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北师大版（2024）八年级下册 6.1 平行四边形的性质及判定 题型专练
【题型1】求边长或坐标
【典例】如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于点E，AB=8，BC=6，则EC等于（　　）
A.1 B.1.5 C.2 D.3
【强化训练1】已知 ABCD的边AD=10，∠DAB的平分线交CD所在直线于点E，且CE=2，则边AB的长为（　　）
A.8 B.10 C.12 D.8或12
【强化训练2】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝__________.
【强化训练3】如图， ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且BE∥DF，若AE＝3，则CF＝________.
【强化训练4】如图，在 ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF.
(1)求证：DE＝CF；
(2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．
【题型2】求周长或面积
【典例】如图， ABCD中，AE平分∠BAD，若CE＝3 cm，AB＝4 cm，则 ABCD的周长是(　　)
A.20 cm B.21 cm C.22 cm D.23 cm
【强化训练1】如图，点E是 ABCD的边AB上的任意一点（不与点A、B重合），若△DCE的面积为S，△ADE的面积为S1，△BCE面积为S2，则下列结论正确的是（　　）
A.S1=S2 B.S=S1+S2 C.S＜S1+S2 D.S＞S1+S2
【强化训练2】 ABCD中，AB＝8，周长等于24，则AD＝__________.
【强化训练3】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
【强化训练4】如图，F是 ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝2 cm2，S△BQC＝8 cm2，求阴影部分的面积.
【题型3】求角的大小
【典例】如图，四边形ABCD是平行四边形，线段BE垂直平分边CD于点，点F是边AD上一点，连接BF，若BF＝DF，∠CBE=α，则∠BFA的度数是( )
A.4α B.3α C.2α D.180°-α
【强化训练1】如图，在 ABCD中，E为CD边上一点，且BE=BC，∠C=55°，∠EBD=25°，∠AEB的度数为（　　）
A.90° B.95° C.100° D.105°
【强化训练2】如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=155°，则∠A的度数为（　　）
A.155° B.130° C.125° D.110°
【强化训练3】已知：如图， ABCD中，BE⊥CD于E，BE=AB，∠DAB=60°，∠DAB的平分线交BC于F，连接EF．则∠EFA的度数等于（　　）

A.30° B.35° C.40° D.45°
【强化训练4】如图，四边形ABCD是平行四边形，线段BE垂直平分边CD于点，点F是边AD上一点，连接BF，若BF＝DF，∠CBE=α，则∠BFA的度数是( )
A.4α B.3α C.2α D.180°-α
【题型4】平行四边形的对角相等
【典例】如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(　　)
A.66° B.104° C.114° D.124°
【强化训练1】在 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是(　　)
A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.2∶2∶1∶1 D.3∶1∶3∶1
【强化训练2】如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D′，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D′AD＝__________.
【强化训练3】如图，在 ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠AED的度数是________度．
【强化训练4】如图，在 ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点．求证：△ABE≌△CDF.
【强化训练5】如图，在 ABCD中，E是BC上的一点，且AB＝BE，AE，DC的延长线相交于点F，∠F＝62°，求∠D的度数．
【题型5】平行四边形的对角线互相平分
【典例】如图，在平行四边形ABCD中(AB≠BC)，直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD，BC于点M，N，交BA，DC的延长线于点E，F，下列结论：
①AO＝BO；
②OE＝OF；
③△EAM≌△FCN；
④△EAO≌△CNO.
其中正确的是(　　)
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
【强化训练1】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若AB=2，AC=8，BD=m,AD=n.则化简的结果为（　　）
A.n+m-11 B.n-m-9 C.m-n+9 D.11-m-n
【强化训练2】下列性质中，平行四边形不一定具备的是(　　)
A.邻角互补 B.对角互补 C.对边相等 D.对角线互相平分
【强化训练3】如图， ABCD中，AC与BD相交于点O，若点D(5,2)，则B点坐标为________．
【强化训练4】如图， ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为13，则 ABCD的两条对角线长度之和为________．
【强化训练5】如图，平行四边形ABCD中，BD是对角线，BD的垂直平分线交BD于O，交BA的延长线交于点E，交DC的延长线于点F，证明：AE＝CF.
