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北师大版（2024）八年级下册 1.4 线段的垂直平分线 题型专练（参考答案）
【题型1】线段垂直平分线的性质
【典例】如图，在△ABC中，∠A=70°，OD垂直平分AB，垂足为点D，OE垂直平分AC，垂足为点E，连接OC，则∠BCO的度数为（　　）
A.20° B.30° C.25° D.35°
【答案】A
【解析】连接OA、OB，如图，
∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=110°．
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA=OB，OA=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，OB=OC，
∴∠OBA+∠OCA=70°，
∴∠OBC+∠BCO=110°-70°=40°，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠OBC=20°．
【强化训练1】三角形两边的垂直平分线的交点为O，则点O（ ）
A. 到三边距离相等 B. 到三顶点距离相等 C. 不在第三边的垂直平分线上 D. 以上都不对
【答案】B
【解析】如图，连接OA，OB，OC，∵O为△ABC两边BC，AC的垂直平分线的交点，∴OB=OC，OA=OC，∴OA=OB=OC，∴O也在AB的垂直平分线上，且O到△ABC三顶点的距离相等．三角形的三个角的平分线的交点到三角形的三边距离相等，即选项A，C，D错误，只有选项B正确．
【强化训练2】如图，在△ABC中，BC=12，边BC的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D，若BE=8，则△BCE的周长为 ．
【答案】28
【解析】∵边BC的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D，∴EC=BE=8，又∵BC=12，∴△BCE的周长是EC+BE+BC=8+8+12=28．
【强化训练3】如图，在△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G.求△AEG的周长．
【答案】解 ∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE.
∵FG是AC的垂直平分线，
∴AG＝CG.
∴△AEG的周长为AE＋AG＋EG＝BE＋CG＋EG＝BC＝10.
【题型2】线段垂直平分线性质与全等三角形
【典例】如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于点D．若AC=9，则AE的值是（ ）
A. 63 B. 43 C. 6 D. 4
【答案】C
【解析】∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，∵ED垂直平分AB于D，∴EA=EB，AD=BD，∠EDA=∠EDB=90°，∴Rt△EAD≌Rt△EBD，∴∠A=∠ABE，∴∠CBE=30°，∴BE=2EC，即AE=2EC，而AE+EC=AC=9，∴AE=6．
【强化训练1】如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A. AB=AD B. AC平分∠BCD C. △BEC≌△DEC D. AB=BD
【答案】D
【强化训练2】如图，在△ABC中，DE垂直平分线段AC，交AB于E，交AC于点D，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= 度．
【答案】50
【解析】∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，AD=CD，
∴∠ACE=∠A=30°，∵∠ACB=80°，
∴∠BCE=80°﹣30°=50°．
【强化训练3】如图，直线AD是线段BC的垂直平分线，求证：∠ABD=∠ACD．
【答案】证明 ∵AD是线段BC的垂直平分线，
∴EB=EC，AB=AC，∠BEA=∠CEA=90°，
∴Rt△BEA≌Rt△CEA，
∴∠ABC=∠ACB，同理∠DBC+∠DCB，
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB，即∠ABD=∠ACD．
【题型3】线段的垂直平分线与含30°角的直角三角形
【典例】如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E．当∠B=30°时，图中不相等的线段有（ ）
A.AC=AE=BE B.AD=BD C.AC=BD D.CD=DE
【答案】C
【解析】∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=60°，AC=AB，
∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，
AE=BE=AB，∴∠DAB=30°，AC=AE=BE，故A，B正确；
∴∠CAD=30°，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴CD=DE，故D正确．
【强化训练1】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB=10cm，则AC等于（ ）
A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm
【答案】B
【解析】连接AD，如图，利用线段垂直平分线的性质求得AD=BD=10，且由三角形的外角的性质可求得∠ADC=30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质可求得AC=AD=5(cm)．
【强化训练2】如图，在△ABC中，已知BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D.若AC＝6 cm，则AD等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.2.8
【答案】A
【解析】连接BD，如图所示，
∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，∵BA＝BC，∠B＝120°，
∴∠A＝∠C＝×(180°－120°)＝30°，
∴∠ABD＝30°，∴∠CBD＝90°，
∴CD＝2BD，∴CD＝2AD，
∴AC＝AD＋CD＝AD＋2AD＝3AD，
又AC＝6(cm)，∴AD＝2(cm)．
【强化训练3】如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E．当∠B=30°时，图中不相等的线段有（ ）
A.AC=AE=BE B.AD=BD C.AC=BD D.CD=DE
【答案】C
【解析】∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=60°，AC=AB，
∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，
AE=BE=AB，∴∠DAB=30°，AC=AE=BE，故A，B正确；
∴∠CAD=30°，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴CD=DE，故D正确．
【强化训练4】如图，在△ABC中，已知BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D.若AC＝6 cm，则AD等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.2.8
【答案】A
【解析】连接BD，如图所示，
∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，∵BA＝BC，∠B＝120°，
∴∠A＝∠C＝×(180°－120°)＝30°，
∴∠ABD＝30°，∴∠CBD＝90°，
∴CD＝2BD，∴CD＝2AD，
∴AC＝AD＋CD＝AD＋2AD＝3AD，
又AC＝6(cm)，∴AD＝2(cm)．
【强化训练5】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE是AB的垂直平分线，BE＝5，求AC的长．
【答案】解 连接AE，如图所示，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE＝AE，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠EAB＋∠B＝30°.
