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北师大版（2024）八年级下册 3.2 图形的旋转 题型专练
【题型1】生活中的旋转现象
【典例】如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（　　）
A.4π B.3π C.2π D.π
【强化训练1】下列现象中是旋转的是（　　）
A.雪橇在雪地上滑行
B.抽屉来回运动
C.电梯的上下移动
D.汽车方向盘的转动
【强化训练2】如图，游乐场的大型摩天轮顺时针旋转1周需要24 min（匀速）．启动10 min时，旋转的度数为 ．
【强化训练3】数学在我们生活中无处不在，一节广播操的运动过程就有数学问题．如图1为一节广播操动作的示意图，为了研究方便，两手手心位置分别记为A，B两点，两脚脚跟位置分别记为C，D两点，若A，B，C，D在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作A，B，C，D绕点O转动，其中O为该平面内的一个定点．
（1）在腿部运动的过程中，A，O，B三点始终共线．如图2，当A，B不在水平方向上时，若∠COD=37°，∠AOD﹕∠BOC=4﹕3，求∠AOD的度数；
（2）图3为体侧运动，在运动前，A，O，B三点共线，且AB∥CD，∠COD=30°，OE平分∠COD，且OE⊥CD．OA，OB绕点O顺时针旋转，若OA的旋转速度为67.5°/s,OB的旋转速度为37.5°/s,当OB运动到OD位置时，运动停止．
①运动停止时，直接写出∠AOD= ；（用小于平角的度数表示）
②判断运动过程中∠AOC与∠BOE的数量关系，并说明理由．
【强化训练4】我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，单摆上小木球会从位置A运动到位置A′．
（1）上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？
（2）运动有何共同点？
【题型2】旋转定义
【典例】如图，把四边形ABOC绕点O顺时针旋转得到四边形DFOE，则下列角中，不是旋转角的是（　　）
A.∠BOF B.∠AOD C.∠COE D.∠AOF
【强化训练1】如图，在方格中的四叶风车，其中一个叶轮至少旋转多少度才能与相邻的叶轮重合？（　　）
A.45° B.90° C.60° D.120°
【强化训练2】如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，将△ADE顺时针旋转90°后得到的图形是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练3】如图，线段OA绕点O旋转90°得到线段OA'，则：
（1）旋转中心是 ；
（2）旋转方向是 ；
（3）旋转角的度数是 ．
【强化训练4】如图，线段OA绕点O沿箭头方向旋转60°到OA'，则旋转中心是点 ，旋转方向是 ，旋转角是∠AOA′= °．
【强化训练5】如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=BC，∠ABC=90°．
（1）以AB边所在的直线为对称轴，作三角形ABC的轴对称图形三角形ABC′；
（2）三角形ABC'是否可以通过旋转三角形ABC所得，若是，请指出旋转中心，旋转方向及旋转角．
【强化训练6】如图，△ABC中，AB=5，BC=8，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A'B'C，再将△A'B'C绕点A'逆时针旋转一定角度后，点B'恰好与点C重合，求平移的距离.
【题型3】旋转的性质—与角的大小
【典例】如图，在△ABC中，∠CAB=70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转某个角度到△AB'C′的位置，使得CC'∥AB，则∠CAB'等于（　　）
A.30° B.35° C.40° D.50°
【强化训练1】如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，PA=3，PB=4，PC=5，连接CQ．连接PQ，则下列结论：①△PQC是直角三角形；②△BPQ是等边三角形；③∠APB=150°；④∠APC=135°．其中正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练2】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B旋转后的对应点D恰好在直线BC上，则下列结论不一定正确的是（　　）
A.∠ACD=∠EAD B.∠ABC=∠ADC C.∠EAC=α D.∠EDC=180°-α
【强化训练3】如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB1C1，∠C=90°，若∠BAC1=18°，∠B=60°，则旋转角∠CAC1= 度．
【强化训练4】如图①，O为直线AB上一点，作射线OC，使∠BOC=60°，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边OP在射线OA上．将图①中的三角尺绕点O以每秒10°的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中：
（1）当旋转6秒肘，则∠COQ的度数为 ；
（2）第t秒时，OQ所在直线恰好平分∠BOC，则t的值为 ．
【强化训练5】如图，D是等边△ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：△AEB≌△ADC；
（2）连接DE，若∠ADC=95°，求∠BED的大小．
【强化训练6】如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点 D．
（1）求证：BE=CF；
（2）求∠BDC的度数．
【题型4】旋转的性质—与线段长度或图形面积
【典例】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=45°，则线段PM的最大值是 （　　）
A.2 B.2 C. -1 D. +1
【强化训练1】如图，在△ABC中，AB=2，BC=5，∠ABC=60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，若点B恰好在边B′C′上，则BC'的长为（　　）
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
【强化训练2】如图，在△ABC中，∠BCA=90°，点D在AC上，AD=3，CD=2，连接BD，把线段BD绕点D逆时针旋转90°到DE的位置，连接AE，CE，则△ACE的面积为（　　）
A.4 B.5 C.6 D.10
【强化训练3】如图，在△AOB中，AO=2，BO=AB=3．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段BB′的长为（　　）
A.2 B.2 C.3 D.3
【强化训练4】如图，在△ABC中，AB=AC，将AC绕点C按顺时针方向旋转90°到DC的位置，连接BD．若BC=4，则△BCD的面积为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【强化训练5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，且AC在直线L上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，可得到点P1，将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，…，按此规律继续旋转，得到点P2024为止，求AP2024等于多少.
