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浙江省绍兴市元培教育集团2025-2026学年九年级上学期期中学情评估数学试题
1．（2025九上·绍兴期中） 在以下四个标志中，可以旋转角度后重合的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025九上·绍兴期中） 抛物线y＝(x－2)2＋1的顶点坐标为（　　）
A．(2，1) B．(－2，1) C．(2，－1) D．(－2，－1)
3．（2025九上·绍兴期中）在一个不透明的袋中装有3个黄色的乒乓球和5个白色的乒乓球(除颜色外都相同).从袋中任意摸出一个乒乓球，是白色乒乓球的概率为(　　)
A． B． C． D．
4．（2025九上·绍兴期中） 如图，点，，是上的三个点，已知，那么的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·绍兴期中） 若抛物线y＝x2－2x＋m与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m＞1 C．m＜－1 D．m＞－1
6．（2025九上·绍兴期中） 在平面直角坐标系中，以原点为圆心，为半径作圆，点的坐标是，，则点与的位置关系是（　　）
A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定
7．（2025九上·绍兴期中） 若抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线y＝(x＋1)2＋3，则平移前的抛物线表达式是（　　）
A．y＝－x2 B．y＝x2
C．y＝(x＋2)2＋3 D．y＝(x＋2)2．
8．（2025九上·绍兴期中） 如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为3 m．记正方形内除水池外的面积为y m2，圆的半径为x m，则y关于x的函数表达式是（　　）
A．y＝(x＋3)2－πx2 B．y＝4(x＋3)2
C．y＝4(x＋3)2－πx2 D．y＝(x＋3)2．
9．（2025九上·绍兴期中） 如图，在矩形中，，，点在以为直径的半圆上，连结，，若，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九上·绍兴期中） 通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东30°，4海里处．船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设AP的长为x，BP2为y，y关于x的函数图象（如图2所示）与y轴交于点（0，36），最低点P（3，m），且经过Q（4，n）．则下列选项正确的是（　　）
A．△ABC的面积是12 B．m=28
C．点（1，31）在该函数图象上 D．n=29
11．（2025九上·绍兴期中）二次函数 的开口方向是　 　(填“向上”或“向下”).
12．（2025九上·绍兴期中）抛掷两枚均匀的硬币，硬币落地后，朝上一面只有以下三种情况：①全是正面；②一正一反；③全是反面.其中事件发生的可能性最大的是　 　.
13．（2025九上·绍兴期中）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙出的卡片数字大的概率是　 　.
14．（2025九上·绍兴期中） 如图，是的直径，弦丄于点，若，，则的半径为　 　．
15．（2025九上·绍兴期中） 已知的一个解是，二次函数的对称轴是直线，则方程的另一个解是　 　．
16．（2025九上·绍兴期中） 如图，是以为直径的半圆上一点，上一点关于直线对称的点落在上，若，，则的长是　 　．
17．（2025九上·绍兴期中）已知二次函数y＝－x2＋2x＋3．
（1）在直角坐标系中画出该函数图象．
（2）结合图象，写出使y＞0的x的取值范围．
18．（2025九上·绍兴期中）如图，在6×7方格中，，，均为格点，按下列要求作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的作图痕迹；③标注相关字母．
（1）找出过，，三点的圆的圆心，连结，
（2）在上找到点，使得
19．（2025九上·绍兴期中） 一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的球共12个，它们除颜色外完全相同，其中红球有5个，白球有4个.
（1）从盒子中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率.
（2）若往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，使得从盒子里随机摸出一个球，红球的概率不超过0.5，摸出黑球的概率是0.25，请设计一个符合条件的放球方案.
20．（2025九上·绍兴期中）某座古代石拱桥的桥拱是圆弧形，其跨度为米，拱高为米．为保护桥梁，现需在桥拱下方安装防护支架．
（1）圆弧桥拱所在圆的半径．
（2）若在的中点处竖立一根垂直于的立柱，求的长．
21．（2025九上·绍兴期中）已知抛物线y＝ax2－6ax－4（a≠0）经过点（1，1）．
（1）求a的值．
（2）过y轴上一点A，作y轴的垂线，交该抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点．求点A的坐标．
22．（2025九上·绍兴期中） 某商店销售一批玩具，平均每天可售出15件，每件盈利50元.为了扩大销售，增加盈利，商店决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件玩具每降价2元，商店平均每天可多售出3件.设每件玩具降价x元，每天的盈利为y元.
