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2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题
一、单选题
1．在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
3．国庆假期，芳芳与小雯两家各自驾驶甲、乙两车从宣城出发匀速行驶至上海，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开宣城的距离与两车行驶的时间之间的函数关系如图所示，下列判断错误的是（ ）
A．乙车的速度是 B．乙车比甲车晚出发，却早到
C．乙车出发后追上甲车 D．当甲、乙两车相距时，或
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，中，，D为延长线上的一点，于点E，，则为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，∠2＝110°，∠BAE＝60°，下列结论错误的是( )
A．△ABE≌△ACD B．△ABD≌△ACE C．∠ACE＝30° D．∠1＝70°
7．如图，于点，于点，，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．平分 B．
C． D．
8．如图，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A落在处，为折痕，然后再把折过去，使之与在同一条直线上，折痕为，若，则的度数（ ）

A． B． C． D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是（ ）
A．mn B．mn C．2mn D．mn
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠A＝36°，下列结论错误的是（　　）
A．BD是AC边上的中线
B．BD是∠ABC的平分线
C．图中共有3个等腰三角形
D．∠DBC＝36°
二、填空题
11．对于正比例函数，当时，y的最大值等于 ．
12．已知一个等腰三角形的周长是13，其中一条边长是5，则这个等腰三角形的腰长是 ．
13．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发，以秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动 秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等．
14．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，为的三等分角．若，则的度数是 ．

