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浙江省杭州市余杭区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分)
1．（2025九上·余杭期中）在以下四个标志中，可以旋转角度a°(0A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：选项A、B、C的图象都需要旋转360°，才能与原图象重合，故A、B、C选项不符合题意；
选项D的图像旋转0°到360°中任意一个角度后仍然能与原图形重合，符合题意；
故选：D.
【分析】由旋转的角度和旋转后的位置逐一判断即可
2．（2025九上·余杭期中）抛物线. 的顶点坐标为(　　)
A．(2， 1) B．(-2， 1)
C．(2， - 1) D．(-2， - 1)
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：y＝（x﹣2）2+1是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，1）
故选：A．
【分析】对于抛物线的顶点式y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标为(h，k).
3．（2025九上·余杭期中）在一个不透明的袋中装有3个黄色的乒乓球和5个白色的乒乓球(除颜色外都相同).从袋中任意摸出一个乒乓球，是白色乒乓球的概率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：袋中球的总数为3+5=8（个），白色乒乓球有5个，
∴P（摸出白色乒乓球）.
故选：D.
【分析】本题考查随机事件A发生的概率公式：P（A）=.此题摸一个球，因为有5个白球，所以摸到红球的结果数有5个，再求出可能出现的结果总数，代入公式计算即可.
4．（2025九上·余杭期中） 如图， 点A， B， C是⊙O上的三个点， 已知∠AOB=100°， 那么∠ACB的度数是(　　)
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB所对的弧都是，且∠AOB＝100°，
∴，
故选：B．
【分析】观察图形可知∠AOB是圆心角，∠ACB是圆周角，根据圆周角定理求出所求角度数即可．
5．（2025九上·余杭期中）若抛物线 与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是 (　　)
A．m<1 B．m>1 C．m<-1 D．m>-1
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个不同的交点，
∴当y=0时，x2﹣2x+m＝0有两个不同的实数根，
∴Δ＝4﹣4m＞0，解得m＜1.
故选：A．
【分析】结合抛物线与x轴的交点个数与二次函数值为0的一元二次方程的根的关系，利用根的判别式求m的取值范围：有2个交点时，方程根的判别式>0；只有1个交点时，方程根的判别式=0；没有交点时，方程根的判别式<0.
6．（2025九上·余杭期中）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是(4，3)，则点 P与⊙O的位置关系是 (　　)
A．点 P 在⊙O内 B．点 P 在⊙O外
C．点P在⊙O上 D．无法确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P的坐标是（4，3），且点O为原点，
∴OP5，
又∵⊙O的半径为5，
∴OP等于圆的半径，
∴点P在⊙O上．
故选：C．
【分析】先根据勾股定理求出OP的长，即点P到圆心O的距离，再与的⊙O的半径比较：若OP>r，则点P在⊙O外；若OP=r，则点P在⊙O上；若OP7．（2025九上·余杭期中）若抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线 则平移前的抛物线表达式是 (　　)
A． B． C．y=(x+2)2+3 D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵ 抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线
∴抛物线向右平移1个单位，再向下平移3个单位，可以得到平移前的抛物线，
∴抛物线向右平移1个单位，得，再向下平移3个单位，得=
故选：B.
【分析】抛物线平移遵循“左加右减（针对x），上加下减（针对解析式整体）”.通过逆向平移操作，将平移后的抛物线向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到平移前的抛物线表达式即可．（抛物线平移核心的点是：二次项系数不变，形状不变，只是位置的变化）
8．（2025九上·余杭期中）如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池.从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为3m.记正方形内除水池外的面积为ym2，圆的半径为 xm，则y关于x的函数表达式是(　　)
A．y=(x+3)2-πx2 B．y=4(x+3)2
C． D．y=(x+3)2
【答案】C
【知识点】二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：如图，由题意可得正方形的边长为（2x+6）m，
∴y＝（2x+6）2﹣πx2＝4（x+3）2﹣πx2，
故选：C．
【分析】根据题意得，正方形内除水池外的面积y=正方形的面积-水池的面积，要求正方形的面积，则要表示除正方形的边长，由“从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为3m”，可得正方形的边长为（2x+6）m，然后通过面积差即可求解．
9．（2025九上·余杭期中） 如图，在矩形中，，，点在以为直径的半圆上，连结，，若，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：取AB的中点O，连接OE，DE、BE，
由条件可知
∴OE=OB=BE，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠BOE=60°，
∴∠BAE =30°，
∴∠DAE = 90°-∠BAE = 60°，
∵AE =AD，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE =60°，
∴∠CDE = 90°-∠ADE =30°，
∴∠BAE=∠CDE，
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE(SAS)，
∴CE=BE =1，
故答案为：B.
【分析】连接DE、BE， 由题意可得∠AEB=90°， 根据勾股定理求出BE=1，然后得到∠BOE=60°，根据圆周角定理求出∠BAE=30°， 推出△ADE是等边三角形， 得到∠ADE =60°， 进而得到∠BAE=∠CDE， 证明△ABE≌△DCE， 即可求解.