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）该商店为了尽快减少库存，且每天要盈利1200元，则每件玩具应降价多少元.
23．（2025九上·绍兴期中）已知二次函数y＝ax2＋2ax－5（a≠0）．
（1）若该二次函数图象与x轴有且只有1个交点，求a的值．
（2）在（1）的基础上，若点P（x，y）在抛物线上，且到y轴的距离小于或等于2，那么我们称点P是y轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的y的取值范围．
（3）若点M（x1，m）和点N（1，n）在该函数图象上，点Q（x0，y0）是二次函数图象上的任意一点，满足y0≥m，求mn的取值范围．
24．（2025九上·绍兴期中）如图，内接于，是的上一点，连结，，，将沿直线折叠，点的对应点在的延长线上．
（1）求证：是等腰三角形．
（2）若，是的的中点，的半径是．
①求的长（用含的代数式表示）；
②计算四边形的面积（用含的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：只有图案D，旋转角度后就可以与自身重合.
故答案为：D.
【分析】依据概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可.
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：因为 是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(2，1).
故答案为：A.
【分析】根据顶点式 的顶点坐标为(h，k)解答即可.
3．【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：袋中球的总数为3+5=8（个），白色乒乓球有5个，
∴P（摸出白色乒乓球）.
故选：D.
【分析】本题考查随机事件A发生的概率公式：P（A）=.此题摸一个球，因为有5个白球，所以摸到红球的结果数有5个，再求出可能出现的结果总数，代入公式计算即可.
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： 与 都对 且
故答案为：B.
【分析】利用圆周角定理求出所求角度数即可.
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线 与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的方程 有两个不同的实数根，
故答案为：A.
【分析】结合二次函数与x轴的交点横坐标与一元二次方程的联系，用根式判别式求m的值即可.
6．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P的坐标是(4，3)，
而⊙O的半径为5，
∴OP等于圆的半径，
∴点P在⊙O上.
故答案为：C.
【分析】先计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解.
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线
∴平移前的抛物线表达式为：
故答案为：B.
【分析】通过逆向平移操作，将平移后的抛物线向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到平移前的抛物线表达式即可.
8．【答案】C
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意得，正方形的边长为(2x+6)m，
故答案为：C.
【分析】根据题意得，正方形的边长为(2x+6)m，然后通过面积差即可求解.
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：取AB的中点O，连接OE，DE、BE，
由条件可知
∴OE=OB=BE，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠BOE=60°，
∴∠BAE =30°，
∴∠DAE = 90°-∠BAE = 60°，
∵AE =AD，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE =60°，
∴∠CDE = 90°-∠ADE =30°，
∴∠BAE=∠CDE，
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE(SAS)，
∴CE=BE =1，
故答案为：B.
【分析】连接DE、BE， 由题意可得∠AEB=90°， 根据勾股定理求出BE=1，然后得到∠BOE=60°，根据圆周角定理求出∠BAE=30°， 推出△ADE是等边三角形， 得到∠ADE =60°， 进而得到∠BAE=∠CDE， 证明△ABE≌△DCE， 即可求解.
10．【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图1，过B点作 于点D，
∵图2中图形的最低点P(3，m)，
∴在中，AB=2AD=6，
即m=27，
故选项B错误；
的面积
故选项A错误；
∵图象经过Q(4，n)，
∵在 中，CD=AC-AD=1，BD=
即n=28，
故选项D错误，
如图3，当AE=1时，DE=AC-AE-CD=2，
∵在. 中，
即点(1，31)在该函数图象上，
故选项C正确，符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据题意，由最低点坐标，得到AC边上的高的平方为m，结合图形，利用勾股定理，得到m的值，同理可得到n的值， 的面积，以及判断点(1，31)的位置即可.
