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18.4 图形的运动与坐标
第十八章 平面直角坐标系
18.4 课时1 图形的运动与坐标
第十八章 平面直角坐标系
掌握平面直角坐标系中的点或图形平移引起的点的坐标的变化规律.
知道平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，感受代数与几何的相互转化．
平移
定义：在同一平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫作平移.
性质：1.平移不改变图形的形状和大小，只改变形图形的位置.
2.经过平移后，对应点所连的线段平行且相等.
活动1 点的平移与点的坐标变化
在坐标平面上，一个智能机器人接到指令后，从原点出发，移动的路径如图所示.
（1）写出A，B，C，D，E这五个点的坐标.
D
B
E
y
O
x
C
A
-4
4
2
-2
2
-2
移动的路径 平移的方向和距离 坐标的变化 横坐标 纵坐标
O(0，0)→A(0，2) 向上平移2个单位长度
A(0，2)→B( )
B( )→C( )
C( )→D( )
（2）指出智能机器人在各条路线上移动的方向和距离，并填写下表.
（0,2）
（3,2）
（3,-2）
（-3,-2）
（-3,3）
移动的路径 平移的方向和距离 坐标的变化 横坐标 纵坐标
O(0，0)→A(0，2) 向上平移2个单位长度
A(0，2)→B( )
B( )→C( )
C( )→D( )
D( )→E( )
不变
+2
向右平移3个单位长度
向下平移4个单位长度
向左平移6个单位长度
向上平移5个单位长度
不变
+3
不变
-4
不变
-6
不变
+5
3，2
3，-2
-3，-2
3，2
3，-2
-3，-2
-3，3
点的左右平移 影响 点的横坐标；
点的上下平移 影响 点的纵坐标.
点的平移与点的坐标变化规律：
左、右平移，横变纵不变，“右加左减”；
上、下平移，纵变横不变，“上加下减”．
思考1：关于点移动的方向和距离与坐标的变化，你发现了什么规律？
思考2：在直角坐标系中，将一个图形沿坐标轴方向平移时，各顶点是否具有相同的变化规律呢？
活动2 图形的平移与点的坐标变化的关系
如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD各顶点的坐标分别为A（-2,1），
B（2,1），C（2,3），D（-2,3），长方形ABCD沿x轴的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A1B1C1D1.
问题1：请写出它的各顶点坐标.
y
x
-2
2
4
6
8
2
4
-2
-4
O
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
问题2：指出对应顶点坐标的变化规律.
A1（3,1），B1（7,1），C1(7，3) ，D1（3,3）
各顶点移动的方向一致，移动的距离都是
5个单位长度.
长方形A1B1C1D1各顶点的坐标是长方形ABCD各顶点的横坐标都增加5，纵坐标不变而得到的.
在平面直角坐标系中，若将图形沿x轴方向向右（或向左）平移m个单位长度，则各对应点的横坐标增加（或减少）m，纵坐标不变；若将图形沿y轴方向向上（或向下）平移n个单位长度，则各对应点的横坐标不变，纵坐标增加（或减少）n.
1.在图中，将长方形ABCD沿y轴方向向下平移4个单位长度，画出平移后的长方形，写出其各顶点的坐标，并说出图形平移前后对应顶点的坐标是如何变化的.
A2(-2,-3)；B2(2，-3)；
C2(2，-1)；D2(-2，-1)
变化规律：
长方形A1B1C1D1各顶点的坐标是长方形ABCD各顶点的横坐标不变，纵坐标都减4得到.
y
x
-2
2
4
6
8
2
4
-2
-4
O
A2
B2
C2
D2
A
B
C
D
思考：在直角坐标系中，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移时，各顶点是否具有相同的变化规律呢？
是，因为图形平移时，图形上所有点的平移方向和距离是一样的.
注意：(1)平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小；
(2)图形的平移实质上是图形上每个点的平移，因此图形的平移遵循点的平移规律，且平移前后每对对应点的坐标变化相同.
