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一 张 图 搞 定 数 学 中 考 冲 刺 必 考 知 识 点
1 相交线与平行线 2 相交线与平行线 1 数据的收集、整理与描述 2 数据的收集、整理与描述 1 不等式与不等式组 4 不等式与不等式组 1 实数
一、相交线 二、平行线 一、数据的收集、整理与描述 二、常见统计图及其功能 一、不等式基本性质 四、用数轴表示解集 一、平方根
1. 三线八角 1. 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线，用“∥”表示．例如 1. 全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式： 1. 条形统计图及复式条形统计图：可以清楚地表明各种数量的多少．（图 1） 基本性质 1： 1. 在数轴上表示不等式的解集（示意图） 1. 平方根的概念：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a的平方根．也就是说，
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角（两个角分 a∥b，AB∥CD等． 考察全体对象的调查叫全面调查； 2. 折线统计图及复式折线统计图：能够显示数据的变化趋势，反映事物的变 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 2不等式的解集 在数轴上表示的示意图 不等式的解集 在数轴上表示的示意图 若 x = a，则 x就叫做 a的平方根．
别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁）叫做同位角． 只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这样 化情况．（图 2） 基本性质 2： 2. 平方根的表示：一个非负数 a的平方根可用符号表示为“ ± a ”．
2. 平行线间的距离：
2 x > a x < a（ ）内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并 的调查方法叫抽样调查． 3. 扇形统计图：用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比，易于显示每 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． a a 3. 总结：一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根．
（1）定义：过平行线上的一点作另一条平行线的垂线，垂线段的长度叫做两条
且位置交错（即分别在第三条直线的两旁），这样的一对角叫做内错角． 2. 在抽样调查中，考察的全体对象称为总体；组成总体的每一个对象叫个体； 组数据相对于总数的大小．（图 3） 基本性质 3：
平行线间的距离． x≥ a x≤ a
3 a a（ ）同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间， 被抽取调查的那部分对象构成总体的一个样本；一个样本中包含的个体数目 4. 频数分布直方图：可以很直观的看到数据落在各个范围内的频数大小． 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
（2）性质：两条平行线间的距离处处相等．
并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角． 称为样本容量． （图 4）
2. 由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基 2 实数
如图所示： BE 3. 平行公理及推论： 例：为了解某市 2021 年参加中考的 34000 名学生的视力情况，抽查了其中 数量：个 本类型：（表中 a > b）
∠1 与 ∠5， ∠2 与 ∠6， ∠3 与 ∠7， ∠4 与 ∠8 1 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 1800 名学生的视力进行统计分析。在这个案例中，34000 名学生的视力情况 30 二、算术平方根
2 4 24
2 不等式与不等式组 不等式 图示 解集
都是同位角． （2）平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互 是总体；抽查的 1800 名学生的视力情况是样本；1800 是样本容量；每一个
25
3 20
18 2
∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角． A 6 5 D 相平行． 学生的视力情况是一个样本．
20 17 x > a
二、解一元一次不等式的步骤 x > a（同大取大）
1. 算术平方根的概念：一般地，如果一个正数 x的平方等于 a，即 x = a，那么这个正数
C 8 15 x > b b a
∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角． 7 注意 样本容量是一个没有单位的数． 11 x 叫做 a的算术平方根，规定：0 的算术平方根为 0．
10