11．【答案】向下
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解： ∵二次函数的二次项系数是-1，-1<0，
∴二次函数的开口向下，
故填：向下 .
【分析】二次函数图象的开口由二次项的系数a决定：若a>0，则开口向上；若a<0，则开口向下.
12．【答案】②
【知识点】复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：抛掷两枚均匀硬币，列出所有可能的结果：
正正、正反、反正、反反，且每种结果发生的可能性相同，所有等可能结果有4种，
其中事件①有1种结果，则P（①）=；
事件②有2种结果，则P（②）=；
事件③有1种结果，则P（①）=；
∵，
∴事件②发生的可能性最大．
故填：② .
【分析】根据列表法或画树状图，列出所有等可能的结果，可得结果总数，再依次得出每个事件的结果数，根据事件A发生的概率公式P（A）=解答即可.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：画树状图为：
由树状图可知甲出的卡片数字比乙的卡片数字大的结果有（3，2），（5，2），（5，4），共3种，
∴P（甲出的卡片数字比乙的大）=．
故填：．
【分析】根据题意，列表或画树状图列出甲乙出的卡片数字所有等可能的结果，再得出甲出的卡片数字比乙的卡片数字大的结果数，根据事件A发生的概率公式P（A）=解答即可.
14．【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OD，
设OD=r，则OE=8-r，
在 中， 即
解得
故答案为：
【分析】连接OD，设OD=r，则OE=8-r，在 DE中利用勾股定理即可得出结论.
15．【答案】x=2
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数 的对称轴是直线x
∴二次函数 的对称轴也是直线x =x=
由题意可知 与x轴的一个交点为(4，0)，
设 与x轴的另一个交点为(x，0)，根据对称性可得：
解得x=2，
的另一个解为：x=2，
故答案为：x=2.
【分析】二次函数与x轴的两个交点的横坐标关于对称轴对称，所以 的两个根在数轴上关于1对称，由此即可得出答案.
16．【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BC于点H，如图所示：
上一点D关于直线BC对称的点落在AB上，
∴∠DBC=∠ABC，
∴AC=CD，
∵AC=3，
∴CD=3，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=4，
∵∠DHB=90°-∠ACB，∠DBC=∠ABC，
不妨设AC=3a，BC=4a，
∴CH=CB-BH=4-4a，
∴a=1 (舍去) 或
故答案为：
【分析】过点D作DH⊥BC于点H，通过轴对称的性质，可证∠DBC=∠ABC， AC=CD， 然后 不妨设AC=3a，BC=4a， 然后在Rt△CDH利用勾股定理求得答案.
17．【答案】（1）解：列表：
x 0 1 2 3 4
0 3 4 3 0
描点、连线如图；
；
（2）解：－1＜x＜3
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（2）根据图形，当-10.
故答案为：-1【分析】(1)利用列表，描点，连线作出图形即可；
(2)写出函数图象在x轴上方的部分的x的取值范围即可.
18．【答案】（1）解：
如图， ⊙O即为所求；
（2）解： 如图，点P即为所求.
【知识点】垂径定理；圆周角定理；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】(1)线段AC，BC的垂直平分线的交点O即为圆心，连接OB， OC；
(2)线段BC的垂直平分线交⊙O于点P，连接AP，点P即为所求.
19．【答案】（1）（1）解：∵三种颜色的球共12个，其中白球有4个，
∴P（摸出的球是白球）
（2）解：黑球的个数：12﹣5﹣4＝3，
设放入x个黑球，由题意可得，解得x=1；
设放入y个红球，由题意得，解得0≤y≤3，
∴可以放入1个黑球，1个红球，2个白球．（答案不唯一，放入红球的个数和放入白球的个数之和为3即可）
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）原来黑球的个数是12-5-4=3，若不放入黑球，摸出黑球的概率是，而放入4个球后，摸出黑球的概率是0.25，则一定放入了黑球，设放入x个黑球，根据概率公式列方程求出x；再根据摸出红球的概率不超过0.5，列不等式求出放入红球的个数的取值范围，在取值范围内，例举一个符合题意的方案即可.
