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福建省厦门市同安实验中学等校2026届高三高考综合改革适应性演练数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线离心率是( )
A. B. C. D.
4.已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则等于( )
A. B. C. D.
6.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，还被用做第届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，，则( )
A. B. C. D.
7.过原点作直线的垂线，垂足为，则到直线的距离的最大值为
A. B. C. D.
8.已知函数满足其中是的导数，若，，，则下列选项中正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在直三棱柱中，点分别是棱的中点，则下列结论中一定正确的是( )
A. 平面 B. 平面
C. 平面 D. 平面
10.设抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，准线与轴交于点，为坐标原点，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. 若，则直线的斜率为 D.
11.在中，角，，所对的边分别为，，，平分并交边于点，若，，则下列说法正确的是( )
A. 的面积有最小值 B.
C. 有最小值 D. 有最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知曲线在处的切线方程为，则 ．
13.已知等比数列的前项和为，，则公比 ．
14.一个不透明的袋子中装有个黑球，个白球，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出个球，已知取出个黑球，个白球的概率为，设为取出白球的个数，则 ．
四、解答题：本题共4小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记数列的前项和为．
设，若，求的通项公式；
记，设，求．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，．
求证：平面平面；
若为的中点，且；
求证：四棱锥的各个顶点都在一个球的球面上，并求该球的半径；
求二面角的正弦值．
17.本小题分
复数与复平面上的点一一对应：
复数，，若，复平面上动点的轨迹为；若，复平面上动点的轨迹为；判断并证明、的曲线类型．
复数、、、满足且，复平面上动点的轨迹为曲线．
(ⅰ)求的标准方程，并判断曲线类型；
(ⅱ)平面上过的动直线交曲线于、两点，是线段上一点且满足，证明：点恒在某条定直线上．
18.本小题分
已知，．
求函数、的单调区间和极值；
请严格证明曲线、有唯一交点；
对于常数，若直线和曲线、共有三个不同交点、、，其中，求证：、、成等比数列．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. 或
14.
15.当时， ，整理得，当时，有．
数列是以为公比，以为首项的等比数列，所以．
当时，
，
所以，
所以，
令，其前项和为，
得：
．
．
令，其前项和易知为：，
所以

16.解：证明：由余弦定理，
有，
因为，即，
所以，
因为底面平面，
所以，
因为平面平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面 ；
连接，
因为平面平面，
所以，
因为为的中点，
所以，同理，有，
因为底面平面，
所以，
因为为的中点，
所以，因此，有，
所以为四棱锥的外接球的球心，
建立如图所示的空间直角坐标系，连接，取的中点，连接，
由，得，
又，所以是正三角形，
有，易知，
设，则，有，
因为，所以，
有，得，
即，有，
故四棱锥的外接球的半径为；
由知，得，
设平面的法向量为，
由有
则，取，得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
由有
取，则，
得平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
则．

17. 是圆心为 ，半径为 的圆；
证明：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
表示圆心为 ，半径为 的圆；
是经过 和 的一条直线；
证明：因为 ，所以 ，所以 ，
当 时， ，即 ，表示经过 且斜率为 的一条直线，
当 时， ，表示 轴，
所以 是经过 和 的一条直线．
设 在复平面内对应的点为 ，
由可知， 表示直线 ， 表示 的垂直平分线，
所以 为 的垂直平分线与直线 的交点，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 在以 为圆心，半径为 的圆上，
如下图所示，

由上可知， ，
所以 的轨迹是以 为焦点，长轴长为 的椭圆，
所以 ，所以 ，
所以 的标准方程为 ，曲线为椭圆；
(ⅱ)设 ，不妨假设 ，
由题意可知，直线 的斜率存在，设 ，
联立 ，可得 ，
所以 ，且 ，
因为 ，
，
所以 ，
化简可得 ，
所以 ，
所以 ，且 ，
所以 ，化简可得 ，
所以 在定直线 上．

18.解：对于，，
易知当时，，当时，，
则函数的严格增区间为，严格减区间为，极大值为；
对于，，
易知当时，，当时，，
则函数的严格增区间为，严格减区间为，极大值为；
证明：对于函数，，
设，，
当时，，严格减，，存在一个零点
当时，，，，无零点
当时，由得，即，所以，
所以，所以，无零点
综上所述，曲线、有唯一交点，且交点横坐标．
证明：因为在上严格增，值域为，
所以和在上有一个交点，
同理和在上有另一个交点
因为在上严格增，值域为，
所以和在上有一个交点，
同理和在上有另一个交点，
由题意，共有三个不同交点，则上述四个交点中有两个重合，
由得曲线、有唯一交点，且横坐标，
于是和交点横坐标为、，和交点横坐标为、，
其中，，，
由题意，而，因为、，
又因为在上严格增，所以即，同理，
综上，，所以、、成等比数列．
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