【强化训练6】已知：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB＝1，BC＝.
(1)求平行四边形ABCD的面积S ABCD；
(2)求对角线BD的长．
【题型6】平行四边形的判定
【典例】某人准备设计平行四边形图案，拟以长为4 cm,5 cm,7 cm的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画不同形状的平行四边形，他可以画出形状不同的平行四边形的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【强化训练1】在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(　　)
A.AB∥DC，AD＝BC
B.AB＝DC，AD＝BC
C.AO＝CO，BO＝DO
D.AB∥DC，AD∥BC
【强化训练2】要使如图所示的四边形ABCD是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（　　）
A.OC=5 B.OC=3 C.CD=3 D.CD=9
【强化训练3】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E在AB边上从A向B以1 cm/s的速度移动，同时点F在CD边上从C向D以2 cm/s的速度移动，若AB＝7 cm，CD＝9 cm，则________s时四边形ADFE是平行四边形．
【强化训练4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
【强化训练5】如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.
(1)试说明AC＝EF；
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．
【题型7】平行四边形性质与判定的综合
【典例】如图，在 ABCD中，点E，F分别在CD，BC的延长线上，且满足∠ABC=∠F．若AE∥BD，AB=4，则EF的长为（　　）
A.7 B.8 C.9 D.10
【强化训练1】如图，AE∥BD，BE∥DF，AB∥CD，下面给出四个结论：(1)四边形ABDC是平行四边形；(2)BE＝DF；(3)S四边形ABDC＝S四边形BDFE；(4)BD＝CE.其中正确的有(　　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【强化训练2】如图， ABCD中，点E在CD的延长线上，AE∥BD，EC＝4，则AB的长是________．
【强化训练3】如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是AB，OB，CD，OD的中点．有下列结论：①AD＝BC，②△DHG≌△BFE，③BF＝HO，④AO＝BO，⑤四边形HFEG是平行四边形，其中正确结论的序号是__________．
【强化训练4】如图，D是等腰三角形ABC的底边BC上的一点，E，F分别在AC，AB上，且DE∥AB，DF∥AC.试问DE，DF与AB之间有什么关系吗？请说明理由．
【题型8】平行线之间的距离
【典例】如图，点P为平行四边形ABCD外一点，连接PA，PB，PC，PD，若△PAB的面积为8，△PAD的面积为4，△PCD的面积为7，则△PBC的面积为（　　）
A.21 B.19 C.17 D.15
【强化训练1】如图所示，能表示直线AB，CD之间距离的是线段(　　)
A.PQ的长度 B.PM的长度 C.PN的长度 D.以上都不对
【强化训练2】如图所示，能表示直线AB，CD之间距离的是线段(　　)
A.PQ的长度 B.PM的长度 C.PN的长度 D.以上都不对
【强化训练3】如图，A，P是直线m上的任意两个点，B，C是直线n上的两个定点，且直线m∥n.则下列说法正确的是(　　)
A.AC＝BP
B.△ABC的周长等于△BCP的周长
C.△ABC的面积等于△ABP的面积
D.△ABC的面积等于△PBC的面积
【强化训练4】已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5 cm，到直线b的距离是3 cm，那么直线a和直线b之间的距离为__________．
【强化训练5】如图，已知直线AB∥CD，直线EF截AB，CD于E，F，EG⊥CD，∠EFD＝45°且FG＝6，则AB，CD之间的距离为__________．
【强化训练6】如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝5，BD＝8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为________．
【强化训练7】如图，直线a∥b，点A，B位于直线a上，点C，D位于直线b上，且AB∶CD＝1∶2，若△ABC的面积为6，则△BCD的面积为________．
【题型9】梯形的定义与识别
下图中，有（ ）个梯形.
A.1 B.2 C.3 D.4
下列图形中，属于梯形的是（ ）
A. B. C. D.
下图中，有（ ）个梯形.