20．【答案】（1）解：设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点， 于D，延长CD经过O点，如图所示：
则 (米)，
设⊙O的半径为R，
在 中，
解得R=10，
即该圆弧所在圆的半径为10米
（2）解：过O作OH⊥FE于H，
则 (米)， OF = 10米，
在 中，
(米)，
(米)，即支撑杆EF的高度为 米
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】(1)设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，C 于D，延长CD至O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；
(2)利用垂径定理以及勾股定理得出HF的长，再求出EF的长即可.
21．【答案】（1）解：把(1，1)代入
得：a-6a-4=1，
解得：a=-1
（2）解：由（1）得
∴对称轴为直线
∵点A在y轴上，作y轴的垂线，交该抛物线于B，C两点，
∴B，C关于对称轴对称，
设A(0，t)， 则B， C的纵坐标均为t，
又∵点B为线段AC的中点，
即
由对称性知
代入
得：
∴A(0，4)
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)待定系数法求出函数解析式即可；
(2)先求出对称轴，由题意，可知，B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，中点得到 由对称性知 求出xB，再代入函数解析式求出t的值即可.
22．【答案】（1）解：由题意得每件玩具盈利（50-x）元，平均每天可售出（15+）件，
则
（2）解：当y＝1200时，，
解得x1＝10，x2＝30；
当x=10时，平均每天可售出15+30（件），
当x=30时，平均每天可售出15+60（件），
∵该商店为了尽快减少库存，30<60，
∴x＝30．
答：每件玩具应降价30元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由题意得每天盈利=每件盈利×平均每天销量，根据题意用x表示出每件盈利和平均每天销量代入公式，化简即可；
（2）将y=1200代入（1）中的解析式，列出方程解出方程的根，对于问题中“该商店为了尽快减少库存”的要求，还要取符合题意的根．
23．【答案】（1）解：∵二次函数图象与x轴有且只有1个交点，
得a=0或-5，
（2）解：∵P(x，y)在 上，又抛物线的对称轴为x=-1，
∴当x=2时，y有最小值，此时y=-20-20-5=-45，
当x=-1时，y有最大值，此时y=-5+10-5=0，
∴所有“亲密点”的y的取值范围是
（3）解：∵点 是二次函数图象上的任意一点，满足
∴二次函数图象开口向上，即(a>0，
∵对称轴为直线x=-1，
∴顶点坐标为M(-1，m)，
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】(1)根据题意可得 ，列方程即可解答；
(2)根据题意可得-2≤x≤2，利用二次函数的性质即可解答.
(3)根据点 是二次函数图象上的任意一点，满足 得到二次函数图象开口向上，即a>0，M(-1，m)，由此列得mn=(a-2a-5) 根据二次函数的性质解答.
24．【答案】（1）证明：∵△BDC沿直线BC折叠，点D的对应点落在点E处．
∴BD＝BE，∠CDB＝∠E．
∵△ABC内接于⊙O，
∴∠CAB＝∠CDB＝∠E，
∴AB＝BE＝BD，
∴△ABD是等腰三角形
（2）解：①如图24-1，连结DO，AO，DO＝AO，过点C作CH⊥BD于点H．
∵∠ABE＝90°，D是的的中点，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠CBE＝30°，
∴∠AOD＝60°，即△ADO是等边三角形，
∴DC＝AD＝DO＝r，
由（1）得AB＝BE，
∴∠CDB＝∠CAB＝45°，
∴DH＝CH＝，BH＝，
∴BD＝．
②如图24-2，过点D作DF⊥AB于点F．
AB＝BD＝，
DF＝
∴四边形的面积

【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】(1)利用折叠的性质，圆周角定理，三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；
(2)①利用圆周角定理，折叠的性质得到 利用等腰三角形的性质，圆周角定理求得 连接OA，O D，过 点C作( 于点H，利用直角三角形的边角关系定理和等腰直角三角形的性质解答即可得出结论；
②过点D作 于点M，过点C作于点H，利用直角三角形的性质求得DM，再利用四边形ABCD的面积 解答即可.
