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江西吉安市2025-2026学年高三上学期期末教学质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设全集，，，则( )
A. B.
C. D.
3.抛物线的焦点到准线的距离是
A. B. C. D.
4.已知是等比数列的前项和，且，，则( )
A. B. C. D.
5.若，，则( )
A. B. C. D.
6.已知两组数据“，，，”和“，，，”的平均数分别为和，方差分别为和，若，则这两组数据所构成的所有数据的总体方差为( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，已知，，点为圆：上一点，若存在点使得，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若正数，满足，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.已知函数其中，，的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C. 的一个对称中心为
D. 若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为
11.已知四棱锥中，平面，底面为正方形，，，点在棱上，且，为棱上一动点，过、、三点的平面与棱交于点，则( )
A.
B. 三棱锥外接球的表面积为
C. 当平面时，点为的中点
D. 四边形面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，含项的系数为 ．
13.在四边形中，，，，若四边形的面积为，则 ．
14.已知曲线与曲线有两条公切线，且它们的斜率之积为，则实数的取值范围为 ，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知正三棱柱中，，点为的中点．
证明：平面；
求点到平面的距离．
16.本小题分
一盒子中装有除颜色外大小形状均相同的个小球，其中白色小球有个，黑色小球有个现依次从盒子中随机抽取小球，若取出白球，则将其放回盒子中；若取出黑球，则用白球替换该黑球放回盒子中．
求第二次抽到的是白球的概率；
记第三次抽球结束后盒子中黑色小球的个数为，求的分布列及数学期望．
17.本小题分
已知函数，．
若，求函数在点处的切线方程；
若，设函数的导函数为，讨论的单调性．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，且经过点，其左右焦点分别为、，为坐标原点，斜率存在且不为的直线与椭圆交于，．
求椭圆的标准方程；
若，求直线斜率的取值范围；
若直线过点，直线与直线，分别交于点，，证明：．
19.本小题分
严寒天气，贝加尔湖边冰洞内会形成梦幻的冰锥景观如图，无数底面直径均为的冰锥几何体近似圆锥紧密排列在同一水平线上，冰锥的所有顶点均落在直线上，从左到右，冰锥的顶点依次用表示，冰锥底部直径的端点依次用表示，设．
求数列的通项公式；
若与的夹角为，且最左边冰锥的高为．
证明：在所有冰锥中任取两个，存在第三个冰锥的体积等于这两个冰锥的体积之和；
令，符号表示不超过的最大整数，求的所有可能值．
参考答案
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15.解：方法一：
取的中点，根据正三棱柱性质可得互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则有，即
令，则，，即，
因为，又平面，
所以平面；
方法二：
如图，连接交于点，连接，
易知为的中点，又点为的中点，故，
而平面，平面，
所以平面；
方法一：
点到平面的距离．
方法二：
因为平面，故到平面的距离即为到平面的距离，设为，
因为，，平面，
故平面，平面，故，
由题意知，，所以，
，，
由，
代入解得．
16.
17.解：当时，，，
所以，，
故切线方程为，
即．
易知，
所以，
若，则，，此时在上单调递增；
若，则，
当时，，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增；
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数的单调增区间为，减区间为．
18.
（3）证明：设直线方程为，由于过点，故由，
联立方程，得，
其中，即，
所以，，
由题意知直线的方程为，的斜率，
直线的方程为，联立，解得，
同理可得，
所以
，
将，代入上式分子得：
，
又因为，
故，
所以，即，，
所以
19.解：如图，
由于圆锥的截面为等腰三角形，故在上的投影数量为底面直径，
则在上的投影数量为，而，
所以，
即；
设顶点为的冰锥的高为，任取两个相邻冰锥，
由与的夹角为可知，又，故，
所以第个冰锥的体积，
设任取第和第个冰锥，则体积和为，
令，故存在第三个冰锥的体积等于这两个冰锥的体积之和；
由知，在等腰三角形中，，
所以，
当为偶数时，，
由于在时递减，此时
当为奇数时，，
由于在时递增，此时
综上可知，
所以的所有可能值为，．

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