A.1 B.2 C.3 D.4
下列图形中，不是梯形的是（ ）
A. B. C. D.
【题型10】梯形的分类
梯形的任一条高可把梯形最多分成（ ）个直角梯形.
A.0 B.1 C.2 D.3
下列梯形，是等腰梯形的是（ ）.
A. B. C. D.
下列图形中，直角梯形有（ ）个.
A.1 B.2 C.3 D.4
下列梯形，属于直角梯形的是（ ）.
A. B. C. D.
梯形的任一条高可把梯形最多分成（ ）个直角梯形.
A.0 B.1 C.2 D.3北师大版（2024）八年级下册 6.1 平行四边形的性质及判定 题型专练（参考答案）
【题型1】求边长或坐标
【典例】如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于点E，AB=8，BC=6，则EC等于（　　）
A.1 B.1.5 C.2 D.3
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=8，AD=BC=6．CD∥AB，
∴∠AED=∠BAE，
∵∠DAB的平分线AE交CD于E，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠DAE=∠AED．
∴ED=AD=6，
∴EC=CD-ED=8-6=2．
故选：C．
【强化训练1】已知 ABCD的边AD=10，∠DAB的平分线交CD所在直线于点E，且CE=2，则边AB的长为（　　）
A.8 B.10 C.12 D.8或12
【答案】D
【解析】如图，当点E在DC延长线上时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴∠E=∠BAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠E=∠DAE，
∴DE=AD=10，
∴DC=DE-CE=10-2=8，
∴AB=CD=8；
如图，当E在线段CD上时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠AED=∠DAE，
∴DE=AD=10，
∴DC=DE+CE=10+2=12，
∴AB=CD=12，
∴AB的长是8或12．
故选：D．
【强化训练2】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝__________.
【答案】
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD，
∴∠GCE＝∠B＝60°，
∵E是BC的中点，∴CE＝BE＝2，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥DG，
∴∠G＝90°，
又∵∠CEG=∠G-∠GCE=30°，
∴CG＝CE＝1，
∴EG＝＝=，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4，
∴DE＝＝＝.
【强化训练3】如图， ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且BE∥DF，若AE＝3，则CF＝________.
【答案】3
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE＝BF，
∴AD－DE＝BC－BF，
∴AE＝CF，
∵AE＝3，
∴CF＝3.
【强化训练4】如图，在 ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF.
(1)求证：DE＝CF；
(2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
又∵F是AD的中点，
∴FD＝AD.∵CE＝BC，
∴FD＝CE.
又∵FD∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形．
∴DE＝CF.
(2)过D作DG⊥CE于点G.如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD＝AB＝4，BC＝AD＝6.
∴∠DCE＝∠B＝60°.
在Rt△CDG中，∠DGC＝90°，
∴∠CDG＝30°，
∴CG＝CD＝2.
由勾股定理得DG＝＝2.
∵CE＝BC＝3，
∴GE＝1.
在Rt△DEG中，∠DGE＝90°，
∴DE＝＝.
∴AF∥CE.
【题型2】求周长或面积
【典例】如图， ABCD中，AE平分∠BAD，若CE＝3 cm，AB＝4 cm，则 ABCD的周长是(　　)
A.20 cm B.21 cm C.22 cm D.23 cm
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝DC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BCD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB＝4 cm，
∴BC＝BE＋CE＝7(cm)，
∴ ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝2×(4＋7)＝22(cm)；故选C.
【强化训练1】如图，点E是 ABCD的边AB上的任意一点（不与点A、B重合），若△DCE的面积为S，△ADE的面积为S1，△BCE面积为S2，则下列结论正确的是（　　）
A.S1=S2 B.S=S1+S2 C.S＜S1+S2 D.S＞S1+S2
【答案】B
【解析】设CD边上的高为h,CD的长为a,
则S平行四边形ABCD=ah,S=ah,
∴S=S平行四边形ABCD=S1+S2，
故选B．
【强化训练2】 ABCD中，AB＝8，周长等于24，则AD＝__________.