【强化训练6】如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，D是直角边BC所在直线上的一个动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转60°到AE，连接BE，DE．
（1）如图1，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE和BE之间的数量关系，并说明理由．
（2）当点E不在直线BC上时，如图2、图3，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2、图3中选择一个给予证明；若不成立，请直接写出新的结论．
【题型5】中心对称性质
【典例】关于中心对称的描述不正确的是（　　）
A.把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形对称
B.关于中心对称的两个图形是全等的
C.关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心
D.如果两个图形关于点O对称，点A与A′是对称点，那么OA=OA′
【强化训练1】如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若BC=3，OD=4．则AB的长可能是（　　）
A.3 B.4 C.7 D.11
【强化训练2】在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为 .
【强化训练3】已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E，D，M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC=CD；
（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
【题型6】中心对称图形
【典例】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练1】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练2】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练3】下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练4】一条线段 （填“是”或“不是”）中心对称图形，因为它绕 旋转 度后能与原线段重合．
【强化训练5】图甲所示的四张牌，若只将其中一张牌旋转180°后得到图乙，则旋转的牌是 ．
【强化训练6】如图所示的四个图形中是轴对称的有 ；是中心对称图形的有 （用A、B、C、D填写）．
【题型7】关于原点对称的点的坐标
【典例】若点A（0，2）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（　　）
A.（2，0） B.（-2，0） C.（0，2） D.（0，-2）
【强化训练1】在平面直角坐标系中，点P（2，-3）关于原点的对称点P'的坐标是（　　）
A.（-2，-3） B.（-3，-2） C.（-2，3） D.（-3，2）
【强化训练2】已知点P（-2，3）关于原点的对称点为Q（a,b），则a-b= ．
【强化训练3】已知点A（a+b,3a-b）与点B（-2，6）关于原点对称．
（1）分别求a,b的值；
（2）求点A关于x轴的对称点的坐标；
（3）求点B关于y轴的对称点的坐标．
【强化训练4】如图．
（1）在直角坐标系中，分别描出点A，B，C关于原点O的对称点A1，B1，C1，写出点A1，B1，C1的坐标，并分别依次连接点A，B，C和点A1，B1，C1．
（2）描述△ABC和△A1B1C1各对应顶点坐标之间的关系;
（3）△A1B1C1是由△ABC经怎样的变化得到的？北师大版（2024）八年级下册 3.2 图形的旋转 题型专练（参考答案）
【题型1】生活中的旋转现象
【典例】如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（　　）
A.4π B.3π C.2π D.π
【答案】C
【解析】阴影部分面积为π×22=2π.
【强化训练1】下列现象中是旋转的是（　　）
A.雪橇在雪地上滑行
B.抽屉来回运动
C.电梯的上下移动
D.汽车方向盘的转动
【答案】D
【解析】A.雪橇在雪地上滑行不是旋转，故此选项错误；
B.抽屉来回运动是平移，故此选项错误；
C.电梯的上下移动是平移，故此选项错误；
D.汽车方向盘的转动是旋转，故此选项正确.