10．（2025九上·余杭期中） 通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东30°，4海里处．船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设AP的长为x，BP2为y，y关于x的函数图象（如图2所示）与y轴交于点（0，36），最低点P（3，m），且经过Q（4，n）．则下列选项正确的是（　　）
A．△ABC的面积是12 B．m=28
C．点（1，31）在该函数图象上 D．n=29
【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图1，过B点作 于点D，
∵图2中图形的最低点P(3，m)，
∴在中，AB=2AD=6，
即m=27，
故选项B错误；
的面积
故选项A错误；
∵图象经过Q(4，n)，
∵在 中，CD=AC-AD=1，BD=
即n=28，
故选项D错误，
如图3，当AE=1时，DE=AC-AE-CD=2，
∵在. 中，
即点(1，31)在该函数图象上，
故选项C正确，符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据题意，由最低点坐标，得到AC边上的高的平方为m，结合图形，利用勾股定理，得到m的值，同理可得到n的值， 的面积，以及判断点(1，31)的位置即可.
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11．（2025九上·余杭期中）二次函数 的开口方向是　 　(填“向上”或“向下”).
【答案】向下
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解： ∵二次函数的二次项系数是-1，-1<0，
∴二次函数的开口向下，
故填：向下 .
【分析】二次函数图象的开口由二次项的系数a决定：若a>0，则开口向上；若a<0，则开口向下.
12．（2025九上·余杭期中）抛掷两枚均匀的硬币，硬币落地后，朝上一面只有以下三种情况：①全是正面；②一正一反；③全是反面.其中事件发生的可能性最大的是　 　.
【答案】②
【知识点】复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：抛掷两枚均匀硬币，列出所有可能的结果：
正正、正反、反正、反反，且每种结果发生的可能性相同，所有等可能结果有4种，
其中事件①有1种结果，则P（①）=；
事件②有2种结果，则P（②）=；
事件③有1种结果，则P（①）=；
∵，
∴事件②发生的可能性最大．
故填：② .
【分析】根据列表法或画树状图，列出所有等可能的结果，可得结果总数，再依次得出每个事件的结果数，根据事件A发生的概率公式P（A）=解答即可.
13．（2025九上·余杭期中）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙出的卡片数字大的概率是　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：画树状图为：
由树状图可知甲出的卡片数字比乙的卡片数字大的结果有（3，2），（5，2），（5，4），共3种，
∴P（甲出的卡片数字比乙的大）=．
故填：．
【分析】根据题意，列表或画树状图列出甲乙出的卡片数字所有等可能的结果，再得出甲出的卡片数字比乙的卡片数字大的结果数，根据事件A发生的概率公式P（A）=解答即可.
14．（2025九上·余杭期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于点 E，若AE=8，DE=6，则⊙O的半径为　 　.
【答案】
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】解：如图，连接OD.
设OD＝r，则OE＝8﹣r，
在Rt△ODE中，
OE2+DE2＝OD2，
即（8﹣r）2+62＝r2，
解得r．
故填：．
【分析】有弦CD⊥AB则连接OD，在Rt△ODE中根据勾股定理和圆的所有半径相等，构造方程解答即可．
15．（2025九上·余杭期中） 已知 的一个解是x=4，二次函数 的对称轴是直线x=3，则方程 的另一个解是　 　.
【答案】x＝2
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c﹣1的对称轴是直线x3，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴也是直线x3，
∵ax2+bx+c=0的一个解是x=4，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为（4，0），
设y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（x，0），
∵与x轴的两个交点关于对称轴x3对称，
∴3，解得x＝2，
∴ax2+bx+c＝0的另一个解为x＝2，
故填：x＝2．
【分析】方程ax2+bx+c＝0相当于求二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标的方程，根据二次函数对称轴直线公式x，可得二次函数y=ax2+bx+c与y＝ax2+bx+c﹣1对称轴相同，则可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴，已知与x轴一个交点的横坐标，根据对称轴求出另一个交点的横坐标即可.
16．（2025九上·余杭期中）如图，C是以AB为直径的半圆上一点， 上一点 D 关于直线BC对称的点落在AB 上，若AC=3， BC=4， 则BD 的长是　 　.
【答案】
【知识点】轴对称的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：设点D关于直线BC对称的点为D'，连接CD'，过点C作CE⊥AB于点E，
则CD＝CD'，BD＝BD'，DD'⊥BC，∠ABC=∠DBC，
∴CD'=CD=AC=3，AE=ED'.
∵C是以AB为直径的半圆上一点，
∴∠ACB＝90°，
∴AB5，
∴即
解得CE=.
∴在Rt△CED'中，ED'=，
∴BD =BD'=AB-2ED'=5-2×.
故答案为：.
【分析】设点D关于直线BC对称的点为D'，根据轴对称的性质可得CD＝CD'，BD＝BD'，∠ABC＝∠DBC，利用圆周角定理的推论得到CD'=CD＝AC＝3，∠ACB＝90°，由勾股定理求得AB＝5；根据到CD'＝AC“三线合一”的性质，过点C作CE⊥AB于点E，可得AD'=2AE=2ED'，在Rt△CED'，由三角形的面积可求得CE的长，再由勾股定理可求得ED'，最后由BD＝BD'＝AB﹣AD'=AB-2ED'求得即可．
三、解答题(本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)
17．（2025九上·余杭期中） 已知二次函数
（1）在直角坐标系中画出该函数图象.
（2）结合图象，写出使y>0的x的取值范围.
【答案】（1）解：列表：
x -2 -1 0 1 2 3 4
y＝﹣x2+2x+3 -5 0 3 4 3 0 -5
描点，连线下图.
