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北师大版（2024）八年级下册 1.5 角平分线 题型专练（参考答案）
【题型1】角平分线的性质
【典例】如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，下列结论中错误的是（　　）
A.PC=PD B.OC=OD C.∠CPO=∠DPO D.OC=PC
【答案】D
【解析】利用角平分线上的一点到两边的距离相等可得△OPC≌△OPD，所以A，B，C都对，D不对．
【强化训练1】如图，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于P，并分别交OA，OB于C，D，则点P到∠AOB两边距离之和（　　）
A.小于CD B.大于CD C.等于CD D.不能确定
【答案】A
【解析】如图，过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，则PE，PF分别为点P到∠AOB两边的距离，∵PE＜PC，PF＜PD，∴PE+PF＜PC+PD，∴PE+PF＜CD，即点P到∠AOB两边距离之和小于CD．
【强化训练2】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一点E，连接DE，则AD与DE的关系为（　　）
A.AD＜DE B.AD=DE C.AD＞DE D.不确定
【答案】D
【解析】∵BD平分∠ABC，∴点D到AB、BC的距离相等，
∵AD不是点D到AB的距离，点E是BC上一点，
∴AD,DE的大小不确定．
【强化训练3】如图，已知点P是∠AOB平分线上的一点， PD⊥OA， PD=4，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（　　）
A.2 B.2.5 C.4 D.3
【答案】C
【解析】∵P是∠AOB平分线上的一点，PD⊥OA，PD=4，且点C是OB上一个动点， ∴PC的最小值为P到OB的距离，∴PC的最小值=PD=4．
【强化训练4】如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，下列结论中错误的是（　　）
A.PC=PD B.OC=OD C.∠CPO=∠DPO D.OC=PC
【答案】D
【解析】利用角平分线上的一点到两边的距离相等可得△OPC≌△OPD，所以A，B，C都对，D不对．
【强化训练5】如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE=3，求两平行线AD与BC间的距离.
【答案】解 如图，过点P作PF⊥AD于F，作PG⊥BC于G， ∵AP是∠BAD的平分线，PE⊥AB=3，∴PF=PE=3，同理可得PG=PE=3，∵AD∥BC，∴点F，P，G三点共线，∴FG的长即为AD，BC间的距离，∴平行线AD与BC间的距离为PF+PG=3+3=6.
【强化训练6】如图，OB平分∠MON，A是OB的中点，AE⊥ON，垂足为E，AE＝3，D为OM上的一个动点，C是DA的延长线与BC的交点，BC∥OM，求线段CD的最小值．
【答案】解 ∵BC∥OM，
∴∠DOA＝∠CBA.
∵A为OB的中点，∴AB＝AO.
在△ACB与△ADO中，
∴△ACB≌△ADO(ASA)，
∴AC＝AD，
∴CD＝2AD.
∴求线段CD的最小值，即求线段AD的最小值，
当AD⊥OM时，AD的值最小．
∵OB平分∠MON，AD⊥OM，AE⊥ON，
∴AD＝AE＝3，
∴CD＝2AD＝6，即线段CD的最小值为6.