【强化训练2】如图，游乐场的大型摩天轮顺时针旋转1周需要24 min（匀速）．启动10 min时，旋转的度数为 ．
【答案】150°
【解析】∵旋转1周需要24 min，
∴1 min旋转的度数为=15°，
∴10 min旋转的度数为15°×10=150°．
【强化训练3】数学在我们生活中无处不在，一节广播操的运动过程就有数学问题．如图1为一节广播操动作的示意图，为了研究方便，两手手心位置分别记为A，B两点，两脚脚跟位置分别记为C，D两点，若A，B，C，D在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作A，B，C，D绕点O转动，其中O为该平面内的一个定点．
（1）在腿部运动的过程中，A，O，B三点始终共线．如图2，当A，B不在水平方向上时，若∠COD=37°，∠AOD﹕∠BOC=4﹕3，求∠AOD的度数；
（2）图3为体侧运动，在运动前，A，O，B三点共线，且AB∥CD，∠COD=30°，OE平分∠COD，且OE⊥CD．OA，OB绕点O顺时针旋转，若OA的旋转速度为67.5°/s,OB的旋转速度为37.5°/s,当OB运动到OD位置时，运动停止．
①运动停止时，直接写出∠AOD= ；（用小于平角的度数表示）
②判断运动过程中∠AOC与∠BOE的数量关系，并说明理由．
【答案】解　（1）设∠AOD=4x°，∠BOC=3x°，
∵∠AOD+∠BOC-∠COD=180°，
∴4x+3x-37=180，
解得x=31，
∴∠AOD=4x°=124°.
（2）①∵∠BOD=90°-15°=75°，
∴旋转的时间为75÷37.5=2(s)，
∴OA旋转的角度为2×67.5°=135°，
∴∠AOD=180°-135+75°=120°.
②设运动的时间为x,
∵∠AOC=75°+67.5°x①，∠BOE=90°-37.5°x②，
∴①×5+②×9得5∠AOC+9∠BOE=1 185°，
【强化训练4】我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，单摆上小木球会从位置A运动到位置A′．
（1）上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？
（2）运动有何共同点？
【答案】解　（1）上述几种运动是做曲线运动；
（2）运动共同点是属于旋转．
【题型2】旋转定义
【典例】如图，把四边形ABOC绕点O顺时针旋转得到四边形DFOE，则下列角中，不是旋转角的是（　　）
A.∠BOF B.∠AOD C.∠COE D.∠AOF
【答案】D
【解析】如图，旋转角有∠BOF，∠AOD，∠COE.
【强化训练1】如图，在方格中的四叶风车，其中一个叶轮至少旋转多少度才能与相邻的叶轮重合？（　　）
A.45° B.90° C.60° D.120°
【答案】B
【解析】=90°．
【强化训练2】如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，将△ADE顺时针旋转90°后得到的图形是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据旋转的定义可得，旋转后AD与AB重合，
故C选项符合题意．
【强化训练3】如图，线段OA绕点O旋转90°得到线段OA'，则：
（1）旋转中心是 ；
（2）旋转方向是 ；
（3）旋转角的度数是 ．
【答案】（1）点O（2）顺时针（3）90゜
【解析】∵线段OA绕点O旋转90°得到线段OA'，
∴旋转中心是点O，旋转方向是顺时针，∠AOA'=90°．
【强化训练4】如图，线段OA绕点O沿箭头方向旋转60°到OA'，则旋转中心是点 ，旋转方向是 ，旋转角是∠AOA′= °．
【答案】O　　逆　　AOA′　　60
【解析】根据题意得，线段OA绕点O沿箭头方向旋转60°到OA'，则旋转中心是点O，旋转方向是逆时针，旋转角是∠AOA′=60°．
【强化训练5】如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=BC，∠ABC=90°．
（1）以AB边所在的直线为对称轴，作三角形ABC的轴对称图形三角形ABC′；
（2）三角形ABC'是否可以通过旋转三角形ABC所得，若是，请指出旋转中心，旋转方向及旋转角．
【答案】解　（1）如图，△ABC′即为所求；
（2）三角形ABC′可以通过旋转三角形ABC所得，旋转中心为点B，旋转方向为顺时针，旋转角是90°或者绕点B逆时针旋转270°．
【强化训练6】如图，△ABC中，AB=5，BC=8，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A'B'C，再将△A'B'C绕点A'逆时针旋转一定角度后，点B'恰好与点C重合，求平移的距离.
【答案】解　∵将△A'B'C'绕点A'逆时针旋转一定角度后，点B'恰好与点C重合，
∴A'B'=A'C，
∵将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A'B'C'，
∴AB=A'B'=5，∠B=∠A'B'C=60°，
∴△A'B'C是等边三角形，
∴A'B'=B'C=5，
∴BB'=3，
∴平移的距离为3，
【题型3】旋转的性质—与角的大小
【典例】如图，在△ABC中，∠CAB=70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转某个角度到△AB'C′的位置，使得CC'∥AB，则∠CAB'等于（　　）
A.30° B.35° C.40° D.50°
【答案】A
【解析】∵CC′∥AB，∠CAB=70°，
∴∠C′CA=∠CAB=70°，
又∵C，C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠BAB′=∠CAC′=180°-2∠C′CA=40°，
∠CAB′=∠BAC-∠BAB′=70°-40°=30°.
