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浙江省湖州市2025-2026学年高三第一学期期末调研测试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数其中是虚数单位在复平面上对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，或者向左平移个单位长度后，两者的图象完全重叠，则的最小值是( )
A. B. C. D.
4.已知圆，直线，若圆上恰有四个点到直线的距离都等于，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
6.已知圆台有半径为的内切球，设上、下底面的面积分别是，，则取到最小值时，圆台的体积是( )
A. B. C. D.
7.已知是椭圆的右焦点，是椭圆上一点，是坐标原点，若是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率不可能是( )
A. B. C. D.
8.一个口袋里装有编号为，，，的四个大小、形状完全相同的小球，现有放回的摸球三次，每次摸一个，规定：第次摸出的球号满足时，记为一次有效摸球若三次摸球的有效次数是，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若两个变量的样本相关系数的绝对值越接近，则这两个变量的线性相关性越强
B. 若随机变量服从正态分布，且，则
C. 一组数据，，，，，，，，，的中位数为
D. 对具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值是
10.已知点是抛物线上的一动点，过点作圆的一条切线，为切点，直线交于，是坐标原点，则( )
A. 以线段为直径的圆经过点 B. 以线段为直径的圆与轴相切
C. 切线长的最小值为 D. 的面积的最小值为
11.已知三次函数，则( )
A. 函数一定有两个极值点
B. 当时，
C. 当时，的极小值为
D. 在区间上的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则实数 ．
13.若函数是奇函数，则实数 ．
14.正四棱柱容器表面厚度和忽略不计底面正方形边长为，在中容器恰好能放入半径分别为和的大小两个玻璃球，则正四棱柱容器的高的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列和满足：，，且．
求和的通项公式；
求数列的前项和；
试比较与的大小．
16.本小题分
如图，在直角梯形中，，，，是中点，过点作交于点，将三角形沿直线折起如图，使得二面角的大小是．
求证：
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
在中，是线段上一点，且，，设．
求线段的长度用表示
若，求的值
求的最大值．
18.本小题分
已知双曲线的离心率为，左顶点为过右焦点作直线与的右支交于，两点，连接，分别与直线交于，两点，过点且垂直于的直线交于点．
求的方程
求证：点为线段的中点
记，，的面积分别为，，，试探究：是否存在实数，使得若存在，请求出的值若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
当时，求在处的切线方程；
若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围；
若，，对任意的，恒成立，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，
得，，，，．
相加得，
解得．
又满足上式，因此有．
故，则，相除得，
又满足上式，因此有．
由得，
，
．
因为，，所以，
因为，，所以，
因为，，所以，
因为，，所以，
当时，下面证明，
．

16.证明：取中点，连接，，在图中，由已知可知四边形为菱形，
则有，，又，所以平面，
又平面， 故平面平面．
又由已知条件可得，
连接，可知四边形为菱形，
所以，故，即，
结合平面平面，平面平面，所以平面，又平面，
所以．
解：建立如图所示的空间直角坐标系．
由可知，，所以是二面角的平面角，则，
又由可知点在平面内的射影为线段中点．
则，，，，则，，，
设面的法向量，由，取，
故，
即直线与平面所成角的正弦值．
另解：由知，，所以是二面角的平面角，则．
因为，则，所以，
在中，作于，则，由知平面，所以即点到平面的距离，
又因为，可得平面，所以即点到平面的距离，
所以直线与平面所成角的正弦值为
17.解：在中，．
在中，由余弦定理得，
，
因此．
在中，由正弦定理得，即，
所以．
在中，由正弦定理得，即，
即，
解得，
当且仅当，即时，取到最大值．
方法以线段所在直线为轴，线段的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系．
由可知，点在以为直径的圆上，显然当直线与圆相切时，的最大值．
此时，故
故的最大值为．
18.解：由题意解得，所以的方程为．
设直线的方程为，，
联立，得，
则，，．
直线的方程为，令，得，所以
同理，
则
，
直线的方程为，令，得，
则，因此点为线段的中点．
方法一：由，，
得，又，
，
故．
因此存在实数，使得，
方法二：因为，，
所以，因此，
又为中点，所以，
，
故．
因此存在实数，使得，
19.解：当时，，故，
所以，又因为，
所以切线方程是．
由题意得，
若不存在单调增区间，则恒成立，
即恒成立，令，，
所以，当时，当时，
所以在递减，在递增，
所以，所以，
经检验当时，式成立，
因此函数存在单调递增区间，可知；
可知所求实数的取值范围是．
由知，，令，
所以，即在上单调递减，
又因为，，
所以必存在正数，使得，
故，
由知，当时，，当时，，当时，，
由上知，在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
即，
令，
因为，
所以当时，单调递减，时，单调递增，
所以，
因此的最小值为．

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