2. 对顶角、邻补角的性质：（1）对顶角相等； F 4. 平行线的性质与判定： 去分母→去括号→移项→合并同类项（化成 ax < b或 ax > b形式）→ x < a x < b（同小取小） 2. 算术平方根的表示：一个非负数 a的算术平方根可用符号表示为“ a ”．5 b b x < b b a
　　　　　　　　　　　　（2）邻补角互补． （1）平形线的性质： 系数化为 1（化成 x > 或 x < 的形式）． 3. 双重非负性：在式子 a 中， a≥ 0且 a ≥ 0 .0 a a
小明家 小华家 小甲家 小红家 小东家 x < a3. 垂线的性质： 　　 ①两直线平行，同位角相等；

3 b < x < a（大小交叉中间找） 4. 总结：一个正数有一个算术平方根；零的算术平方根是零；负数没有算术平方根． 数据的收集、整理与描述 （图 1） x > b b a
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 　　 ②两直线平行，内错角相等；
x > a
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 　　 ③两直线平行，同旁内角互补． 1600 无解（大大小小无解了）三、频数分布直方图的画法 b a1400 1476 3 不等式与不等式组 x < b
4. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直 （2）平形线的判定： 1200 1199 1263 3 实数
线的距离． 　　 ①同位角相等，两直线平行； 1. 计算数据中的最大值与最小值的差 1000 1021936
800 883 852 801.3 三、解一元一次不等式组的步骤
718 724
注意 “两点之间，线段最短”“垂线段最短”在解决最短路径问题时经 　　 ②内错角相等，两直线平行； 2. 决定组数与组距 600 667 588 三、立方根
515 515
常用到． 　　 ③同旁内角互补，两直线平行． 各组的组距可以相同或不同，一般多为等距分组．
400
最大值-最小值 200
1. 求出这个不等式组中各个不等式的解集； 6 不等式与不等式组
组数= 1. 立方根概念：如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a的立方根，也就是说，若0
组距 4 5 6 7 8 9 0 2. 在数轴上表示出各个不等式的解集；
01 01 1 1 1 1 2 3
2 2 2
0 20 20 20 20 x = a，则 x就叫做 a的立方根．
注意 当组数为分数时，取比它大的最小整数 . 3. 确定各个不等式解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集． 典型易错题 3 3
房地产开发投资(亿元) 住宅开发投资(亿元) 2. 立方根表示：一个数 a的立方根可用符号表示为 a ， a 读作“三次根号 a”．
3 相交线与平行线 4 相交线与平行线 3. 列频数分布表 （图 2） x≤13
1. x 3 a 3. 总结：任何一个数都有立方根，且只有一个立方根．对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数（叫做频 关于 的不等式组 只有 个整数解，求 的取值范围 (　　 )
x > a + 2 正数的立方根为正数，负数的立方根为负数， 0的立方根为 0．
三、平移 四、命题 数），可以得到频数分布表 . 5% 5 不等式与不等式组 A． 8 a < 9 B． 8 < a 9 C． 8 < a < 9 D． 8 a 98%
4. 画频数分布直方图 70% 解：不等式组的解集为： 2 + a < x 13，
1. 平移的定义：把一个图形整体沿着某一直线方向移动，会得到一个新的 1. 命题的组成部分：命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果……那 在平面直角坐标系中，用横轴表示组距，纵轴表示频数与组距的比值，根据 五、含参不等式 不等式组只有 3 个整数解，
图形，图形的这种移动，叫做平移． 么……”的形式． 频数分布表画出频数分布直方图．频数分布直方图是以小长方形的面积来反 ∴10 2 + a <11 4， 实数
17%
2. 平移的要素：一是平移的方向，二是平 移的距离． 2. 命题的分类：命题分为真命题和假命题，判断一个命题是假命题的常用方法 映数据落在各个小组内频数的大小，小长方形的高是频数与组距的比值． 1. 对于含参不等式，未知数的系数含有字母需要分类讨论：如不等式 ax < b． 解得， 8 a < 9，
3. 平移的性质： 是举反例． 频数 四、实数小长方形的面积=组距× =频数 对于较为复杂的含参不等式，也应转化成类似于 ax < b的情形进行探究．
组距 （图 3
故选：A．
）
①平移后的新图形与原图形的形状和大小完全相同，即平移前后的两个图 3. 如果一个命题的题设和结论恰好是另一个命题的结论和题设，那么这两个命
25 分类情况 解集情况 分析 根据正整数解有三个，求得 x 的取值范围，注意端点能否取到 1. 无理数的定义：无限不循环小数叫无理数．
形的对应边平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等． 题称为互逆命题． 25
20 b当 a > 0时 解集为 x < 2. 无理数的估值：一般采用“夹逼法”确定其值所在的范围 . 具体地说，先确定无理数
②连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等． 20 a 2.
