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(共54张PPT)
1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理.
2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理.
[学习目标]
[情境导入]
在日常生活中，经常需要判断两个平面是否平行，比如建造一栋楼房，建筑工人必须判断每一层的楼板是否与水平面平行；装修房间的地板时，装修工人也要判断地板所在平面是否与水平面平行.那么如何才能判断两个平面是否平行呢？
知识点一　平面与平面平行的判定定理
两条相交直线
文字语言 如果一个平面内的____________与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α
图形语言
[微点拨]　面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把线面平行转化为面面平行.
[例1]　在圆柱O1O2中，等腰梯形ABCD为底面圆O1的内接四边形，且AD＝DC＝BC，矩形ABFE是该圆柱的轴截面，CG为圆柱的一条母线.
求证：平面O1CG∥平面ADE.
[反思归纳]
1.证明两个平面平行的主要方法
(1)根据定义证明两平面没有公共点(采用反证法)；(2)判定定理；(3)利用平行平面的传递性.
2.利用面面平行的判定定理，关键是在一个平面内找(或作出)两条相交直线与另一个平面平行，在证明时一定要说明两条直线相交.
1.如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，AB＝2，DE＝BF，BF∥DE，M为棱AE的中点.求证：平面BMD∥平面EFC.
证明　连接AC交BD于点N，则N为AC的中点，连接MN，
因为M为AE的中点，所以MN∥CE，
因为MN 平面EFC，CE 平面EFC，所以MN∥平面EFC.
因为BF∥DE，BF＝DE，所以四边形BDEF是平行四边形，所以BD∥EF，
因为BD 平面EFC，EF 平面EFC，所以BD∥平面EFC.
因为BD∩MN＝N，BD，MN 平面BMD，所以平面BMD∥平面EFC.
知识点二　平面与平面平行的性质定理
平行
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线_____
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b _____
图形语言
a∥b
[微点拨]　平面与平面平行的性质定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行.
[例2]　如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与BB1交于点E.求证：EC∥A1D.
证明　由四棱柱ABCD－A1B1C1D1可知，BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
又AD∥BC，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BC∩BE＝B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D，
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.
[反思归纳]　利用平面与平面平行的性质定理判断两直线平行的基本步骤：
2.如图，在棱锥中，AE∶AB＝1∶3，截面EFG∥底面BDC.已知△BDC的周长是18，求△EFG的周长.
知识点三　平行关系的综合应用
[例3]　如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的三等分点(M靠近B，N靠近C).
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)在PB上确定一点Q，使平面MNQ∥平面PAD，并证明.
[反思归纳]
1.常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立存在的，而是相互联系、相互转化的，它们的联系如下：
2.判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是由高一级的平行关系推出低一级的平行关系.
3.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点.
(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点.
证明　(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1，
∵A1C1 平面A1C1G，EF 平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，
又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，
又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G，
∵A1G 平面A1C1G，BF 平面A1C1G，
∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF 平面BEF，BF 平面BEF，
∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)∵平面A1C1G与平面ABC有公共点G，H，∴平面A1C1G∩平面ABC＝GH.
又∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，
则A1C1∥GH，得GH∥AC，
∵G为AB的中点，∴H为BC的中点.
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
证明平面与平面平行时的条件要齐全.
1.思考辨析.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.( )
(2)若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行.( )
(3)若平面α∥平面β，l 平面β，m 平面α，则l∥m.( )
×
√
×
2.已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下三个命题：
①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确命题的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　①因为m，n相交，所以m，n共面，设这个平面为γ，因为m∥α，n∥α，m γ，n λ，m，n相交，所以α∥γ，同理可得β∥γ，所以α∥β，故①正确；②α，β有可能相交，若m平行α，β的交线，此时也满足m∥α，m∥β，故②错误；③α，β有可能相交，若m，n平行α，β的交线，此时也满足m∥n，m∥α，n∥β，故③错误.