【题型2】三角形内角平分线与外角平分线的性质
【典例】如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC的度数为（　　）
A.70° B.120° C.125° D.130°
【答案】C
【解析】∵O到三边AB，BC，CA的距离OF=OD=OE，∴点O是三角形三条角平分线的交点，∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×110°=55°，在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-55°=125°．
【强化训练1】如图所示，点A为∠MON的平分线上一点，过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B，C两点，P为BC的中点，过P作BC的垂线交OA于点D．若∠MON=60°，则∠BDC等于（　　）
A.120° B.130° C.140° D.150°
【答案】A
【解析】已知P为BC的中点，DP⊥BC， ∴BD=CD，
过点D作DE⊥OM于点E，DF⊥ON于点F，则DE=DF，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，BD=CD，DE=DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC，
∴∠BDE=∠CDF，∠BDC=∠BDF+∠CDF，
∠EDF=∠BDF+∠BDE，∴∠BDC=∠EDF，
已知∠MON=60°，∴∠EDF=360°-90°-90°-∠MON=120°，
即∠BDC=120°．
【强化训练2】如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，则下列结论中，正确的是（　　）
A.∠BAC=60° B.∠DOC=85° C.BC=CD D.AC=AB
【答案】B
【解析】∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°，故A选项错误，∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=∠ABC=×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项正确；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=×（180°-60°）=60°，∴∠BDC=180°-85°-60°=35°，∴BC≠CD，故C选项错误；∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴AC≠AB，故D选项错误．
【强化训练3】如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC的度数为（　　）
A.70° B.120° C.125° D.130°
【答案】C
【解析】∵O到三边AB，BC，CA的距离OF=OD=OE，∴点O是三角形三条角平分线的交点，∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×110°=55°，在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-55°=125°．
【题型3】角平分线的判定
【典例】如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】利用平分线性质的逆定理分析．由已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等进行思考，首先到两边距离相等，得出结论，然后另外两边再得结论，如此这样，由角平分线性质的逆定理，可得①②③④都正确．
【强化训练1】如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小是（　　）
A.∠1=∠2 B.∠1＞∠2 C.∠1＜∠2 D.无法确定
【答案】A
【解析】∵AD⊥OB，BC⊥OA，∴∠ACP=∠BDP=90°，
又∠APC=∠BPD，PA=PB，∴△ACP≌△BDP，∴CP=DP，∴OP是∠AOB的平分线，∴∠1=∠2．
【强化训练2】如图，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC=PD，则（　　）
A.∠1＞∠2 B.∠1=∠2 C.∠1＜∠2 D.不能确定
【答案】B
【解析】∵PC⊥OC，PD⊥OD，PC=PD，∴P在∠COD的平分线上，即∠1=∠2．
【强化训练3】如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】利用平分线性质的逆定理分析．由已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等进行思考，首先到两边距离相等，得出结论，然后另外两边再得结论，如此这样，由角平分线性质的逆定理，可得①②③④都正确．
【强化训练4】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE=DC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠A=36°，求∠DBC的度数．
【答案】（1）证明 ∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE=DC，
∴点D在∠ABC的平分线上，
∴BD平分∠ABC．
（2）解 ∵∠C=90°，∠A=36°，
∴∠ABC=54°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=27°．
【强化训练5】如图，已知BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．
【答案】证明 ∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED=∠CFD=90°，在△BED和△CFD中，，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上．
【题型4】角平分线的判定与尺规作图
【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（　　）
A.15 B.30 C.45 D.60
【答案】B
【解析】由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C=90°，∴DE=CD=4，∴△ABD的面积=AB DE=×15×4=30．
【强化训练1】如果要作∠AOB的平分线OC，合理的顺序是(　　)
①画射线OC；②在OA，OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；③分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.
A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②①
【答案】C
【强化训练2】如图，直线l，l′，l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）
A.一处 B.二处 C.三处 D.四处
【答案】D
【解析】如图所示，加油站站的地址有四处．
【强化训练3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则DP的最小值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.无法确定
【答案】A
【解析】由垂线段最短可知，当DP⊥AB时，DP的值最小．
由题图可知，AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP＝CD＝2，
即DP的最小值为2.
【题型5】角平分线性质与判定的应用
【典例】如图所示，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，C村的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D，已知C村在∠BAD的平分线上，村庄C到公路l1的距离为4km，则C村到公路l2的距离是（　　）
A.3km B.4km C.5km D.6km
【答案】B
【解析】∵C村在∠DAB的平分线上，C村到公路l1的距离为4km，∴C村到公路l2的距离也是4km．
【强化训练1】如图，已知∠ABC，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC的平分线BP．他这样做的依据是（　　）
A.在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D.测量垂直平分线上的点到这条线段的距离相等
【答案】A
【解析】∵∠M=∠N=90°，BM=BN，
∴BP平分∠DPE，
∴∠DPB=∠EPB，∵DP∥BC，PE∥BD，
∴∠DPB=∠PBE，∠EPB=∠DBP，
∴∠DBP=∠PBE.