x > 8
15 b 不等式组 无解，则m的取值范围是　　　　．当 a < 0时 解集为 x > x < 4m 的被开方数，找出与被开方数相邻的两个能开尽方的整数，对其进行开方，即可确定这15 a
10 若 b > 0，则解集为任意实数； 解：由不等式组无解，得到 4m 8， 个无理数在哪两个整数之间．
10 当 a = 0时5 若 b≤ 0，则这个不等式无解． 解得：m 2， 3. 实数的定义：有理数和无理数统称实数．
1 二元一次方程组 2 二元一次方程组 50 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 则m的取值范围是m 2．
0 2.
4. 实数的分类：
含参不等式（组）题型总结
注意 等距分组时，各小长方形的面积（频数）与高的比是常数（组距）． 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 故答案为：m 2． 正整数
一、代入消元法步骤 二、加减消元法步骤 （1）含参不等式求字母取值（或范围）的问题： 因此，画等距分组的频数分布直方图时，为画图与看图方便，通常直接用小 （图 4） 整数 0
①不等式系数的符号决定了不等式解集中的不等号的方向，其数值决定了取值范 分析 根据不等式无解的条件——左右端点的大小关系，是解题的关键．
有理数 负整数长方形的高表示频数 .
1. 从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数， 1. 变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里 围的边界，所以反过来我们可以通过不等式的解集来确定不等式中的系数的符号 实数 正分数
3. m n 已知 、 为常数，若不等式mx n < 0的解集为 x < 1，则 nx + 2m > 0 分数 有限小数或无限循环小数
例如 y，用含另一个未知数如 x的代数式表示出来，即写成 y = ax + b的形式； 的某一个未知数的系数互为相反数或相等； 及参数的取值范围． 负分数
的解集为　　　　．
2.将 y = ax + b 代入另一个方程中，消去 y，得到一个关于 x的一元一次方程； 2. 加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个 正无理数②常用的方法：逆用不等式（组）的解集确定、分类讨论确定、借助数轴确定．
解：mx n < 0， ∴nx + 2m > 0 无理数 无限不循环小数， 负无理数 3. 解这个一元一次方程，求出 x的值； 一元一次方程； 1 平面直角坐标系 2 平面直角坐标系 ③结合数轴分析解集的边界值（范围），易错点在于“=”号的取舍（空心往 mx < n mx + 2m > 0， 5. 实数的大小比较：
4. 回代：把求得的 x 的值代入 y = ax + b 中求出 y 的值，从而得出方程组 3. 解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； 外取等，实心往里取等）
x < 1， mx > 2m， （1）数轴比较法：
的解； 4. 回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值； 一、平面直角坐标系中点的符号 二、平面直角坐标系中的特殊直线 （2）多元问题：
x n∴ < ，且m > 0， m > 0，
x = m x = m 数轴上的两个点表示的数，右边的数比左边的数大．5. 把这个方程组的解写成 的形式． 5. 把这个方程组的解写成 的形式． ①一元化：在含多元的代数式中，式子的值取决于其字母的值，为便于讨论，
m
y = n y = n
n
y 1. ∴ = 1， ∴ x < 2．平行于坐标轴的直线： （2）类别比较法：
4 一般选定一个主元，设法消去其余字母（加减消元法、代入消元法，用含主元
m
3 与横轴平行的直线： y = m（m是不为 0 的常数）. ∴n = m，
正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
第二象限 第一象限 的代数式表示其他字母）；
（-，+） 2 （+，+）
1 如： y = 4平行于 x轴． 故答案为： x < 2．
（3）差值比较法：
②由主元的取值范围分析式子的取值范围．