B
A
3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，作截面EFGH(如图)交C1D1，A1B1，AB，CD分别于E，F，G，H，则四边形EFGH的形状为(　　)
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.梯形
解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，可得平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面EFGH∩平面ABCD＝GH，平面EFGH∩平面A1B1C1D1＝EF，所以EF∥GH，同理可证EH∥FG，所以四边形EFGH的形状一定为平行四边形.
4.如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD和AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝____________.
[基础巩固]
1.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α，β平行于同一条直线
D.以上答案都不对
B
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解析　A选项，若这些无数条直线均平行，此时无法推出α∥β，A错误；B选项，由面面平行的判定定理得到B正确，故D错误；C选项，如图，α，β平行于同一条直线m，但α，β不平行，C错误.
2.如图，已知平面α∥平面β，点P为α，β外一点，直线PB，PD分别与α，β相交于A，B和C，D，则AC与BD的位置关系为(　　)
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
解析　由题意知：P，A，B，C，D在同一平面内，且平面PBD∩平面α＝AC，平面PBD∩平面β＝BD，∵平面α∥平面β，∴AC∥BD.
A
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3.已知正方体ABCD－A1B1C1D1，平面AB1C与平面AA1D1D的交线为l，则(　　)
A.l∥A1D B.l∥B1D C.l∥C1D D.l∥D1D
A
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解析　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵平面BCC1B1∥平面ADD1A1，B1C＝平面BCC1B1∩平面AB1C，平面AB1C∩平面ADD1A1＝l，∴l∥B1C.对于A，∵A1D∥B1C，∴l∥A1D，故A正确；对于B，∵B1D与B1C相交，∴l与B1D不平行，故B错误；对于C，∵C1D与B1C不平行，∴l与C1D不平行，故C错误；对于D，∵DD1与B1C不平行，∴l与DD1不平行，故D错误.故选A.
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4.设A，B，C表示不同的点，n，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列说法正确的是(　　)
A.若A，B∈l，A，B α，则l∥α
B.若A，B∈α，A，B，C∈β，α∩β＝l，则C∈l
C.若α∩β＝l，n∥α，n∥β，则n∥l
D.若α∥β，l α，n β，则l∥n
C
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解析　由点A，B，C表示不同的点，n，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，对于A中，若A，B∈l，A，B α，当点A，B在平面α的两侧时，l与α相交，所以A错误；对于B中，由A，B∈α，A，B∈β，且α∩β＝l，可得A，B∈l，又由C∈β，但C不一定在l上，所以B错误；对于C中，如图所示，在平面α内取一点A，过直线n和点A作一平面γ，设α∩γ＝a，因为n γ，n∥α，且α∩γ＝a，可得n∥a，同理证得n∥b，所以a∥b，因为a∥b且a β，b β，所以a∥β，又因为a α，a∥β且α∩β＝l，所以a∥l，所以n∥l，所以C正确；对于D中，若α∥β，l α，n β，则l∥n或l与n异面，所以D错误.
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5.(多选)在下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是(　　)
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AB
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解析　AB　对选项A，如图所示，因为M，N，P分别为其所在棱的中点，所以MN∥AD，又因为MN 平面ADBC，AD 平面ADBC，所以MN∥平面ADBC，因为NP∥AC，NP 平面ADBC，AC 平面ADBC，所以NP∥平面ADBC，又因为NP 平面MNP，MN 平面MNP，NP∩MN＝N，所以平面MNP∥平面ADBC.因为AB 平面ADBC，所以AB∥平面MNP，故A正确；
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对选项B，如图所示，
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因为M，N，P分别为其所在棱的中点，所以MP∥CD，又因为AB∥CD，所以AB∥MP，因为AB 平面MNP，MP 平面MNP，所以AB∥平面MNP，故B正确；
对选项C，如图所示，
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因为M，N，P分别为其所在棱的中点，所以D为BC的4等分点，所以AB与PD必相交，即AB与平面MNP的位置关系为相交，故C错误；
对选项D，如图所示，
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因为M，N，P分别为其所在棱的中点，所以MN∥CP，点C在平面MNP内，又因为CD∩平面MNP＝C，AB∥CD，所以AB与平面MNP的位置关系为相交，故D错误.