即BP平分∠ABC(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．)
【强化训练2】如图，有一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(　　)
A.△ABC三条边的垂直平分线的交点上
B.△ABC三条角平分线的交点上
C.△ABC三条高所在直线的交点上
D.△ABC三条中线的交点上
【答案】B
【解析】∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点上．
【强化训练3】如图，l1，l2，l3三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，则可供选择的地方有________处．
【答案】4
【解析】如图所示，这个超市可以在△ABC三条角平分线的交点P1处及任意两外角的角平分线的交点P2，P3，P4处，共4个地方．
【强化训练4】如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC.
【答案】证明 如图，过点D作DH⊥AB，DG⊥AC，垂足分别是H，G.
∵S△DCE＝CE·DG，
S△DBF＝BF·DH，
S△DCE＝S△DBF，
∴CE·DG＝BF·DH.
又∵CE＝BF，
∴DG＝DH.
∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC.
【强化训练5】如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别是D，E，BE，CD相交于点O.
求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；
(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.
【答案】证明　(1)∵∠1＝∠2，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°.
在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE(ASA)．
∴OB＝OC.
(2)∵在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE(AAS)．∴OD＝OE.
又∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AO平分∠BAC，即∠1＝∠2.
【题型6】角平分线与全等三角形
【典例】如图，AC平分∠BAD，CM⊥AB于点M，CN⊥AN，且BM=DN，则∠ADC与∠ABC的关系是（　　）
A.相等 B.互补 C.和为150° D.和为165°
【答案】B
【解析】∵AC平分∠BAD，CM⊥AB于点M，CN⊥AN，
∴CM=CN，∠CND=∠BMC=90°，∵BM=DN，
在△CMB与△CND中，
∵∴△CMB≌△CND，
∴∠B=∠CDN，∵∠CDN+∠ADC=180°，
∴∠ADC+∠ABC=180°．
【强化训练1】如图所示，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点F，E，EG⊥BC于G，下列结论正确的是（　　）
A.∠C=∠ABC B.BA=BG C.AE=CE D.AF=FD
【答案】B
【解析】∵∠BAC=90°，AD是斜边上的高，AD是∠ABC的平分线，∴AE=EG，在Rt△ABE和Rt△GBE中，∴Rt△ABE≌Rt△GBE（HL），∴BA=BG．
【强化训练2】如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（　　）
A.PC⊥OA，PD⊥OB
B.OC=OD
C.∠OPC=∠OPD
D.PC=PD
【答案】D
【解析】A．PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO=∠PDO=90°，根据AAS判定定理成立，B．OC=OD，根据SAS判定定理成立，
C．∠OPC=∠OPD，根据ASA判定定理成立，
D．PC=PD，不成立．
【强化训练3】如图所示，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点F，E，EG⊥BC于G，下列结论正确的是（　　）
A.∠C=∠ABC B.BA=BG C.AE=CE D.AF=FD
【答案】B
【解析】∵∠BAC=90°，AD是斜边上的高，AD是∠ABC的平分线，∴AE=EG，在Rt△ABE和Rt△GBE中，∴Rt△ABE≌Rt△GBE（HL），∴BA=BG．
【强化训练4】如图所示，点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF，AD⊥BC于点D，则下列结论中①DE=DF；②AE=AF；③∠ABD=∠ACD；④∠EDB=∠FDC，其中正确的序号是（　　）
A.② B.①② C.①②③ D.①②③④
【答案】D
【解析】∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，故①正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE=AF，∠ADE=∠ADF，故②正确；
∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠ADB-∠ADE=∠ADC-∠ADF，即∠EDB=∠FDC，故④正确；
∵∠ABD+∠EDB=90°，∠ACD+∠FDC=90°，∴∠ABD=∠ACD，故③正确；综上所述，正确的是①②③④．
【强化训练5】如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．
【答案】证明 ∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．
【强化训练6】如图（1），在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，过D点分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE=DF．探究发现：如图（2），在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的平分线，点E，F分别在AB和AC上”．若∠AED+∠AFD=180°，则DE与DF是否仍相等？若相等，请证明之；若不相等, 请举反例说明．