【答案】4
【解析】∵ ABCD中，AB＝8，周长等于24，
∴AB＋AD＝12，
∴AD＝12－8＝4.
【强化训练3】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，∴BE＝CD.
(2)解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝4，
∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝2，
∴BF＝＝＝2，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，
在△ADF和△ECF中，∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，AF＝EF，
∴△ADF≌△ECF(AAS)，
∴△ADF的面积＝△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝AE·BF＝×4×2＝4.
【强化训练4】如图，F是 ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝2 cm2，S△BQC＝8 cm2，求阴影部分的面积.
【答案】解：连接EF，
∵F是 ABCD的边CD上的点，
∴BE∥CF，
∴∠EBF=∠CFB，∠BEC=∠FCE，
∵BQ=FQ，
∴△EBQ≌△CFQ，
∴EQ=CQ，
∴四边形EBCF是平行四边形，
∴S△BEF＝2S△BQC＝16 cm2，
∵S△AED=S△AEF，
∴S△APD＝S△EPF＝2 cm2，
∴S阴影＝S△EPF+S△EBF＝18(cm2).
【题型3】求角的大小
【典例】如图，四边形ABCD是平行四边形，线段BE垂直平分边CD于点，点F是边AD上一点，连接BF，若BF＝DF，∠CBE=α，则∠BFA的度数是( )
A.4α B.3α C.2α D.180°-α
【答案】A
【解析】如图，连接BD，
∵线段BE垂直平分边CD于点E，
∴BD＝BC，
∴∠DBE =∠CBE =α，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FDB=∠CBD=2α，
∵FB=FD，
∴∠FBD=2α，
∴∠AFB=∠FBD+∠FDB=4α.
故选：A．
【强化训练1】如图，在 ABCD中，E为CD边上一点，且BE=BC，∠C=55°，∠EBD=25°，∠AEB的度数为（　　）
A.90° B.95° C.100° D.105°
【答案】B
【解析】∵BE=BC，
∴∠BEC=∠C=55°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠C=55°，AB∥CD，AD=BC，
∴∠EBA=∠BEC=55°，BE=AD，
∴∠EBA=∠DAB，
在△EBA和△DAB中，
BE=AD，∠EBA=∠DAB，AB=BA，
∴△EBA≌△DAB（SAS），
∵∠EBD=25°，
∴∠ABD=∠EBA-∠EBD=55°-25°=30°，
∴∠BDA=180°-∠DAB-∠ABD=180°-55°-30°=95°，
∴∠AEB=∠BDA=95°，
故选：B．
【强化训练2】如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=155°，则∠A的度数为（　　）
A.155° B.130° C.125° D.110°
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=155°，
∴∠ABE=∠CBE=∠AEB=180°-∠BED=25°，
∴∠A=180°-∠ABE-∠AEB=130°．
故选：B．
【强化训练3】已知：如图， ABCD中，BE⊥CD于E，BE=AB，∠DAB=60°，∠DAB的平分线交BC于F，连接EF．则∠EFA的度数等于（　　）

A.30° B.35° C.40° D.45°
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF=∠BAF=∠DAB=30°，
∴∠BAF=∠AFB=30°，
∴AB=BF，
∵BE=AB，
∴BE=BF，
∴∠BEF=∠BFE，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=90°，
∵∠DAB=60°，
∴∠C=∠DAB=60°，
∴∠EBF=30°，
∴∠BFE=×（180°-30°）=75°，
∴∠EFA=∠BFE-∠AFB=45°，
故选：D．
【强化训练4】如图，四边形ABCD是平行四边形，线段BE垂直平分边CD于点，点F是边AD上一点，连接BF，若BF＝DF，∠CBE=α，则∠BFA的度数是( )
A.4α B.3α C.2α D.180°-α
【答案】A
【解析】如图，连接BD，
∵线段BE垂直平分边CD于点E，
∴BD＝BC，
∴∠DBE =∠CBE =α，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FDB=∠CBD=2α，
∵FB=FD，
∴∠FBD=2α，
∴∠AFB=∠FBD+∠FDB=4α.