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6.如图，已知在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________.
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平行
解析　在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE 平面ABC，AB 平面ABC，所以DE∥平面ABC.同理，可证EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，DE 平面DEF，EF 平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.
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8.(8分)如图，BF∥平面ADE，CF∥AE.求证：AD∥BC.
证明　∵CF∥AE，CF 平面ADE，AE 平面ADE，∴CF∥平面ADE.
∵BF∥平面ADE，BF∩CF＝F，BF 平面BCF，CF 平面BCF，
∴平面ADE∥平面BCF.
又平面ADE∩平面ABCD＝AD，平面BCF∩平面ABCD＝BC，∴AD∥BC.
(1)证明：MN∥平面ABE；
(2)设平面BDE与圆O′所在平面的交线为l，证明：l∥平面BEF.
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证明　(1)如图，
连接AE，AF，
根据圆柱的性质可得AD∥EF且AD＝EF，所以四边形AEFD为
平行四边形，
因为M为DE的中点，所以M为AF的中点，又N为BF的中点，所以MN∥AB，
因为MN 平面ABE，AB 平面ABE，
所以MN∥平面ABE.
(2)根据圆柱的性质可得圆O′∥平面ABE，
又平面BDE∩圆O′＝l，平面BDE∩平面ABE＝BE，所以l∥BE，
因为l 平面BEF，BE 平面BEF，所以l∥平面BEF.
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[综合应用]
10.如图，在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE∥平面SBD.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能的选项是(　　)
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A
解析　分别取CD，SC的中点M，N，连接MN，ME，NE，又∵E是BC的中点，∴EM∥BD，EN∥SB，又∵EM 平面SBD，EN 平面SBD，BD 平面SBD，SB 平面SBD，∴EM∥平面SBD，EN∥平面SBD，又∵EM∩EN＝E，EM 平面EMN，EN 平面EMN，∴平面EMN∥平面SBD，∴当P在MN上移动时，PE 平面EMN，此时能够保持PE∥平面SBD，则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是选项A，故选A.
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11.已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有(　　)
A.0条 B.1条
C.2条 D.无数条
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D
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解析　D　如图所示，作平面KSHG∥平面ABCD，C1F，D1E交平面KSHG于点N，M，连接MN，由面面平行的性质得MN∥平面ABCD，由于平面KSHG有无数个，所以平行于平面ABCD的MN有无数条，故选D.
12.(多选)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列命题正确的有(　　)
A.BM∥平面DCMN
B.CN∥平面BCMF
C.平面BDM∥平面AFN
D.平面BDE∥平面NCF
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CD
解析　展开图可以折成如图①所示的正方体.
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易知BM与平面DCMN有公共点M，CN与平面BCMF有公共点C，所以A，B错误；如图②所示，连接AN，NF，BE，BD，DM，CF，由于BM∥AN，AN 平面AFN，BM 平面AFN，所以BM∥平面AFN，同理可得DM∥平面AFN，又BM∩DM＝M，BM 平面BDM，DM 平面BDM，则平面BDM∥平面AFN，
同理可证平面BDE∥平面NCF，所以C，D正确.
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13.(13分)已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点.求证：
(1)E，F，D，B四点共面；
(2)平面AMN∥平面EFDB.
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[拓展提升]
C
14.在三棱台A1B1C1－ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是(　　)
A.平面
B.直线
C.线段，但只含1个端点
D.圆
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解析　过点D作DN∥A1C1，交B1C1于点N，连接BN，由于A1C1 平面A1C，DN 平面A1C，故DN∥平面A1C.∵在三棱台A1B1C1－ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，且AA1 平面A1C，BD 平面A1C，∴BD∥平面A1C.∵BD 平面BDN，DN 平面BDN，BD∩DN＝D，∴平面BDN∥平面A1C，∵点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，∴M的轨迹是线段DN，且M与D不重合，∴动点M的轨迹是线段，但只含1个端点.

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