【答案】解 DE=DF．
证明如下：如图，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN．
∵∠AED+∠AFD=180°，∠AFD+∠DFN=180°，
∴∠DFN=∠AED．
在△DME与△DNF中，
∴△DME≌△DNF（AAS）．
∴DE=DF．
【题型7】角平分线与三角形面积、周长
【典例】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．若AB=8，AC=6，DE=4，则△ABC的面积为（　　）
A.56 B.32 C.28 D.24
【答案】C
【解析】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE=4，
∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=AB DE+AC DF=×8×4+×6×4=16+12=28．
【强化训练1】如图，在△ABC中，∠C=90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且AB=10cm，BC=8cm，CA=6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别为（　　）
A. 2cm，2cm，2cm
B. 3cm，3cm，3cm
C. 4cm，4cm，4cm
D. 2cm，3cm，5cm
【答案】A
【解析】连接OC(图略)，∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，
∴OE=OF=OD，设OE=OF=OD=x cm，
∵S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OCB，AB=10cm，BC=8cm，CA=6cm，
∴×6×8=OF×10+OE×6+OD×8，
∴5x+3x+4x=24，∴x=2，
即点O到三边AB， AC和BC的距离都等于2cm．
【强化训练2】如图，若BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=__________．
【答案】150°
【解析】∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∴AD是∠BAC的平分线，∵∠BAC=40°，∴∠CAD=∠BAC=20°，∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°．
【强化训练3】在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，△ABC的面积18，AB=6，AC=8，OD=2，则BC的长是_________．
【答案】4
【解析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，连接AO，∵OB，OC分别为∠ABC和∠ACB的平分线，OD⊥BC，∴OE=OF=OD=2，∵S△ABC=S△ABO+S△AOC +S△BOC=AB OE+AC OF+BC OD=×6×2+×8×2+×BC×2，∵△ABC的面积为18，∴6+8+BC=18，解得BC=4．
【强化训练4】如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C．求证：点C在∠AOB的平分线上．
【答案】证明 过点C作CG⊥OA于G，CF⊥OB于F，
如图，在△MOE和△NOD中，OM=ON，∠MOE为公共角，OE=OD，
∴△MOE≌△NOD（SAS）．
∴S△MOE=S△NOD．∴S△MOE-S四边形ODCE=S△NOD-S四边形ODCE，
∴S△MDC=S△NEC，
∵OM=ON，OD=OE，
∴MD=NE，由三角形面积公式得DM×CG=×EN×CF，
∴CG=CF，又∵CG⊥OA，CF⊥OB，
∴点C在∠AOB的平分线上．
【强化训练5】如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和40，求△EDF的面积.
【答案】解 如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S△DEF=S△DGH，∵△ADG和△AED的面积分别为50和40，
∴△EDF的面积=×（50-40）=5．北师大版（2024）八年级下册 1.5 角平分线 题型专练
【题型1】角平分线的性质
【典例】如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，下列结论中错误的是（　　）
A.PC=PD B.OC=OD C.∠CPO=∠DPO D.OC=PC
【强化训练1】如图，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于P，并分别交OA，OB于C，D，则点P到∠AOB两边距离之和（　　）
A.小于CD B.大于CD C.等于CD D.不能确定
【强化训练2】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一点E，连接DE，则AD与DE的关系为（　　）
A.AD＜DE B.AD=DE C.AD＞DE D.不确定
【强化训练3】如图，已知点P是∠AOB平分线上的一点， PD⊥OA， PD=4，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（　　）
A.2 B.2.5 C.4 D.3
【强化训练4】如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，下列结论中错误的是（　　）
A.PC=PD B.OC=OD C.∠CPO=∠DPO D.OC=PC
【强化训练5】如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE=3，求两平行线AD与BC间的距离.
