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北师大版（2024）八年级下册 6.2 三角形的中位线 题型专练（参考答案）
【题型1】用三角形的中位线求边长
【典例】如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB＝10，BC＝8，则EF的长是(　　)
A. B.1 C. D.1.5
【答案】B
【解析】∵D，E分别是BC，AC的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝5，BD＝BC＝4，∴∠ABF＝∠BFD，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠DBF，∴∠DBF＝∠BFD，∴DF＝DB＝4，∴EF＝DE－DF＝1.
故选B.
【强化训练1】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，DE，DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF的周长是(　　)
A.5 B.7 C.8 D.10
【答案】D
【解析】∵AB＝4，BC＝6，DE，DF是△ABC的中位线，∴DE＝AB＝2，DF＝BC＝3，DE∥BF，DF∥BE，∴四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF的周长为2×2＋3×2＝10.
故选D.
【强化训练2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝6 cm，则EF＝________ cm.
【答案】6
【解析】∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴AB＝2CD，
∵CD＝6 cm，
∴AB＝12 cm，
∵E，F分别是BC，CA的中点，
∴EF＝AB＝6 cm.
【强化训练3】如图，为了测量池塘边A，B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使得A，B分别是CD，CE的中点，若DE=18,则线段AB的长度是 .
【答案】9
【解析】∵A，B分别是CD，CE的中点，
∴AB是△DEC的中位线，
∴AB=DE=×18=9．
故答案为：9．
【强化训练4】如图，已知△ABC中，D为AB的中点．
(1)请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，若DE＝4，求BC的长．
【答案】解：(1)如图，作线段AC的垂直平分线MN交AC于点E，点E就是所求的点．
(2)∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵DE＝4，
∴BC＝8.
【强化训练5】如图所示．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CF相交于点O，AG⊥BE于点G，AH⊥CF于点H.
(1)求证：GH∥BC；
(2)若AB＝9厘米，AC＝14厘米，BC＝18厘米，求GH.
【答案】(1)证明：分别延长AG，AH交BC于点M，N，
∵在△ABM中，BG平分∠ABM，BG⊥AM，
∴△ABG≌△MBG(ASA)．
∴G是AM的中点．同理可证△ACH≌△NCH(ASA)，
∴H是AN的中点．
∴GH是△AMN的中位线，
∴HG∥MN，即HG∥BC.
(2)解：由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，
∴AB＝BM＝9厘米，AC＝CN＝14厘米．又∵BC＝18厘米，
∴BN＝BC－CN＝18－14＝4(厘米)，MC＝BC－BM＝18－9＝9(厘米)．
∴MN＝18－4－9＝5(厘米)，
∴GH＝MN＝厘米.
【题型2】用三角形的中位线求角度
【典例】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝66°，则∠FEG的度数为(　　)
A.47° B.46° C.41° D.23°
【答案】D
【解析】∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，又∵AD＝BC，∴GF＝GE，∠FGC＝∠DAC＝20°，∠AGE＝∠ACB＝66°，∴∠FGE＝∠FGC＋∠EGC＝20°＋(180°－66°)＝134°，∴∠FEG＝(180°－∠FGE)＝23°.
故选D.
【强化训练1】如图，BD是等腰△ABC底边AC上的中线，ED∥AB，∠C=65°，则∠BDE的度数是（　　）
A.24° B.25° C.30° D.35°
【答案】B
【解析】∵BA=BC，BD是△ABC底边AC上的中线，
∴∠A=∠C=65°，BD⊥AC，
∴∠ABD=90°-65°=25°，
∵ED∥AB，
∴∠BDE=∠ABD=25°.
故选：B．
【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，则∠ADC的度数为 .
【答案】135°
【解析】连接BD，如图所示，
∵E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EF∥BD，BD=2EF=4，
∴∠ADB=∠AFE=45°，
∵BC=5，CD=3，
∴BD2+CD2=25，BC2=25，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°.
故答案为：135°．
【强化训练3】如图，在△ABC中，D，E，F分别是各边的中点，AH是高，∠DHF＝50°，∠DAF＝________°.
【答案】50
【解析】如图，∵AH⊥BC于点H，
又∵D为AB的中点，
∴DH＝AB＝AD，∴∠1＝∠2，
同理可证∠3＝∠4，
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠DHF＝∠DAF，
∵∠DHF＝50°，
∴∠DAF＝50°.
【强化训练4】如图1，小明和小聪玩跷跷板游戏，图2是跷跷板的示意图，O是横板AB的中点，横板AB绕点O转动，立柱OH与地面EF垂直，且OH=60 cm.
（1）当小明从水平位置AB下降的高度KD为40 cm时，记小聪升高的高度为CG，求此时小聪离地面EF的高度CE；
（2）如图3，当一端落地时，另一端上升到最高点．当A端落地时，∠AOH=70°，求横板AB上下可转动的最大角度（即求∠AOM的度数）．
【答案】解：（1）∵O为CD，GK的中点，
∴OC=OD，OG=OK，
∵∠COG=∠DOK，
∴△COG≌△DOK（SAS），
∴CG=DK=40 cm,
∵GE=OH=60 cm,
∴CE=CG+GE=40+60=100（cm），
∴此时小聪离地面EF的高度CE为100 cm.