∵∠C＝90°，
∴AC＝AE＝BE＝2.5.
【强化训练6】如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD=DC．
【答案】证明 如图，连接DB．
∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=DB，
∴∠A=∠ABD．
∵BA=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=×(180°-120°)=30°，
∴∠ABD=30°．∵∠ABC=120°，
∴∠DBC=120°-30°=90°，
∴BD=DC，∴AD=DC．
【题型4】线段的垂直平分线与等腰三角形
【典例】如图，在△ABD和△ACD中，AP，AQ分别为BD，CD的垂直平分线，若∠PAQ=30°，AD=2，则△ABC的周长为（　　）
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】C
【解析】∵AP，AQ分别为BD，CD的垂直平分线，
∴AB=AC=AD=2，
∴∠BAP=∠DAP=∠BAD，∠CAQ=∠DAQ=∠CAD，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=2（∠DAP+∠DAQ）=2∠PAQ=2×30°=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，
∴△ABC的周长为=AB+BC+AC=6．
【强化训练1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（　　）
A.AE=BE B.AC=BE C.CE=DE D.∠CAE=∠B
【答案】B
【解析】A.根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE．故该选项正确；
B.因为AE＞AC，AE=BE，所以AC＜BE．故该选项错误；
C.根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE，AD=BD，∠ADE=∠BDE=90°，所以Rt△ADE≌Rt△BDE，所以∠BAE=∠B=30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC=60°．则∠CAE=∠BAE=30°，根据△CAE≌△DAE，得CE=DE．故该选项正确；
D.根据C的证明过程．故该选项正确．
【强化训练2】如图，在△ABC中，AB=AC．∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：①BD平分∠ABC；②AD=BD=BC；③△BDC的周长等于AB+BC；④D是AC中点．其中正确的是（　　）
A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②③④
【答案】B
【解析】∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°；∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠A=∠ABD=36°，∴∠ABD=∠DBC=36°，即BD是∠ABC的平分线，因此①正确；在△BDC中，∵∠DBC=36°，∠C=72°，∴∠BDC=∠C=72°，∴BD=BC=AD，因此②正确；∵AD=BD=BC，∴BD+BC+CD=AD+CD+BC=AC+BC=AB+BC，因此③正确．
【强化训练3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（　　）
A.AE=BE B.AC=BE C.CE=DE D.∠CAE=∠B
【答案】B
【解析】A.根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE．故该选项正确；
B.因为AE＞AC，AE=BE，所以AC＜BE．故该选项错误；
C.根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE，AD=BD，∠ADE=∠BDE=90°，所以Rt△ADE≌Rt△BDE，所以∠BAE=∠B=30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC=60°．则∠CAE=∠BAE=30°，根据△CAE≌△DAE，得CE=DE．故该选项正确；
D.根据C的证明过程．故该选项正确．
【题型5】线段垂直平分线的判定
【典例】如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是（ ）
A.22cm B.20cm C.18cm D.15cm
【答案】A
【解析】由题意可知，DE是AC的垂直平分线，所以DA=DC，CE=AE=4(cm)，那么AC= CE+AE=8(cm)，所以△ABD的周长是AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=△ABC的周长-AC=30-8=22(cm).