三、解答题
15．在平面直角坐标系中，已知点．
(1)若点M到x轴的距离是3，求m的值．
(2)若点M在第二、四象限的角平分线上，求m的值．
16．已知卖出的糖果数量x（kg）与售价y（元）的关系如下表：
数量x（kg） 1 2 3 4 5
售价y（元） 2＋0.1 4＋0.2 6＋0.3 8＋0.4 10＋0.5
（1）这个表格反映了哪两个变量之间的关系？它们的关系式是什么？
（2）若某顾客付了14.7元，则他购买了多少千克的糖果？
17．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，于点F．求证：是线段的垂直平分线．
18．如图，已知，，垂足为．
(1)图中有 个直角三角形，分别为 ；
(2)和有什么关系？和呢？请说明理由．
19．如图，AB//CD，∠B＝∠D，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
（1）试判断AD与BE有怎样的位置关系，并说明理由；
（2）试说明△AOD≌△EOC．
20．如图，在中，，于点D，E是上一点，连接，与相交于点O，连接，，且．
(1)求证：垂直平分；
(2)若，求证：平分；
(3)若，求证：是等边三角形．
21．如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直上升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为（点B，D，C，A在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度h（单位：m）与上升时间t（单位：s）之间的函数图象如图2．
(1)求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离（结果保留整数，）
(2)求两架无人机距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式；
(3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长．
22．如图，在等边三角形ABC中，于点D，P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合）．过点P作，垂足为E，过点E作，垂足为F．
(1)求证：．
(2)若AB=4，过点F作，垂足为Q，，求BP的长．
23．已知、两地之间有一条长240千米的公路．甲车从地出发匀速开往地，甲车出发两小时后，乙车从地出发匀速开往地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和（千米）与甲车行驶的时间（时）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车的速度为_________千米/时，的值为____________．
（2）求乙车出发后，与之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．
参考答案
1．D
解：∵在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为，到轴的距离为，
∴点的纵坐标为：，横坐标为：，
∴点的坐标为：
∴D选项符合题意．
故选：D．
2．A
解：将点向下平移2个单位长度，得到的点的坐标为，即，
故选A．
3．D
解：设甲的函数关系式为，乙的函数关系式为，
由函数图象得，将代入到甲的函数关系式中，代入到乙的函数关系式中，
∴，，
解得，
∴甲的函数关系式为，乙的函数关系式为，
A、乙车速度为，该选项正确，不符合题意；
B、乙车在时出发，在到达，甲车在时出发，在到达，则乙车比甲车晚出发，却早到，该选项正确，不符合题意；
C、联立两个函数解析式得，
解得，
∵乙车在时出发，
∴乙车出发后追上甲车，该选项正确，不符合题意；
D、当乙出发前：，
解得，选项中没有；
乙出发后到甲到达前(：，
解得或；
乙到达后：
解得，选项中也没有，故该选项错误，符合题意；
故选D．
4．A
解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，
∴∠A=90°-∠B=90°-56°=34°；
故选：A．
5．A
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
故选：A．
6．C
解：∵AB＝AC，∴∠B=∠C．∵BE=CD，∴△ABE≌△ACD，故A正确；
∵BE=CD，∴BD=CE．∵AB＝AC，∠B=∠C，∴△ABD≌△ACE，故B正确；
∵∠2=110°，∴∠1=∠AED=70°，故D正确；
∵∠1=∠AED=70°，∴∠DAE=180°-70°×2=40°，∴∠BAD=60°－40°=20°，∴∠ACE=∠B=∠1－∠BAD=70°－20°=50°，故C错误．
故选C．
7．D
解：∵于点，于点，，
∴，
∴，
∴，，
∴平分
∴A、B、C三个选项结论正确，不符合题意；
根据现有条件无法证明，故D选项结论错误，符合题意；
故选：D．
8．A
解：由折叠的性质得：，，
∵，
∴，
故选：A．
9．B
【详解】
作DE⊥AB交AB于点E，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，
∴CD=DE=n，
∴S△ABD=AB·DE=mn.
故选B.
10．A
解：.无法得出，错误；
.，
，
，
是的平分线，正确；
.图中共有，，个等腰三角形，正确；
、，
，
，正确；
故选．
11．12
解：∵正比例函数中，，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴当时，．
故答案为：12．
12．4或5
解：当腰长为5时，则底边长为，
∵，
∴此时能构成三角形，符合题意；
当底边长为5时，则腰长为，
∵，
∴此时能构成三角形，符合题意；
综上所述，该等腰三角形的腰长为4或5，
故答案为：4或5．
13．0，2，6，8
解：①当E在线段上，时，，
∵，
∴，
∴，
∴点E的运动时间为（秒）；
②当E在上，时，，
∵，
∴，
∴，
∴点E的运动时间为（秒）；
③当E在线段上，时，，这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在上，时，，
，
点E的运动时间为（秒），
综上所述，当点E运动0，2，6，8秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等
故答案为：0，2，6，8．
14．
解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
故答案为：．
15．(1)1或4
(2)
（1）解：（1）由题意得，，
∴或，
解得或4；
即m的值为1或4；
（2）∵点M在第二、四象限的角平分线上，
∴，
解得．
即m的值为．
16．（1）反映了数量和售价之间的关系；；（2）7.
解：（1）根据题意和表格可知：这个表格反映的是数量和售价之间的关系；
由表格可知，1千克糖果的售价是2.1元，2千克糖果的售价为4.2元，
设数量与售价的关系式为：，
∴，解得：，
∴数量与售价的关系式为：；
（2）由（1）可知y=2.1x，
当时，有，
解得：；
∴他购买了7千克的糖果.
17．证明见详解
【详解】证明：如图，连接，
∵线段的垂直平分线交于点D，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即点F为的中点，
又∵
则是线段的垂直平分线．
18．(1)，，和
(2)和互余，和相等，理由见解析
（1）解：图中有3个直角三角形，分别表示为：．
（2）解：和互余，和相等，理由如下：
∵在中，，
∴，，
∴和互余，和相等．
19．（1）AD//BE，理由见解析；（2）见解析．
【详解】（1）AD//BE，
理由：∵AB//CD，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠B＝∠D，
∴∠DCE＝∠D，
∴AD//BE；
（2）∵O是CD的中点，
∴DO＝CO，
在△ADO和△ECO中，
∴△AOD≌△EOC（ASA）．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
（1）证明：∵，
∴．
∵，点A，O在上，
∴垂直平分；
（2）∵，
∴．
又∵，，
即，，
∴平分；
（3）由（1）知．
∵，
∴是等边三角形，
∴，．
由（1）知垂直平分，
∴E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
21．(1)
(2)，
(3)
（1）解：由题意得：在中，，
由图（2）知：无人机乙刚起飞时离地面的高度，
，
，
∴起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为；
（2）解：由图（2），设无人机甲距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式为，
把代入，则，
解得：，
；
设无人机乙距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式为，
把代入，则，
解得：，
；
（3）解：∵起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为，
∴当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好，
即，
，
解得：或，
，
∴一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长为．
22．(1)见解析．
(2)或．
（1）证明：是等边三角形，，
．，，
，．
，．
（2）设．
，
．
又，
，
．
，
同理，
如图①，当点Q在线段AP上时，，
解得，即；
如图②，当点Q在线段BP上时，
解得，即．
综上所述，BP的长为或．
23．（1）40，480；（2）；（3）小时或小时
解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2=40（千米/时）；
a=40×6×2=480，
故答案为：40；480；
（2）设与之间的函数关系式为，
由图可知，函数图象过点，，
所以解得
所以与之间的函数关系式为；
（3）两车相遇前：
解得：
两车相遇后：
解得：
答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是小时或小时．

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