1 / 1浙江省绍兴市元培教育集团2025-2026学年九年级上学期期中学情评估数学试题
1．（2025九上·绍兴期中） 在以下四个标志中，可以旋转角度后重合的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：只有图案D，旋转角度后就可以与自身重合.
故答案为：D.
【分析】依据概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可.
2．（2025九上·绍兴期中） 抛物线y＝(x－2)2＋1的顶点坐标为（　　）
A．(2，1) B．(－2，1) C．(2，－1) D．(－2，－1)
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：因为 是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(2，1).
故答案为：A.
【分析】根据顶点式 的顶点坐标为(h，k)解答即可.
3．（2025九上·绍兴期中）在一个不透明的袋中装有3个黄色的乒乓球和5个白色的乒乓球(除颜色外都相同).从袋中任意摸出一个乒乓球，是白色乒乓球的概率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：袋中球的总数为3+5=8（个），白色乒乓球有5个，
∴P（摸出白色乒乓球）.
故选：D.
【分析】本题考查随机事件A发生的概率公式：P（A）=.此题摸一个球，因为有5个白球，所以摸到红球的结果数有5个，再求出可能出现的结果总数，代入公式计算即可.
4．（2025九上·绍兴期中） 如图，点，，是上的三个点，已知，那么的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： 与 都对 且
故答案为：B.
【分析】利用圆周角定理求出所求角度数即可.
5．（2025九上·绍兴期中） 若抛物线y＝x2－2x＋m与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m＞1 C．m＜－1 D．m＞－1
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线 与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的方程 有两个不同的实数根，
故答案为：A.
【分析】结合二次函数与x轴的交点横坐标与一元二次方程的联系，用根式判别式求m的值即可.
6．（2025九上·绍兴期中） 在平面直角坐标系中，以原点为圆心，为半径作圆，点的坐标是，，则点与的位置关系是（　　）
A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P的坐标是(4，3)，
而⊙O的半径为5，
∴OP等于圆的半径，
∴点P在⊙O上.
故答案为：C.
【分析】先计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解.
7．（2025九上·绍兴期中） 若抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线y＝(x＋1)2＋3，则平移前的抛物线表达式是（　　）
A．y＝－x2 B．y＝x2
C．y＝(x＋2)2＋3 D．y＝(x＋2)2．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线
∴平移前的抛物线表达式为：
故答案为：B.
【分析】通过逆向平移操作，将平移后的抛物线向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到平移前的抛物线表达式即可.
8．（2025九上·绍兴期中） 如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为3 m．记正方形内除水池外的面积为y m2，圆的半径为x m，则y关于x的函数表达式是（　　）
A．y＝(x＋3)2－πx2 B．y＝4(x＋3)2
C．y＝4(x＋3)2－πx2 D．y＝(x＋3)2．
【答案】C
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意得，正方形的边长为(2x+6)m，
故答案为：C.
【分析】根据题意得，正方形的边长为(2x+6)m，然后通过面积差即可求解.
9．（2025九上·绍兴期中） 如图，在矩形中，，，点在以为直径的半圆上，连结，，若，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：取AB的中点O，连接OE，DE、BE，
由条件可知
∴OE=OB=BE，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠BOE=60°，
∴∠BAE =30°，
∴∠DAE = 90°-∠BAE = 60°，
∵AE =AD，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE =60°，
∴∠CDE = 90°-∠ADE =30°，
∴∠BAE=∠CDE，
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE(SAS)，
∴CE=BE =1，
故答案为：B.
【分析】连接DE、BE， 由题意可得∠AEB=90°， 根据勾股定理求出BE=1，然后得到∠BOE=60°，根据圆周角定理求出∠BAE=30°， 推出△ADE是等边三角形， 得到∠ADE =60°， 进而得到∠BAE=∠CDE， 证明△ABE≌△DCE， 即可求解.