3 二元一次方程组 4 二元一次方程组 4 对于任意实数 a、b， a b＞0 a＞b； a b = 0 a = b； a b＜0 a＜b．- -3 -2 -1O 1 2 3 4 x 与纵轴平行的直线： x = n（ n是不为 0 的常数）．-1 （3）方程组与不等式： 分析 本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是熟记不等式的性质．
-2 如： x = 3平行于 y轴． （4）平方比较法：第三象限 第四象限
（-，-） -3 （+，-） ①用参数来表示方程或方程组的解；
三、含参方程（组） 四、核心思想方法 4 4. 解不等式： 7x > 5．- a＞ b a＞b＞0y
y=4 ②根据解的情况求参数取值（或范围），也可以不必求出解的值对方程组进 5
注意 横轴（ x 轴）上的点 (x，y)的坐标满足： y = 0 ； 4 解：系数化为 1，得 x < ． （5）求商比较法：
行整体考虑． 7
1. 字母系数问题：与一元一次方程类似，讨论方程或方程组中的字母系数 消元思想、 整体思想、转化思想等 . 纵轴（ y轴）上的点 (x，y) a a a的坐标满足： x = 0． 3 分析 本题的关键在于不等式两边同时除以负数，符号发生改变． 若 b＞0，则 ＞1 a＞b； =1 a = b； ＜1 a＜b．
2 b b b
的值时，是将未知数与系数的角色互换——将未知数的值代入，得到关于 原点在坐标轴上，两条坐标轴上的点不属于任何一个象限． 1
字母系数的方程组，再解这个方程（组）即可．
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x
-1
2. 同解方程组：两个方程组有相同的解，则这个公共的解满足每个方程．
-2
3. 1 3 5错解问题：看错谁就不代入谁，只代入另一个方程，得关于参数的方程 -3 三角形 三角形 三角形
（组），求参数值． 5 二元一次方程组 3 平面直角坐标系 4
x=3
-
一、认识三角形 三、三角形的内外角公式 五、三角形角平分线模型
4. 整数解问题：用字母参数表示出方程（组）的解，观察特点，利用整除
三、平面直角坐标系中的距离 2. 角平分线：
求参数取值． 五、列二元一次方程组解应用题的一般步骤 （1）一、三象限角平分线：点的横纵坐标相等． 1. 三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形． 1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°． 1. 内内角平分线 2. 内外角平分线
5. 解的情况讨论：一个二元一次方程的解有无数组，两个二元一次方程的公 1. 点到坐标轴的距离： （2）二、四象限角平分线：点的横纵坐标互为相反数． 2. 分类： （直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形）
审题——设未知数——表示相关量——列方程组——解方程组——检验——答 A A P
共解是二元一次方程组的解． 点 P(m，n)到 x轴的距离是纵坐标的绝对值，即 n ；到 y轴的距离是横坐标 y 按角分类： 2. 三角形外角公式：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
题 P
×
一个二元一次方程组的解的个数有 3种情况：唯一解、无数解、无解． 二、四象限 一、三象限 ·的绝对值，即 m ×． 4 直角三角形 · B · × D角平分线 角平分线 · × C
3 D B C三角形 锐角三角形
斜三角形 A BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， BP 是∠ABC 的角平分线，CP 是∠ACD2
2. 点到水平直线、竖直直线的距离： 钝角三角形1 P 1
1
则：∠ = 90° + ∠A 的角平分线，则：∠P = ∠A
( ) 21 2 （1）点 a，b 到直线 y = m（m为常数）的距离为 b m ，
分析 每个三角形都至少有两个锐角． B 2
全等三角形 全等三角形 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x C
F
-1
注意 当m = 0 E时，就是点到横轴（ x轴）的距离为 b ． 按边分类：-2 A
-3 不等边三角形
3. 外外角平分线
∠EBC = ∠BAC + ∠ACB（其中∠EBC 是△ABC的外角）
一、全等三角形的定义 二、全等三角形的性质 （2）点 (a，b)到直线 x = n（ n为常数）的距离为 a n ， -4 三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 BP、CP分别是∠DBC和∠ECB的角平分线， B C· ×