【强化训练1】如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，PA=3，PB=4，PC=5，连接CQ．连接PQ，则下列结论：①△PQC是直角三角形；②△BPQ是等边三角形；③∠APB=150°；④∠APC=135°．其中正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】连接PQ，
∵PB=BQ，∠PBQ=60°，
∴△PBQ为正三角形．
∴∠BQP=∠BPQ=60°，BP=PQ=4，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵∠PBQ=60°，
∴∠ABP=∠CBQ=60°-∠PBC，
在△ABP 和△CBQ 中，
AB=CB，∠ABP=∠CBQ，BP=BQ，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴∠APB=∠CQB，AP=CQ=3，
在△PQC中，PQ2+QC2=16+9=25=PC2，
∴△PQC是直角三角形，
∴∠PQC=90°，
∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，
∴∠APB=150°，
故①②③正确；
若∠APC=135°，则∠QPC=360°-150°-60°-135°=15°，
由题意可知，∠QPC≠15°.
【强化训练2】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B旋转后的对应点D恰好在直线BC上，则下列结论不一定正确的是（　　）
A.∠ACD=∠EAD B.∠ABC=∠ADC C.∠EAC=α D.∠EDC=180°-α
【答案】A
【解析】∵将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，
∴△ABC≌△DAE，∠ABC=∠ADE，∠BAD=∠EAC=α，AB=AD，所以C选项不符合题意；
∵△ABC≌△DAE，
∴∠EAD=∠CAB，
∵∠ACD＞∠CAB，
∴∠ACD＞∠EAD，所以A选项符合题意；
∵AB=AD，
∴∠ABC=∠ADC，所以B选项不符合题意；
∵∠EDC=∠ADE+∠ADC，
而∠ADE=∠ABC，
∴∠EDC=∠ABC+∠ADC=180°-∠BAD=180°-α，所以D选项不符合题意．
【强化训练3】如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB1C1，∠C=90°，若∠BAC1=18°，∠B=60°，则旋转角∠CAC1= 度．
【答案】48．
【解析】∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠CAB=30°，
∵∠BAC1=18°，
∴∠CAC1=∠BAC1+∠CAB=18°+30°=48°．
【强化训练4】如图①，O为直线AB上一点，作射线OC，使∠BOC=60°，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边OP在射线OA上．将图①中的三角尺绕点O以每秒10°的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中：
（1）当旋转6秒肘，则∠COQ的度数为 ；
（2）第t秒时，OQ所在直线恰好平分∠BOC，则t的值为 ．
【答案】（1）90　　（2）12或30
【解析】（1）当旋转6秒肘，∠AOP=6×10°=60°，
∵∠AOP+∠BOQ=90°，
∴∠BOQ=30°，
∵∠BOC=60°，
∴∠COQ=∠BOC+∠BOQ，
=60°+30°
=90°.
