形ABCD的面积．
【强化训练5】如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．
（1）试说明△ABC为直角三角形；
（2）求CE的长．
【题型5】勾股数
【典例】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）
A.2，3，4 B.4，5，6 C.7，8，9 D.6，8，10
【强化训练1】有下列说法：
①∵0.6，0.8，1不是勾股数，∴三边长分别为0.6，0.8，1的三角形不是直角三角形；
②∵三边长分别为1，2，的三角形是直角三角形，∴1，2，是勾股数；
③若整数a，整数b，整数c分别是直角三角形的三边长，则0.1a，0.1b，0.1c必定不是勾股数．
其中错误的有（　　）
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
【强化训练2】若3，a，5是一组勾股数，则a的值为（　　）
A. B.4 C.或4 D.2
【强化训练3】观察以下几组勾股数，并寻找规律：请你写出有以上规律的第⑨组勾股数：　 　．
①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41．
【强化训练4】材料阅读：给定三个数a，b，c，若它们满足a2+b2＝c2，则称a，b，c这三个数为“勾股数”．例如：
①32＝9，42＝16，52＝25，∵9+16＝25，即32+42＝52，∴3，4，5这三个数为勾股数．
②52＝25，122＝144，132＝196，∵25+144+169，即52+122＝132，∴5，12，13这三个数为勾股数．
若三角形的三条边a，b，c满足勾股数，即a2+b2＝c2，则这个三角形为直角三角形，且a，b分别为直角的两条邻边．（如题图所示）
根据以上信息，解答下列问题：
（1）试判断8，15，17是否为勾股数；
（2）若某三角形的三边长分别为7，24，25，求其面积；
（3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长．
【强化训练5】清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”．
（1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　 　（最大数不超过18）；
（2）用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明．
【题型6】互逆命题与互逆定理
【典例】下列命题中，逆命题是真命题的是（　　）
A.对顶角相等
B.如果两个数是偶数，那么它们的和是偶数
C.两直线平行，内错角相等
D.如果a=b,那么a2=b2
【强化训练1】已知命题：如果a=b,那么|a|=|b|．该命题的逆命题是（　　）
A.如果a=b,那么|a|=|b|
B.如果|a|=|b|，那么a=b
C.如果a≠b,那么|a|≠|b|
D.如果|a|≠|b|，那么a≠b
【强化训练2】定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（　　）
A.有两个角相等的三角形是等腰三角形
B.有两个底角相等的三角形是等腰三角形
C.有两个角不相等的三角形不是等腰三角形
D.不是等腰三角形的两个角不相等
【强化训练3】命题“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是 .这个逆命题是 命题．（填真或假）
【强化训练4】说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
(1)四边形是多边形；
(2)两直线平行，同旁内角互补；
(3)如果ab=0,那么a=0,b=0.
【题型7】用HL判定三角形全等
【典例】如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）
A.AB=AC B.∠BAC=90° C.BD=AC D.∠B=45°
【强化训练1】如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　）
A.AE=DF B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AB=DC
【强化训练2】如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是 .
【强化训练3】如图，AB⊥CF，垂足为B，AB∥DE，点E在CF上，CE=FB，AC=DF，依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的方法，可以简写为 .
【强化训练4】如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时，△ABC才能和△APQ全等？
【强化训练5】如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，EA⊥AB，FD⊥AD，AB=CD，若用“HL”证明Rt△AEC≌Rt△DFB，需添加什么条件？并写出你的证明过程．
【题型8】用HL证明边或角相等
【典例】如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC=DB，则下列结论中不正确的是（　　）
A.∠A=∠D B.∠ABC=∠DCB C.OB=OD D.OA=OD
【强化训练1】如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝135°，则∠EDF的度数为(　　)
A.55° B.45° C.35° D.65°
【强化训练2】如图，AB⊥BC于B，AD⊥CD于D，若CB=CD，且∠BAC=30°，则∠BAD的度数是（　　）
A.15° B.30° C.60° D.90°
【强化训练3】如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2等于（　　）
A.40° B.50° C.60° D.75°
【强化训练4】如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝135°，则∠EDF的度数为(　　)
A.55° B.45° C.35° D.65°
【强化训练5】如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△OAB是等腰三角形．
【强化训练6】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为斜边BC上一点，且BD=BA，过点D作BC的垂线交AC于点E．求证：点E在∠ABC的角平分线上．
【题型9】HL的应用
【典例】如图，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向上的长度DF相等，若∠ABC=32°，则∠DFE的度数为（　　）
A.32° B.28° C.58° D.45°
【强化训练1】如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小间的关系是（　　）
A.∠ABC=∠DFE
B.∠ABC＞∠DFE
C.∠ABC＜∠DFE
D.∠ABC+∠DFE=90°
【强化训练2】如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF中正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
【强化训练3】如图，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向上的长度DF相等，若∠ABC=32°，则∠DFE的度数为（　　）
A.32° B.28° C.58° D.45°
【强化训练4】一个风筝如图所示，两翼AB=AC，横骨BF⊥AC，CE⊥AB，问其中骨AD能平分∠BAC吗？为什么？
【强化训练5】如图，这是建筑物上的人字架，已知：AB=AC，AD⊥BC，则BD与CD相等吗？为什么？
【题型10】求高度或距离
【典例】如图，OA＝6，OB＝8，AB＝10，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（　　）
A.北偏东40° B.北偏东50° C.东偏北60° D.东偏北70°
【强化训练1】民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于（　　）
A.1.0米 B.1.2米 C.1.25米 D.1.5米
【强化训练2】某会展中心在会展期间准备将高5米、长13米、宽2米的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　 　元．
【强化训练3】如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号）
（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？
【强化训练4】学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）．
根据以上信息，求旗杆AB的高度．
【题型11】水杯中的筷子问题
【典例】如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（　　）
A.6cm B.5cm C.3cm D.2cm
【强化训练1】如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（　　）
A.5≤a≤12 B.12≤a≤3 C.12≤a≤4 D.12≤a≤13
【强化训练2】如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（　　）
A.5≤a≤12 B.12≤a≤3 C.12≤a≤4 D.12≤a≤13
【强化训练3】如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（　　）
A.6cm B.5cm C.3cm D.2cm
【题型12】与梯子滑落相关问题
【典例】如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2米．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（　　）
A.2.5米 B.3米 C.1.5米 D.3.5米
【强化训练1】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　）
A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米
【强化训练2】如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（　　）
A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8
【强化训练3】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　）
A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米
【强化训练4】如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（　　）
A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8

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