等腰三角形 · ×
A 注意 当 n = 0时，就是点到纵轴（ y轴）的距离为 a ． 注意 等边三角形(正三角形) 1则：∠P = 90° ∠A D E
2 P
能够完全重合的两个三角形 1. 对应边相等； ①平行于 x轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数； 3. 性质：三角形具有稳定性．（例：钢架桥、起重机）
3. 横坐标或纵坐标相同的两点间的距离：
对应顶点：A和A′，B和B′，C和C′． B C A′ 2. 对应角相等； ②平行于 y轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数．
纵坐标相同的两点A(a，m)，B(b，m)间的距离AB = a b ；
对应角：∠A和∠A′，∠B和∠B′，∠C和∠C′． 3. 周长、面积相等；
横坐标相同的两点C(n，c)，D(n，d )间的距离CD = c d ．
对应边：AB和A′B′，AC和A′C′，BC和B′C′． B′ C′ 4. 平移、对称、旋转前后的图形全等． 2 三角形 4 三角形 6 三角形
二、三角形的边及重要线段 四、三角形的边角模型 六、多边形的内外角相关公式
3 全等三角形 4 全等三角形 4 平面直角坐标系 5 平面直角坐标系 1. 三边关系定理：三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边 . B B 1. 多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形．
A A
（两边差＜第三边＜两边和） 凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧（本
三、全等三角形的判定 四、全等三角形的基本模型 四、平面直角坐标系中的平移 五、平面直角坐标系中的对称 O O
2. 三角形的高线、中线和角平分线辨析 C C 节只讨论凸多边形）
D D
1. 点平移： 1. 点P (a，b)关于 x轴的对称点是P′(a， b)． 2. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段（如图以正六边形为例）证明方法 内容 解题思路 平移型全等 对称型全等 三角形的高线 三角形的中线 三角形的角平分线 ∠A + ∠B = ∠C + ∠D AB +CD < AD + BC
（1）将点 (x，y)向右或向左平移a个单位可得对应点 (x + a，y)或 (x a，y). 2. 点P (a，b)关于 y轴的对称点是P′( a，b)． 从 n边形的一个顶点出发，一共可以画出 (n 3)条对角线8 字模型（角） 8 字模型（边）
SSS 三边分别相等 已知两边，找第三边 n(n 3)
（2）将点 (x，y)向上或向下平移b个单位可得对应点 (x，y + b)或 (x，y b). 3. 点P (a，b)关于坐标原点的对称点是P′( a， b)． 交 锐角三角形 三条高线交于三角形内部 A A n边形对角线总数： 2
SAS 两边和它们的夹角分别相等 已知两边或一边一角 旋转型全等 速记法：左减右加横坐标变；上加下减纵坐标变． 4. 中点坐标公式： 点 三条中线的交点 三条角平分线的交 n边形内角和： (n 2)×180°
直角三角形 三条高线交于直角顶点 D D
ASA 两角和它们的夹边分别相等 P (a b) M (m n) a + m b + n 位 在三角形内 点在三角形内点 ， 与 ， 的中点坐标为 ，2 2 ．
n边形外角和： 360°（ n边形外角和与边数无关）
已知两角或一边一角 2. 图形平移： C C置 钝角三角形 三条高线交于三角形外部 B B
AAS 3. 正多边形：各个角都相等，各个边都相等的多边形．两角和其中一角的对边分别相等
图形平移过程中，图形上的每个点平移的方向和距离都相同． ∠BDC = ∠A + ∠B + ∠C AB + AC > BD +CD (n 2)×180°
正 n边形每个内角的度数为：
HL 斜边和一条直角边分别相等的直角三角形 直角三角形 注意 平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化． 交点别名 垂心 重心 内心 飞镖模型（角） 飞镖模型（边） n360°
正 n边形每个外角的度数为：
n

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