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(共46张PPT)
1.会判断空间两直线的位置关系.
2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.
[学习目标]
[情境导入]
(1)初中所学的结论“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，在空间中是否仍成立？
(2)初中所学的结论“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，如果去掉条件“在同一平面内”，结论是否仍成立？
知识点一　基本事实4
基本事实4及其应用
平行
文字语言 平行于同一条直线的两条直线____
符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c ____
应用 证明两条直线平行
a∥c
[例1]　如图，E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点.求证：四边形B1EDF为平行四边形.
证明　如图，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1.
∵E是AA1的中点，∴EQ綉A1D1.
∵在矩形A1B1C1D1中，A1D1綉B1C1，∴EQ綉B1C1，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綉C1Q.
又Q，F分别是D1D，C1C的中点，∴QD綉C1F，
∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1Q綉FD.
又B1E綉C1Q，∴B1E綉FD，故四边形B1EDF为平行四边形.
[反思归纳]　证明两直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行；二是证明同一个平面内这两条直线无公共点.
1.如图1所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折过来，使CD到达C′D′的位置(如图2)，G，H分别为AD′，BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.
知识点二　等角定理
相等
等角定理及其应用
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角____或____
图形语言
应用 判断或证明两个角相等或互补
互补
[微点拨]　如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
[例2]　若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′等于(　　)
A.130° B.50°
C.130°或50° D.不能确定
解析　∵OA∥O′A′，OB∥O′B′，∴∠AOB与∠A′O′B′相等或互补，∵∠AOB＝130°，∴∠A′O′B′＝130°或50°.
C
[例3]　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1.
证明　如图所示，连接B1C.
因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF∥B1C.
又ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以CD綉AB，A1B1綉AB，
由基本事实4知CD綉A1B1，所以四边形A1B1CD为平行四边形，
所以A1D綉B1C.
又B1C∥FG，由基本事实4知A1D∥FG.
同理可证A1C1∥GE，DC1∥FE.
又∠DA1C1与∠FGE，∠A1DC1与∠GFE，∠DC1A1与∠FEG的两条边分别对应平行且均为锐角，所以∠DA1C1＝∠FGE，∠A1DC1＝∠GFE，∠DC1A1＝∠FEG.
所以△EFG∽△C1DA1.
[反思归纳]　等角定理的结论是两个角相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能.
2.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点.求证：
(1)D1E∥BF；
(2)∠B1BF＝∠A1ED1.
证明　(1)如图，取BB1的中点M，连接EM，C1M.
在矩形ABB1A1中，易得EM綉A1B1，
因为A1B1綉C1D1，所以EM綉C1D1，
所以四边形EMC1D1为平行四边形，所以D1E∥C1M.
在矩形BCC1B1中，易得MB綉C1F，所以四边形BFC1M为平行四边形，
所以BF∥C1M，所以D1E∥BF.
(2)因为ED1∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，
所以∠B1BF＝∠A1ED1.
知识点三　空间中线线平行关系的应用
[反思归纳]　利用平行关系可以证明共面问题，也可以利用平行关系进行有关计算.
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
用等角定理时，角度有可能相等或互补，不要漏掉其中一种情况.
1.思考辨析.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分别和两条异面直线平行的两条直线平行.( )
(2)如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.( )
(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等.( )
(4)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.( )
×
√
×
√
2.空间中两条互相平行的直线指的是(　　)
A.空间中没有公共点的两条直线
B.分别在两个平面内的两条直线
C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D.在同一平面内且没有公共点的两条直线
解析　因为两直线平行，所以两直线一定在同一平面内，且没有公共点，所以选D.
D
D
3.在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1任意两个顶点的连线中，与棱AB平行的条数为(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
解析　如图，连接CF，C1F1，与棱AB平行的有ED，CF，A1B1，C1F1，E1D1，共有5条.
4.空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为(　　)
A.60° B.120°
C.30° D.60°或120°
解析　如图，∵空间两个角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α＝60°，∴β＝60°或120°.故选D.
D
[基础巩固]
A
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1.如图所示，在三棱锥S－MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是(　　)
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
解析　在△MPN中，∵H，G分别为MP，MN的中点，∴GH∥PN，同理EF∥PN，∴GH∥EF.
2.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有(　　)
A.3条 B.4条
C.5条 D.6条
解析　EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.
B
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3.两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形(　　)
A.全等 B.不相似
C.仅有一个角相等 D.相似
解析　由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.
D
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4.在三棱台A1B1C1－ABC中，G，H分别是AB，AC的中点，则GH与B1C1(　　)
A.相交 B.异面
C.平行 D.垂直
C
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解析　如图所示，因为G，H分别是AB，AC的中点，所以GH∥BC，又由三棱台的性质得BC∥B1C1，所以GH∥B1C1.
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5.(多选)在四棱锥A－BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则(　　)
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BCD
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6.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中(如图)，l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是(　　)
A.l与AD平行 B.l与AD不平行
C.l与AC平行 D.l与BD平行
解析　假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，∴l与AD不平行.
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A
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7.在四棱锥P－ABCD中，E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC的中点，若EF＝2，则GH＝________.
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8.下列结论，其中正确的是________(填序号).
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两个角的两边都平行于一个平面，那么这两角相等或互补；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.
解析　由等角定理可知，①②③都错误，由基本事实4可知④正确.
9.(10分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由.
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解　如图所示，在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求.理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC.
10.(10分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，点E1，F1分别是棱A1D1，C1D1的中点.求证：EE1∥FF1.
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[综合应用]
11.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB∥CM；
②EF与MN是异面直线；
③MN∥CD；
④∠DAB＝∠FMC.
以上结论中正确结论的序号为________.
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①②④
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解析　把展开图还原为正方体(如图)，易知EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN与CD是异面直线，又DA∥MF，AB∥CM，且∠DAB与∠FMC的对应边方向都相反，∴∠DAB＝∠FMC.
综上，正确结论的序号为①②④.
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13.(13分)如图，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，已知BD＝6.
(1)判断MN与BD的位置关系，并说明理由；
(2)求MN的长.
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[拓展提升]
14.(多选)如图，棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1上的一点且A1E＝2EA，设过点D1，C，E的平面与面ABB1A1的交线为EF，则下列结论正确的为(　　)
AD
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