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云南普洱市2025-2026学年高三上学期期末教学质量监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数为纯虚数，则实数的值为
A. B. C. D.
2.已知全集，集合，则集合中元素的个数为( )
A. B. C. D.
3.已知随机事件和相互独立，且，，则
A. B. C. D.
4.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次试验，收集的数据如下表所示：
零件数个
加工时间
由上表的数据求得关于的经验回归方程为，则
A. B. C. D.
5.已知向量满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知过原点且斜率为的直线与交于、两点，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数的最小值为，则的取值范围为
A. B. C. D.
8.如图，在棱长为的正方体中，是的中点，动点在正方体内部或表面上，若平面，则动点的轨迹所形成的区域面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知中，内角，，所对的边分别为，，， ，，，则
A. B.
C. 的面积为 D. 外接圆的面积为
10.已知函数，则( )
A. 函数在上单调递减
B. 曲线在点处的切线方程为
C. 恒成立
D. 恒成立
11.已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是上位于第一象限内的一点，直线，分别与轴交于点，，为坐标原点，则
A. 的离心率为
B.
C. 若是的上顶点，则存在点，使得是线段的中点
D. 当四边形的面积最大时，点的横坐标为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角的终边经过点，则 ．
13.已知双曲线的左焦点为，是右支上的一个动点，记点到双曲线过第一象限的渐近线的距离为，则的最小值为 ．
14.已知数列的通项公式，给出定义：使得数列的前项和为正整数的叫做“好数”，则在内所有的好数之和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
求函数的单调区间；
求函数在区间上的值域．
16.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若函数有且仅有两个零点，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，，是上靠近点的五等分点．
证明：平面；
若是四棱锥的外接球的球心，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
小张抛掷一枚硬币，若硬币正面朝上，则得分；若硬币背面朝上，则得分已知小张的初始积分为分记小张重复拋掷一枚硬币次后的总得分为．
求；
当为奇数时，证明：；
记，求数列的前项和．
19.本小题分
已知抛物线的焦点为，过点且斜率存在的直线与交于两点，点是以线段为直径的圆的圆心，点在圆上在的右边，且轴，直线与交于另一点，直线与交于另一点．
证明：圆与的准线相切；
证明：；
求．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意得
，
则函数的最小正周期为．
令，
解得，
令，
解得，
综上可得，的单调递增区间为，
的单调递减区间为．
因为，所以，
则，即函数在区间上的值域为．
16.解：由题知函数的定义域为，
．
当时，，函数在上单调递增
当时，令，得令，得，
所以函数在上单调递减，上单调递增．
由知当时，函数在上单调递增，
函数最多只有一个零点，不合题意
当时，函数在上单调递减，上单调递增，
若函数有且仅有两个零点，
则，解得．
又，
利用不等式，
所以函数有且仅有两个零点时，的取值范围为
17.证明：直三棱柱中，平面，
因为平面，所以．
因为，，，平面，
所以平面，
又平面，所以．
由题知，，，，
所以，，，
所以，D.
又，，，平面，所以平面．
解：由题知，，两两垂直，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
因为是四棱锥的外接球的球心，四边形为矩形，平面，
所以可设点的坐标为
由，得，解得，
所以点的坐标为，
由知平面，所以平面的一个法向量为．
所以，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：因为每次抛掷硬币正面朝上的概率为，且各次抛掷相互独立，
所以服从参数为的二项分布，即，
所以，
得
当为奇数时，设，则，，
所以只需证．
根据二项分布的概率公式，
，
所以，故原不等式成立．
由二项分布的期望公式为，其中，即
所以，
得
所以
．
故．
19.解：如图，作出符合题意的图形，
当的斜率为时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意，排除，
当的斜率不为时，设方程为，，
联立，消得，，
则，得到，
由中点坐标公式得线段的中点坐标为，
则到准线的距离为，
由焦半径公式得，
则，即圆与的准线相切．
设，而点在圆上，
且轴，可得，设，
因为在抛物线上，所以，，
则，
设的方程为，的方程为，
联立方程组，得到，
由韦达定理得，即，
联立方程组，得到，
由韦达定理得，即，
则，
而，
，
得到，，
而
，
则，即，
可得，且不重合，故．
由已知得，，，
由弦长公式得
，
因为，，
所以
，而，则，
由题意得，
因为，所以，
由题意得，
可得
，即，
得到，可得，，
则，
而，，
可得，
，
则
，
可得
故．

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