故选：A．
【题型4】平行四边形的对角相等
【典例】如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(　　)
A.66° B.104° C.114° D.124°
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
由折叠的性质，得∠BAC＝∠B′AC，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，
∴∠B＝180°－∠2－∠BAC＝180°－44°－22°＝114°.
故选C.
【强化训练1】在 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是(　　)
A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.2∶2∶1∶1 D.3∶1∶3∶1
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴在 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是3∶1∶3∶1，
故选D.
【强化训练2】如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D′，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D′AD＝__________.
【答案】55°
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C，
由折叠的性质，得∠D′AE＝∠C，
∴∠D′AE＝∠BAD，
∴∠D′AD＝∠BAE＝55°.
【强化训练3】如图，在 ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠AED的度数是________度．
【答案】85
【解析】∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD，
∴∠EAD＝∠AEB，
又∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠B＝∠EAD，
在△ABC和△EAD中，AB＝EA，∠ABC＝∠EAD，BC＝AD，
∴△ABC≌△EAD(SAS)，
∴∠AED＝∠BAC.
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠B，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∴∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝85°，
∴∠AED＝∠BAC＝85°.
【强化训练4】如图，在 ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点．求证：△ABE≌△CDF.
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC，
∵点E，F分别为边BC，AD的中点，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，AB＝CD，∠B＝∠D，BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
【强化训练5】如图，在 ABCD中，E是BC上的一点，且AB＝BE，AE，DC的延长线相交于点F，∠F＝62°，求∠D的度数．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠F＝62°，
∵AB＝BE，
∴∠AEB＝∠BAE＝62°，
∴∠B＝180°－2×62°＝56°，
∴∠D＝56°.
【题型5】平行四边形的对角线互相平分
【典例】如图，在平行四边形ABCD中(AB≠BC)，直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD，BC于点M，N，交BA，DC的延长线于点E，F，下列结论：
①AO＝BO；
②OE＝OF；
③△EAM≌△FCN；
④△EAO≌△CNO.
其中正确的是(　　)
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
【答案】B
【解析】①平行四边形中邻边垂直则该平行四边形为矩形，故本题中AC≠BD，即AO≠BO，故①错误；
②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OA＝OC，∴∠E＝∠F，在△AOE和△COF中，∵∠E＝∠F，∠AOE＝∠COF，OA＝OC，∴△AOE≌△COF(AAS)，∴OE＝OF，故②正确；
③由②知，△AOE≌△COF，则∠E＝∠F，AE＝CF.在△EAM与△FCN中，∠E＝∠F，AE＝CF，∠EAM＝∠FCN，∴△EAM≌△FCN(ASA)，故③正确；
④∵△AOE≌△COF，且△FCO和△CNO不全等，故△EAO和△CNO不全等，故④错误，即②③正确．
故选B.
【强化训练1】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若AB=2，AC=8，BD=m,AD=n.则化简的结果为（　　）
A.n+m-11 B.n-m-9 C.m-n+9 D.11-m-n
【答案】C
【解析】在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴AO=AC=4，AB=CD=2，
在△AOB中，AB=2，
∴AO-AB＜BO＜AB+AO，
∴2＜BO＜6，
∴4＜BD＜12，
∴4＜m＜12；
在△ACD中，AD=n,CD=2，AC=8，
∴AC-CD＜AD＜AC+CD，
∴6＜AD＜10，
∴6＜n＜10，
∴化简：=|n-10|+|m-1|=10-n+m-1=m-n+9，
故选：C．
【强化训练2】下列性质中，平行四边形不一定具备的是(　　)
A.邻角互补 B.对角互补 C.对边相等 D.对角线互相平分
【答案】B
【解析】A.平行四边形邻角互补，正确，不符合题意；
B.平行四边形对角不一定互补，错误，符合题意；
C.平行四边形对边相等，正确，不符合题意．
D.平行四边形对角线互相平分，正确，不符合题意；
故选B.