【强化训练1】如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA=PB．小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（　　）
A.小明说得对
B.小亮说得对，可添条件为“∠A=∠B”
C.小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB”
D.两人说得都不对
【答案】C
【解析】可添条件为PO⊥AB才能说直线l是AB的垂直平分线，
证明如下：
∵PO⊥AB，
∴∠POA=∠POB=90°，
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
PA=PB，PO=PO，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），
∴AO=BO，
∴直线l是AB的垂直平分线．
【强化训练2】如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在（　　）的垂直平分线上．
A.AB B.AC C.BC D.不能确定
【答案】B
【解析】∵BC=BD+AD=BD+CD ∴AD=CD ∴点D在AC的垂直平分线上．
【强化训练3】如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA=PB．小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（　　）
A.小明说得对
B.小亮说得对，可添条件为“∠A=∠B”
C.小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB”
D.两人说得都不对
【答案】C
【解析】可添条件为PO⊥AB才能说直线l是AB的垂直平分线，
证明如下：
∵PO⊥AB，
∴∠POA=∠POB=90°，
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
PA=PB，PO=PO，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），
∴AO=BO，
∴直线l是AB的垂直平分线．
【强化训练4】如图，在△ABC中，AB=AC，PB=PC，AP的延长线交BC于E.求证：E是BC的中点．
【答案】证明　∵AB=AC，PB=PC，
∴AE是线段BC的垂直平分线，
∴E是BC的中点．
【强化训练5】如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.求证：OE垂直平分BD.
【答案】证明　∵∠AOB=∠COD，OA=OC，∠A=∠C，
∴△AOB≌△COD，
∴OB=OD，又BE=DE，
∴OE垂直平分BD.
【题型6】线段垂直平分线的性质与判定
【典例】如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE=1cm，则BD的长为 （ ）
A.6cm B.8cm C.3cm D.4cm
【答案】D
【解析】连接AD，如图，
∵△ABC是等腰三角形，∠BAE=120°，
∴∠B=∠C= (180°-120°)=30°，
∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴AD=2DE=2(cm)．
∵∠BAD=120°-30°=90°，
∴BD=2AD=4(cm)．
【强化训练1】如图所示，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，若EM和FN分别垂直平分AB和AC，垂足分别为E，F，M，N都在BC边上，且EM=FN=4，则BC的长度为（ ）
A.12 B.16 C.20 D.24
【答案】D
【解析】等腰三角形底角相等，线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．BM=AM=2EM，CN=AN=2FN，△AMN为等边三角形，AM=AN=MN，则BC=6EM=24．
【强化训练2】线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB等于（　　）
A.80° B.90° C.100° D.110°
【答案】C
【解析】由已知条件易得CD的连线垂直平分AB，所以AM=BM，∠AMD=∠BMD=90°，从而可证Rt△AMD≌Rt△BMD，Rt△AMC≌Rt△BMC，所以∠ACB=2∠ACM=2（∠ADM+∠CAD）=2×（∠ADB+10°）=2×（×80°+10°）=100°.
【强化训练3】如图所示，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，若EM和FN分别垂直平分AB和AC，垂足分别为E，F，M，N都在BC边上，且EM=FN=4，则BC的长度为（ ）
A.12 B.16 C.20 D.24
【答案】D
【解析】等腰三角形底角相等，线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．BM=AM=2EM，CN=AN=2FN，△AMN为等边三角形，AM=AN=MN，则BC=6EM=24．
【强化训练4】如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE=1cm，则BD的长为 （ ）
A.6cm B.8cm C.3cm D.4cm
【答案】D
【解析】连接AD，如图，
∵△ABC是等腰三角形，∠BAE=120°，
∴∠B=∠C= (180°-120°)=30°，
∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴AD=2DE=2(cm)．
∵∠BAD=120°-30°=90°，
∴BD=2AD=4(cm)．
【强化训练5】如图，已知AB=AD，BC=DC，E是AC上一点.求证：BE=DE.
