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浙江省湖州市2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边在直线上，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则在上的最小值为( )
A. B. C. D.
4.“函数在上单调递增”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.下列选项中满足最小正周期为，且在上单调递减的函数为( )
A. B. C. D.
6.从盛有升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，重复进行上述操作，至少经过次后，容器中的纯酒精少于升，则( )参考数据：，
A. B. C. D.
7.在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列不等式正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数的图象关于直线对称
B. 把曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到的图象
C. 若函数在有且只有个零点，则
D. 若函数在上单调递减，则
11.已知是函数的零点其中为自然对数的底数，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数为奇函数，则 ．
13.在中国古代扇子文化中，扇子不仅是纳凉用品，还是装饰品、艺术品、身份地位的象征如图扇形中，，，，则该扇面的面积为 ．
14.已知实数，满足，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，集合，
若，求，
是否存在实数，使得若存在，求出实数的值若不存在，请说明理由．
16.本小题分
设函数的最小正周期为，且．
求和的值；
填写下表，并在给定坐标系中作出函数在一个周期内的简图；
求函数，的值域．
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知，．
若，求边的值
若
(ⅰ)求的值
(ⅱ)求的面积．
18.本小题分
已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交．
判断函数的奇偶性，并证明
求函数的解析式并写出其单调性无需证明
令，且对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且其中为自然对数的底数
求的值；
若函数存在零点，求的取值范围；
设函数，若对任意的，的函数值非负，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，，，
则，；
当时，，，不合题意，舍去；
当时，，，
又，
又，只需，
情况，，符合题意
情况，解得舍去，此时，符合题意
综上可得或．
16.解：由，得，
由，即，
又，所以．
由知，，
表格为
再作出图象
，
由，得，
当时，，
当时，，
所以，即值域为．

17.解：，
由正弦定理，，
得．
由正弦定理及，
得，即，
又，所以，
所以，即．
由余弦定理，，
把，，代入，得，
即，解得，
所以，
所以．
18.解：，
为偶函数
该函数图像过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，
且，所以，
，是减函数，
在上递减，在上递增，，
在上单调递减，在上单调递增．
由知，
，
又，
由可得，
又由基本不等式知，当且仅当，即取等号．
故
综上可得．
19.解：由可得：，
因为为奇函数，为偶函数，所以，
与，由，解得，，
所以．
由，可得，
分离参变量得：，
记，由，
知，从而，即，
又在上单调递增，
当时，函数与函数的图象有交点，即函数存在零点，
所以．
由于在上单调递增，
所以由，可知，
又由知，，
所以等价于，
令，则不等式对恒成立，
当即时，函数在上单调递增，
，即，
所以，当且仅当，时等号成立；
当即时，函数在上单调递减，
，即，
所以，当且仅当，时等号成立；
当即时，
函数在上单调递减，在上单调增，
，即，
所以，当且仅当，时等号成立．
综合，可知的最小值为．

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