【强化训练3】如图， ABCD中，AC与BD相交于点O，若点D(5,2)，则B点坐标为________．
【答案】(－5，－2)
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∵O是坐标原点，
∴B点和D点关于坐标原点对称，
∵D点坐标为(5,2)，
∴B点坐标为(－5，－2)．
【强化训练4】如图， ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为13，则 ABCD的两条对角线长度之和为________．
【答案】16
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝5，AC＝2CO，BD＝2DO，
∵△OCD的周长为13，
∴CO＋DO＝13－5＝8，
∴AC＋BD＝2×8＝16.
【强化训练5】如图，平行四边形ABCD中，BD是对角线，BD的垂直平分线交BD于O，交BA的延长线交于点E，交DC的延长线于点F，证明：AE＝CF.
【答案】证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD,∠EBO＝∠FDO，
又∵EF是BD的垂直平分线，
∴BO＝DO，又∵∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF，
∴BE＝DF，
∴AE＝BE－AB＝DF－CD＝CF.
【强化训练6】已知：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB＝1，BC＝.
(1)求平行四边形ABCD的面积S ABCD；
(2)求对角线BD的长．
【答案】解：(1)在Rt△ABC中，AC＝＝2，
则S ABCD＝AB· AC＝2.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC=AC=1，BO＝OD，
在Rt△ABO中，BO＝＝，
∴BD＝2.
【题型6】平行四边形的判定
【典例】某人准备设计平行四边形图案，拟以长为4 cm,5 cm,7 cm的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画不同形状的平行四边形，他可以画出形状不同的平行四边形的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】分别以4 cm,5 cm为边，7 cm为对角线；或以4 cm,7 cm为边，5 cm为对角线；或5 cm,7 cm为边，4 cm为对角线共有三种情况．
故选C.
【强化训练1】在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(　　)
A.AB∥DC，AD＝BC
B.AB＝DC，AD＝BC
C.AO＝CO，BO＝DO
D.AB∥DC，AD∥BC
【答案】A
【解析】A．错误，当AB∥DC，AD＝BC时，四边形ABCD可能是等腰梯形可能是平行四边形；
B．正确，因为两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
C．正确，因为对角线互相平分的四边形是平行四边形；
D．正确，因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
故选A.
【强化训练2】要使如图所示的四边形ABCD是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（　　）
A.OC=5 B.OC=3 C.CD=3 D.CD=9
【答案】B
【解析】∵AD=BC=9，AB=CD=5，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OB=OD=7，OA=OC=3，
∴四边形ABCD是平行四边形.
故选：B．
【强化训练3】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E在AB边上从A向B以1 cm/s的速度移动，同时点F在CD边上从C向D以2 cm/s的速度移动，若AB＝7 cm，CD＝9 cm，则________s时四边形ADFE是平行四边形．
【答案】3
【解析】设t s时四边形ADFE是平行四边形，当四边形ADFE是平行四边形时，AE＝DF，即t＝9－2t，解得t＝3，故3 s时四边形ADFE是平行四边形．
【强化训练4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
【答案】解：四边形ABCD是平行四边形，
理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠C＋∠B＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【强化训练5】如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.
(1)试说明AC＝EF；
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．
【答案】证明：(1)∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF，∴AF＝BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
AF＝BC，AE＝BA，
∴Rt△AFE≌Rt△BCA(HL)，
∴AC＝EF.
(2)∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°，
又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，
∵AC＝EF，AC＝AD，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
【题型7】平行四边形性质与判定的综合
【典例】如图，在 ABCD中，点E，F分别在CD，BC的延长线上，且满足∠ABC=∠F．若AE∥BD，AB=4，则EF的长为（　　）
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，AB∥CD，
∴∠ECF=∠ABC，
又∵∠ABC=∠F，
∴∠F=∠ECF，
∴EF=CE，
∵AE∥BD，AB∥CD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE=4，
∴EF=CE=8.