（2）∵∠BOC=60°且OQ所在直线恰好平分∠BOC，
∴∠BOQ=∠BOC=30°或∠BOQ=180°+30°=210°，
∴10t=30+90或10t=90+210，
解得t=12或30．
故答案为：12或30．
【强化训练5】如图，D是等边△ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：△AEB≌△ADC；
（2）连接DE，若∠ADC=95°，求∠BED的大小．
【答案】（1）证明　∵D是等边△ABC 内一点，线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴AD=AE，∠ADE=60°，AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAE=60°-∠BAD=∠CAD，
∵AD=AE，∠CAD=∠BAE，AC=AB，
∴△AEB≌△ADC（SAS）．
（2）解　∵D是等边△ABC 内一点，线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED=60°，
∵△AEB≌△ADC（SAS），∠ADC=95°，
∴∠AEB=∠ADC=95°．
∴∠BED=∠AEB-∠AED=35°．
【强化训练6】如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点 D．
（1）求证：BE=CF；
（2）求∠BDC的度数．
【答案】（1）证明　∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴∠BAC=∠EAF，AB=AE，AC=AF，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE即∠BAE=∠CAF，
∵AB=AE，AC=AF，AB=AC，
∴AB=AE=AC=AF，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE=CF．
（2）解　如图，
由（1）知：△ABE≌△ACF，
∴∠ABE=∠ACF，
∵∠1=∠2，∠BAC=50°，∠ABE+∠1+∠BAC=∠ACF+∠2+∠BDC=180°，
∴∠BDC=∠BAC=50°，
即∠BDC的度数为50°．
【题型4】旋转的性质—与线段长度或图形面积
【典例】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=45°，则线段PM的最大值是 （　　）
A.2 B.2 C. -1 D. +1
【答案】D
【解析】如图，连接PC．
在Rt△ABC中，
∵∠A=45°，BC=2，
∴AB=2，
根据旋转不变性可知，A′B′=AB=2，
∴A′P=PB′，
∴PC=A′B′=，
∵CM=BM=1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤1+，
∴PM的最大值为1+（此时P，C，M共线）．
【强化训练1】如图，在△ABC中，AB=2，BC=5，∠ABC=60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，若点B恰好在边B′C′上，则BC'的长为（　　）
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
【答案】C
【解析】∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，AB=2，BC=5，∠ABC=60°，
∴BC=B'C'=5，AB=AB'=2，∠AB'B=∠ABC=60°，
∴△AB'B为等边三角形，
∴BB'=AB=2，
∴BC'=B'C'-BB'=5-2=3.
【强化训练2】如图，在△ABC中，∠BCA=90°，点D在AC上，AD=3，CD=2，连接BD，把线段BD绕点D逆时针旋转90°到DE的位置，连接AE，CE，则△ACE的面积为（　　）
A.4 B.5 C.6 D.10
【答案】B
【解析】∵把线段BD绕点D逆时针旋转90°到DE的位置，
∴DE=DB，∠BDE=90°，
如图，将△DCB绕点D逆时针旋转90°得△DFE，
∴∠FDC=90°，CD=DF=2，∠EFD=∠ACB=90°，
∴∠EFD+∠FDC=180°，
∴EF∥CD，
∴△ACE的面积=×AC×DF=2×5×2=5.
【强化训练3】如图，在△AOB中，AO=2，BO=AB=3．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段BB′的长为（　　）
A.2 B.2 C.3 D.3
【答案】D
【解析】∵将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，
∴BO=B'O=3，∠BOB'=90°，
∴BB'===3.
【强化训练4】如图，在△ABC中，AB=AC，将AC绕点C按顺时针方向旋转90°到DC的位置，连接BD．若BC=4，则△BCD的面积为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】如图所示，过点A作AM⊥BC于M，再过点D作BC边上的高DN，
在△ABC中，AB=AC，AM⊥BC，BC=4，
∴CM=BC=2，∠ACM+∠MAC=90°，
由旋转的性质可得∠ACD=90°，CA=CD，
∴∠ACM+∠DCN=90°，
∴∠MAC=∠DCN，
∴△ACM≌△CDN（AAS），
∴DN=MC=2，
∴S△BCD=BC DN=×4×2=4．
【强化训练5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，且AC在直线L上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，可得到点P1，将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，…，按此规律继续旋转，得到点P2024为止，求AP2024等于多少.
【答案】解　∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，
∴将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①时，AP1=5，
将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②时，AP2=5+4=9，
将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③时，AP3=5+4+3=12，
……，
以此类推可知，每旋转3次为一个循环组，每一个循环长度增加12，
∵2 024÷3=674…2，
∴AP2 024=674×12+5+4=8 097.
【强化训练6】如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，D是直角边BC所在直线上的一个动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转60°到AE，连接BE，DE．
（1）如图1，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE和BE之间的数量关系，并说明理由．
（2）当点E不在直线BC上时，如图2、图3，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2、图3中选择一个给予证明；若不成立，请直接写出新的结论．
【答案】解　（1）DE=BE．
理由如下：由旋转可知，AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE=AE，∠AED=60°．
∵∠ABC=30°，∠AED=∠ABC+∠EAB，
∴∠EAB=60°-30°=30°，
∴∠ABC=∠EAB，
∴BE=AE，
∴DE=BE.