（2）解：观察图象，可知二次函数的图象与x轴的交点坐标是(-1，0），（3，0），
即当x=-1或x=3时，y=0，
∵二次函数图象的开口向下，
∴ 使y>0的x的取值范围是-1【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；作图-二次函数图象
【解析】【分析】（1）先列表，列出顶点坐标，两、三组对称点，再描点、连线即可；
（2）观察图象，y>0的部分是在x轴上方的抛物线部分，根据与x轴的交点写出此部分x的取值范围即可.
18．（2025九上·余杭期中） 如图，在6×7方格中，A，B，C均为格点，按下列要求作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的作图痕迹；③标注相关字母.
（1） 找出过A， B， C三点的圆的圆心O， 连结BO， CO.
（2）在⊙O 上找到点 P，使得
【答案】（1）解：如图.
（2）解：如图点P即为所作.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】(1)由圆心到三个点的距离相等，可得点O是BC、AC的垂直平分线的交点，连接BC和AC（作图痕迹），根据格子用直尺直接找到它们的垂直平分线，交于点O，再连接OB，OC即可；
（2）由（1）作的BC的垂直平分线，把劣弧平分，交点是点P，根据弧、圆心角的关系，可得∠BOC=2∠BOP，根据圆周角定理可得∠BOP=2∠BAP，则∠BOC=2∠BOP=4∠BAP，即点P符合题意.
19．（2025九上·余杭期中） 一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的球共12个，它们除颜色外完全相同，其中红球有5个，白球有4个.
（1）从盒子中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率.
（2）若往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，使得从盒子里随机摸出一个球，红球的概率不超过0.5，摸出黑球的概率是0.25，请设计一个符合条件的放球方案.
【答案】（1）（1）解：∵三种颜色的球共12个，其中白球有4个，
∴P（摸出的球是白球）
（2）解：黑球的个数：12﹣5﹣4＝3，
设放入x个黑球，由题意可得，解得x=1；
设放入y个红球，由题意得，解得0≤y≤3，
∴可以放入1个黑球，1个红球，2个白球．（答案不唯一，放入红球的个数和放入白球的个数之和为3即可）
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）原来黑球的个数是12-5-4=3，若不放入黑球，摸出黑球的概率是，而放入4个球后，摸出黑球的概率是0.25，则一定放入了黑球，设放入x个黑球，根据概率公式列方程求出x；再根据摸出红球的概率不超过0.5，列不等式求出放入红球的个数的取值范围，在取值范围内，例举一个符合题意的方案即可.
20．（2025九上·余杭期中）某座古代石拱桥的桥拱是圆弧形，其跨度为米，拱高为米．为保护桥梁，现需在桥拱下方安装防护支架．
（1）圆弧桥拱所在圆的半径．
（2）若在的中点处竖立一根垂直于的立柱，求的长．
【答案】（1）解：设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点， 于D，延长CD经过O点，如图所示：
则 (米)，
设⊙O的半径为R，
在 中，
解得R=10，
即该圆弧所在圆的半径为10米
（2）解：过O作OH⊥FE于H，
则 (米)， OF = 10米，
在 中，
(米)，
(米)，即支撑杆EF的高度为 米
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】(1)设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，C 于D，延长CD至O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；
(2)利用垂径定理以及勾股定理得出HF的长，再求出EF的长即可.
21．（2025九上·余杭期中） 已知抛物线 经过点 (1， 1).
（1） 求a的值.
（2）过y轴上一点A，作y轴的垂线，交该抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点.求点A的坐标.
【答案】（1）解：解：把（1，1）代入y＝ax2﹣6ax﹣4，
得a﹣6a﹣4＝1，
解得a＝﹣1
（2）解：由（1）得y＝﹣x2+6x﹣4，
∴对称轴为直线x3，
∵点A在y轴上，作y轴的垂线，交该抛物线于B，C两点，
∴点A的横坐标为0，点A，B，C的纵坐标相等，点B，C关于抛物线对称轴对称，
∴，①
又∵点B为线段AC的中点，
∴，②
由①②两方程可解得xB=2，xC=4，
∴x＝2代入y＝﹣x2+6x﹣4，
得y＝﹣22+6×2﹣4＝4，
∴A（0，4）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点（1，1）代入函数解析式得关于a的方程，求方程的根即可；
（2）由点A在y轴上可的点A的横坐标为0，由“作y轴的垂线，交该抛物线与B，C两点”可得点B、C的横坐标与点A相等，且B，C关于抛物线对称轴对称，那么根据横坐标中点公式列出方程，又因为点B为线段AC的中点，根据横坐标中点公式列出方程，联立两个方程解出点B和点C的横坐标，再代入函数解析式求y的值即可.
22．（2025九上·余杭期中） 某商店销售一批玩具，平均每天可售出15件，每件盈利50元.为了扩大销售，增加盈利，商店决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件玩具每降价2元，商店平均每天可多售出3件.设每件玩具降价x元，每天的盈利为y元.
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）该商店为了尽快减少库存，且每天要盈利1200元，则每件玩具应降价多少元.