（2）∵OH⊥AN，
∴∠OHN=∠OHA=90°，
∵H为AN的中点，
∴HA=HN，
∵OH=OH，
∴△OHA≌△OHN（SAS），
∴∠AOH=∠NON=70°，
∵∠AOM+∠AOH+∠NOH=180°，
∴∠AOM=180°-70°-70°=40°．
【题型3】三角形的中位线与证明
【典例】如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，AB=2BC，DE平分∠ADC，对角线AC，BD相交于点O，连接OE，下列结论中正确的有（　　）
①∠BDC=30°；
②AD=2OE；
③DE=BC；
④OD=AD；
⑤S平行四边形ABCD=AD BD．
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】C
【解析】∵在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，
∴∠DAB=∠BCD=180°-120°=60°，
AB=CD，∠ADC=∠ABC=120°，BO=OD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠EDC=60°，
∴∠AED=180°-∠DAB-∠ADE=60°=∠DAB=∠ADE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE=DE，
∵AB=2BC，
∴AB=2AD=2AE，
∴E是AB的中点，
∴AE=BE，
∵DE=AE，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD=∠AED=30°，
∴∠ADB=∠ADE+∠EDB=90°，
∴∠BDC=30°，S平行四边形ABCD=AD BD，
故①，⑤正确；
∵AE=BE，BO=OD，
∴OE=AD，
即AD=2OE，
故②正确；
∵AD=AE=DE，AD=BC，
∴DE=BC，
故③正确；
∵OD=BD，AD=AB，BD≠AB，
∴OD≠AD，
故④错误，
正确的有4个.
故选：C．
【强化训练1】数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明．嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1和图2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（　　）
A.嘉嘉的不可以，淇淇的辅助线作法可以
B.嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以
C.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以
D.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以
【答案】D
【解析】嘉嘉的作法：∵AE=EC，DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD=CF，AD∥CF，
∵AD=BD，
∴BD=CF，BD∥CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF∥BC，DF=BC，
∴DE∥BC，DE=DF=BC；
淇淇的作法：∵AF∥BC，
∴∠EAF=∠C，∠F=∠CGE，
在△AEF和△CEG中，
∴△AEF≌△CEG（AAS），
∴AF=CG，EF=EG，
∵AF∥BG，AB∥FG，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴AB=FG，
∵BD=AB，GE=FG，
∴BD=EG，AF=BG，
∵BD∥EG，
∴四边形DBGE是平行四边形，
∴DE∥BG，DE=BG=AF=CG，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以.
故选：D．
【强化训练2】如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为__________．
【答案】4n－3
【解析】第①是1个三角形，1＝4×1－3；
第②是5个三角形，5＝4×2－3；
第③是9个三角形，9＝4×3－3；
∴第n个图形中共有三角形的个数是4n－3.
【强化训练3】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是AB，CD的中点，且AC＝BD.求证：OM＝ON.
【答案】证明：如图，取AD的中点G，连接EG，FG，∵G，F分别为AD，CD的中点，
∴GF是△ACD的中位线，
∴GF＝AC，
同理可得，GE＝BD，
∵AC＝BD，
∴GF＝GE＝AC＝BD，
∴∠GFN＝∠GEM，
又∵EG∥OM，FG∥ON，
∴∠OMN＝∠GEM＝∠GFN＝∠ONM，
∴OM＝ON.北师大版（2024）八年级下册 6.2 三角形的中位线 题型专练
【题型1】用三角形的中位线求边长
【典例】如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB＝10，BC＝8，则EF的长是(　　)
A. B.1 C. D.1.5
【强化训练1】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，DE，DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF的周长是(　　)
A.5 B.7 C.8 D.10
【强化训练2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝6 cm，则EF＝________ cm.
【强化训练3】如图，为了测量池塘边A，B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使得A，B分别是CD，CE的中点，若DE=18,则线段AB的长度是 .
【强化训练4】如图，已知△ABC中，D为AB的中点．
(1)请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，若DE＝4，求BC的长．
【强化训练5】如图所示．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CF相交于点O，AG⊥BE于点G，AH⊥CF于点H.
(1)求证：GH∥BC；
(2)若AB＝9厘米，AC＝14厘米，BC＝18厘米，求GH.
【题型2】用三角形的中位线求角度
【典例】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝66°，则∠FEG的度数为(　　)
A.47° B.46° C.41° D.23°
【强化训练1】如图，BD是等腰△ABC底边AC上的中线，ED∥AB，∠C=65°，则∠BDE的度数是（　　）
A.24° B.25° C.30° D.35°
【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，则∠ADC的度数为 .
【强化训练3】如图，在△ABC中，D，E，F分别是各边的中点，AH是高，∠DHF＝50°，∠DAF＝________°.
【强化训练4】如图1，小明和小聪玩跷跷板游戏，图2是跷跷板的示意图，O是横板AB的中点，横板AB绕点O转动，立柱OH与地面EF垂直，且OH=60 cm.
（1）当小明从水平位置AB下降的高度KD为40 cm时，记小聪升高的高度为CG，求此时小聪离地面EF的高度CE；
（2）如图3，当一端落地时，另一端上升到最高点．当A端落地时，∠AOH=70°，求横板AB上下可转动的最大角度（即求∠AOM的度数）．
【题型3】三角形的中位线与证明
【典例】如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，AB=2BC，DE平分∠ADC，对角线AC，BD相交于点O，连接OE，下列结论中正确的有（　　）
①∠BDC=30°；
②AD=2OE；
③DE=BC；
④OD=AD；
⑤S平行四边形ABCD=AD BD．
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【强化训练1】数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明．嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1和图2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（　　）
A.嘉嘉的不可以，淇淇的辅助线作法可以
B.嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以
C.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以
D.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以
【强化训练2】如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为__________．
【强化训练3】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是AB，CD的中点，且AC＝BD.求证：OM＝ON.

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