10．（2025九上·绍兴期中） 通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东30°，4海里处．船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设AP的长为x，BP2为y，y关于x的函数图象（如图2所示）与y轴交于点（0，36），最低点P（3，m），且经过Q（4，n）．则下列选项正确的是（　　）
A．△ABC的面积是12 B．m=28
C．点（1，31）在该函数图象上 D．n=29
【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图1，过B点作 于点D，
∵图2中图形的最低点P(3，m)，
∴在中，AB=2AD=6，
即m=27，
故选项B错误；
的面积
故选项A错误；
∵图象经过Q(4，n)，
∵在 中，CD=AC-AD=1，BD=
即n=28，
故选项D错误，
如图3，当AE=1时，DE=AC-AE-CD=2，
∵在. 中，
即点(1，31)在该函数图象上，
故选项C正确，符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据题意，由最低点坐标，得到AC边上的高的平方为m，结合图形，利用勾股定理，得到m的值，同理可得到n的值， 的面积，以及判断点(1，31)的位置即可.
11．（2025九上·绍兴期中）二次函数 的开口方向是　 　(填“向上”或“向下”).
【答案】向下
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解： ∵二次函数的二次项系数是-1，-1<0，
∴二次函数的开口向下，
故填：向下 .
【分析】二次函数图象的开口由二次项的系数a决定：若a>0，则开口向上；若a<0，则开口向下.
12．（2025九上·绍兴期中）抛掷两枚均匀的硬币，硬币落地后，朝上一面只有以下三种情况：①全是正面；②一正一反；③全是反面.其中事件发生的可能性最大的是　 　.
【答案】②
【知识点】复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：抛掷两枚均匀硬币，列出所有可能的结果：
正正、正反、反正、反反，且每种结果发生的可能性相同，所有等可能结果有4种，
其中事件①有1种结果，则P（①）=；
事件②有2种结果，则P（②）=；
事件③有1种结果，则P（①）=；
∵，
∴事件②发生的可能性最大．
故填：② .
【分析】根据列表法或画树状图，列出所有等可能的结果，可得结果总数，再依次得出每个事件的结果数，根据事件A发生的概率公式P（A）=解答即可.
13．（2025九上·绍兴期中）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙出的卡片数字大的概率是　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：画树状图为：
由树状图可知甲出的卡片数字比乙的卡片数字大的结果有（3，2），（5，2），（5，4），共3种，
∴P（甲出的卡片数字比乙的大）=．
故填：．
【分析】根据题意，列表或画树状图列出甲乙出的卡片数字所有等可能的结果，再得出甲出的卡片数字比乙的卡片数字大的结果数，根据事件A发生的概率公式P（A）=解答即可.
14．（2025九上·绍兴期中） 如图，是的直径，弦丄于点，若，，则的半径为　 　．
【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OD，
设OD=r，则OE=8-r，
在 中， 即
解得
故答案为：
【分析】连接OD，设OD=r，则OE=8-r，在 DE中利用勾股定理即可得出结论.
15．（2025九上·绍兴期中） 已知的一个解是，二次函数的对称轴是直线，则方程的另一个解是　 　．
【答案】x=2
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数 的对称轴是直线x
∴二次函数 的对称轴也是直线x =x=
由题意可知 与x轴的一个交点为(4，0)，
设 与x轴的另一个交点为(x，0)，根据对称性可得：
解得x=2，
的另一个解为：x=2，
故答案为：x=2.
【分析】二次函数与x轴的两个交点的横坐标关于对称轴对称，所以 的两个根在数轴上关于1对称，由此即可得出答案.
16．（2025九上·绍兴期中） 如图，是以为直径的半圆上一点，上一点关于直线对称的点落在上，若，，则的长是　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BC于点H，如图所示：
上一点D关于直线BC对称的点落在AB上，
∴∠DBC=∠ABC，
∴AC=CD，
∵AC=3，
∴CD=3，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=4，
∵∠DHB=90°-∠ACB，∠DBC=∠ABC，
不妨设AC=3a，BC=4a，
∴CH=CB-BH=4-4a，
∴a=1 (舍去) 或
故答案为：
【分析】过点D作DH⊥BC于点H，通过轴对称的性质，可证∠DBC=∠ABC， AC=CD， 然后 不妨设AC=3a，BC=4a， 然后在Rt△CDH利用勾股定理求得答案.