【答案】（1）解：由题意得每件玩具盈利（50-x）元，平均每天可售出（15+）件，
则
（2）解：当y＝1200时，，
解得x1＝10，x2＝30；
当x=10时，平均每天可售出15+30（件），
当x=30时，平均每天可售出15+60（件），
∵该商店为了尽快减少库存，30<60，
∴x＝30．
答：每件玩具应降价30元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由题意得每天盈利=每件盈利×平均每天销量，根据题意用x表示出每件盈利和平均每天销量代入公式，化简即可；
（2）将y=1200代入（1）中的解析式，列出方程解出方程的根，对于问题中“该商店为了尽快减少库存”的要求，还要取符合题意的根．
23．（2025九上·余杭期中）已知二次函数
（1）若该二次函数图象与x轴有且只有1个交点，求a的值.
（2）在(1)的基础上，若点P (x，y)在抛物线上，且到y轴的距离小于或等于2，那么我们称点P是y轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的y的取值范围.
（3） 若点M(x1， m) 和点N(1， n) 在该函数图象上， 点Q (x0， y0) 是二次函数图象上的任意一点，满足y0≥m，求 mn的取值范围.
【答案】（1）解：∵二次函数图象与x轴有且只有1个交点，
∴=（2a）2-4a·（-5）＝0，
解得a1＝0，a2＝﹣5，
∵a≠0，
∴a＝﹣5
（2）解：由（1）得a=-5，则二次函数y＝﹣5x2﹣10x﹣5，
∴对称轴为直线x＝﹣1.
∵点P (x，y)在抛物线上，且到y轴的距离小于或等于2，
∴|x|≤2，
∴-2≤x≤2，
∴当x＝2时，y有最小值，此时y＝﹣5×﹣10×2﹣5＝﹣45，
当x＝﹣1时，y有最大值，此时y＝﹣5×﹣10×(-1)﹣5＝0，
∴所有“亲密点”的y的取值范围是﹣45≤y≤0
（3）解：将点（1，n）代入y＝ax2+2ax﹣5，得n=a×+2a×1﹣5=3a-5.
∵点Q（x0，y0）是二次函数图象上的任意一点，满足y0≥m，
∴该二次函数图象开口向上，即a＞0，y有最小值m，
∴M（，m）是二次函数的顶点坐标，
∵二次函数图象对称轴为直线x＝﹣1，
∴m=a×+2a×(-1)﹣5=-a-5，
∴，
∵-3<0，a＞0，
∴mn随a的增大而减小，
则当a=0时，mn=，
∴mn＜25
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）二次函数图象与x轴的交点与根的判别式的大小有关：当Δ>0时，二次函数图象与x轴有2个交点；当Δ=0时，二次函数图象与x轴有1个交点；当Δ<0时，二次函数图象与x轴没有交点；由题意可得Δ＝0，列方程解答即可；
（2）由“点P (x，y)在抛物线上，且到y轴的距离小于或等于2”，可求得x的取值范围，要求y的取值范围，即求二次函数y在x的取值范围内的最大值和最小值；
（3）根据点Q（x0，y0）是二次函数图象上的任意一点，满足y0≥m，得到二次函数图象开口向上，即a＞0，且m是二次函数的最小值，即M是顶点，由二次函数图象对称轴以及点N在该函数图象上，用a分别表示出m、n，再表示出mn，根据二次函数的性质解答即可．
24．（2025九上·余杭期中） 如图， △ABC内接于⊙O， D是的 上一点，连结AD， BD， CD，将 沿直线BC折叠，点D 的对应点E在AC的延长线上.
（1） 求证： △ABD是等腰三角形.
（2） 若∠ABE=90°， D是的 的中点，⊙O的半径是r.
①求 BD 的长 (用含r的代数式表示)；
②计算四边形ABCD 的面积 (用含r的代数式表示).
【答案】（1）证明：∵将△BDC沿直线BC折叠，点D的对应点E在AC的延长线上，
∴△BCD≌△BCE，∠ACB+∠BCE=180°，
∴∠BCD＝∠BCE，
∴∠ACB+∠BCD=180°，
又∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠ACB，
又∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB＝∠BAD，
∴△ABD是等腰三角形
（2）解：①连接OC，OD，OD交AC于点F，
∵D是的的中点，
∴，OD⊥AC，AC=2CF，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵△BCD≌△BCE，
∴∠CBD＝∠CBE，BD=BE，CD=CE，
∴∠CBD＝∠CBE＝∠ABD30°，
∴∠COD=2∠CBD=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CE=CD=OC=r.
在Rt△OCF中，∠COF=60°，
∴CF=，
∴AC=2CF=，
∴AE=AC+CF=+r，
由（1）得AB=BD=BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BD=AB=BE=.
②由①得，OF=，
∴DF=OD-OF=，
∴==.
过点B作BG⊥AE交AC于点G，则BG==，
∴=，
∴
【知识点】圆的综合题；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由轴对称的性质可得△BCD≌△BCE，则∠BCD＝∠BCE，而点E在AC的延长线上，则∠ACB+∠BCE=180°，根据圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，角的等量代换可证得∠ADB＝∠BAD，即可证明结论；
（2）①由（1）得AB=BD=BE，已知∠ABE=90°，可得BD=AB=，而AE=AC+CE，只需要求出AC和CE即可：根据条件D是的 的中点，以及垂径定理的推论，连接OD，OC，则，OD⊥AC，AC=2CF；由圆周角定理的推论，可得∠CBD＝∠CBE＝∠ABD30°，根据圆周角定理及勾股定理，不难表示出CF，AC，CD，CE的长；
②根据，依次用r表示出即可解答.