（2）图2、图3中结论仍成立．
选择图2证明如下：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠CAB=60°，
∴∠DAE=∠CAB，
∴∠DAE-∠CAE=∠CAB-∠CAE，
即∠CAD=∠EAF．
又∵AD=AE，∠ACD=∠AFE=90°，
∴△ADC≌△AEF（AAS），
∴AC=AF．
在Rt△ABC中，
∵∠ABC=30°，
∴AC=AB，
∴AF=AB．
又∵EF⊥AB，
∴AE=BE．
由（1）知AE=DE，
∴DE=BE．
【题型5】中心对称性质
【典例】关于中心对称的描述不正确的是（　　）
A.把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形对称
B.关于中心对称的两个图形是全等的
C.关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心
D.如果两个图形关于点O对称，点A与A′是对称点，那么OA=OA′
【答案】A
【解析】A.一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．故本选项错误；
B.关于中心对称的两个图形是全等的，故本选项正确；
C.关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心，故本选项正确；
D.根据中心对称的性质可得此说法正确，故本选项正确．
故选：A．
【强化训练1】如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若BC=3，OD=4．则AB的长可能是（　　）
A.3 B.4 C.7 D.11
【答案】C
【解析】∵点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，
∴OB=OD=4，AD=BC=3，
∴BD =2OD=8，
∵BD-AD＜AB＜BD+AD，
∴5＜AB＜11，
故选：C．
【强化训练2】在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为 .
【答案】（2，1）
【解析】∵点P（1，1），N（2，0），
∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1），
∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，
∴对称中心的坐标为（2，1），
故答案为：（2，1）．
【强化训练3】已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E，D，M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC=CD；
（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明　∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，
∴△ABM≌△ACM，
∴AB=AC，
又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，
∴△ABE≌△DCE，
∴AB=CD，
∴AC=CD；
（2）解　∠F=∠MCD．
理由：由（1）可得△ABM≌△ACM，△ABE≌△DCE，∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，
∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，
∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，
设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，
∴∠F=∠CPM-∠PMF=α-β，
∠MCD=∠CDE-∠CMA=α-β，
∴∠F=∠MCD．
【题型6】中心对称图形
【典例】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【强化训练1】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【强化训练2】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【强化训练3】下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选项A，B，C的图形都不能找到一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D的图形能找到一个点，使这个图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：D．
【强化训练4】一条线段 （填“是”或“不是”）中心对称图形，因为它绕 旋转 度后能与原线段重合．
【答案】是　　中点　　180
【强化训练5】图甲所示的四张牌，若只将其中一张牌旋转180°后得到图乙，则旋转的牌是 ．
【答案】方块5
【强化训练6】如图所示的四个图形中是轴对称的有 ；是中心对称图形的有 （用A、B、C、D填写）．
【答案】A，B，C，D　　A，C
【解析】是轴对称的有A，B，C，D；是中心对称图形的有A，C.
【题型7】关于原点对称的点的坐标
【典例】若点A（0，2）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（　　）
A.（2，0） B.（-2，0） C.（0，2） D.（0，-2）
【答案】D
【解析】∵两点关于原点对称，
∴横坐标为0，纵坐标为-2，
∴点（0，2）关于原点的对称点的坐标为（0，-2）．
故选：D．
【强化训练1】在平面直角坐标系中，点P（2，-3）关于原点的对称点P'的坐标是（　　）
A.（-2，-3） B.（-3，-2） C.（-2，3） D.（-3，2）
【答案】C
【强化训练2】已知点P（-2，3）关于原点的对称点为Q（a,b），则a-b= ．
【答案】5
【解析】点P（-2，3）关于原点的对称点为Q（a,b），
则a=2，b=-3，
a-b=5，
故答案为：5．
【强化训练3】已知点A（a+b,3a-b）与点B（-2，6）关于原点对称．
（1）分别求a,b的值；
（2）求点A关于x轴的对称点的坐标；
（3）求点B关于y轴的对称点的坐标．
【答案】解　（1）∵点A（a+b,3a-b）与点B（-2，6）关于原点对称，
∴
解得
∴a=-1，b=3.
（2）由（1）得，点A的坐标为（2，-6），
∴点A关于x轴的对称点的坐标（2，6）.
（3）点B关于y轴的对称点的坐标为（2，6）．
【强化训练4】如图．
（1）在直角坐标系中，分别描出点A，B，C关于原点O的对称点A1，B1，C1，写出点A1，B1，C1的坐标，并分别依次连接点A，B，C和点A1，B1，C1．
（2）描述△ABC和△A1B1C1各对应顶点坐标之间的关系;
（3）△A1B1C1是由△ABC经怎样的变化得到的？
【答案】解　（1）如图所示：
点A1，B1，C1的坐标分别为（-2，-5），（-4，-2），（-1，-1）.
（2）△ABC和△A1B1C1各对应顶点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.
（3）△A1B1C1是由△ABC绕着原点O旋转180°得到的．

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