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江西省萍乡市2026届高三上学期一模考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，，，其中为虚数单位，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.设和分别为上的偶函数和奇函数，若，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
5.直线与曲线有交点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.在棱长为的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
7.已知，，当取得最大值时，的值为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆，点，其中，过作直线交椭圆于，两点，过作直线交椭圆于，两点，若，，则直线在轴上的截距的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数，若，则下列结论正确的有( )
A. B. C. D.
10.下列结论正确的有( )
A. 若数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
B. 若一组数据，，，，的分位数为，则，的值分别可能为，
C. 若，，，则
D. 在的展开式中，项的系数为
11.在平面直角坐标系中，圆与轴交于，两点在的左边，过作圆的切线，动点满足到的距离等于其到直线的距离，过的直线与动点的轨迹交于，两点，则下列结论正确的有( )
A. 动点的轨迹方程为 B. 若点的坐标为，则的最小值为
C. 存在直线使得 D. 对于任意直线，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在正项等比数列中，已知，，则其公比为 ．
13.已知有且仅有两个零点，则所有满足条件的的乘积为 ．
14.函数，的图象与直线，交于不同的两点，，为坐标原点，当的面积最大时， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
从萍乡方向登武功山有多条路线，某游客准备从其中的两条路线中选一条登顶路线一为“从游客中心出发，乘坐中庵索道直达半山腰，随后步行经紫极宫、许愿桥、吊马桩抵达金顶”，这条路线中，该游客在紫极宫、许愿桥、吊马桩三个补给站需要补给的概率均为路线二为“从游客中心出发，步行经紫极宫、吊马桩抵达金顶”，这条路线中，该游客在紫极宫、吊马桩两个补给站需要补给的概率分别为，该游客在各补给站是否需要补给互不影响．
若该游客走路线一，求最多需要一次补给的概率
按照“平均补给次数最少”的原则，该游客应该选择那条路线登顶，请说明理由．
16.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式
的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的周长．
17.本小题分
已知四棱锥的顶点是半径为的球的球心，底面为矩形，且，，，均在该球的表面上，当该四棱锥的体积最大时．
求证：平面
若的中点为，内不含边界是否存在一点，使直线与直线，，所成的角均相等若存在，求出的长度若不存在，说明理由．
18.本小题分
已知函数，
若，求不等式的解集
若函数有个极值点，且，证明：有两个零点
在的条件下，设的两个零点分别为，，证明：．
19.本小题分
已知一簇双曲线，当时，双曲线右顶点为现按照如下规则依次构造点过点作轴的垂线交第一象限的渐近线于点，再过点作轴的平行线与曲线的右支交于点记点坐标为
求点的坐标
过点作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，，记的面积为，求数列的通项公式
设为射线与轴正半轴的夹角，已知，存在实数，使得对任意，不等式均成立，求的最小值．
参考答案
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15.解：设“该游客走路线一最多需要一次补给”为事件，包括次补给和次补给两种情况，
则，
故所求的概率为
设“该游客走路线一需要补给的次数”为，则∽，故E，
设“该游客走路线二需要补给的次数”为，则的可能取值为，，，
且，
，
，
所以随机变量的分布列为：
所以，
因为，所以选择路线二．
16.解：由图知：解得：，
又，即，则，
由，得，又，则
故的解析式为：
因为，即，又，解得
所以，则或舍去
在中，由正弦定理知：，故
则，
故的周长为．
17.解：设球心到底面的距离为，底面两条对角线的夹角为，
则底面所在小圆的半径，底面积为，体积为，
要使体积最大，需满足，即，故底面为正方形，
取的中心为，连接，则底面，
又底面，则，
又，，，平面，
故AC平面
由知，当时，四棱锥的体积最大，此时，
以为坐标原点，，，所在方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，，，
又，则，
而，，，
要使直线与直线，，所成的角相等，
则，
代入坐标解得：，不符题意，
所以满足条件的点不存在．
18.解：由题知的定义域为，且，
若，则恒成立，在上单调递增，
又，故不等式的解集为
由知，当时，在上单调递增，没有极值点
当时，，由函数，的图象知，
当时，存在唯一的，使，
且当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故只有个极值点，
因为，且，故是在区间上唯一的零点，且，
因为时，，故存在唯一的，使得，
所以有两个零点
由知，，，，当时，，时，，
要证，只要证，即证，
由，得，即要证，
因为，则，所以只需证，
设，则，
令，则，显然在上单调递增，且，所以在上恒成立，
故在上单调递增，由，故G在上恒成立，
则在上单调递增，又，故G，
得到，即式成立，
故，从而，证毕．
19.解：双曲线的一条渐近线为直线，所以，，
则点，代入双曲线，解得，
故点的坐标为
由题知，的渐近线为和，
点，点，则，即，
将其代入方程得，
由距离公式，点到，的距离分别为和，
故，
即，
当时，，符合上式，
综上所述，
由知，，累加可得，
则，则此正弦值是递增的，
当时，，所以，
在单位圆中分析，可得角的终边要落在图中阴影部分区域，
其中，即，即位于连续两终边之间，
当为的正整数倍时，连续两终边的间隔大小为，即，
取，，此时，，即，
当时，取得最小值，
当不为的正整数倍时，只考虑的情况，
可设，，
则，此时，
因为，所以当为正整数时，连续两终边的间隔大小小于，
则必定存在正整数，使得的终边落在区间上，不符合题意
综上所述，．
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