1 / 1浙江省杭州市余杭区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分)
1．（2025九上·余杭期中）在以下四个标志中，可以旋转角度a°(0A． B． C． D．
2．（2025九上·余杭期中）抛物线. 的顶点坐标为(　　)
A．(2， 1) B．(-2， 1)
C．(2， - 1) D．(-2， - 1)
3．（2025九上·余杭期中）在一个不透明的袋中装有3个黄色的乒乓球和5个白色的乒乓球(除颜色外都相同).从袋中任意摸出一个乒乓球，是白色乒乓球的概率为(　　)
A． B． C． D．
4．（2025九上·余杭期中） 如图， 点A， B， C是⊙O上的三个点， 已知∠AOB=100°， 那么∠ACB的度数是(　　)
A．45° B．50° C．55° D．60°
5．（2025九上·余杭期中）若抛物线 与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是 (　　)
A．m<1 B．m>1 C．m<-1 D．m>-1
6．（2025九上·余杭期中）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是(4，3)，则点 P与⊙O的位置关系是 (　　)
A．点 P 在⊙O内 B．点 P 在⊙O外
C．点P在⊙O上 D．无法确定
7．（2025九上·余杭期中）若抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线 则平移前的抛物线表达式是 (　　)
A． B． C．y=(x+2)2+3 D．
8．（2025九上·余杭期中）如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池.从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为3m.记正方形内除水池外的面积为ym2，圆的半径为 xm，则y关于x的函数表达式是(　　)
A．y=(x+3)2-πx2 B．y=4(x+3)2
C． D．y=(x+3)2
9．（2025九上·余杭期中） 如图，在矩形中，，，点在以为直径的半圆上，连结，，若，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九上·余杭期中） 通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东30°，4海里处．船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设AP的长为x，BP2为y，y关于x的函数图象（如图2所示）与y轴交于点（0，36），最低点P（3，m），且经过Q（4，n）．则下列选项正确的是（　　）
A．△ABC的面积是12 B．m=28
C．点（1，31）在该函数图象上 D．n=29
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11．（2025九上·余杭期中）二次函数 的开口方向是　 　(填“向上”或“向下”).
12．（2025九上·余杭期中）抛掷两枚均匀的硬币，硬币落地后，朝上一面只有以下三种情况：①全是正面；②一正一反；③全是反面.其中事件发生的可能性最大的是　 　.
13．（2025九上·余杭期中）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙出的卡片数字大的概率是　 　.
14．（2025九上·余杭期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于点 E，若AE=8，DE=6，则⊙O的半径为　 　.
15．（2025九上·余杭期中） 已知 的一个解是x=4，二次函数 的对称轴是直线x=3，则方程 的另一个解是　 　.
16．（2025九上·余杭期中）如图，C是以AB为直径的半圆上一点， 上一点 D 关于直线BC对称的点落在AB 上，若AC=3， BC=4， 则BD 的长是　 　.
三、解答题(本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)
17．（2025九上·余杭期中） 已知二次函数
（1）在直角坐标系中画出该函数图象.
（2）结合图象，写出使y>0的x的取值范围.
18．（2025九上·余杭期中） 如图，在6×7方格中，A，B，C均为格点，按下列要求作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的作图痕迹；③标注相关字母.
（1） 找出过A， B， C三点的圆的圆心O， 连结BO， CO.
（2）在⊙O 上找到点 P，使得
19．（2025九上·余杭期中） 一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的球共12个，它们除颜色外完全相同，其中红球有5个，白球有4个.
（1）从盒子中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率.
（2）若往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，使得从盒子里随机摸出一个球，红球的概率不超过0.5，摸出黑球的概率是0.25，请设计一个符合条件的放球方案.
20．（2025九上·余杭期中）某座古代石拱桥的桥拱是圆弧形，其跨度为米，拱高为米．为保护桥梁，现需在桥拱下方安装防护支架．
（1）圆弧桥拱所在圆的半径．
（2）若在的中点处竖立一根垂直于的立柱，求的长．
21．（2025九上·余杭期中） 已知抛物线 经过点 (1， 1).
（1） 求a的值.
（2）过y轴上一点A，作y轴的垂线，交该抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点.求点A的坐标.
22．（2025九上·余杭期中） 某商店销售一批玩具，平均每天可售出15件，每件盈利50元.为了扩大销售，增加盈利，商店决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件玩具每降价2元，商店平均每天可多售出3件.设每件玩具降价x元，每天的盈利为y元.
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）该商店为了尽快减少库存，且每天要盈利1200元，则每件玩具应降价多少元.
23．（2025九上·余杭期中）已知二次函数
（1）若该二次函数图象与x轴有且只有1个交点，求a的值.
（2）在(1)的基础上，若点P (x，y)在抛物线上，且到y轴的距离小于或等于2，那么我们称点P是y轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的y的取值范围.
（3） 若点M(x1， m) 和点N(1， n) 在该函数图象上， 点Q (x0， y0) 是二次函数图象上的任意一点，满足y0≥m，求 mn的取值范围.
24．（2025九上·余杭期中） 如图， △ABC内接于⊙O， D是的 上一点，连结AD， BD， CD，将 沿直线BC折叠，点D 的对应点E在AC的延长线上.
（1） 求证： △ABD是等腰三角形.
（2） 若∠ABE=90°， D是的 的中点，⊙O的半径是r.
①求 BD 的长 (用含r的代数式表示)；
②计算四边形ABCD 的面积 (用含r的代数式表示).
