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浙江金华十校2025-2026学年第一学期期末质量检测
高一数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知是锐角，则是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 小于的正角 D. 第一或第二象限角
3.“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知向量若三点共线，则( )
A. B. C. D.
5.已知非零实数、、，则下列选项中一定成立的是( )
A. B. 若，则
C. D. 若，则
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.函数的零点个数为
A. B. C. D.
8.对表示不超过的最大整数，如，通常把叫做取整函数，也称之为高斯函数若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
10.在中，角、、的对边分别是、、，下列说法正确的是( )
A. 若，则是直角三角形
B. 若，则
C. 存在锐角，使得
D. 若，，有解，则
11.已知定义域为的函数满足：对任意，有，且，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若存在使得，则的最小正周期为
C. 为偶函数
D. 的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域是 ．
13.已知平面直角坐标系中的两点，则 ．
14.已知不等式恒成立，则的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，点是中点，点、分别在边、上，，设，．
用向量、表示；
若，，，求向量、夹角的余弦值．
16.本小题分
已知函数的部分图象如下图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形．
求的值；
的图象向右平移个单位后得到的图象，求函数的值域．
17.本小题分
已知函数为非零常数
当时，求的值；
当时，求满足的的取值范围；
当时，若存在，对任意，都有，求的取值范围．
18.本小题分
在中，内角的对边分别是．
求的值；
若，求周长的最大值；
若，求证：．
19.本小题分
在数据分析中，常考虑数据序列中相邻数值的绝对值变化程度给定一个有限实数序列，定义其路径波动指数为：．
已知序列，求的值；
已知序列，、、、且、、、两两互不相同，求的最大值，并说明理由；
已知五个互不相同的实数、、、、，将这五个数任意排成一个序列，求可以取多少个不同的值，并说明理由．
参考答案
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14.
15.解：由题意可得．
解法一：由得
，
因为为的中点，所以，
从而，
，
所以，
故向量、夹角的余弦值为；
解法二：因为，
又因为，所以，
所以为等腰直角三角形，
如图，以为原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系．
可得、、、、，
则，，
所以，
故向量、夹角的余弦值为；
解法三：因为，
又因为，所以，
所以为等腰直角三角形，
如图，以为原点，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系．
可得、、、、、
，
从而，，
所以，
故向量、夹角的余弦值为．

16.解：设函数的最小正周期为，则等边的边长为，
因为函数的振幅为，所以，故，
因为，故．
由可知，
将的图象向右平移个单位后得到的图象，
所以，
所以，
所以，即函数的值域为．

17.解：当时，所以，
所以．
当时，，
由得，
化简得，即，
解得．
当，时，，
因为在上单调递增，所以的最大值为，
从而依题意可得对任意恒成立，
当时，不等式显然成立，
当时，化简得，
恒成立等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值，
函数在区间单调递增，有最大值，
函数当且仅当取等号，有最小值，
所以．

18.解：因为，由正弦定理得，所以，所以；
因为，所以，
，展开化简得：，
因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以，当且仅当时，取等号，
所以周长的最大值为；
因为，所以，又因为，
所以所以，
所以，
因为，
所以，
化简得，
因为，所以，
所以或，
所以或舍去，
故．

19.解：因为，由题中定义可得．
因为均可表示成的线性表达式，所以可设
，、，、，
根据绝对值的几何意义要使得的值最大，
所以只能是或者，
则的最大值，或．
即当，或时，取得最大值．
法一：设，
记，
设，则．
因为，可以用的和表示，
则，可知，、，
下面对、的取值进行讨论．
若，此时．
接着讨论，其有可能是．
即，
所以可能的取值为．
若，，此时．
，
所以可能的取值为．
若，，此时．
，
所以可能的取值为．
若，此时．
，
所以可能的取值为．
综上，对于到之间包含端点所有个偶数中，只有、、、取不到，
即总共有种可能．
法二：五个互不相同的实数、、、、，
所以．
易得：，
且易知的取值一定是偶数．
先证：，除以均余．
若，则、中必定有一个为，根据对称性，不妨设．
当时，，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
所以；
同理，
当时，，逐项分析可得；
当时，，逐项分析可得，；
当时，逐项分析可得，；
所以，取不到．
再证：可以取到区间所有被整除的数．
当，，．
当，，．
当，；
当，；
当，，
综上，一共可以取到个值．

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