【答案】证明　∵AB=AD，BC=DC，
∴A、C两点在BD的垂直平分线上，
即AC是BD的垂直平分线，
∴BE=DE．
【强化训练6】如图，在△ABC中，AC=BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OB．
（1）求证：△OBC为等腰三角形；
（2）若∠ACF=23°，求∠BOE的度数．
【答案】（1）证明 连接OA，如图，
∵AC=BC，点F为AB的中点，
∴CF⊥AB，
∴CF垂直平分AB，
∴OA=OB，
∵DE垂直平分AC，
∴OA=OC，
∴OB=OC，
∴△OBC为等腰三角形．
（2）解 ∵CA=CB，CF⊥AB，
∴CF平分∠ACB，
∴∠BCF=∠ACF=23°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=23°，
∵∠EDC=90°，
∴∠DEC=90°-∠DCE=90°-23°-23°=44°，
∵∠OEC=∠OBE+∠BOE，
∴∠BOE=44°-23°=21°．
【题型7】尺规作图——作线段的垂直平分线
【典例】如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】D选项中作的是AB的中垂线，∴PA=PB，
∵PB+PC=BC，∴PA+PC=BC．
【强化训练1】如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：
①ED⊥BC；
②∠A=∠EBA；
③EB平分∠AED；
④ED=AB中，一定正确的是（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】B
【解析】根据作图过程可知EB=EC，∵D为BC的中点，∴PD垂直平分BC，∴①ED⊥BC正确；∵∠ABC=90°，∴PD∥AB，∴E为AC的中点，∴EC=EA，∵EB=EC，∴EA=EB，∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确，故正确的有①②④．
【强化训练2】通过如下尺规作图，能确定点D是边BC中点的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【强化训练3】如图，已知a∥b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交直线b于点C，连接AC，若∠1＝40°，则∠ACB的度数是(　　)
A.90° B.95° C.100° D.105°
【答案】C
【解析】∵a∥b，∴∠CBA＝∠1＝40°，
由题意可知，MN垂直平分AB，
∴CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，
∴∠ACB＝180°－2×40°＝100°.
【强化训练4】如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：
①ED⊥BC；
②∠A=∠EBA；
③EB平分∠AED；
④ED=AB中，一定正确的是（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】B
【解析】根据作图过程可知EB=EC，∵D为BC的中点，∴PD垂直平分BC，∴①ED⊥BC正确；∵∠ABC=90°，∴PD∥AB，∴E为AC的中点，∴EC=EA，∵EB=EC，∴EA=EB，∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确，故正确的有①②④．
【强化训练5】如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；
③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．
求证：△AED≌△CFD．
【答案】解 由作图知，PQ为线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD，∵CF∥AB，∴∠EAC=∠FCA，
∠CFD=∠AED，在△AED与△CFD中，∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，AD=CD，∴△AED≌△CFD.
【强化训练6】已知△ABC，∠C=90°，AC＜BC，如果D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等，用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）.
【答案】解 作出AB的垂直平分线交BC于点D，点D即为所求.如图．北师大版（2024）八年级下册 1.4 线段的垂直平分线 题型专练
【题型1】线段垂直平分线的性质
【典例】如图，在△ABC中，∠A=70°，OD垂直平分AB，垂足为点D，OE垂直平分AC，垂足为点E，连接OC，则∠BCO的度数为（　　）
A.20° B.30° C.25° D.35°
【强化训练1】三角形两边的垂直平分线的交点为O，则点O（ ）
A. 到三边距离相等 B. 到三顶点距离相等 C. 不在第三边的垂直平分线上 D. 以上都不对
【强化训练2】如图，在△ABC中，BC=12，边BC的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D，若BE=8，则△BCE的周长为 ．
【强化训练3】如图，在△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G.求△AEG的周长．
【题型2】线段垂直平分线性质与全等三角形
【典例】如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于点D．若AC=9，则AE的值是（ ）
A.63 B.43 C.6 D.4
【强化训练1】如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A. AB=AD B. AC平分∠BCD C. △BEC≌△DEC D. AB=BD
【强化训练2】如图，在△ABC中，DE垂直平分线段AC，交AB于E，交AC于点D，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= 度．
【强化训练3】如图，直线AD是线段BC的垂直平分线，求证：∠ABD=∠ACD．
【题型3】线段的垂直平分线与含30°角的直角三角形
【典例】如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E．当∠B=30°时，图中不相等的线段有（ ）
A.AC=AE=BE B.AD=BD C.AC=BD D.CD=DE
【强化训练1】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB=10cm，则AC等于（ ）
A. 4cm B. 5c C. 6cm D. 7cm
【强化训练2】如图，在△ABC中，已知BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D.若AC＝6 cm，则AD等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.2.8