【强化训练6】如图，OB平分∠MON，A是OB的中点，AE⊥ON，垂足为E，AE＝3，D为OM上的一个动点，C是DA的延长线与BC的交点，BC∥OM，求线段CD的最小值．
【题型2】三角形内角平分线与外角平分线的性质
【典例】如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC的度数为（　　）
A.70° B.120° C.125° D.130°
【强化训练1】如图所示，点A为∠MON的平分线上一点，过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B，C两点，P为BC的中点，过P作BC的垂线交OA于点D．若∠MON=60°，则∠BDC等于（　　）
A.120° B.130° C.140° D.150°
【强化训练2】如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，则下列结论中，正确的是（　　）
A.∠BAC=60° B.∠DOC=85° C.BC=CD D.AC=AB
【强化训练3】如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC的度数为（　　）
A.70° B.120° C.125° D.130°
【题型3】角平分线的判定
【典例】如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练1】如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小是（　　）
A.∠1=∠2 B.∠1＞∠2 C.∠1＜∠2 D.无法确定
【强化训练2】如图，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC=PD，则（　　）
A.∠1＞∠2 B.∠1=∠2 C.∠1＜∠2 D.不能确定
【强化训练3】如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练4】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE=DC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠A=36°，求∠DBC的度数．
【强化训练5】如图，已知BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．
【题型4】角平分线的判定与尺规作图
【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（　　）
A.15 B.30 C.45 D.60
【强化训练1】如果要作∠AOB的平分线OC，合理的顺序是(　　)
①画射线OC；②在OA，OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；③分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.
A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②①
【强化训练2】如图，直线l，l′，l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）
A.一处 B.二处 C.三处 D.四处
【强化训练3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则DP的最小值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.无法确定
【题型5】角平分线性质与判定的应用
【典例】如图所示，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，C村的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D，已知C村在∠BAD的平分线上，村庄C到公路l1的距离为4km，则C村到公路l2的距离是（　　）
A.3km B.4km C.5km D.6km
【强化训练1】如图，已知∠ABC，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC的平分线BP．他这样做的依据是（　　）
A.在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D.测量垂直平分线上的点到这条线段的距离相等
【强化训练2】如图，有一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(　　)
A.△ABC三条边的垂直平分线的交点上
B.△ABC三条角平分线的交点上
C.△ABC三条高所在直线的交点上
D.△ABC三条中线的交点上
【强化训练3】如图，l1，l2，l3三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，则可供选择的地方有________处．
【强化训练4】如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC.
【强化训练5】如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别是D，E，BE，CD相交于点O.
求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；
(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.
【题型6】角平分线与全等三角形
【典例】如图，AC平分∠BAD，CM⊥AB于点M，CN⊥AN，且BM=DN，则∠ADC与∠ABC的关系是（　　）
A.相等 B.互补 C.和为150° D.和为165°
【强化训练1】如图所示，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点F，E，EG⊥BC于G，下列结论正确的是（　　）
A.∠C=∠ABC B.BA=BG C.AE=CE D.AF=FD
【强化训练2】如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（　　）
A.PC⊥OA，PD⊥OB
B.OC=OD
C.∠OPC=∠OPD
D.PC=PD
【强化训练3】如图所示，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点F，E，EG⊥BC于G，下列结论正确的是（　　）
A.∠C=∠ABC B.BA=BG C.AE=CE D.AF=FD
【强化训练4】如图所示，点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF，AD⊥BC于点D，则下列结论中①DE=DF；②AE=AF；③∠ABD=∠ACD；④∠EDB=∠FDC，其中正确的序号是（　　）
A.② B.①② C.①②③ D.①②③④
【强化训练5】如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．
【强化训练6】如图（1），在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，过D点分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE=DF．探究发现：如图（2），在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的平分线，点E，F分别在AB和AC上”．若∠AED+∠AFD=180°，则DE与DF是否仍相等？若相等，请证明之；若不相等, 请举反例说明．
【题型7】角平分线与三角形面积、周长
【典例】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．若AB=8，AC=6，DE=4，则△ABC的面积为（　　）
A.56 B.32 C.28 D.24
【强化训练1】如图，在△ABC中，∠C=90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且AB=10cm，BC=8cm，CA=6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别为（　　）
A.2cm，2cm，2cm
B.3cm，3cm，3cm
C.4cm，4cm，4cm
D.2cm，3cm，5cm
【强化训练2】如图，若BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=__________．
【强化训练3】在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，△ABC的面积18，AB=6，AC=8，OD=2，则BC的长是_________．
【强化训练4】如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C．求证：点C在∠AOB的平分线上．
【强化训练5】如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和40，求△EDF的面积.

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