故选：B．
【强化训练1】如图，AE∥BD，BE∥DF，AB∥CD，下面给出四个结论：(1)四边形ABDC是平行四边形；(2)BE＝DF；(3)S四边形ABDC＝S四边形BDFE；(4)BD＝CE.其中正确的有(　　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】B
【解析】由已知可得四边形ABDC和四边形BDFE都是平行四边形，故(1)，(2)正确；
又因为四边形ABDC和四边形BDFE同底同高，所以面积相等，故(3)正确；
BD＝AC＝EF与CE不一定相等，故(4)错误．
故选B.
【强化训练2】如图， ABCD中，点E在CD的延长线上，AE∥BD，EC＝4，则AB的长是________．
【答案】2
【解析】如题图，在 ABCD中，AB∥CD，且AB＝CD.∵点E在CD的延长线上，∴AB∥ED.又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB＝ED，∴AB＝ED＝DC＝EC＝2.
【强化训练3】如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是AB，OB，CD，OD的中点．有下列结论：①AD＝BC，②△DHG≌△BFE，③BF＝HO，④AO＝BO，⑤四边形HFEG是平行四边形，其中正确结论的序号是__________．
【答案】①②③⑤
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，故①正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，OD＝OB，∴∠CDB＝∠DBA，∵E，F，G，H分别是AB，OB，CD，OD的中点，∴DG＝BE＝AB，DH＝BF＝OD，∴②△DHG≌△BFE，故②正确；∵HO＝DH，DH＝BF，∴BF＝HO，故③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，故④错误；∵E，F，G，H分别是AB，OB， CD，OD的中点，∴HG∥OC，HG＝OC，EF∥OA，EF＝OA，∴HG∥EF，HG＝EF，∴四边形HEFG是平行四边形，故⑤正确.
【强化训练4】如图，D是等腰三角形ABC的底边BC上的一点，E，F分别在AC，AB上，且DE∥AB，DF∥AC.试问DE，DF与AB之间有什么关系吗？请说明理由．
【答案】解：DE＋DF＝AB.理由如下：
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴AF＝DE，
∵AB＝AC，DF∥AC，
∴∠B＝∠C＝∠FDB，
∴BF＝DF，
∴DE＋DF＝AF＋BF＝AB.
【题型8】平行线之间的距离
【典例】如图，点P为平行四边形ABCD外一点，连接PA，PB，PC，PD，若△PAB的面积为8，△PAD的面积为4，△PCD的面积为7，则△PBC的面积为（　　）
A.21 B.19 C.17 D.15
【答案】B
【解析】如图，过点P作PH∥AB，交AD于点N，交BC于点H，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH，
∴S△ABP=S△ABN=S△BHN，S△PCD=S△CDN=S△CNH，S△APN=S△BPN，S△PDN=S△PNC，
∴S△PBC=S△BHN+S△BPN+S△CNH+S△PNC=S△PAD+S△PAB+S△PCD=4+8+7=19.
故选：B．
【强化训练1】如图所示，能表示直线AB，CD之间距离的是线段(　　)
A.PQ的长度 B.PM的长度 C.PN的长度 D.以上都不对
【答案】D
【解析】∵不能确定直线AB，CD的位置关系，∴无法确定直线AB，CD之间距离.
故选D.
【强化训练2】如图所示，能表示直线AB，CD之间距离的是线段(　　)
A.PQ的长度 B.PM的长度 C.PN的长度 D.以上都不对
【答案】D
【解析】∵不能确定直线AB，CD的位置关系，∴无法确定直线AB，CD之间距离.
故选D.
【强化训练3】如图，A，P是直线m上的任意两个点，B，C是直线n上的两个定点，且直线m∥n.则下列说法正确的是(　　)
A.AC＝BP
B.△ABC的周长等于△BCP的周长
C.△ABC的面积等于△ABP的面积
D.△ABC的面积等于△PBC的面积
【答案】D
【解析】∵A，P是直线m上的任意两个点，B，C是直线n上的两个定点，且直线m∥n，根据平行线之间的距离相等可得△ABC与△PBC是同底等高的三角形，
故△ABC的面积等于△PBC的面积．
故选D.