2.在图中，将长方形ABCD先沿x轴方向向右平移6个单位长度，再沿y轴方向向下平移5个单位长度，画出平移后的长方形，写出其各顶点的坐标，并说出图形平移前后对应顶点的坐标是如何变化的.
A3(4,-4)；B3(8，-4)；
C3(8，-2)；D3(4，-2)
变化规律：
长方形A1B1C1D1各顶点的坐标是长方形ABCD各顶点的横坐标加6，纵坐标都减5得到.
y
x
-2
2
4
6
8
2
4
-2
-4
O
A3
B3
C3
D3
A
B
C
D
图形上任意一点P（x，y） 第一次平移 第二次平移 沿x 轴方向平移m个单位长度 坐标 沿y 轴方向平移n个单位长度 坐标
向右平移 P＇(x+m，y) 向上平移 P＂(x+m，y+n)
向下平移 P＂(x+m，y-n)
向左平移 P＇(x-m，y) 向上平移 P＂(x-m，y+n)
向下平移 P＂(x-m，y-n)
在平面直角坐标系中，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移时，各对应点坐标的变化规律如下：
1. 在平面直角坐标系中,将三角形各顶点的纵坐标都减去1,横坐标保持不变,所得图形与原图形相比是(　　)
A.向下平移了1个单位长度
B.向上平移了1个单位长度
C.向左平移了1个单位长度
D.向右平移了1个单位长度
A
2. 如图，在平面直角坐标系中，将点M(2，1)向下平移2个单位长度得到点N，则点N的坐标为(　　)
A．(2，－1)
B．(2，3)
C．(0，1)
D．(4，1)
A
3. 如图，线段AB经过平移得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为点A′，B′，这四个点都在格点上．若线段AB上有一个点P(a，b)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为(　　)
A．(a－2，b＋3)
B．(a－2，b－3)
C．(a＋2，b＋3)
D．(a＋2，b－3)
A
4.如图，将三角形①平移，与三角形②拼成一个长方形，正确的平移方法是:先向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度.
右
2
下
4
图形在坐标系中的平移
沿x轴平移
沿y轴平移
纵坐标不变
横坐标加上一个正数，向右平移
横坐标减去一个正数，向左平移
横坐标不变
纵坐标加上一个正数，向上平移
纵坐标减去一个正数，向下平移
第十八章 平面直角坐标系
18.4 课时2 图形的运动与坐标
以坐标轴为轴对称，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系.
掌握图形放缩（坐标乘比）的核心规则，知道放缩改变大小而不变形状.
轴对称图形：沿着某一直线对折，直线两旁的部分能够完全 的图形就是轴对称图形，这条直线称为 .
重合
对称轴
活动1 探究图形的对称与坐标变化
如图，在平面直角坐标系中△ABC各顶点的坐标分别为：A(-5，1)， B(-1，1)， C(-2，4).
△ABC顶点坐标 A(-5,1) B(-1,1) C(-2,4)
关于x轴的对称点
关于y轴的对称点
A1(-5,-1)
B1(-1,-1)
C1(-2,-4)
A2(5,1)
B2(1,1)
C2(2,4)
问题1：分别把A，B，C关于x轴和y轴成轴的对称点的坐标填写在下表中.
A
B
C
A1
x
y
问题2：在图中作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，关于y轴对称的△A2B2C2.
A
B
C
A1
B1
C1
A2
B2
C2
x
y
问题3：根据对应顶点的变化规律，描述关于x轴，y轴对称的两个三角形对应顶点坐标与原三角形的坐标之间的关系.
与对称点的坐标特征类似，轴对称图形：
当图形关于x轴对称时，各对应点横坐标相同，纵坐标互为相反数；
当图形关于y轴对称时，各对应点横坐标互为相反数，纵坐标相同.
