资源简介

(共50张PPT)
1.知道圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积的计算公式.
2.能用公式解决简单的实际问题.
[学习目标]
[情境导入]
下面是我们日常生活中常见的旋转体图片，它们的表面积和体积又该如何计算呢？
知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积
πr2
圆柱 底面积：S底＝____，
侧面积：S侧＝2πrl，
表面积：S＝_________
圆锥 底面积：S底＝____，
侧面积：S侧＝πrl，
表面积：S＝_______
2πrl＋2πr2
πr2
πrl＋πr2
πr′2
圆台 上底面面积：S上底＝____，
下底面面积：S下底＝____，
侧面积：S侧＝________，
表面积：S＝_______________
πr2
πl(r＋r′)
π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
[微点拨]　圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的关系
[例1]　(北师版必修二例题)圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多少？(结果中保留π)
解　如图，设圆台上底面周长为c cm.
因为圆环的圆心角是180°，所以c＝π·SA.
又因为c＝2π×10＝20π(cm)，所以SA＝20 cm.同理SB＝40 cm.
所以AB＝SB－SA＝20(cm)，
S圆台侧＝π(r1＋r2)·AB＝π(10＋20)×20＝600π(cm2).
因此，圆台的侧面积为600π cm2.
[反思归纳]
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
1.得到空间几何体的平面展开图；
2.依次求出各个平面图形的面积；
3.将各平面图形的面积相加.
1.已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的表面积为(　　)
A.4π B.6π
C.8π D.16π
解析　依题意圆柱的底面半径r＝1，高h＝2，所以圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh＝2π×12＋2π×1×2＝6π.
B
知识点二　圆柱、圆锥、圆台的体积
πr2h
[微点拨]　圆柱、圆锥、圆台的体积公式的关系
D
[反思归纳]　求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，圆锥、圆台的高由母线、高、半径(半径的差)组成的直角三角形的边长列出方程求解.
2.如图，圆锥PO的底面直径和高均是2，过PO的中点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积是(　　)
D
4πR2
知识点三　球的表面积和体积
C
C
[反思归纳]
1.公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.
2.两个结论：(1)两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；(2)两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.
3.已知平面α截球O的球面所得圆的面积为π，O到α的距离为1，则球O的表面积为(　　)
A.2π B.4π
C.8π D.16π
C
4.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱组成的.已知中间圆柱部分的侧面面积与上、下露在外面的球面面积之比为1∶3，则中间圆柱部分的体积与上、下两个半球体体积之和的比值为(　　)
A.1∶2 B.1∶1
C.2∶1 D.2∶3
A
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
解决与球有关的问题时要注意球心位置的确定、空间几何体的构造.
[教考衔接]
考教对比
【真题示例】(2021·北京卷)对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义：
0～10 10～25 25～50 50～100
小雨 中雨 大雨 暴雨
小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级(　　)
B
A.小雨 　 B.中雨 　
C.大雨 　 D.暴雨
考教对比
【教材原题】(人教A版必修二习题)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1＝8.若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点.那么当底面ABC水平放置时，水面高为多少？
解　当三棱柱的侧面AA1B1B水平放置时，液体部分是四棱柱，其高即为原三棱柱的高，侧棱长A1A＝8.
设当底面ABC水平放置时，液面高为h，由已知条件，知四棱柱与三棱柱的底面面积之比为3∶4，由于两种状态下液体体积相等，即3×8＝4×h，∴h＝6，∴当底面ABC水平放置时，液面高为6.
教考解读
高考真题与教材习题均通过几何体体积相等的原理求解高度或厚度.高考题将教材中的棱柱、棱台替换为圆锥、圆台，但解题核心思路一致——利用体积不变性及底面积与高度的反比关系.例如，真题通过小圆锥与容器圆锥的相似比计算积水厚度，与教材习题中三棱柱不同放置时的底面积比求水面高度异曲同工，体现了知识迁移和模型化归的考查意图.
[随堂巩固]
1.思考辨析.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.( )
(2)圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关.( )
(3)球的体积是关于球半径的一个函数.( )
(4)球的表面积是球的体积的6倍.( )
×
√
√
×
2.已知圆锥的底面半径和高均为2，则该圆锥的侧面积为(　　)
B
π
4.若球O的表面积为32π cm2，则它的体积等于________cm3.
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[基础巩固]
C
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2.一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为2，以该圆台的上底面为底面，挖去一个半球，则剩余部分几何体的体积为(　　)
C
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B
3.如图，已知某灯罩呈圆台结构，上、下底皆挖空，上底半径为10 cm，下底半径为18 cm，母线长为17 cm，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计做工布料的浪费，则更换两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为(　　)
A.969π cm2 B.952π cm2
C.864π cm2 D.476π cm2
解析　由题意可得更换两个灯罩需要的丝绸材质布料面积
S＝2π(10＋18)×17＝952π cm2.
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4.一个棱长为1的正方体的8个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积和体积之比的值为(　　)
D
AC
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5.(多选)若圆锥的表面积为3π，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论正确的为(　　)
A.圆锥的母线长为2 B.圆锥的底面半径为2
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102.28
6.如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞，则挖洞后几何体的表面积是________ cm2.(π取3.14)
解析　正方体的表面积为4×4×6＝96(cm2)，圆柱的侧面积为2π×1×1＝2π(cm2)，则挖洞后几何体的表面积为96＋2π＝102.28(cm2).
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8.(10分)现有一块实心的半球体铝块，已知该半球的球半径为6.
(1)求该半球体的表面积；
(2)若将该铝块熔化，浇灌在一个底面直径为8的圆柱体模具中，求铸造出的圆柱高度.
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[综合应用]
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BD
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11.(13分)在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈.
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(1)请在图中画出所得几何体并说明所得的几何体的结构特征；
(2)求所得几何体的表面积和体积.
[拓展提升]
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12.如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个半径为4 cm的球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心O(水没有溢出)，则原来高脚杯内水的体积是(　　)
A
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