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云南保山市2025-2026学年高三上学期期末质量监测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.复数等于( )
A. B. C. D.
3.已知是实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若数列、、、、为正项等差数列，正项数列、、、、满足为常数，已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.某体育媒体对“滇超”联赛云南省城市足球联赛的球迷满意度开展了两轮调查，从赛事观赏性现场服务球员表现等方面收集球迷的评分，评分采用百分制经统计，第一轮调查的万个样本数据中，评分的平均值为，方差为；第二轮调查的万个样本数据中，评分的平均值为，方差为由这些数据计算这两轮调查的总样本方差为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在区间上有一个极值点和两个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆，焦点，若过的直线和圆：相切，与椭圆在第一象限交于点，且轴，则等于( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则下列说法中错误的是( )
A. 是偶函数 B. 的图象关于直线对称
C. 关于对称 D. 的一个周期是
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若为数列的前项和，且，则下列说法中正确的是( )
A. B.
C. 是等比数列 D. 是等比数列
10.已知函数，则( )
A. 恒成立 B. 时，单调递减
C. 在取得极大值 D. 只有一个零点
11.六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色无臭无毒不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途六氟化硫分子结构为正八面体结构正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体，如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的是( )
A. 异面直线与所成的角为
B. 此八面体的外接球与内切球的半径之比为．
C. 若点为棱上的动点，则的最小值为
D. 若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线的焦点为，点在上若到直线的距离为，则 ．
13.已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是 ．
14.如图，在中，是的中点，在边上，与交于
点若，则的值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角的对边分别为，已知，且．
证明：是等腰三角形；
若，点在边上，且，求的长．
16.本小题分
小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为分，每场比赛胜则加分，负则减分，平则积分不变；当积分达到分淘汰出局或分晋级成功时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜负平的概率分别为．
比赛终止时小明积分为分的概率；
在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率．
17.本小题分
已知双曲线，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点．
若双曲线的离心率，求双曲线的方程；
连接为坐标原点并延长交于点，若，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，若，分别为棱上的动点，且，点在平面上的射影为点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
19.本小题分
向糖水中加入糖后，糖水变甜了该现象可以描述为向含有溶质且总质量为的溶液中加入溶质，则其中，此不等式称为“糖水不等式”．
已知，利用“糖水不等式”证明数列是减数列；
对于函数为的导数，记为的阶导数，为的导数，记为的阶导数，以此类推，为的阶导数，，已知．
若，求数列的通项公式；
若集合是中所有元素从小到大的一个排列，设，证明：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由二倍角公式，
则，且，
，整理得
又，，
又，，，即，
是等腰三角形．
由知，，且，，
在中，．
，即．

16.解：设表示比赛终止时小明的积分，由题可知时，有以下种情况：
第一种：第一场第二场结果都为负；
第二种：第一场结果为平，后两场比赛结果都为负；
第三种：第一场结果为负，第二场结果为平，第三场结果为负．
．
设事件：比赛进行了两场便终止，事件：小明晋级成功，
由题意知，
．
所以，
所以在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率为．

17.解：由双曲线的方程可知，
双曲线的离心率，，解得，
双曲线的标准方程为；
由双曲线的方程知，且由题意知点，关于原点对称．
设，则，
由直线不与轴垂直，可设直线的方程为．
联立方程组消去，得．
，即，．
，
由，得，
，即，
整理得，
，
整理得，．
又，，解得，
，又，
故的取值范围是．

18.解：在中，由余弦定理得
，
，则，
．
又在直三棱柱中，平面，且平面，
，
又，且平面，
平面．
以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
因为平面，且由知平面，
，点四点共面，
点在线段上，则，
所以，
又，，整理得，
又，所以．
设平面的法向量为，
则，即
取，则，于是．
设直线与平面所成角为，
则．
又，所以，即，
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为．

19.解：．
由“糖水不等式”，得，其中，
则
，
因此数列是减数列．
因为
由题意可得，
，
，
，
因此，
，
以此类推，，
又因为，所以．
又，
，故．
又，
，，
，
所以，
所以，，
，，其中．
综上，对任意正整数，都有，即数列的通项公式为．
由可知，
则，
故，
同理可得，，
又，所以当且仅当为奇数时，，
故．
由题意得，则，
故，
所以．
故，所以，
所以，
即．
当时，由“糖水不等式”可得，
所以，
故，所以，
即，
易知时上式也成立，故．
综上所述，．

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