1.平面直角坐标系内的点 A(-1,2)与 B(-1,-2)关于（ ）
A. y轴对称
B. x轴对称
C. 原点对称
D. 直线y=x对称
B
A1
B1
C1
C
D1
D
B
A
活动2 图形的缩放与坐标变化
1.如图,在直角坐标系中,五边形OABCD各顶点的坐标分别为:O(0，0)，A(0，2)，B(2，3)，C(4，2)，D(3，0).
问题1：将各顶点的横坐标和纵坐标都乘2,写出各对应点的坐标.
O(0,0)，A1(0,4)，B1(4,6)，C1(8,4)，D1(6,0).
问题2：在直角坐标系中,描出各点,然后依次连接,画出五边形OA1B1C1D1.
问题3：两个五边形的形状、大小有什么变化
如图，两个图形的形状相同，大小不同；
新图形相当于原图形被横向拉长到原来的2倍，同时纵向拉长到原来的2倍而得到.
O
x
y
2.如图,各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(2，6)，B(6，6)，C(8，0).
问题2：在直角坐标系中,描出各点,然后依次连接各点，得到四边形OA1B1C1，与四边形OABC比较，形状、大小有什么变化
如图,两个图形的形状相同,大小不同:新图形相当于原图形被横向压缩到原的,同时纵向压缩到原来的而得到.
问题1：把各顶点的横坐标和纵坐标乘 ,分别写出各顶点坐标.
O(0，0)，A1( ， )，B1( ， )，C1( ， )
1
3
3
3
4
0
A
B
C
O
x
y
问题3：分别过每对对应顶点画直线，你能发现什么结果？
对应顶点的连线相交于同一点.
A
B
C
O
x
y
将一个图形各顶点的横坐标和纵坐标都乘k(或，k>1)，所得图形的形状 ，各边扩大为原来的 倍(或缩小为原来的 )，且连接各对应顶点的直线 .
不变
k
相交于一点
图形的放缩与坐标变化规律：
补充：图形面积扩大为原来的倍(或缩小为原来的)
2. 将某个图形上各点的横、纵坐标都乘 ，所得图形与原图形相比(　　)
A．完全没有变化
B．边长扩大为原来的2倍
C．边长缩小为原来的
D．关于纵轴成轴对称
C
1. 平面直角坐标系内的点A（－1，3）与点B（－1，－3）的位置关系为（　 ）
A. 关于y轴对称 B. 关于x轴对称
C. 关于原点对称 D. 无法确定
B
2. 将一个图形各点的横坐标分别乘－1，纵坐标不变，所得的图形与原图形的关系是(　　)
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于第一、三象限的角平分线对称
D．无法确定
B
3. 如图，△OA1B1与△OAB的形状相同，大小不同，△OA1B1是由△OAB的各顶点变化得到的，则各顶点的变化情况为（　 ）
A. 横坐标和纵坐标都加2
B. 横坐标和纵坐标都乘2
C. 横坐标和纵坐标都除以2
D. 横坐标和纵坐标都减2
C
解析：由图可知，△OAB三点坐标分别为O(0，0)，A(4，2)，B(2，6)
三点坐标分别为(2，1)，(1，3)，横纵坐标都除以2
4. 已知平面直角坐标系中长方形ABCD.
（1） 将长方形上各个点的横坐标不变，纵坐标分别乘 ，则所得图形
与原图形相比 ；
被纵向压缩为原来的 　
（2） 将长方形上各个点的纵坐标不变，横坐标分别减2，则所得图形
与原图形相比 ；
（3） 若点A，B的坐标分别为（2，1），（4，1），将长方形横向伸
长为原来的2倍，则A，B两点变化后的坐标分别为 ，
，变化后的长方形的面积是原来长方形面积的 倍.
向左平移了2个单位长度　
（4， 1）
（8，1）　
2　
以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；
以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数
各顶点的横坐标和纵坐标都乘k（或，k>1）
图形的运动与坐标
轴对称
放缩

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