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：选项A、B、C的图象都需要旋转360°，才能与原图象重合，故A、B、C选项不符合题意；
选项D的图像旋转0°到360°中任意一个角度后仍然能与原图形重合，符合题意；
故选：D.
【分析】由旋转的角度和旋转后的位置逐一判断即可
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：y＝（x﹣2）2+1是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，1）
故选：A．
【分析】对于抛物线的顶点式y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标为(h，k).
3．【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：袋中球的总数为3+5=8（个），白色乒乓球有5个，
∴P（摸出白色乒乓球）.
故选：D.
【分析】本题考查随机事件A发生的概率公式：P（A）=.此题摸一个球，因为有5个白球，所以摸到红球的结果数有5个，再求出可能出现的结果总数，代入公式计算即可.
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB所对的弧都是，且∠AOB＝100°，
∴，
故选：B．
【分析】观察图形可知∠AOB是圆心角，∠ACB是圆周角，根据圆周角定理求出所求角度数即可．
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个不同的交点，
∴当y=0时，x2﹣2x+m＝0有两个不同的实数根，
∴Δ＝4﹣4m＞0，解得m＜1.
故选：A．
【分析】结合抛物线与x轴的交点个数与二次函数值为0的一元二次方程的根的关系，利用根的判别式求m的取值范围：有2个交点时，方程根的判别式>0；只有1个交点时，方程根的判别式=0；没有交点时，方程根的判别式<0.
6．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P的坐标是（4，3），且点O为原点，
∴OP5，
又∵⊙O的半径为5，
∴OP等于圆的半径，
∴点P在⊙O上．
故选：C．
【分析】先根据勾股定理求出OP的长，即点P到圆心O的距离，再与的⊙O的半径比较：若OP>r，则点P在⊙O外；若OP=r，则点P在⊙O上；若OP7．【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵ 抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线
∴抛物线向右平移1个单位，再向下平移3个单位，可以得到平移前的抛物线，
∴抛物线向右平移1个单位，得，再向下平移3个单位，得=
故选：B.
【分析】抛物线平移遵循“左加右减（针对x），上加下减（针对解析式整体）”.通过逆向平移操作，将平移后的抛物线向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到平移前的抛物线表达式即可．（抛物线平移核心的点是：二次项系数不变，形状不变，只是位置的变化）
8．【答案】C
【知识点】二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：如图，由题意可得正方形的边长为（2x+6）m，
∴y＝（2x+6）2﹣πx2＝4（x+3）2﹣πx2，
故选：C．
【分析】根据题意得，正方形内除水池外的面积y=正方形的面积-水池的面积，要求正方形的面积，则要表示除正方形的边长，由“从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为3m”，可得正方形的边长为（2x+6）m，然后通过面积差即可求解．
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：取AB的中点O，连接OE，DE、BE，
由条件可知
∴OE=OB=BE，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠BOE=60°，
∴∠BAE =30°，
∴∠DAE = 90°-∠BAE = 60°，
∵AE =AD，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE =60°，
∴∠CDE = 90°-∠ADE =30°，
∴∠BAE=∠CDE，
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE(SAS)，
∴CE=BE =1，
故答案为：B.
【分析】连接DE、BE， 由题意可得∠AEB=90°， 根据勾股定理求出BE=1，然后得到∠BOE=60°，根据圆周角定理求出∠BAE=30°， 推出△ADE是等边三角形， 得到∠ADE =60°， 进而得到∠BAE=∠CDE， 证明△ABE≌△DCE， 即可求解.
10．【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图1，过B点作 于点D，
∵图2中图形的最低点P(3，m)，
∴在中，AB=2AD=6，
即m=27，
故选项B错误；
的面积
故选项A错误；
∵图象经过Q(4，n)，
∵在 中，CD=AC-AD=1，BD=
即n=28，
故选项D错误，
如图3，当AE=1时，DE=AC-AE-CD=2，
∵在. 中，
即点(1，31)在该函数图象上，
故选项C正确，符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据题意，由最低点坐标，得到AC边上的高的平方为m，结合图形，利用勾股定理，得到m的值，同理可得到n的值， 的面积，以及判断点(1，31)的位置即可.
11．【答案】向下
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解： ∵二次函数的二次项系数是-1，-1<0，
∴二次函数的开口向下，
故填：向下 .
【分析】二次函数图象的开口由二次项的系数a决定：若a>0，则开口向上；若a<0，则开口向下.
12．【答案】②
【知识点】复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：抛掷两枚均匀硬币，列出所有可能的结果：
正正、正反、反正、反反，且每种结果发生的可能性相同，所有等可能结果有4种，
其中事件①有1种结果，则P（①）=；
事件②有2种结果，则P（②）=；
事件③有1种结果，则P（①）=；
∵，
∴事件②发生的可能性最大．
故填：② .
【分析】根据列表法或画树状图，列出所有等可能的结果，可得结果总数，再依次得出每个事件的结果数，根据事件A发生的概率公式P（A）=解答即可.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：画树状图为：
由树状图可知甲出的卡片数字比乙的卡片数字大的结果有（3，2），（5，2），（5，4），共3种，
∴P（甲出的卡片数字比乙的大）=．
故填：．
【分析】根据题意，列表或画树状图列出甲乙出的卡片数字所有等可能的结果，再得出甲出的卡片数字比乙的卡片数字大的结果数，根据事件A发生的概率公式P（A）=解答即可.
