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福建省福州第四十中学等校2025-2026学年第一学期期末考试
高三数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.在中，角，，的对边分别是，，，若，，则( )
A. B. C. D.
4.函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.一个袋子中有个球，其中有个白色球标号为和，个黑色球标号为和，这个球除颜色和标号外完全相同，从袋中不放回地依次随机摸出个球，则摸出的个球颜色相同的概率为( )
A. B. C. D.
6.意大利数学家斐波那契约，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即，，，，，，，，，，，，，在实际生活中，很多花朵如梅花，飞燕草，万寿菊等的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列满足：，，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知过抛物线 的焦点 的动直线交抛物线 于 两点，为线段 的中点，为抛物线上任意一点，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 已知一组数据的平均数为，则这组数据的方差是
B. 数据，，，，，，，的第百分位数是
C. 若样本的平均值为，则的平均值为
D. 某校高一年级有学生人，高二年级有学生人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出人，其中从高一年级学生中抽出人，则从高三年级学生中抽取的人数为人
10.命运交响曲是被尊称为“乐圣”的音乐家贝多芬创作的重要作品之一．如果以时间为横轴，音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，若这些点在函数的图象上，且图象的一个最高点为，相邻两个对称中心的距离为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 在区间上的最大值为
C. 直线是图象的一条对称轴
D. 将的图象上所有点向左平移个单位长度，得到奇函数的图象
11.用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆许多人从纯几何的角度对这个问题进行研究，其中比利时数学家的方法非常巧妙，极具创造性在圆锥中，已知高，底面圆的半径为，为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题中，正确的为( )
A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为
C. 双曲线两渐近线的夹角正切值为 D. 抛物线的焦点到准线的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线与圆有唯一交点，则 ．
13.已知是单调递减的等比数列，其前项和为，若，则 ．
14.已知四面体的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，是边长为的正三角形，则四面体的体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
地球上生命体内都存在生物钟，研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称，分为导致早起倾向和导致晚睡倾向某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与蛋白干预实验以下是只实验鼠在光照诱导与蛋白干预实验中，出现突变的指标：
实验鼠编号
指标
实验鼠编号
指标
长期试验发现，若实验鼠指标超过，则认定其体征状况严重，
从实验鼠中随机选取只，记为体征状况严重的只数，求的分布列和数学期望
若编号的实验鼠为蛋白干预实验组，编号的为非蛋白干预对
照组，试依据小概率值的独立性检验，分析蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关
附：其中．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面，，、分别为、的中点．
求证：平面；
若，，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
在中，内角所对的边分别为，已知向量，满足，且．
求的值；
若，的面积是，的角平分线交于点．
求；
求的值．
18.本小题分
已知函数．
若，求函数的极值；
讨论函数的单调性；
若函数的最小值为，求的值．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，且过点．
求椭圆的方程；
设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率为，．
求证：为定值；
求的面积的最大值．
参考答案
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15.解：由题意得，只实验鼠中，有只体征状况严重，
的可能取值有，，，，
，
，
所以的分布列为：


所以的数学期望；
由题意得，根据所给数据，得到列联表：
蛋白干预 非蛋白干预 合计
体征状况严重
体征状况不严重
合计
零假设：实验鼠体征状况与蛋白干预没有关系，
利用列联表中的数据得，，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可认为成立，即认为实验鼠体征状况与蛋白干预无关．
16.取的中点为，连接，
因为、分别为、的中点，所以，，
又因为四边形为矩形，，，且为的中点，
所以，，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以直线平面．
因为平面，、平面，则，，
以为原点，平面内过点且垂直于的直线为轴，、所在直线分别为、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，则，
因为，故为等腰直角三角形，且．
所以、，所以．
易知平面的一个法向量为，
则设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．

17.，
由正弦定理得，
，则，
因为，所以，又，所以
由得，
由余弦定理得，
所以
由得
，
所以

18.解：当时，，定义域为，
，
当，解得，
当时，，当时，，
因此当处函数取极小值，极小值为；
，
若，则时，，单调递减，
时，单调递增，
若，则时，单调递增，
时，单调递减，
时，单调递增，
若，则时，单调递增，
若，则时，单调递增，
时，单调递减，
时，单调递增；
令，
，，
当时，，故无最小值，
所以，由，得，
所以时，单调递减，
时，单调递增，
所以，
所以，解得．
19. 证明：由可得右焦点，易知直线的斜率存在，
设的方程为，设，，
联立，得，
则，，
所以
，
所以为定值；
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