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浙江金华十校2025-2026学年第一学期期末质量检测高二数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D. 不存在
2.已知空间向量，则( )
A. B. C. D.
3.火箭发射后，其高度单位：为，则发射后第时，火箭爬高的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
4.已知直线和直线，若，则( )
A. B. 或 C. D.
5.已知数列是首项为，公差为的等差数列，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的导函数分别为，且，则的图象不可能是( )
A. B.
C. D.
7.已知点为抛物线的焦点，抛物线的准线与轴交于点，是抛物线上的一点，满足，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.正方体的棱长为，点为直线与平面的交点，则点到正方体各顶点的距离的不同取值有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项为，则数列的通项公式可以是( )
A. B.
C. D.
10.已知三棱锥中，，，且两两垂直，点是底面内的一个动点．则以下说法正确的有( )
A.
B. 三棱锥的外接球的体积为定值
C. 若，则直线与平面所成角的大小为
D. 若点到三个侧面的距离依次成等差数列，则点的轨迹是一条线段
11.在平面直角坐标系中，曲线，则下列说法正确的有( )
A. 曲线关于原点对称
B. 对于任意的实数，直线与曲线总有公共点
C. 曲线上存在四个点，使得四边形是正方形
D. 若圆与曲线恰有个公共点，则的范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在正方体中，异面直线与所成角的大小为 ．
13.在等差数列中，，是函数的两个极值点，则 ．
14.已知点分别为双曲线的左、右焦点，点是双曲线位于第一象限的点，且则该双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，满足等比数列满足．
求数列，的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知圆，直线．
判断直线与圆的位置关系，试说明理由；
若是圆上任意一点，求的取值范围．
17.本小题分
如图，四棱锥中，底面是菱形，，侧面是正三角形，且平面平面，是棱的中点．
证明：平面；
求平面与平面所成夹角的余弦值；
过直线作平面与棱，分别交于，两点，其中，求四棱锥的体积．
18.本小题分
已知椭圆过点过点的直线交椭圆于两点，为坐标原点．
求椭圆的标准方程；
若的面积为，求直线方程；
点在射线上，若椭圆上存在点使四边形为平行四边形，求的范围．
19.本小题分
已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
记函数．
若，存在两个相异的正实数满足，求证：；
若不等式对于任意正实数都成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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11.
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13.
14.
15.解：由题意得，，
又，
，公差，
，
又公比，
；
记数列的前项和为，

16.解：直线，
令，则，故直线恒过定点，
而，所以定点在圆的内部，从而直线与圆相交．
设，则，消去并整理得，，
又直线与圆有交点，
由，解得．
所以的取值范围为．

17.解：取线段的中点，连接，
平面平面，是交线，为正三角形，
所以，进一步可得平面，
又因为，底面为菱形，易知，
所以建立如图所示的空间直角坐标系，
则各点坐标为，
所以，
所以，
又，平面，所以平面．
平面的一个法向量，
可知，
设平面的一个法向量，
，
令，则，
设平面与平面所成夹角为，则．
如图所示，，
由题意可知，，
又由可知，
设平面的一个法向量，
，
令，则，
设，
又四点共面，所以，解得，
因为，所以，，
四棱锥的体积
．

18.解：由题意，得，解得，
则椭圆的标准方程为．
易知直线斜率存在，故设直线，
联立方程组，消去得，
显然，且
则，
解得，所以直线的方程为．
设，
即，而均在椭圆上，
则，
化简得到，
由得，，
则，
代入式得到，
则
所以的取值范围是．

19.解：当时，．
所以，切线的方程是即；
可得．
令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
不妨设，令，
则
所以函数在上单调递增，从而
即时，恒成立．
而，从而，又，
，函数在上单调递减．
，得．
令，则，当时单调递增；
当时单调递减，所以，即，
由不等式得，
成立，所以．
，整理得．
令，因为在上恒成立，
所以，得，即．
下面证明：当时，在上恒成立．
因为，所以．
设，则．
当时，由知恒成立，
所以在上单调递增，所以当时，恒成立．
当时，设，
当时，，则在上恒成立，
所以在上单调递增．
所以当时，，所以在上单调递减，
所以当时，恒成立．
综合可知，当时，在上恒成立．
实数的取值范围是．

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