【强化训练3】如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E．当∠B=30°时，图中不相等的线段有（ ）
A.AC=AE=BE B.AD=BD C.AC=BD D.CD=DE
【强化训练4】如图，在△ABC中，已知BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D.若AC＝6 cm，则AD等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.2.8
【强化训练5】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE是AB的垂直平分线，BE＝5，求AC的长．
【强化训练6】如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD=DC．
【题型4】线段的垂直平分线与等腰三角形
【典例】如图，在△ABD和△ACD中，AP，AQ分别为BD，CD的垂直平分线，若∠PAQ=30°，AD=2，则△ABC的周长为（　　）
A.2 B.4 C.6 D.8
【强化训练1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（　　）
A.AE=BE B.AC=BE C.CE=DE D.∠CAE=∠B
【强化训练2】如图，在△ABC中，AB=AC．∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：①BD平分∠ABC；②AD=BD=BC；③△BDC的周长等于AB+BC；④D是AC中点．其中正确的是（　　）
A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②③④
【强化训练3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（　　）
A.AE=BE B.AC=BE C.CE=DE D.∠CAE=∠B
【题型5】线段垂直平分线的判定
【典例】如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是（ ）
A.22cm B.20cm C.18cm D.15cm
【强化训练1】如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA=PB．小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（　　）
A.小明说得对
B.小亮说得对，可添条件为“∠A=∠B”
C.小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB”
D.两人说得都不对
【强化训练2】如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在（　　）的垂直平分线上．
A.AB B.AC C.BC D.不能确定
【强化训练3】如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA=PB．小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（　　）
A.小明说得对
B.小亮说得对，可添条件为“∠A=∠B”
C.小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB”
D.两人说得都不对
【强化训练4】如图，在△ABC中，AB=AC，PB=PC，AP的延长线交BC于E.求证：E是BC的中点．
【强化训练5】如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.求证：OE垂直平分BD.
【题型6】线段垂直平分线的性质与判定
【典例】如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE=1cm，则BD的长为 （ ）
A.6cm B.8cm C.3cm D.4cm
【强化训练1】如图所示，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，若EM和FN分别垂直平分AB和AC，垂足分别为E，F，M，N都在BC边上，且EM=FN=4，则BC的长度为（ ）
A.12 B.16 C.20 D.24
【强化训练2】线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB等于（　　）
A.80° B.90° C.100° D.110°
【强化训练3】如图所示，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，若EM和FN分别垂直平分AB和AC，垂足分别为E，F，M，N都在BC边上，且EM=FN=4，则BC的长度为（ ）
A.12 B.16 C.20 D.24
【强化训练4】如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE=1cm，则BD的长为 （ ）
A.6cm B.8cm C.3cm D.4cm
【强化训练5】如图，已知AB=AD，BC=DC，E是AC上一点.求证：BE=DE.
【强化训练6】如图，在△ABC中，AC=BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OB．
（1）求证：△OBC为等腰三角形；
（2）若∠ACF=23°，求∠BOE的度数．
【题型7】尺规作图——作线段的垂直平分线
【典例】如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：
①ED⊥BC；
②∠A=∠EBA；
③EB平分∠AED；
④ED=AB中，一定正确的是（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【强化训练2】通过如下尺规作图，能确定点D是边BC中点的是(　　)
A. B. C. D.
【强化训练3】如图，已知a∥b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交直线b于点C，连接AC，若∠1＝40°，则∠ACB的度数是(　　)
A.90° B.95° C.100° D.105°
【强化训练4】如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：
①ED⊥BC；
②∠A=∠EBA；
③EB平分∠AED；
④ED=AB中，一定正确的是（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【强化训练5】如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；
③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．
求证：△AED≌△CFD．
【强化训练6】已知△ABC，∠C=90°，AC＜BC，如果D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等，用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）.

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