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浙江省绍兴市2025-2026学年高一上学期期末数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角的弧度数为( )
A. B. C. D.
4.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.函数在区间上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.定义在上的函数满足，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知两两不相等的实数、满足，且，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若正实数，满足，则( )
A. B. C. D.
10.设函数，则( )
A. 是偶函数 B. 的其中一个零点是
C. 的图象关于直线对称 D.
11.已知正方形的边长为，，分别是边，上的动点不含端点，记，，，，则( )
A. 若为定值，则是关于的减函数 B. 若为定值，则是关于的增函数
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ．
13.已知，，则 ．
14.若函数恰有个零点，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
求的单调递增区间．
16.本小题分
对于实数，规定区间，，的长度均等于．
若集合，，求的区间长度；
若函数的定义域为区间，求的区间长度．
17.本小题分
已知函数满足．
证明：，；
求的单调区间不要求证明；
若，求的取值范围．
18.本小题分
设，，函数，对于集合，记．
若，求和；
已知，设，若，求的最小值；
若，都有，求．
19.本小题分
已知函数，，此时设．
求，及的取值范围；
求的最大值；
若，，求证：．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，
所以函数最小正周期为：．
由，
即，
所以的单调递增区间为．

16.解：由，
得：；
不等式等价于，
解得：，故；
所以：
区间 的长度为：；
函数 的定义域 需满足：
由 得；
由，得：，
对数函数在上单调递减，
有：；
综上：，
因此．
故的区间的长度为：

17.解：由得，所以
，所以，．
设，则原函数可化为，在上单调递减，在单调递增．
又因为是增函数，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以的单调递增区间为，单调减区间为，
由知关于对称，由知在单调递增，在单调递减，
所以可化为，解得或．
所以的取值范围为或

18.解：当时，
函数在上单调递增，在上单调递减，且，
函数在的值域为，在上的值域为
所以．
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
且，而，因此，
所以的最小值为．
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
取，则，，因此；
当时，函数在上单调递增，；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
取，则，，因此，
所以，都有时，．

19.解：已知，将代入可得，
，
将代入可得，
，
令，因为
在任取两个实数，令．
则，
因为，所以
所以在单调递增．
所以
．
所以的取值范围．
已知，则．
即
利用两角和差公式可得，．
因为，．
则显然，当时，取得最大值．
所以的最大值为．
由知道，，因为且，
所以在上先单调递增后单调递减，即存在最大值点使得．
令，
因为，且．
所以即
因为，所以有．
所以有，化简得，
设
由积化和差公式可以知道，
再由二倍角公式可以知道，
所以
所以可以化简为
可以得到，．
因为，所以有，
因为，
所以要证，即证，
只需证．
假设，且，所以
令，则且
则．
因为即且．
，可以得到即这与余弦函数的值域矛盾，故假设不成立，所以必有．
于是
即有．

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