17．（2025九上·绍兴期中）已知二次函数y＝－x2＋2x＋3．
（1）在直角坐标系中画出该函数图象．
（2）结合图象，写出使y＞0的x的取值范围．
【答案】（1）解：列表：
x 0 1 2 3 4
0 3 4 3 0
描点、连线如图；
；
（2）解：－1＜x＜3
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（2）根据图形，当-10.
故答案为：-1【分析】(1)利用列表，描点，连线作出图形即可；
(2)写出函数图象在x轴上方的部分的x的取值范围即可.
18．（2025九上·绍兴期中）如图，在6×7方格中，，，均为格点，按下列要求作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的作图痕迹；③标注相关字母．
（1）找出过，，三点的圆的圆心，连结，
（2）在上找到点，使得
【答案】（1）解：
如图， ⊙O即为所求；
（2）解： 如图，点P即为所求.
【知识点】垂径定理；圆周角定理；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】(1)线段AC，BC的垂直平分线的交点O即为圆心，连接OB， OC；
(2)线段BC的垂直平分线交⊙O于点P，连接AP，点P即为所求.
19．（2025九上·绍兴期中） 一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的球共12个，它们除颜色外完全相同，其中红球有5个，白球有4个.
（1）从盒子中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率.
（2）若往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，使得从盒子里随机摸出一个球，红球的概率不超过0.5，摸出黑球的概率是0.25，请设计一个符合条件的放球方案.
【答案】（1）（1）解：∵三种颜色的球共12个，其中白球有4个，
∴P（摸出的球是白球）
（2）解：黑球的个数：12﹣5﹣4＝3，
设放入x个黑球，由题意可得，解得x=1；
设放入y个红球，由题意得，解得0≤y≤3，
∴可以放入1个黑球，1个红球，2个白球．（答案不唯一，放入红球的个数和放入白球的个数之和为3即可）
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）原来黑球的个数是12-5-4=3，若不放入黑球，摸出黑球的概率是，而放入4个球后，摸出黑球的概率是0.25，则一定放入了黑球，设放入x个黑球，根据概率公式列方程求出x；再根据摸出红球的概率不超过0.5，列不等式求出放入红球的个数的取值范围，在取值范围内，例举一个符合题意的方案即可.
20．（2025九上·绍兴期中）某座古代石拱桥的桥拱是圆弧形，其跨度为米，拱高为米．为保护桥梁，现需在桥拱下方安装防护支架．
（1）圆弧桥拱所在圆的半径．
（2）若在的中点处竖立一根垂直于的立柱，求的长．
【答案】（1）解：设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点， 于D，延长CD经过O点，如图所示：
则 (米)，
设⊙O的半径为R，
在 中，
解得R=10，
即该圆弧所在圆的半径为10米
（2）解：过O作OH⊥FE于H，
则 (米)， OF = 10米，
在 中，
(米)，
(米)，即支撑杆EF的高度为 米
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】(1)设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，C 于D，延长CD至O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；
(2)利用垂径定理以及勾股定理得出HF的长，再求出EF的长即可.
21．（2025九上·绍兴期中）已知抛物线y＝ax2－6ax－4（a≠0）经过点（1，1）．
（1）求a的值．
（2）过y轴上一点A，作y轴的垂线，交该抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点．求点A的坐标．
【答案】（1）解：把(1，1)代入
得：a-6a-4=1，
解得：a=-1
（2）解：由（1）得
∴对称轴为直线
∵点A在y轴上，作y轴的垂线，交该抛物线于B，C两点，
∴B，C关于对称轴对称，
设A(0，t)， 则B， C的纵坐标均为t，
又∵点B为线段AC的中点，
即
由对称性知
代入
得：
∴A(0，4)
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)待定系数法求出函数解析式即可；
(2)先求出对称轴，由题意，可知，B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，中点得到 由对称性知 求出xB，再代入函数解析式求出t的值即可.