14．【答案】
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】解：如图，连接OD.
设OD＝r，则OE＝8﹣r，
在Rt△ODE中，
OE2+DE2＝OD2，
即（8﹣r）2+62＝r2，
解得r．
故填：．
【分析】有弦CD⊥AB则连接OD，在Rt△ODE中根据勾股定理和圆的所有半径相等，构造方程解答即可．
15．【答案】x＝2
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c﹣1的对称轴是直线x3，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴也是直线x3，
∵ax2+bx+c=0的一个解是x=4，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为（4，0），
设y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（x，0），
∵与x轴的两个交点关于对称轴x3对称，
∴3，解得x＝2，
∴ax2+bx+c＝0的另一个解为x＝2，
故填：x＝2．
【分析】方程ax2+bx+c＝0相当于求二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标的方程，根据二次函数对称轴直线公式x，可得二次函数y=ax2+bx+c与y＝ax2+bx+c﹣1对称轴相同，则可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴，已知与x轴一个交点的横坐标，根据对称轴求出另一个交点的横坐标即可.
16．【答案】
【知识点】轴对称的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：设点D关于直线BC对称的点为D'，连接CD'，过点C作CE⊥AB于点E，
则CD＝CD'，BD＝BD'，DD'⊥BC，∠ABC=∠DBC，
∴CD'=CD=AC=3，AE=ED'.
∵C是以AB为直径的半圆上一点，
∴∠ACB＝90°，
∴AB5，
∴即
解得CE=.
∴在Rt△CED'中，ED'=，
∴BD =BD'=AB-2ED'=5-2×.
故答案为：.
【分析】设点D关于直线BC对称的点为D'，根据轴对称的性质可得CD＝CD'，BD＝BD'，∠ABC＝∠DBC，利用圆周角定理的推论得到CD'=CD＝AC＝3，∠ACB＝90°，由勾股定理求得AB＝5；根据到CD'＝AC“三线合一”的性质，过点C作CE⊥AB于点E，可得AD'=2AE=2ED'，在Rt△CED'，由三角形的面积可求得CE的长，再由勾股定理可求得ED'，最后由BD＝BD'＝AB﹣AD'=AB-2ED'求得即可．
17．【答案】（1）解：列表：
x -2 -1 0 1 2 3 4
y＝﹣x2+2x+3 -5 0 3 4 3 0 -5
描点，连线下图.
（2）解：观察图象，可知二次函数的图象与x轴的交点坐标是(-1，0），（3，0），
即当x=-1或x=3时，y=0，
∵二次函数图象的开口向下，
∴ 使y>0的x的取值范围是-1【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；作图-二次函数图象
【解析】【分析】（1）先列表，列出顶点坐标，两、三组对称点，再描点、连线即可；
（2）观察图象，y>0的部分是在x轴上方的抛物线部分，根据与x轴的交点写出此部分x的取值范围即可.
18．【答案】（1）解：如图.
（2）解：如图点P即为所作.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】(1)由圆心到三个点的距离相等，可得点O是BC、AC的垂直平分线的交点，连接BC和AC（作图痕迹），根据格子用直尺直接找到它们的垂直平分线，交于点O，再连接OB，OC即可；
（2）由（1）作的BC的垂直平分线，把劣弧平分，交点是点P，根据弧、圆心角的关系，可得∠BOC=2∠BOP，根据圆周角定理可得∠BOP=2∠BAP，则∠BOC=2∠BOP=4∠BAP，即点P符合题意.
19．【答案】（1）（1）解：∵三种颜色的球共12个，其中白球有4个，
∴P（摸出的球是白球）
（2）解：黑球的个数：12﹣5﹣4＝3，
设放入x个黑球，由题意可得，解得x=1；
设放入y个红球，由题意得，解得0≤y≤3，
∴可以放入1个黑球，1个红球，2个白球．（答案不唯一，放入红球的个数和放入白球的个数之和为3即可）
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）原来黑球的个数是12-5-4=3，若不放入黑球，摸出黑球的概率是，而放入4个球后，摸出黑球的概率是0.25，则一定放入了黑球，设放入x个黑球，根据概率公式列方程求出x；再根据摸出红球的概率不超过0.5，列不等式求出放入红球的个数的取值范围，在取值范围内，例举一个符合题意的方案即可.
20．【答案】（1）解：设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点， 于D，延长CD经过O点，如图所示：
则 (米)，
设⊙O的半径为R，
在 中，
解得R=10，
即该圆弧所在圆的半径为10米
（2）解：过O作OH⊥FE于H，
则 (米)， OF = 10米，
在 中，
(米)，
(米)，即支撑杆EF的高度为 米
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】(1)设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，C 于D，延长CD至O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；
(2)利用垂径定理以及勾股定理得出HF的长，再求出EF的长即可.
