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(共26张PPT)
第2章 实数
2.1.1平方根和算术平方根
（湘教版）七年级
下
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示 一个数的算术平方根.
会求非负数的平方根与算术平方根.
02
新知导入
1．为了美化校园，学校打算建一个面积为225 m2的正方形植物园，这个正方形植物园的边长应取多少？你能计算出来吗？
解：因为152＝225，所以正方形植
物园的边长为15 m．
225m
2．填空：(±2)2＝____； (±)2＝____；
(±0.1)2＝______；02＝____．
4
0
0.01
3．想一想，有没有数的平方为负数？
没有．
03
新知讲解
说一说
小明将一个长为2、宽为1的长方形纸片，按如图所示方法剪拼成了一个正方形.观察图中过程，由此你能发现这个正方形的面积是多少吗？它的边长呢？
1
1
1
沿虚线对折
再沿虚线对折
展开铺平
1
1
1
剪开拼图
1
1
1
正方形的面积是2，但不知道边长.
这个问题的实质就是要找一个数，使它的平方等于给定的数.
03
新知讲解
抽象
若 r2 = a，则 r 是 a 的一个平方根.
如果有一个数 r，使得 r2 = a，那么 r 叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根. 这就是说，
因为 22 = 4，所以 2 是 4 的一个平方根.
因为(－2)2 = 4，所以 －2 也是 4 的一个平方根.
平方根概念：
03
新知讲解
探究
4的平方根除了2和-2以外，还有其他的数吗？
因为边长大于2的正方形，它的面积一定大于4，所以比2大的数都不是4的平方根.
类似地，边长小于2的正方形，它的面积一定小于4，从而比2小的正数都不是4的平方根.
又由于（-b）2=b2，因此，-2或小于-2的负数都不是4的平方根.
0显然不是4的平方根.
所以4的平方根有且只有两个：2与-2.
03
新知讲解
一般地，如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个： r 与－r ．
算术平方根的概念：
正数 a 的正平方根叫作 a 的算术平方根，记作 ，
读作“根号 a”；
正数 a 的负平方根记作 ，
这样，正数 a 的两个平方根可以用“ ”来表示，读作“正、负根号 a”.
03
新知讲解
一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数，
一个正数只有一个算术平方根.
一个正数a的正平方根
一个正数a的负平方根
一个正数a的平方根
记作:
记作:
-
记作:
±
读作:
根号a
读作:
负根号a
读作:
正、负根号a
被开方数
根指数
根号
(通常省略不写)
(a为非负数)
正数a的算术平方根
03
新知讲解
于是，4的平方根是2与-2，即 .
同样，2的平方根是 .由于正方形的边长为正数，因此，本节开
篇“说一说”中拼成的面积是2的正方形的边长为 .
03
新知讲解
思考
在目前我们所学习的数中，由于同号两数相乘得正数，且02=0，因此，不存在一个数的平方是负数，从而负数没有平方根.
0的平方根是多少？负数有平方根吗？
由于02=0，而非零数的平方不等于0，因此0的平方根就是0本身. 0的平方根也叫作0的算术平方根，记作 ，即 =0.
小结：正数平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是 0；负数没有平方根.
03
新知讲解
平方根与算术平方根的区别与联系：
类别 名称 平方根 算术平方根
区别 定义不同
个数不同
表示方法不同
结果不同
联系 具有包含关系 存在条件相同 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的平方根.
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个正数 x 就叫作 a 的平方根.
两个，且互为相反数
一个
一正一负
正数
平方根包含了算术平方根
被开放数为非负数，0 的平方根与算术平方根都是 0.
03
新知讲解
求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.
x2 = a
（x ≥ 0，a ≥ 0）
根号
被开方数
（a 是非负数）
读作“正、负根号 a”
开平方 平方
互为逆运算
根据这种关系，可以求一个数的平方根.
例如，9的平方根是±3,3的平方是9；5的平方根是±，±的平方是5.
03
新知讲解
例1
分别求下列各数的平方根：
（1）36；（2） ；（3）1.21.
解：（1）由于 (±6)2 = 36，因此 36 的平方根是 6 与－6，即 .
（2）由于 (± )2 = ，因此 的平方根是 与－ ，
即 .
（3）由于 (±1.1)2 = 1.21，因此 1.21 的平方根是 1.1 与－1.1，即 .
03
新知讲解
例2
分别求下列各数的算术平方根：
（1）100；（2）1.96；（3） .
解：（1）因为 102 = 100，
所以 .
（2）因为 1.42 = 1.96，所以 .
（3）因为 ( )2 = ，所以 .
说说你发现了什么规律？
正数越大，它的算术平方根也越大.
03
新知讲解
议一议
下列各数有平方根吗？如有，分别是多少？
（1）； （2）（-5）2.
解：(1)由于=81，（±9）2=81，因此的平方根是9与-9，即
(2)由于（-5）2=25，（±5）2=25，因此（-5）2的平方根是5与-5，即
04
课堂练习
基础题
1. 16的平方根是（　D　）
A. 2 B. －4 C. 4 D. ±4
2. 2的算术平方根是（　C　）
A. 2 B. ±2 C. D. ±
3. 下列各数中，没有平方根的是（　C　）
A. 2 B. （－2）2
C. －22 D. 23
D
C
C
04
课堂练习
基础题
4. 的平方根是_______.
5. 完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是___.
5
6. 求下列各数的平方根和算术平方根.
（1）100； （2）0.64； （3）(-5)2.
解:（1）±=±10 ，
= 10 .
（2）±=±0.8 ，
= 0.8 .
（3）±=±5 ，
= 5 .
04
课堂练习
基础题
7. 求下列各式的值：
（1） ； （2） － ；
解：
解：－
（3） ； （4） .
解：
解： 5
04
课堂练习
提升题
1. 若a是（－4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a＋b的值为（　C　）
A. 8 B. 0
C. 8或0 D. 4或－4
C
2. 若与 的和是单项式，则 的平方根为____.
04
课堂练习
拓展题
（新考法·探究题）（1） 求 ， ， ， ， ， 的值.对于任意数a， 等于多少？
解：（1） ＝2， ＝3， ＝5， ＝6， ＝7， ＝0.对于任意数a，若a＞0，则 ＝a；若a＝0，则 ＝0；若a＜0，则 ＝－a
04
课堂练习
拓展题
解：（2） （ ）2＝4，（ ）2＝9，（ ）2＝25，（ ）2＝36，（ ）2＝49，（ ）2＝0.对于任意非负数a，（ ）2＝a
解：（3） 因为3－π＜0，所以（3－π）2的算术平方根为 ＝－（3－π）＝π－3
（2） 求（ ）2，（ ）2，（ ）2，（ ）2，（ ）2，（ ）2的值.对于任意非负数a，（ ）2等于多少？
（3） 根据上面发现的规律，求（3－π）2的算术平方根.
05
课堂小结
若 r2 = a，则 r 是 a 的一个平方根.
1. 平方根的定义
2. 平方根的性质
（1）正数有且只有两个平方根，它们互为相反数；
（2）0 有一个平方根，就是 0；
（3）负数没有平方根.
算术平方根： （a ≥ 0）
平方根： （a ≥ 0）
3. 平方根的表示方法
06
板书设计
2.1.1平方根和算术平方根
2. 算术平方根：
1. 平方根：
Thanks!
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