22．（2025九上·绍兴期中） 某商店销售一批玩具，平均每天可售出15件，每件盈利50元.为了扩大销售，增加盈利，商店决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件玩具每降价2元，商店平均每天可多售出3件.设每件玩具降价x元，每天的盈利为y元.
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）该商店为了尽快减少库存，且每天要盈利1200元，则每件玩具应降价多少元.
【答案】（1）解：由题意得每件玩具盈利（50-x）元，平均每天可售出（15+）件，
则
（2）解：当y＝1200时，，
解得x1＝10，x2＝30；
当x=10时，平均每天可售出15+30（件），
当x=30时，平均每天可售出15+60（件），
∵该商店为了尽快减少库存，30<60，
∴x＝30．
答：每件玩具应降价30元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由题意得每天盈利=每件盈利×平均每天销量，根据题意用x表示出每件盈利和平均每天销量代入公式，化简即可；
（2）将y=1200代入（1）中的解析式，列出方程解出方程的根，对于问题中“该商店为了尽快减少库存”的要求，还要取符合题意的根．
23．（2025九上·绍兴期中）已知二次函数y＝ax2＋2ax－5（a≠0）．
（1）若该二次函数图象与x轴有且只有1个交点，求a的值．
（2）在（1）的基础上，若点P（x，y）在抛物线上，且到y轴的距离小于或等于2，那么我们称点P是y轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的y的取值范围．
（3）若点M（x1，m）和点N（1，n）在该函数图象上，点Q（x0，y0）是二次函数图象上的任意一点，满足y0≥m，求mn的取值范围．
【答案】（1）解：∵二次函数图象与x轴有且只有1个交点，
得a=0或-5，
（2）解：∵P(x，y)在 上，又抛物线的对称轴为x=-1，
∴当x=2时，y有最小值，此时y=-20-20-5=-45，
当x=-1时，y有最大值，此时y=-5+10-5=0，
∴所有“亲密点”的y的取值范围是
（3）解：∵点 是二次函数图象上的任意一点，满足
∴二次函数图象开口向上，即(a>0，
∵对称轴为直线x=-1，
∴顶点坐标为M(-1，m)，
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】(1)根据题意可得 ，列方程即可解答；
(2)根据题意可得-2≤x≤2，利用二次函数的性质即可解答.
(3)根据点 是二次函数图象上的任意一点，满足 得到二次函数图象开口向上，即a>0，M(-1，m)，由此列得mn=(a-2a-5) 根据二次函数的性质解答.
24．（2025九上·绍兴期中）如图，内接于，是的上一点，连结，，，将沿直线折叠，点的对应点在的延长线上．
（1）求证：是等腰三角形．
（2）若，是的的中点，的半径是．
①求的长（用含的代数式表示）；
②计算四边形的面积（用含的代数式表示）．
【答案】（1）证明：∵△BDC沿直线BC折叠，点D的对应点落在点E处．
∴BD＝BE，∠CDB＝∠E．
∵△ABC内接于⊙O，
∴∠CAB＝∠CDB＝∠E，
∴AB＝BE＝BD，
∴△ABD是等腰三角形
（2）解：①如图24-1，连结DO，AO，DO＝AO，过点C作CH⊥BD于点H．
∵∠ABE＝90°，D是的的中点，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠CBE＝30°，
∴∠AOD＝60°，即△ADO是等边三角形，
∴DC＝AD＝DO＝r，
由（1）得AB＝BE，
∴∠CDB＝∠CAB＝45°，
∴DH＝CH＝，BH＝，
∴BD＝．
②如图24-2，过点D作DF⊥AB于点F．
AB＝BD＝，
DF＝
∴四边形的面积

【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】(1)利用折叠的性质，圆周角定理，三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；
(2)①利用圆周角定理，折叠的性质得到 利用等腰三角形的性质，圆周角定理求得 连接OA，O D，过 点C作( 于点H，利用直角三角形的边角关系定理和等腰直角三角形的性质解答即可得出结论；
②过点D作 于点M，过点C作于点H，利用直角三角形的性质求得DM，再利用四边形ABCD的面积 解答即可.
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