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福建漳州市2025-2026学年上学期期末高中教学质量检测
高二数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的渐近线方程为，则( )
A. B. C. D.
4.过点的直线与圆相切，则的斜率为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
5.已知等比数列的前项和为，公比，若，，则( )
A. B. C. D.
6.年东南现代农博会花博会在漳州东南花都隆重举行，活动现场的非遗区有三个项目：漆扇绘梦、糖画塑形、剪纸生花，主理人现场演示，游客可亲手体验现有甲、乙、丙、丁、戊名同学在非遗区体验，三个非遗项目都有同学去体验，且每名同学只能体验一个项目，其中甲和乙选择体验漆扇绘梦，不同的体验方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知圆，圆，其中，若两圆外切，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.如图，地在地北偏东方向，两地相距，地与南北走向的高铁线近似看成直线相距，已知公路近似看成曲线上任意一点到地的距离等于该点到高铁线的距离，现要在公路边建造一个变电房变电房与公路之间的距离忽略不计分别向地和地送电，则架设电路所用电线总长度最短为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在二项式的展开式中，下列结论正确的是( )
A. 常数项为 B. 含的系数为
C. 所有的二项式系数之和为 D. 所有项的系数之和为
10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且在第一象限，若，则( )
A. B. 的坐标为
C. D. 的离心率为
11.如图，由开始，作一系列的相似三角形，，设第个三角形的斜边长为，面积为，前个三角形的面积之和为，其中，，则( )
A. 为等差数列 B. 为等比数列 C. 为递增数列 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的顶点坐标为，，，则边上的中线所在的直线方程为 ．
13.“杨辉三角”具有很多有趣的性质，如图所示，将最上面一行记为第行，则从第行起，每一行两端都是数字，而其余位置上的每个数都等于它“肩上”两个数的和；每一行第一个数构成常数列；从第一行起，每一行第二个数构成自然数列现从第二行起，将每一行第三个数构成的数列记为，如图，实线上的数即为的前项记，则 ．
14.一只蚂蚁从平面直角坐标系上的原点处出发，每次随机地选择向上、下、左、右四个方向之一移动一个单位长度，若移动次蚂蚁仍在圆内部，则不同走法共有 种
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，曲线与两条坐标轴的三个交点都在圆上
求圆的标准方程；
已知直线与圆交于，两点，且，求实数的值．
16.本小题分
已知，其展开式中的第，，项的二项式系数依次成等差数列．
求展开式中二项式系数最大的项；
求的值．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于，两点．
证明：；
求重心的轨迹方程．
18.本小题分
已知数列满足，．
求数列的通项公式；
设为数列的前项和．
求；
若，恒成立，求实数的最小值．
19.本小题分
经过椭圆中心的弦称为椭圆的直径若椭圆的两条直径所在直线的斜率之积为，则称这两条直径为该椭圆的一对共轭直径特殊地，若一条直径所在直线的斜率为，另一条直径所在直线的斜率不存在，也称这两条直径为该椭圆的一对共轭直径已知椭圆：，中心为坐标原点．
点，在椭圆上，求的共轭直径的两个端点坐标；
过点作直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，当的面积最大时，直径与是否为该椭圆的一对共轭直径，请说明理由；
设和为椭圆的一对共轭直径，且线段的中点为，已知点满足：，若点在椭圆的内部，求实数的取值范围．
参考答案
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14.
15.曲线方程为：，
令时，
曲线与轴的交点是，
令，得，
解得：或，
曲线与轴的交点是，
设圆的一般方程是，
将，，代入圆的一般方程：
联立得，解得：，
圆的方程是，化为标准方程得：，
圆的标准方程为：．
圆的标准方程为：，
所以圆心，半径，
圆心到直线的距离，
，
又，
，
解得：．

16.由题意可知第，，项的二项式系数依次为，
所以，即，
化简得，因为，解得，
当时，展开式有项，可知展开式中二项式系数最大的项为第项和第项，
可知二项式展开式的第项为，
当时，，
当时，，
即二项式系数最大的项为和．
已知，
当时，得，即，
当时，，
即，
可得，
则．

17.因为直线与抛物线相交于两点，所以直线斜率存在，设直线的方程为，
由得，即，
设，则，
又，所以，
所以；
设重心，则，
由，得，即，
由，得
所以，
故重心的轨迹方程为．

18.将等式的两边同时除以得，
即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，所以．
由知，
所以，
等式两边同时乘以得，
得，
而，
所以．
，即，
整理得．
令，则，
当时，，即；
当时，，即，所以，
所以的最大值为，
所以，即实数的最小值为．

19.因为椭圆，所以，，
直线的斜率，
设共轭直径的斜率为，由，得，
共轭直径过原点，方程为，代入椭圆方程得
，整理得，解得，
当时，，当时，，
所以端点坐标为和．
是，理由如下：
由题可知直线的斜率存在，设直线，
由，得，
设，则，
，
又，
令，则，
当，即时，取得最大值，此时，直线，
由，解得或，所以，
所以，
直径的斜率，直径的斜率，
．
设，则，
因为与共轭，设的斜率为，则，得，
设，则，则，
即，所以，
的中点，
因为，所以，因为点在椭圆内部，
所以，即，
整理得，又，所以，解得，
所以实数的取值范围为．

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