【强化训练4】已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5 cm，到直线b的距离是3 cm，那么直线a和直线b之间的距离为__________．
【答案】2 cm或8 cm
【解析】当M在b下方时，距离为5－3＝2(cm)；
当M在a，b之间时，距离为5＋3＝8(cm).
【强化训练5】如图，已知直线AB∥CD，直线EF截AB，CD于E，F，EG⊥CD，∠EFD＝45°且FG＝6，则AB，CD之间的距离为__________．
【答案】6
【解析】∵EG⊥CD，AB∥CD，
∴EG⊥AB，即EG的长是AB，CD之间的距离，
∵EG⊥CD，
∴∠EGF＝90°，
∵∠EFG＝45°，
∴∠FEG＝180°－90°－45°＝45°＝∠EFG，
∴EG＝FG＝6，
即AB，CD之间的距离是6.
【强化训练6】如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝5，BD＝8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为________．
【答案】10
【解析】过点A作AF⊥BD于点F，
∵△ABD的面积为16，BD＝8，
∴BD·AF＝×8AF＝16，
解得AF＝4，
∵AE∥BD，
∴AF的长是△ACE的高的长，
∴S△ACE＝×4AE＝×4×5＝10.
【强化训练7】如图，直线a∥b，点A，B位于直线a上，点C，D位于直线b上，且AB∶CD＝1∶2，若△ABC的面积为6，则△BCD的面积为________．
【答案】12
【解析】如图，过C作CM⊥AB于点M，过B作BN⊥CD于点N，
∵a∥b，
∴CM＝BN，
∴S△ABC＝BA·CM，S△CDB＝CD·BN，
∴S△ABC∶S△CDB＝AB∶CD＝1∶2，
∵△ABC的面积为6，∴△BCD的面积为12.
【题型9】梯形的定义与识别
下图中，有（ ）个梯形.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】
解：根据梯形的定义：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形.从图中可以看出，有梯形ABCD，有梯形AECD，有梯形ABCG，符合题意的是选项C.
故选C.
下列图形中，属于梯形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：根据梯形的定义：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形.符合定义的只有选项C.
故选C.
下图中，有（ ）个梯形.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】
解：根据梯形的定义：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形.从图中可以看出，有梯形ABCD，有梯形AECD，有梯形ABCG，符合题意的是选项C.
故选C.
下列图形中，不是梯形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解：根据梯形的定义：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形.从图中可以看出，ABC均为梯形，D为正方形，符合题意的只有选项D.
故选D.
【题型10】梯形的分类
梯形的任一条高可把梯形最多分成（ ）个直角梯形.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】
解：根据直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形叫作直角梯形.如果原梯形是一般梯形，从梯形上底除端点外，任取一点向下底作垂线段，可得到2个直角梯形；如果梯形是直角梯形，与底垂直的腰已知是这个梯形的一条高，如果除这条高外，再从上底任取一点作梯形的高，则不能再得到直角梯形，得到的是一个矩形和一个直角三角形.
故选C.如图：
下列梯形，是等腰梯形的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：根据等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形.从图中可看出，符合题意是选项C.
下列图形中，直角梯形有（ ）个.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】
解：根据直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形叫作直角梯形.图中符合题意的直角梯形为梯形AECD和梯形ABFD.
故选B.
下列梯形，属于直角梯形的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：根据直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形叫作直角梯形.图中符合题意的是选项A.
故选A
梯形的任一条高可把梯形最多分成（ ）个直角梯形.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】
解：根据直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形叫作直角梯形.如果原梯形是一般梯形，从梯形上底除端点外，任取一点向下底作垂线段，可得到2个直角梯形；如果梯形是直角梯形，与底垂直的腰已知是这个梯形的一条高，如果除这条高外，再从上底任取一点作梯形的高，则不能再得到直角梯形，得到的是一个矩形和一个直角三角形.
故选C.如图：

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