21．【答案】（1）解：解：把（1，1）代入y＝ax2﹣6ax﹣4，
得a﹣6a﹣4＝1，
解得a＝﹣1
（2）解：由（1）得y＝﹣x2+6x﹣4，
∴对称轴为直线x3，
∵点A在y轴上，作y轴的垂线，交该抛物线于B，C两点，
∴点A的横坐标为0，点A，B，C的纵坐标相等，点B，C关于抛物线对称轴对称，
∴，①
又∵点B为线段AC的中点，
∴，②
由①②两方程可解得xB=2，xC=4，
∴x＝2代入y＝﹣x2+6x﹣4，
得y＝﹣22+6×2﹣4＝4，
∴A（0，4）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点（1，1）代入函数解析式得关于a的方程，求方程的根即可；
（2）由点A在y轴上可的点A的横坐标为0，由“作y轴的垂线，交该抛物线与B，C两点”可得点B、C的横坐标与点A相等，且B，C关于抛物线对称轴对称，那么根据横坐标中点公式列出方程，又因为点B为线段AC的中点，根据横坐标中点公式列出方程，联立两个方程解出点B和点C的横坐标，再代入函数解析式求y的值即可.
22．【答案】（1）解：由题意得每件玩具盈利（50-x）元，平均每天可售出（15+）件，
则
（2）解：当y＝1200时，，
解得x1＝10，x2＝30；
当x=10时，平均每天可售出15+30（件），
当x=30时，平均每天可售出15+60（件），
∵该商店为了尽快减少库存，30<60，
∴x＝30．
答：每件玩具应降价30元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由题意得每天盈利=每件盈利×平均每天销量，根据题意用x表示出每件盈利和平均每天销量代入公式，化简即可；
（2）将y=1200代入（1）中的解析式，列出方程解出方程的根，对于问题中“该商店为了尽快减少库存”的要求，还要取符合题意的根．
23．【答案】（1）解：∵二次函数图象与x轴有且只有1个交点，
∴=（2a）2-4a·（-5）＝0，
解得a1＝0，a2＝﹣5，
∵a≠0，
∴a＝﹣5
（2）解：由（1）得a=-5，则二次函数y＝﹣5x2﹣10x﹣5，
∴对称轴为直线x＝﹣1.
∵点P (x，y)在抛物线上，且到y轴的距离小于或等于2，
∴|x|≤2，
∴-2≤x≤2，
∴当x＝2时，y有最小值，此时y＝﹣5×﹣10×2﹣5＝﹣45，
当x＝﹣1时，y有最大值，此时y＝﹣5×﹣10×(-1)﹣5＝0，
∴所有“亲密点”的y的取值范围是﹣45≤y≤0
（3）解：将点（1，n）代入y＝ax2+2ax﹣5，得n=a×+2a×1﹣5=3a-5.
∵点Q（x0，y0）是二次函数图象上的任意一点，满足y0≥m，
∴该二次函数图象开口向上，即a＞0，y有最小值m，
∴M（，m）是二次函数的顶点坐标，
∵二次函数图象对称轴为直线x＝﹣1，
∴m=a×+2a×(-1)﹣5=-a-5，
∴，
∵-3<0，a＞0，
∴mn随a的增大而减小，
则当a=0时，mn=，
∴mn＜25
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）二次函数图象与x轴的交点与根的判别式的大小有关：当Δ>0时，二次函数图象与x轴有2个交点；当Δ=0时，二次函数图象与x轴有1个交点；当Δ<0时，二次函数图象与x轴没有交点；由题意可得Δ＝0，列方程解答即可；
（2）由“点P (x，y)在抛物线上，且到y轴的距离小于或等于2”，可求得x的取值范围，要求y的取值范围，即求二次函数y在x的取值范围内的最大值和最小值；
（3）根据点Q（x0，y0）是二次函数图象上的任意一点，满足y0≥m，得到二次函数图象开口向上，即a＞0，且m是二次函数的最小值，即M是顶点，由二次函数图象对称轴以及点N在该函数图象上，用a分别表示出m、n，再表示出mn，根据二次函数的性质解答即可．
24．【答案】（1）证明：∵将△BDC沿直线BC折叠，点D的对应点E在AC的延长线上，
∴△BCD≌△BCE，∠ACB+∠BCE=180°，
∴∠BCD＝∠BCE，
∴∠ACB+∠BCD=180°，
又∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠ACB，
又∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB＝∠BAD，
∴△ABD是等腰三角形
（2）解：①连接OC，OD，OD交AC于点F，
∵D是的的中点，
∴，OD⊥AC，AC=2CF，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵△BCD≌△BCE，
∴∠CBD＝∠CBE，BD=BE，CD=CE，
∴∠CBD＝∠CBE＝∠ABD30°，
∴∠COD=2∠CBD=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CE=CD=OC=r.
在Rt△OCF中，∠COF=60°，
∴CF=，
∴AC=2CF=，
∴AE=AC+CF=+r，
由（1）得AB=BD=BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BD=AB=BE=.
②由①得，OF=，
∴DF=OD-OF=，
∴==.
过点B作BG⊥AE交AC于点G，则BG==，
∴=，
∴
【知识点】圆的综合题；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由轴对称的性质可得△BCD≌△BCE，则∠BCD＝∠BCE，而点E在AC的延长线上，则∠ACB+∠BCE=180°，根据圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，角的等量代换可证得∠ADB＝∠BAD，即可证明结论；
（2）①由（1）得AB=BD=BE，已知∠ABE=90°，可得BD=AB=，而AE=AC+CE，只需要求出AC和CE即可：根据条件D是的 的中点，以及垂径定理的推论，连接OD，OC，则，OD⊥AC，AC=2CF；由圆周角定理的推论，可得∠CBD＝∠CBE＝∠ABD30°，根据圆周角定理及勾股定理，不难表示出CF，AC，CD，CE的长；
②根据，依次用r表示出即可解答.
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